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2012广州一模文科数学试题及答案

时间:2014-09-24


试卷类型:A
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的. 1.函数 y ?

1 的定义域为 x ?1
B. ? ??, ?1? C. ? ?1, ??? D. ? ?1, ?? ?

A. ? ??, ?1?

2.已知复数 a ? bi ? i ?1 ? i ? (其中 a, b ? R , i 是虚数单位) ,则 a ? b 的值为 A. ? 2 B. ? 1 C.0 D.2

3.如果函数 f ? x ? ? sin ? ? x ? A.1

? ?

? ?? ? ?? ? 0? 的最小正周期为 2 ,则 ? 的值为 6?
C.4 D.8

B.2

4.在△ ABC 中, ?ABC ? 60 , AB ? 2 , BC ? 3 ,在 BC 上任取一点 D ,使△ ABD 为钝角三角形的 概率为 A.

1 6

B.

1 3

C.

1 2

D.

2 3

5.如图 1 是一个空间几何体的三视图,则该几何体的侧面积 为 ...

4 3 A. 3
C.8

2 B. 4 3 D.12 2

2

2 2

2

正(主)视图

侧(左)视图

2

? x ? y ? 2≥0, ? 6.在平面直角坐标系中,若不等式组 ? x ? y ? 2≥0, 表示的 ? x≤t ?
平面区域的面积为4,则实数 t 的值为 A.1 B.2 7.已知幂函数 y ? m ? 5m ? 7 x
2

2 俯视图 D.4 图1

C.3

?

?

m ?6

2

在区间 ? 0, ??? 上单调递增,则实数 m 的值为 C.2 或 3 D. ?2 或 ?3

A.3

B.2

8. 已知两个非零向量 a 与 b , 定义 a ? b ? a b sin ? , 其中 ? 为 a 与 b 的夹角. 若 a = ? ?3, 4? , b = ? 0,2? ,

数学(文科)试题 A

第 1 页 共 4 页

则 a ? b 的值为 A. ? 8 B. ? 6 C. 6 D. 8

9.已知函数 f ? x ? ? 2x ? 1 ,对于任意正数 a , x1 ? x2 ? a 是 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? a 成立的 A.充分非必要条件 C.充要条件 B.必要非充分条件 D.既不充分也不必要条件

10.已知圆 O : x2 ? y 2 ? r 2 ,点 P ? a,b ? ( ab ? 0 )是圆 O 内一点,过点 P 的圆 O 的最短弦所在的直 线为 l1 ,直线 l2 的方程为 ax ? by ? r 2 ? 0 ,那么 A. l1∥l2 ,且 l2 与圆 O 相离 C. l1∥l2 ,且 l2 与圆 O 相交 B. l1 ? l2 ,且 l2 与圆 O 相切 D. l1 ? l2 ,且 l2 与圆 O 相离

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题)
2 11.若函数 f ? x ? ? ln x ? ax ? 1 是偶函数,则实数 a 的值为

?

?



12.已知集合 A ? x 1≤x≤3 , B ? x a≤x≤a ? 3 ,若 A ? B ,则实数 a 的取值范围为

?

?

?

?



13.两千多年前,古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小 石子来表示数,按照点或小石子能排列的形状对数进行分类,如图2中的实心点个数1,5,12,22,…, 被称为五角形数,其中第1个五角形数记作 a1 ? 1 ,第2个五角形数记作 a2 ? 5 ,第3个五角形数记作 第4个五角形数记作 a4 ? 22 , …, 若按此规律继续下去, 则 a5 ? a3 ? 12 , , 若 an ? 145 , 则n ? .

1

5

12

22 图2 B C A O P D

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图3,圆 O 的半径为 5 cm ,点 P 是弦 AB 的中点,

CP 1 OP ? 3 cm ,弦 CD 过点 P ,且 ? ,则 CD 的长为 CD 3

cm .

15. (坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系中,已知直线 l 与曲线 C 的 数学(文科)试题 A 第 2 页 共 4 页

图3

参数方程分别为 l : ?

? x ? t ? 2, ? x ? 1 ? s, ( s 为参数)和 C : ? ( t 为参数) , 2 y ? t ? y ? 1? s ?


