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2014年中国数学奥林匹克试题

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第 29 届中国数学奥林匹克
江苏 南京 第一天 (2013 年 12 月 21 日 8 : 00 ? 12 : 30

1. 如图 1, 在锐角 △ABC 中, AB > AC, ∠BAC 的平分线与边 BC 交于点 D, 点 E、 分别在边 F AB、 上, 使得 B、 F 、 四点共圆. 证明: △DEF 的外接圆圆心与 △ABC 的内切圆圆心重合的充 AC C、 E 分必要条件是 BE + CF = BC. A

E F

. B

D

C

图1 2. 对大于 1 的整数 n, 定义集合 D(n) = {a ? b | n = ab, a, b 为正整数, a > b}. 证明: 对任意大于 1 的整数 k, 总存在 k 个互不相同且大于 1 的整数 n1 , n2 , · · · , nk , 使得 D(n1 ) ∩ D(n2 ) ∩ · · · ∩ D(nk ) 的元素个数不小于 2. 3. 证明: 存在唯一的函数 f : N? → N? 满足 f (1) = f (2) = 1, ( ) ( ) f (n) = f f (n ? 1) + f n ? f (n ? 1) , n = 3, 4, · · · , 并对每个整数 m ? 2, 求 f (2m ) 的值.

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