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江苏省扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市2017届高三下学期第二次调研测试数学试题

时间:2017-05-27


宿迁市 2017 届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分. 1. 已知集合 A ? ? 0 , 3, 4 ? , B ? ? ? 1, 0, 2, 3 ? ,则 A ? B ? 【答案】 ? 0 , 3? 2. 已知复数 z ? 【答案】 5 3. 根据如图所示的伪代码,可知输出的结果 S 是 ▲ . 纤维长度 i←1 While i < 6 i←i ? 2 S←2i ? 3 End While Print S
(第 3 题)

▲ .

3? i ,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的模是 ▲ . 1? i

频数 3 8 9 11 10 5 4

[22.5,25.5) [25.5,28.5) [28.5,31.5) [31.5,34.5) [34.5,37.5) [37.5,40.5) [40.5,43.5]
(第 4 题)

【答案】17 4. 现有 1 000 根某品种的棉花纤维,从中随机抽取 50 根,纤维长度(单位:mm)的数据分 组及各组的频数见右上表,据此估计这 1 000 根中纤维长度不小于 37.5 mm 的根数是 ▲ . 【答案】180 5. 100 张卡片上分别写有 1,2,3,?,100.从中任取 1 张,则这张卡片上的数是 6 的倍 数的概率是 ▲ . 【答案】 4 (或 0.16) 25 6. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y 2 ? 4 x 上一点 P 到焦点的距离为 3,则点 P 的横 坐标是 ▲ . 【答案】2 7. 现有一个底面半径为 3 cm,母线长为 5 cm 的圆锥状实心铁器,将其高温融化后铸成一个 实心铁球(不计损耗) ,则该铁球的半径是 ▲ cm.

【答案】 9 8. 函数 f ( x ) ? lg ?5 ? x 2 ? 的定义域是 ▲ . 【答案】 ??2 , 2?
S9 ? 27 , 9.已知 ? an ? 是公差不为 0 的等差数列, 若 a2a3 ? a4a5 , 则 a1 的值是 ▲ . Sn 是其前 n 项和.

3

【答案】 ?5 10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C1 : ? x ? 4? ? ? y ? 8? ? 1 ,圆 C2 : ? x ? 6? ? ? y ? 6? ? 9 .
2 2 2 2

若圆心在 x 轴上的圆 C 同时平分圆 C1 和圆 C2 的圆周,则圆 C 的方程是 ▲ . 【答案】 x 2 ? y 2 ? 81 → → 11.如图,在平面四边形 ABCD 中, O 为 BD 的中点,且 OA ? 3 , OC ? 5 .若 AB · AD ? ? 7, → → 则 BC · DC 的值是 ▲ . A O B
(第 11 题)

D

C

【答案】9 12.在△ ABC 中,已知 AB ? 2 , AC 2 ? BC 2 ? 6 ,则 tan C 的最大值是 ▲ . 【答案】 2 5 5
?? x ? m , x ? 0 , 13.已知函数 f ( x ) ? ? 2 其中 m ? 0 .若函数 y ? f ? f ( x )? ? 1 有 3 个不同的零点, ? x ? 1, x ≥ 0 ,

则 m 的取值范围是 ▲ .
1) 【答案】 (0 ,

14.已知对任意的 x ? R , 3a ?sin x ? cos x ? ? 2b sin 2x ≤ 3 ?a , b ? R ? 恒成立,则当 a ? b 取得最 小值时, a 的值是 ▲ . 【答案】 ? 4 5 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分. 15. (本小题满分 14 分)
π . 已知 sin ? ? π ? 2 , ? ? π , 2 4 10

?

?

?

?

求: (1) cos? 的值; (2) sin 2? ? π 的值. 4

?

?

π ,所以 ? ? π ? 3π ,5π , 解: (1)法一:因为 ? ? π , 2 4 4 4

?

?

?

?

又 sin ? ? π ? 2 , 4 10 所以 cos ? ? π ? ? 1 ? sin 2 ? ? π ? ? 1 ? 2 4 4 10 所以 cos? ? cos ? ? ? π ? π ? ? ? 4 4? ?
? cos ? ? π cos π ? sin ? ? π sin π 4 4 4 4

?

?

?

?

?

?

? ? ? ? 7102 .
2

?? 3 分

?

?

?

?

?

?

