nbhkdz.com冰点文库

第六讲:抽象函数问题的题型与解题策略(讲义)

时间:2019-01-28

第六讲:抽象函数问题的题型与解题策略
所谓抽象函数,是指没有给出具体的函数解析式,只给出一些特 殊条件或特征的函数。解决这类问题,需要我们由条件去判断或推出该 函数的性质(单调性,奇偶性,周期性),从而达到解题的目的。由于 抽象函数表现形式的抽象性,使得这类问题成为函数内容的难点之一。 解答这类题目,要求学生思维灵活,深刻,善于联想。面对抽象函数数 学题,我们的解题思路一般不外乎①合理赋值,化抽象为具体;②作恒 等变形,找出该函数规律性、特征性特点;③分类讨论,归纳出抽象函 数的实质问题。解答抽象函数题目有两招:“找模型”,“分类型”。 一、“找模型”.在中学数学教材中,大多都能找到所涉及到的抽象函 数的具体函数模型。虽不能用它来代替具体证明,但却能找到这些抽象 函数的若干性质的证明途径,特别是不需解题过程或证明过程的填空 题、选择题,直接用具体函数求解,得出答案即可。常见的抽象函数模 型有:(1)、线性函数模型。若f(x)定义域为D,对任意的a,bD,有 f(a+b)=f(a)+f(b),则其模型为:f(x)=kx.(2)、指数函数模型。若f(x) 定义域为D,对任意的a,bD,有f(a+b)=f(a)×f(b),则其模型为: f(x)=ax.(3)、对数函数模型。若f(x)定义域为D,对任意a,bD,有 f(ab)=f(a)×f(b),则其模型为f(x)=logax.(4)、三角函数模型。若 f(x)定义域为D,对任意的a,bD,有f(a+b)=2,则其模型为:f(x)=cosx. (模型还很多,这里不再一一赘述)。二、分类型。常见的有以下的类 型:(一)、f[g(x)]≥(≤)f[h(x)]型,(其中g(x)与h(x) 都是关于x 的确定解析式)。(二)、f[g(x)]≥(≤)a型,(其中g(x)是关于x的确 定解析式,a为常数)。

[范例与方法]
1、 求定义域 这类问题只要紧紧抓住:将函数中的看作一个整体,相当于中的x这 一特性,问题就会迎刃而解。这类问题的一般形式是: 已知函数f(x)的定义域是A,求函数的定义域。(或逆向问题) 正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。这类 问题实质上相当于已知的值域B,且,据此求x的取值范围。 例1. (1)数的定义域为,则函数的定义域是 . (2) 知的定义域为,则的定义域是___ .

二、求函数值问题 这类问题要紧扣已知条件进行迭代变换,经有限次迭代可直接求出 结果,或者在迭代过程中发现函数具有周期性,利用周期性使问题巧妙 获解。 例2、 (1)已知定义域为的函数f(x),同时满足下列条件:①;②, 求f(3),f(9)的值。

(2)已知是定义在R上的函数,且满足:,,求的值。

(3)定义在R上的函数满足:且,求的值。

(4)已知上有意义且为增函数,并且满足,则

(5)、函数f (x)定义在整数集上,且满足, 则 。 (6)设的函数,对于任意正实数x, ,求①的值;②求最小的实数x,使得

(7)设的定义域是N,且同时满足① ②求.

三、解析式问题 例3、(1)、已知,则= . (2)、已知函数f (x)是二次函数,且,求函数f (x)和g(x)的表达式.

(3)、设f (x)定义在正整数集上,且f (1)=1,f (x+y)=f (x)+f (y)+xy. 求f (x).