若 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,则 AB ?

三、解答题:本大题共6小题,满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? tan ? 3x ?

? ?

?? ?. 4?
(2)若 f ?

(1)求 f ?

??? ? 的值; ?9?

?? ?? ? ? ? 2 ,求 cos 2? 的值. ? 3 4?
频率 组距

17. (本小题满分12分) 某校从高一年级学生中随机抽取 40 名学生, 将他们的期中考 试数学成绩(满分 100 分,成绩均为不低于 40 分的整数)分 成六段: ?40,50? , ?50,60? ,…, ?90,100? 后得到如图 4 的 频率分布直方图. (1)求图中实数 a 的值; (2)若该校高一年级共有学生 640 人,试估计该校高一年级 期中考试数学成绩不低于 60 分的人数; (3) 若从数学成绩在 ?40,50? 与 ?90,100? 两个分数段内的学 生中随机选取两名学生,求这两名学生的数学成绩之差 的绝对值不大于 10 的概率. 18. (本小题满分14分)

a
0.025 0.020

0.010 0.005 0 40 50 60 70 80 90 100(分数)

图4

如图 5 所示, 在三棱锥 P ? ABC 中, AB ? BC ? 6 ,平面 PAC ? 平面 ABC ,PD ? AC 于点 D ,

AD ? 1 , CD ? 3 , PD ? 2 . (1)求三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)证明△ PBC 为直角三角形.
A

P

D
B
图5

C

19. (本小题满分14分) 已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,它的前 n 项和为 Sn ,若 S5 ? 70 ,且 a2 , a7 , a22 成等比数列. (1)求数列 ?an ? 的通项公式;

数学(文科)试题 A

第 3 页 共 4 页

(2)设数列 ?

?1? 1 3 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: ≤Tn ? . 6 8 ? Sn ?

20. (本小题满分14分) 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? ax2 ? b ? a, b ? R ? . (1)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (2)若对任意 a ? ?3, 4? ,函数 f ( x ) 在 R 上都有三个零点,求实数 b 的取值范围.

21. (本小题满分14分) 已知椭圆 x ?
2

y2 ? 1的左、右两个顶点分别为 A 、 B .曲线 C 是以 A 、 B 两点为顶点,离心率为 5 4

的双曲线.设点 P 在第一象限且在曲线 C 上,直线 AP 与椭圆相交于另一点 T . (1)求曲线 C 的方程; (2)设点 P 、 T 的横坐标分别为 x1 、 x2 ,证明: x1 ? x2 ? 1; (3)设 ?TAB 与 ?POB (其中 O 为坐标原点)的面积分别为 S1 与 S2 ,且 PAgPB≤15 ,求 S12 ? S22 的取值范围

uu r uur

数学(文科)试题 A

第 4 页 共 4 页

广州 2012 一模文科数学解析
1、D 2、D 3、C 4、B 解析: x ? 1 ? 0 ? x ? ?1 ; 解析: a ? bi ? i ? 1 ? a ? 1, b ? 1 ; 解析: T ?
2?

?

?

?
2

?? ? 4

c o s? A B ? C 2 c o s 6? 0; 所 1 以 解 析 : 当 ?ADB ? 90 时 , B D? A B
BD 1 ? BC 3 该几何体为正四棱锥,正三角形的边为棱锥的侧面高,故侧面积为

P (?ADB ? 9 0 ? )

5、C 1 4? ? 2? 2 ? 8 ; 2 6、 B 7、A

1 作图可知该区域为三角形, 则面积为 t[(t ? 2) ? (2 ? t )] ? 4, t ? 0 , 解得 t ? 2 ; 2

由幂函数定义知 m2 ? 5m ? 7 ? 1 ? m ? 2, m ? 3 ,当 m ? 2 时, y ? x ?2 递减,

不满足条件,舍 去;当 m ? 3 时, y ? x3 递增,可取; 8、 C 9、B 由于 cos ? ?
ab a b ?
3 3 ?3 ? 0 ? 4 ? 2 4 6 ; 所以 sin ? ? , 故 a ? b ? 5 ?2 ? ? ? , 5 5 5? 2 5

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (2x1 ?1) ? (2x2 ?1) ? 2 x1 ? x2 ? a ,即 x1 ? x2 ?