? ?7 2 ? 2 ? 2 ? 2 10 2 10 2
3 ?? . 5

?? 6 分

法二:由 sin ? ? π ? 2 得, sin ? cos π ? cos? sin π ? 2 , 4 10 4 4 10 即 sin ? ? cos? ? 1 . ① 5 又 sin 2 ? ? cos2 ? ? 1 . ② 由①②解得 cos? ? ? 3 或 cos? ? 4 . 5 5
π ,所以 cos? ? ? 3 . 因为 ? ? π , 2 5 π , cos? ? ? 3 , (2)因为 ? ? π , 2 5
4. ? ? ?5 所以 sin 2? ? 2sin ? cos ? ? 2 ? 4 ? ?? 3 ? ? ? 24 , 5 5 25 cos2? ? 2cos ? ? 1 ? 2 ? ?? 3? ? ? 7 . 5 25

?

?

?? 3 分

?

?

?? 6 分

?

?

所以 sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? 3 5

2

?? 8 分

2

2

?? 12 分

所以 sin 2? ? π ? sin 2? cos π ? cos2 ?sin π 4 4 4

?

?

? ? 24 ? 2 ? ? 7 ? 2 25 2 25 2
? ? 17 2 . 50
?? 14 分

? ?

? ?

16. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC ? A1BC 1 1 中, AC ? BC ,A1B 与 AB1 交于点 D,A1C 与 AC1 交于点 E. 求证: (1)DE∥平面 B1BCC1; A1 B1 E D A C C1

(2)平面 A1 BC ? 平面 A1 ACC1 . 证明: (1)在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, 四边形 A1ACC1 为平行四边形. 又 E 为 A1C 与 AC1 的交点, 所以 E 为 A1C 的中点. 同理,D 为 A1B 的中点, 所以 DE∥BC. 又 BC ? 平面 B1BCC1, DE ? 平面 B1BCC1, 所以 DE∥平面 B1BCC1. (2)在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,
AA1 ? 平面 ABC,

?? 2 分

?? 4 分

?? 7 分

又 BC ? 平面 ABC, 所以 AA1 ? BC . 又 AC ? BC , AC ? AA1 ? A , AC ,AA1 ? 平面 A1 ACC1 , 所以 BC ? 平面 A1 ACC1 . 因为 BC ? 平面 A1 BC , 所以平面 A1 BC ? 平面 A1 ACC1 . ?? 14 分 ?? 12 分 ?? 9 分

17. (本小题满分 14 分)
2 y2 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 x 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 2 ,C 为椭 3 a b

圆上位于第一象限内的一点. (1)若点 C 的坐标为 2 ,5 ,求 a,b 的值; 3 → 1→ (2)设 A 为椭圆的左顶点,B 为椭圆上一点,且 AB ? 2 OC ,求直线 AB 的斜率. 解: (1)因为椭圆的离心率为 2 , 3
2 2 2 所以 a ? b ? 2 ,即 b 2 ? 5 .① 9 a 3 a

? ?

y C B A O x

又因为点 C 2 ,5 在椭圆上, 3
(第 17 题)

? ?

?1 . 所以 42 ? 25 a 9b2



?? 3 分

由①②解得 a2 ? 9 , b2 ? 5 . 因为 a ? b ? 0 ,所以 a ? 3, b? 5. ?? 5 分

2 2 9 y2 (2)法一:由①知, b 2 ? 5 ,所以椭圆方程为 x2 ? 2 ? 1 ,即 5x2 ? 9 y 2 ? 5a2 . 9 a a 5a

设直线 OC 的方程为 x ? my ? m ? 0? , B( x1,y1 ) , C ( x2,y2 ) .
? x ? my , 由? 2 得 5m2 y 2 ? 9 y 2 ? 5a2 , 2 2 5 x ? 9 y ? 5 a ?

所以 y 2 ?

5a . 5a 2 .因为 y ? 0 ,所以 y ? 2 2 5m2 ? 9 5m2 ? 9

?? 8 分

→ 1→ 因为 AB ? 2 OC ,所以 AB // OC .可设直线 AB 的方程为 x ? my ? a .
? x ? my ? a , 由? 2 得 (5m2 ? 9) y 2 ? 10amy ? 0 , 2 2 5 x ? 9 y ? 5 a ?