(4)、 设对满足的所有实数x,函数满足,求f(x)的解析式。

(5)、 设函数存在反函数,与的图象关于直线对称,则函数

四、单调性及单调区间问题 这类问题根据函数的奇偶性、单调性等有关性质,画出函数的示意 图,以形助数,问题迅速获解。 例4、 (1)如果奇函数在区间上是增函数且有最小值为5,那么在区间上是( ) A. 增函数且最小值为 C. 减函数且最小值为 B. 增函数且最大值为 D. 减函数且最大值为

(2) 设f(x)定义于实数集上,当时,,且对于任意实数x、y,有,求证: 在R上为增函数。 (3)已知为偶函数,且当时单调递减,求函数的单调递增区间。

评注:(1)讨论复合函数单调性时,要注意内层函数值域必须是外 层函数的定义域的子集。(2)单调区间有两个及其以上时不能 用“”表示。 五、奇偶性问题 这类问题要根据已知条件,通过恰当的赋值代换,寻求与的关系。 例5 (1)已知函数对任意不等于零的实数都有,试判断函数f(x)的奇 偶性。

练习:若函数对任意不等于零的实数都有,试判断函数f(x)的奇偶性。

(2) 若函数与的图象关于原点对称,求证:函数 是偶函数。

六、值域问题 例6(1)已知函数对任意实数都有,且当时, ,求在上的值域。

(2) 设函数f(x)定义于实数集上,对于任意实数x、y,总成立,且存在,使 得,求函数的值域。

七、比较函数值大小 这类问题要利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数 的单调区间内,然后利用其单调性使问题获解。 例7、 已知函数是定义域为R的偶函数,时,是增函数,若,, 且,则的大小关系是_______。

八、对称性问题 例8(1)已知函数满足,求的值。

(2)已知函数f(x)在[2,+上为减函数,且f(1-x)=f(3+x),试 解关于x的不等式:。

九、研究函数的图象 这类问题只要利用函数图象变换的有关结论,就可获解。 例9(1) 若函数是偶函数,则的图象关于直线_______对称。 (2)若函数的图象过点(0,1),则的反函数的图象必过定点 ______。

(3)若函数的图象过点P(0,1),那么函数的图象必过定点______。

十、探求周期性 这类问题较抽象,一般解法是仔细分析题设条件,通过类似,联想 出函数原型,通过对函数原型的分析或赋值迭代,获得问题的解。 例10(1)设定义在R上且对任意的有,求证:是周期函数,并找出 它的一个周期。

(2)、已知函数f(x)定义域R,满足对任意的x、yR有f(x+y)+f(x-y)=2 f(x)f(y), f(0) 0, f()=0,⑴求证:f(x)是偶函数.⑵. 求证:f(x)是 周期函数.

十一、讨论不等式的解 这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值,再通过 函数的单调性去掉函数符号“”,转化为代数不等式求解。 例11(1) 已知函数是定义在上的减函数,且对一切实数x,不等式恒成立, 求k的值。 (2)已知函数对任意有,当时,,,求不等式的解集。

(3)设是奇函数,且在上是增函数,又求不等式的解集.

(4)设定义在R上的函数,满足当时,,且对任意的 ①解不等式; ②解方程.

十二. 综合问题求解 抽象函数的综合问题一般难度较大,常涉及到多个知识点,抽象思 维程度要求较高,解题时需把握好如下三点:一是注意函数定义域的应 用,二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“”前的“负号”,三是利用 函数单调性去掉函数符号“”。 例12、设定义在上的函数满足:①对② (I)求证;对任意的正实数x,y都成立.

(II)证明函数在上是增函数. (III)若,求x的取值范围。

例13、已知是定义在R上且不恒为0的函数,对任意的实数a,b都满足. (1)求的值. (2)判断的奇偶性,并证明你的结论。 (3)若,求证:()

例14、已知函数)满足对任意实数都有,且. (1)求f(1)的值; (2)证明:对一切大于1的正整数,恒有 (3)试求满足的整数的个数,并说明理由.

例15、已知定义在R上的函数对任意的实数都有成立,且方程有最小的 正根 c 存在。求证:

(1)且是偶函数.(2)是周期函数.(3)


第六讲:抽象函数问题的题型与解题策略(讲义).pdf

第六讲:抽象函数问题的题型与解题策略(讲义) - 第六讲:抽象函数问题的题型与解

抽象函数问题的题型与解题策略.doc

竞赛辅导之 《抽象函数问题的题型与解题策略》 第 1 页 第六讲:抽象函数问题的题型与解题策略 所谓抽象函数,是指没有给出具体的函数解析式,只给出一些特殊条件...

