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高中数学人教b版选修2-1练习:第三章 空间向量与立体几何 含解析

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阶段水平测试(三) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.在空间直角坐标系 Oxyz 中,P 点的坐标(x,y,z),P 点关于坐标平面 yOz 对称的对称点的坐标为( A. (-x,y,z) C. (x,-y,-z) ) B. (-x,-y,z) D. (-x,-y,-z) 解析:由对称的特点易知(x,y,z)关于 yOz 对称的坐标 y,z 不变,x 变为 相反数. 答案:A 2. 若平面 α、β 的法向量分别为 u=(2,-3,5),v=(-3,1,-4),则( A. α∥β C. α、β 相交但不垂直 解析:因为 答案:C 3.[2014· 桂林高二检测]已知空间四边形 ABCD,连结 AC、BD,设 M、G → → → 分别是 BC、CD 的中点,则 M G -A B +A D 等于( 3 → A. D B 2 → C. 3GM → → → 解析:M G -A B +A D → B. 3MG → D. 2M G ) -3 2 1 B. α⊥β D. 以上均不正确 ) ≠ -4 ≠ ,且 u· v≠0,所以 α、β 相交但不垂直. -3 5 → → → → → =M G -(A B -A D )=M G -D B → → → → =M G +B D =M G +2 M G → =3 M G . 答案:B → 4. 已知 A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),D(0,0,0),令 a=CA, → b=CB,则 a+b 为( A. (5,-9,2) C. (5,9,-2) → 解析:∵a=CA=(-1,0,-2), → b=CB=(-4,9,0),∴a+b=(-5,9,-2). 答案:B 5. 若 BC 在平面 α 内,斜线 AB 与平面 α 所成的角 γ,∠ABC=θ,AA′⊥平 面 α,垂足为 A′,∠A′BC=β,那么( A.cosθ=cosγ·cosβ C.cosγ=cosθ·cosβ ) B.sinθ=sinγ·sinβ D.cosβ=cosγ·cosθ ) B. (-5,9,-2) D. (5,-9,-2) 解析:利用公式 cosθ=cosθ1cosθ2 求解. 答案:A 6. 若 m⊥a,m⊥b,n=λa+tb(λ,t∈R,且 λ,t≠0),则( A. m∥n ) B. m⊥n C. m 与 n 不平行也不垂直 D. m 与 n 的关系以上三种都有可能 解析:m· n=m· (λa+tb)=λm· a+tm· b. ∵m⊥a,∴m· a=0.∵m⊥b,∴m· b=0. ∴m· n=0,∴m⊥n. 答案:B 7. [2014· 安徽省合肥一中月考]已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的 → → 长都等于 a,点 E,F 分别是 BC、AD 的中点,则AE· AF的值为( A. a2 1 4 B. 1 2 a2 3 4 ) C. a2 D. a2 → 1 → → → 1→ → → 1 → → → → 解析:如图,AE= (AB+AC),AF= AD,AE· AF= (AB· AD+AC· AD) 2 2 4 1 1 = (a2cos60° +a2cos60° )= a2. 4 4 答案:C 8.在以下命题中,不正确的个数为( ) ①|a|-|b|=|a+b|是 a、b 共线的充要条件; ②若 a∥b,则存在唯一的实数 λ,使 a=λb; → → → → ③对空间任意一点 O 和不共线的三点 A、B、C,若OP=2OA-2OB-OC, 则 P、A、B、C 四点共面; ④若{a,b,c}为空间的一个基底,则{a+b,b+c,c+a}构成空间的另一 个基底; ⑤|(a· b)· c|=|a|· |b|· |c|. A.2 C.4 B.3 D.5 解析: ①错应为充分不必要条件; ②错, 应强调 b≠0; ③错, ∵2-2-1≠1; ⑤错,根据数量积公式. 答案:C 9.空间四边形 ABCD 的各边及对角线长均为 1,E 是 BC 的中点,则( → → → → A.AE· BC<AE· CD → → → → B.AE· BC=AE· CD → → → → C.AE· BC>AE· CD → → → → D.AE· BC与AE· CD不能比较大小 解析:如右图 ) → → ,易证 AE⊥BC,故AE· BC=0,取 BD 中点 F,连接 EF,AF,则 EF∥CD. → → 3 1 在△AEF 中,AE=AF= ,EF= ,得∠AEF 是锐角,所以〈AE,EF〉是钝 2 2 → → → → 角,即〈AE,CD〉是钝角,所以AE· CD<0,故选 C. 答案:C 10.如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 内(含正方体表面) → 任取一点 M,平面 ABCD 的一个法向量为 n,且|n|=2,则 n· AM≥1 的概率 P =( A. ) 3 4 1 4 B. 1 2 1 8 C. D. 解析:本题考查空间向量与几何概型的概率.以点 A 为原点,分别以 AB, AD,AA1 所在的直线为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系,设 M(x,y,z),x, → y, z∈[0,2]. 因为 AA1⊥平面 ABCD, 且|AA1|=2, 所以 n=(0,0,2), 因为 n· AM≥1, 1 2 - → 2 3 1 所以 2z≥1,所以 ≤z≤2,所以 n· AM≥1 的概率 P= = ,故选 A. 2 2 4 答案:A 11. 如图所示, 在三棱柱 ABCA1B1C1 中, AA1⊥底面 ABC, AB=BC=AA1, ∠ABC=90° ,点 E、F 分别是棱 AB、BB1 的中点,则直线 EF 和 BC1 所成的角 是( ) A.45° C.90° B.60° D.120° → → → 解析:令BA=a,BC=b,BB1=c,则|a|=|b|=|c|. → → 1 →

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