所以 y ? 0 或 y ? 102am ,得 y1 ? 102am . 5m ? 9 5m ? 9

?? 11 分

→ 1→ 因为 AB ? 2 OC ,所以 ? x1 ? a ,y1 ? ? 1 x2,1 y2 ,于是 y2 ? 2 y1 , 2 2 即
5a ? 202am ? m ? 0? ,所以 m ? 3 . 2 5 5m ? 9 5m ? 9

?

?

所以直线 AB 的斜率为 1 ? 5 3 . m 3
0) . 法二:由(1)可知,椭圆方程为 5x2 ? 9 y 2 ? 5a2 ,则 A(?a ,

?? 14 分

设 B( x1,y1 ) , C ( x2,y2 ) . → 1→ 由 AB ? 2 OC ,得 ? x1 ? a ,y1 ? ? 1 x2,1 y2 , 2 2 所以 x1 ? 1 x2 ? a , y1 ? 1 y2 . 2 2 因为点 B,点 C 都在椭圆 5x2 ? 9 y 2 ? 5a2 上,
?5x2 2 ? 9 y2 2 ? 5a 2 , ? 2 2 所以 ? 1 y2 5 x ? a ? 9 ? 5a 2 . ? 2 2 2 ?

?

?

?? 8 分

?

? ? ?

解得 x2 ? a , y2 ? 5a , 4 4 3 所以直线 AB 的斜率 k ?
y2 5 3 ? . x2 3

?? 12 分 ?? 14 分

18. (本小题满分 16 分) 一缉私艇巡航至距领海边界线 l(一条南北方向的直线)3.8 海里的 A 处,发现在其北偏 东 30° 方向相距 4 海里的 B 处有一走私船正欲逃跑,缉私艇立即追击.已知缉私艇的最 大航速是走私船最大航速的 3 倍.假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行. (1)若走私船沿正东方向逃离,试确定缉私艇的追击方向,使得用最短时间在领海内拦截 成功; (参考数据: sin17 ° ? 3 , 33 ? 5.7446 ) 6 (2)问:无论走私船沿何方向逃跑,缉私艇是否总能在领海内成功拦截?并说明理由. 解: (1)设缉私艇在 C 处与走私船相遇(如图甲) , 依题意, AC ? 3BC . 在△ ABC 中,由正弦定理得,
sin ?BAC ? BC sin ?ABC ? sin120 ? 3 . AC 3 6
?

北 ?? 2 分 30° A

l 领海 公海 B

因为 sin17 ° . ? 3 ,所以 ?BAC ? 17 ° 6 从而缉私艇应向北偏东 47 ? 方向追击. 在△ ABC 中,由余弦定理得,
2 2 2 cos120? ? 4 ? BC ? AC , 8BC

(第 18 题)

?? 5 分 B C

解得 BC ? 1 ? 33 ? 1.68615 . 4 又 B 到边界线 l 的距离为 3.8 ? 4sin 30? ? 1.8 . 因为 1.68615 ? 1.8 ,所以能在领海上成功拦截走私船.

A

图甲

?? 8 分

(2)如图乙,以 A 为原点,正北方向所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系 xOy . 则 B 2 ,2 3 ,设缉私艇在 P( x ,y ) 处(缉私艇恰好截住走私船的位置)与走私 船相遇,则 PA ? 3 ,即 PB
x2 ? y2 ( x ? 2)2 ? y ? 2 3 ?3.

?

?

y

l 领海 公海 B 60
?

?

?

2

整理得, x ? 9 ? y ? 9 3 ? 9 , 4 4 4

? ? ?
2

?

2

?? 12 分

A

图乙

x

所以点 P( x ,y ) 的轨迹是以点 9 ,9 3 为圆心, 4 4
3 为半径的圆. 2

?

?

因为圆心 9 ,9 3 到领海边界线 l : x ? 3.8 的距离为 1.55,大于圆半径 3 , 2 4 4 所以缉私艇能在领海内截住走私船. 答: (1)缉私艇应向北偏东 47 ? 方向追击; (2)缉私艇总能在领海内成功拦截走私船. ?? 16 分 ?? 14 分

?

?

19. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x ) ? 1x , g ( x ) ? ln x ,其中 e 为自然对数的底数. e (1)求函数 y ? f ( x ) g ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程; (2)若存在 x1 ,x2 ? x1 ? x2 ? ,使得 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ? ? f ( x2 ) ? f ( x1 )? 成立,其中 ? 为常数, 求证: ? ? e ; (3)若对任意的 x ? ?0 , 1? ,不等式 f ( x ) g ( x ) ≤ a( x ? 1) 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解: (1)因为 y ? f ( x) g ( x) ?
1 ? e x ? ln x ? e x 1 ? ln x ln x x ? ,所以 y ? ? x x ,故 y? x ?1 ? 1 . x 2 e e ex ?e ?