抽象函数的若干题型及其解题策略.pdf

抽象函数的若干题型及其解题策略_数学_自然科学_专业资料。中学数学论文 绝对好用 欢迎下载 复习参考 ( 2011 年第 9 期高中版) 55 抽象函数的若干题型...

抽象函数问题类型及解题策略.doc

抽象函数问题类型及解题策略湖北省枣阳市鹿头中学 田伟 抽象函数是指没有给出...抽象函数问题的题型与解... 7页 1下载券 抽象函数的解题策略 4页 3下载...

抽象函数问题(讲义习题).doc

抽象函数问题(讲义习题)_数学_高中教育_教育专区。...它是中 学数学中的一个难点,因为抽象,学生解题时...

抽象函数问题的解题策略.doc

抽象函数问题的解题策略鄂尔多斯市 东联现代中学 抽象函数是指没有给出具体的解析式

第六讲:抽象函数问题的题型与解题策略(讲义).doc

竞赛辅导之 《抽象函数问题的题型与解题策略》 第 1 页 第六讲:抽象函数问题的题型与解题策略所谓抽象函数,是指没有给出具体的函数解析式,只给出一些特殊条件或...

抽象函数与解题策略.ppt

抽象函数问题的解题策略 15页 10财富值 抽象函数问题的题型与解题... 7页

抽象函数基本类型及基本解题策略.doc

高中数学抽象函数的基本题型以及基本解题策略 ...学生对解有关函数记号 f ( x ) 的问题感到困难,...六、奇偶性问题 例 7. 已知函数 的奇偶性。 解:...

抽象函数综合题的解题策略.doc

抽象函数综合题的解题策略_数学_高中教育_教育专区。...或换 x 为 等来解答有关抽象函数的其它一些问题....二、数形结合 根据题目所给的函数有关的性质和...

讲义DIY-抽象函数-第三讲-抽象函数问题的题型综述.doc

讲义DIY-抽象函数-第一讲-... 7页 2财富值 抽象函数问题的题型综述 25页 ...因为抽象,学生解题时思维常常受阻,思路难以展开,教师对教材也 难以处理,而高考中...

抽象函数问题的解题策略2.doc

抽象函数问题的解题策略例 1 若函数 f(x)与 g(x)在 R 上有定义,且

抽象函数题的八种解题策略.pdf

抽象函数常见题型和解题策... 11页 10财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...

抽象函数问题的题型与解题策略.doc

抽象函数问题的题型与解题策略 抽象函数问题的题型与解题策略所谓抽象函数,是指没有

高三数学抽象函数与解题策略课件_图文.ppt

高三数学抽象函数与解题策略课件 - 抽象函数与解题策略 例题 : f(x)是R上

抽象函数的解题策略.pdf

科技信息 高校理科研究 抽象函数的解题策略山西生物应用职业技术学院 王剑红 [ 摘要 ] 因为抽象, 学生难以理解, 难以接受; 教师对教材难以处理, 但这类问题对于...

抽象函数终极讲义(学生).doc

抽象函数终极讲义(学生) - 抽象函数 教学目标: 1.掌握由具体函数模型来解决抽象函数问题; 2. 掌握用赋值法来解决抽象函数求值与奇偶性问题; 3.掌握抽象函数单调...

抽象函数问题的解题策略.doc

抽象函数问题的解题策略一、利用特殊模型 有些抽象函数问题,用常规解法很难解决,但

抽象函数经典习题.doc

抽象函数经典习题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。教育 VIP 精品讲义 抽象函数问题有关解法由于函数概念比较抽象,学生对解有关函数记号 f ( x ) 的问题感到...

抽象函数综合题的解题策略.doc

抽象函数综合题的解题策略_高一数学_数学_高中教育_...五、利用模型函数探路 抽象型函数问题的设计或编拟,...x(5x)≤4 六、数形结合 根据题目所给的函数...