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2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 2.1.4 平面与平面之间的位置关系

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2.1.3 空间中直线与平面之间

的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系

飞机航线所在直线与地面有哪些位置关系呢?
飞机双翅所在平面与地面有哪些位置关系呢?

思考

一支笔所在的直线与一个作业本所在的平面,可 能有几种位置关系?

1.了解空间中直线与平面、平面与平面的位置关系.
(重点)

2.会用图形语言、符号语言表示直线与平面、平面
与平面之间的位置关系. (难点)

3.培养空间想象能力.

一、直线与平面的位置关系

空间中直线与平面的位置关系有哪些?靠
什么来划分呢? 直线与平面的位置关系有且只有三种:
按照公共 点的个数 分类

①直线在平面内——有无数个公共点;
②直线与平面相交——有且只有一个公共点; ③直线与平面平行——没有公共点.

直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外.

(1)直线在平面内 (2)直线与平面相交
直线在平面外 (3)直线与平面平行

判断直线与平面的位置关系关键在于——判断 直线与平面的交点个数.

a

a A α

a
α α

直线在平面α内 直线与平面α相交
有无数个交点 a?α 有且只有一个交点 a ∩ α= A

直线与平面α平行
无交点 a∥α

下面画法错误的是:
a α a a α

α

直线应画在面内

直线与平面的位置关系
位置 关系 a在α 内 a与α 相交 有且仅有一个 公共点 a∩?=A a与α 平行 没有公共点 a∥?

公共点
符号表示 图形表 示

有无数个公共 点
a??

A

应用举例

例1

下列命题中正确的个数是( B )

①若直线l上有无数个点不在平面α 内,则l ∥α .

②若直线l与平面α 平行,则l与平面α 内的任意一
条直线都平行.

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那
么另一条也与这个平面平行. ④若直线l与平面α 平行,则l与平面α 内的任意一 条直线都没有公共点. (A )0 (B )1 (C )2 (D )3

解:可以借助长方体模型来看上述问题是否正确.

问题①不正确,相交时也符合.
问题②不正确, 如右图中,A'B与 平面DCC'D'平行, 但它与CD不平行,

问题③不正确.
另一条直线有可能在平面内,如AB∥CD,AB与平面DCC'D' 平行,但直线CD ? 平面DCC'D',

问题④正确,所以选B.

【变式练习】 已知直线a在平面α 外,则( D ) (A)a∥α (B)直线a与平面α 至少有一个公共点 (C)a?α =A (D)直线a与平面α 至多有一个公共点

问题探究 思考? 围成长方体的六个面,两两 之间的位置关系有几种?A′
D

D′

C′

B′ C

A

B

二、平面与平面之间的位置关系

1.两个平面平行—— 没有公共点;
2.两个平面相交—— 有一条公共直线.
?
?

只有两种 位置关系

?

a
? // ?
??? ?a

?

若M∈平面α ,M∈平面β ,则不同平面α 与β 的
位置关系是 ( B ) A.平行 C.重合 B.相交 D.不确定

【解析】由公理3知,α与β相交.

例2
如果三个平面两两相交,那么它们的交线有多少条? 画出图形表示你的结论.

答:有可能1条交线,也有可能3条交线.

( 1)

( 2)

1.若直线a不平行于平面α ,且 立的是( B ) A.α 内所有直线与a异面 B.α 内不存在与a平行的直线

a ? ? 则下列结论成

C.α 内存在唯一的直线与a平行 D.α 内的直线与a都相交

2.如果直线a∥平面α ,那么直线a与平面α 内的( D )

A.唯一一条直线不相交
B.仅两条相交直线不相交 C.仅与一组平行直线不相交 D.任意一条直线都不相交 【解析】根据直线和平面平行的定义,易知排除A,B. 对于C,仅有一组平行线不相交,不正确,应排除C. 与平面α内任意一条直线都不相交,才能保证直线a 与平面α平行,所以D正确.

3.平面α //平面β ,且a ?α ,下列四个命题: ①a与β 内的所有直线都平行; ②a与β 内的无数条直线平行;

③a与β 内的任一直线都不垂直;
④a与β 无公共点.
① ③ 其中错误命题的序号为__________.

4.如图所示,A′B 与长方体 ABCD-A′B′C′D′的六个 面所在的平面有什么位置关系?

【解析】 因为直线 A′B 与平面 ABB′A′有无数个公共点, 所以直线 A′B 在平面 ABB′A′内. 因为直线 A′B 与平面 ABCD, 平面 BCC′B′都有且只有一 个公共点 B, 所以直线 A′B 与平面 ABCD,平面 BCC′B′相交. 因为直线 A′B 与平面 ADD′A′, 平面 A′B′C′D′都有 且只有一个公共点 A′,

所以直线 A′B 与平面 ADD′A′, 平面 A′B′C′D′相交. 因为直线 A′B 与平面 DCC′D′没有公共点, 所以直线 A′B 与平面 DCC′D′平行.

(1)直线在平面内 直线与平面的位置关系 (2)直线与平面相交

(3)直线与平面平行

平面与平面相交 平面与平面的位置关系

平面与平面平行

不能因为人生的道路坎坷,就使自己的
身躯变得弯曲;不能因为生活的历程漫长,

就使求索的脚步迟缓。


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