所以函数 y ? f ( x ) g ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程为 y ? 1 ( x ? 1) , e 即 x ? ey ? 1 ? 0 . ?? 2 分

(2)由已知等式 g ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ? ? f ( x2 ) ? f ( x1 )? 得 g ( x1 ) ? ? f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? ? f ( x2 ) .
x ?x . 记 p( x ) ? g ( x ) ? ? f ( x ) ? ln x ? ? ,则 p?( x ) ? e ? x x e xe

?? 4 分

假设 ? ≤ e . ① 若 ? ≤ 0 ,则 p?( x) ? 0 ,所以 p( x) 在 ? 0, +? ? 上为单调增函数. 又 p( x1 ) ? p( x2 ) ,所以 x1 ? x2 ,与 x1 ? x2 矛盾. ② 若 0 ? ? ≤ e ,记 r ( x) ? e x ? ? x ,则 r ?( x) ? e x ? ? . 令 r ?( x) ? 0 ,解得 x0 ? ln ? . 当 x ? x0 时, r ?( x) ? 0 , r ( x) 在 ? x0, ? ? ? 上为单调增函数; ?? 6 分

当 0 ? x ? x0 时, r ?( x) ? 0 , r ( x) 在 ?0 ,x0 ? 上为单调减函数.
( 1 ? ln ? )≥0 ,所以 p?( x) ≥ 0 , 所以 r( x ) ≥ r( x0 )=?

所以 p( x) 在 ? 0, +? ? 上为单调增函数. 又 p( x1 ) ? p( x2 ) ,所以 x1 ? x2 ,与 x1 ? x2 矛盾. 综合①②,假设不成立,所以 ? ? e . (3)由 f ( x ) g ( x ) ≤ a( x ?1) 得 ln x ? ae x ( x ? 1) ≤ 0 . 记 F(x)= ln x ? aex ( x ? 1) , 0 ? x ≤ 1 ,
1 ?a . 则 F ?(x)= 1 ? axe x ? xe x 2 x x ex
1 ≥ 1 , xe x ? 0 ,所以 F ?(x)≥ 0 , ① 当 a ≤ 1 时,因为 2 e x ex e

?? 9 分

?

?

所以 F(x)在 ? 0, +?? 上为单调增函数,所以 F(x)≤ F (1) = 0 , 故原不等式恒成立. ② 法一:
3 当 a ? 1 时,由(2)知 e x ≥ ex , F ? (x)≤ 1 ? aex 2 ? 1 ? aex , e x x

?? 12 分

当 ? ae ?

?1 3

(x) ? 0 , F ( x) 为单调减函数, ? x ? 1 时, F ?

所以 F(x) ? F (1) = 0 ,不合题意. 法二: 当 a ? 1 时,一方面 F ?(1)=1 ? ae ? 0 . e

另一方面, ?x1 ? 1 ? 1 , F ? (x1)≥ 1 ? aex1 ? x1 12 ? ae ? x1ae ?ae ? 1? ? 0 . ae x1 x1
? ?) 上为单调减函数, 1) ,使 F ? 所以 ?x0 ? ( x1 , (x0 )=0 ,又 F ?(x) 在 (0 ,
1) 上为单调减函数, 所以当 x0 ? x ? 1 时, F ?(x) ? 0 ,故 F(x)在 ( x0 ,

?

?

所以 F(x) ? F (1) = 0 ,不合题意. 综上, a ≤ 1 . e ?? 16 分

20. (本小题满分 16 分)

设数列 ? an ? 的前 n 项和为 Sn ?n ? N* ? ,且满足: ① a1 ? a2 ;② r ?n ? p? Sn?1 ? ?n2 ? n? an ? ?n2 ? n ? 2? a1 ,其中 r ,p ? R , 且 r ? 0 . (1)求 p 的值; (2)数列 ? an ? 能否是等比数列?请说明理由; (3)求证:当 r ? 2 时,数列 ? an ? 是等差数列. 解: (1)n ? 1 时, r (1 ? p)S2 ? 2a1 ? 2a1 ? 0 , 因为 a1 ? a2 ,所以 S2 ? 0 , 又 r ? 0 ,所以 p ? 1. (2) ? an ? 不是等比数列.理由如下: 假设 ? an ? 是等比数列,公比为 q, 当 n ? 2 时, rS3 ? 6a2 ,即 ra1 (1 ? q ? q2 ) ? 6a1q , 所以 r(1 ? q ? q2 ) ? 6q , (i) ?? 4 分 ?? 2 分

当 n ? 3 时, 2rS4 ? 12a3 +4a1 ,即 2ra1 (1 ? q ? q2 ? q3 ) ? 12a1q2 ? 4a1 , 所以 r(1 ? q ? q2 ? q3 ) ? 6q2 ? 2 , (ii) ?? 6 分

由(i) (ii)得 q ? 1,与 a1 ? a2 矛盾,所以假设不成立. 故 ? an ? 不是等比数列. (3)当 r ? 2 时,易知 a3 ? a1 ? 2a2 . 由 2(n ? 1)Sn?1 ? (n2 ? n)an ? (n2 ? n ? 2)a1 ,得
n ≥ 2 时, 2Sn?1 ?

?? 8 分

n(n ? 1)an (n ? 1)(n ? 2)a1 , ? n ?1 n ?1



2Sn? 2 ?

(n ? 1)(n ? 2)an?1 (n ? 1)(n ? 2)a1 ,② ? n n
(n ? 1)( n ? 2) an ?1 n( n ?1) an (n2 ? n ? 2) a1 ? ? , n n ?1 n(n ? 1)

②?①得, 2an ? 2 ? 即 2(an? 2 ? a1 ) ?

?? 11 分

(n ? 1)(n ? 2)(an?1 ? a1 ) n(n ? 1)(an ? a1 ) , ? n n ?1

2(an? 2 ? a1 ) (n ? 2)(an?1 ? a1 ) n(an ? a1 ) , ? ? n ?1 n n ?1



an?2 ? a1 an?1 ? a1 n an?1 ? a1 an ? a1 ? ? ? n ?1 n 2 n n ?1 ?

?

?
? ?

n(n ? 1) an ? a1 an?1 ? a1 ? 2?2 n ?1 n?2

?

? ??

?
所以

n(n ? 1) ????3 ? 2 a3 ? a1 a2 ? a1 ? ? 0, 2 ? 2 ????? 2 3 ?1 2 ?1

?

an ? a1 an?1 ? a1 a ?a ? ? ??? ? 2 1 , n ?1 n?2 1 an ? a1 ? d (n ≥ 2) . n ?1

令 a2 ? a1 ? d,则

?? 14 分

所以 an ? a1 ? (n ? 1)d (n ≥ 2) . 又 n ? 1 时,也适合上式, 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d (n ? N* ) . 所以 an?1 ? an ? d (n ? N* ) . 所以当 r ? 2 时,数列 ? an ? 是等差数列. ?? 16 分

数学Ⅱ(附加题)
21. 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题,并在相应的 答题区域内作答 . ............ ....... 若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.[选修 4-1:几何证明选讲](本小题满分 10 分) 如图,已知△ABC 内接于⊙O,连结 AO 并延长交⊙O 于点 D, ?ACB ? ?ADC . 求证: AD ? BC ? 2 AC ? CD . 证明:连结 OC. 因为 ?ACB ? ?ADC , ?ABC ? ?ADC , 所以 ?ACB ? ?ABC . 因为 OC ? OD,所以 ?OCD ? ?ADC . 所以 ?ACB ? ?OCD . 所以△ ABC ∽△ ODC . 所以 AC ? BC ,即 AC ? CD ? OC ? BC . OC CD 因为 OC ? 1 AD ,所以 AD ? BC ? 2 AC ? CD . 2 A C 事 D 项 考 B 生 ?? 3 分 (第 21—A 题) 在 答 各 题 ?? 8 分 答 题 要 求?? 10 分 O 1 B.[选修 4-2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)
? 1 2 ? ? ?1 ?2 ? ?? 设矩阵 A 满足: A ? ,求矩阵 A 的逆矩阵 A ?1 . ? ? ?0 6 ? ? 0 3 ? ?a b ? ? a b ? ? 1 2 ? ? ?1 ?2 ? 解:法一:设矩阵 A ? ? ,则 ? ?? ?? ? ?, ? ? c d ? ?0 6 ? ? 0 3 ? ?c d ?

所以 a ? ?1 , 2a ? 6b ? ?2 , c ? 0 , 2c ? 6d ? 3 .
? ?1 0 ? 解得 b ? 0 , d ? 1 ,所以 A ? ? 1? . 2 ?0 ? ? 2?

. 本 试 卷 题 前 认 真 阅 ?? 4 分 读 本 ?? 6 分 注 意 事 项 及 共 4

? ?1 0 ? 根据逆矩阵公式得,矩阵 A?1 ? ? ?. ? 0 2? ? 1 2 ? ? ?1 ?2 ? ?1 法二:在 A ? ? ? ? 0 3 ? 两边同时左乘逆矩阵 A 得, 0 6 ? ? ? ? ?1 ?2 ? ?1 2 ? ?1 ? ?0 6 ? ? A ? 0 3 ? . ? ? ? ? ?a b ? ? 1 2 ? ? a b ? ? ?1 ?2 ? 设 A ?1 ? ? ,则 ? ?, ? ?? ? ? ? ?c d ? ?0 6 ? ? c d ? ? 0 3 ?

?? 10 分

?? 4 分

所以 ? a ? 1 , ?2a ? 3b ? 2 , ?c ? 0 , ?2c ? 3d ? 6 .
? ?1 0 ? 解得 a ? ?1 , b ? 0 , c ? 0 , d ? 2 ,从而 A?1 ? ? ?. ? 0 2?

?? 6 分 ?? 10 分

C.[选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)

? 2 3 1 2 ? ?x ? ? 2 ? 2 l , ?x ? 8 t , 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 ? (l 为参数)与曲线 ? ( t 为参数) ?y ? t ?y ? 2 l ? ? 2
相交于 A , B 两点,求线段 AB 的长.
1 2 ? ?x ? 8 t , 解:法一:将曲线 ? ( t 为参数)化为普通方程为 y 2 ? 8 x . ? ?y ? t

?? 3 分

? 2 3 ?x ? ? 2 ? 2 l , 将直线 ? ( l 为参数)代入 y 2 ? 8 x 得, ?y ? 2 l ? 2
l 2 ? 8 2l ? 24 ? 0 ,

?? 6 分

解得 l1 ? 2 2 , l2 ? 6 2 . 则 l1 ? l2 ? 4 2 , 所以线段 AB 的长为 4 2 .
1 2 ? ?x ? 8 t , 法二:将曲线 ? ( t 为参数)化为普通方程为 y 2 ? 8 x , ?y ? t ?

?? 10 分 ?? 3 分

? 2 3 ?x ? ? 2 ? 2 l , 将直线 ? ( l 为参数)化为普通方程为 x ? y ? 3 ? 0 , ?? 6 分 2 2 ?y ? l ? 2
1 9 ? y 2 ? 8x , ? ?x ? 2 , ? ?x ? 2, ? 由? 得, 或 ? ? x? y? 3 ?0 ? ? ? ?y ? 2 ? y ? 6. ? 2

所以 AB 的长为

? 1 ? ?6 ? 2? ?9 2 2?
2

2

?4 2.

?? 10 分

D.[选修 4-5:不等式选讲](本小题满分 10 分) 设 x, ? 1 ? 1 ≥ xy ? yz ? zx . y, z 均为正实数,且 xyz ? 1 ,求证: 1 x3 y y 3 z z 3 x 证明:因为 x , y, z 均为正实数,且 xyz ? 1 ,
? xz ≥ 2 ? 2 xy . 所以 1 ? xy ≥ 2 ? 2 yz , 1 ? yz ≥ 2 ? 2 xz , 1 z x y z3x x3 y y3 z

?? 8 分 ?? 10 分

所以 1 ? 1 ? 1 ≥ xy ? yz ? zx . x3 y y 3 z z 3 x

【必做题】第 22、23 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解答时应 ....... 写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 某乐队参加一户外音乐节,准备从 3 首原创新曲和 5 首经典歌曲中随机选择 4 首进行演唱. (1)求该乐队至少演唱 1 首原创新曲的概率; (2)假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为 a(a 为常数) ,演唱一首经典歌曲观 众与乐队的互动指数为 2a.求观众与乐队的互动指数之和 X 的概率分布及数学期望. 解: (1)设“至少演唱 1 首原创新曲”为事件 A , 则事件 A 的对立事件 A 为: “没有 1 首原创新曲被演唱” . 所以 P ( A) ? 1 ? P A ? 1 ?

? ?

4 C5 ? 13 . 4 14 C8

答:该乐队至少演唱 1 首原创新曲的概率为 13 . 14

?? 4 分

(2)设随机变量 x 表示被演唱的原创新曲的首数,则 x 的所有可能值为 0,1,2,3. 依题意, X ? ax ? 2a ? 4 ? x ? ,故 X 的所有可能值依次为 8a,7a,6a,5a. 则 P ( X ? 8a ) ? P ( x ? 0) ?
4 C5 ? 1 , 4 14 C8

P ( X ? 7a ) ? P ( x ? 1) ? P ( X ? 6a ) ? P ( x ? 2) ? P ( X ? 5a ) ? P ( x ? 3) ?

3 C1 3C5 ? 3, 4 7 C8 2 2 C3 C5 3 ? , 4 7 C8 1 C3 3C5 ? 1 . 4 14 C8

从而 X 的概率分布为:

X

8a
1 14

7a
3 7

6a
3 7

5a
1 14

P

?? 8 分

所以 X 的数学期望 E ? X ? ? 8a ? 1 ? 7a ? 3 ? 6a ? 3 ? 5a ? 1 ? 91 a .?? 10 分 14 7 7 14 14

23. (本小题满分 10 分)

a2 , ??? , an ? 经 m 次变换后得到数组 bm ,1 , 设 n≥2 , n ? N* .有序数组 ? a1 , bm ,2 , ??? , bm ,n ,
其中 b1,i ? ai ? ai ?1 , bm ,i ? bm?1,i ? bm?1,i ?1 ( i ? 1,2, ??? ,n) , an?1 ? a1 , bm?1,n?1 ? bm?1,1 ( m≥2) .

?

?

2, 3? 经 1 次变换后得到数组 ?1 ? 2 , 2 ? 3, 3 ? 1? ,即 ?3 , 5, 4? ;经第 例如:有序数组 ?1,

9, 7? . 2 次变换后得到数组 ?8 ,
2, ??? , n) ,求 b3 ,5 的值; (1)若 ai ? i (i ? 1,
j (2)求证: bm ,i ? ? ai ? j Cm ,其中 i ? 1,2, ??? ,n. j ?0 m

(注:当 i ? j ? kn ? t 时, k ? N* , t ? 1,2, ??? ,n,则 ai ? j ? at . ) 解: (1)依题意, ?1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ??? , n? 经 1 次变换为: ?3,, 5 7, 9, 11, 13, 15 ,??? , n ? 1? ,
12, 16 , 20 , 24 , 28 ,??? , n ? 4? , 经 2 次变换为: ?8 , 28 , 36 , 44 , 52 ,??? , n ? 12? , 经 3 次变换为: ? 20,

所以 b3,5 ? 52 .
m

?? 3 分

j 2, ??? , n. (2)下面用数学归纳法证明对 m ? N* , bm ,i ? ? ai ? j Cm ,其中 i ? 1, j ?0

2, ??? , n ,结论成立; (i)当 m ? 1 时, b1,i ? ai ? ai ?1 ? ? ai ? j C1j ,其中 i ? 1,
j ?0 k

1

(ii)假设 m ? k (k ? N* ) 时, bk ,i ?

?a
j ?0

i? j

2, ??? , n . ?? 5 分 Ckj ,其中 i ? 1,

则 m ? k ? 1 时, bk ?1,i ? bk ,i ? bk ,i ?1
? ? ai ? j Ckj ? ? ai ? j ?1Ckj
j ?0 j ?0 k k ?1 j ?1 k k

? ? ai ? j Ckj ? ? ai ? j Ckj ?1
j ?0 k

j j ?1 k ? ai C0 k ? ? ai ? j ? Ck ? Ck ? ? ai ? k ?1Ck j ?1

j k ?1 ? ai C0 k ?1 ? ? ai ? j Ck ?1 ? ai ? k ?1Ck ?1 j ?1

k

j ? ? ai ? C j ?k 1 , j ?0

k ?1

所以结论对 m ? k ? 1 时也成立.
j 2, ??? , n . ?? 10 分 由(i) (ii)知, m ? N* , bm ,i ? ? ai ? j Cm ,其中 i ? 1, j ?0 m


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