a ,此可推 2

出 x1 ? x2 ? a ,故 为必要不充分条件; 10、A 为 由题意可知, kl1 ? ?
1 a ? ? ,又过点 P(a, b) ,故用点斜式可得 l1 方程 kOP b

ax ? by ? a2 ? b2 , 与 l2 : a?x ?b 2 y 平 r行 ; 因 圆 心 到 l2 的 距 离

d?

r2 a ?b
2 2

?

r2 r
2

? r (a 2 ? b 2 ? r 2 ) ,

故 l2 与圆相离。 11、 a ? 0 ,观察猜测可得

?a ? 1 12、 [0,1] ,解析: ? ? 0 ? a ?1 ?a ? 3 ? 3
数学(文科)试题 A 第 5 页 共 4 页

13 、 35 , 10

可 以 把 前 四 项 进 行 如 下 分 解 :

a1 ? 1, a2 ? 1 ? 4, a3 ? 1 ? 4 ? 7, a4 ? 1 ? 4 ? 7 ? 10 ,故 a5 ? 1 ? 4 ? 7 ? 10 ? 13 ? 35
an ? 1 ? 4 ? 7 ?
n ? 10 ;


n(1 ? 3n ? 3 ? 1) 3n2 ? n ? ? 145 ,解得 2 2

? [3(n ? 1) ? 1] ?

14、 6 2

设 CP ? x, PD ? 2 x ,由 P 是 AB 中点可知 AP ? BP ? 52 ? 32 ? 4 ,由

CP PD ? AP PB 求

得 x ? 2 2 ,故 CD ? 3 2 ; 15 、 2

?1 ? s ? t ? 2 解析: ? 两 式 相 加 可 解 得 t ? 0,t ? 1, 故 两 个 点 坐 标 为 2 ?1 ? s ? t

(2, 0), (3,1) , AB ? 2

3 4 ? 3 ? 1 ? ?2 ? 3 ; 16、 (1) f ( ) ? tan( ? ) ? 9 3 4 1 ? tan ? tan ? 1 ? 3 3 4 ? ? ? (2)因为 f ( ? ) ? 2 ,又 f ( x) ? tan(3 x ? ) ,所以 tan(? ? ? ) ? 2 即 tan ? ? 2 , 3 4 4 所以
sin ? ? ?
8 3 2 ,所以 cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? ? 1 ? ? ? 5 5 5

?

?

?

tan

?

? tan

?

17 、 ( 1 ) 由 频 率 分 布 直 方 图 可 得 10 ? 0.005 ? 2 ?10 ? 0.01 ? 10 ? 0.02 ? 10 ? 0.025 ? 10a ? 1 ,解得 a ? 0.03 ; ( 2 ) 由 频 率 分 布 直 方 图 可 得 , 数 学 成 绩 不 低 于 60 分 的 频 率 为
1 ? (10 ? 0.005 ? 10 ? 0.01) ? 0.85 ,故估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于

60 分的人数为 0.85 ? 640 ? 544 人。 (3)由频率分布直方图可得,数学成绩在 [40,50],[90,100] 这两个分数段内的学 生人数分别有 40 ?10 ? 0.005 ? 2 , 40 ?10 ? 0.01 ? 4 ,记 [40,50] 内的学生为 a , b ,
[90,100] 内的学生为 1,2,3,4 ,故从这两个分数段内随机取两名学生的情况有 (a , b ), (a ,1), ( a , 2), a ( , 3),a ( , 4), b( ,1) ,

数学(文科)试题 A

第 6 页 共 4 页

(b, 2),(b,3),(b, 4) , (1, 2), (1,3), (1, 4) , (2,3),(2, 4) , (3, 4) 共有 15 种,而数学成绩

只差的绝对值不大于 10 的情况有 (a, b), , (1, 2), (1,3), (1, 4) , (2,3),(2, 4) , (3, 4) 共 7 种,故所求概率为
7 。 15

D ?A CA ,C 18、 (1)因为平面 PAC ? 平面 ABC ,又 P

是平面 PAC 和平面 ABC 的

交线, 所以 PD ? 平面 ABC ,所以 PD 是三棱锥 P ? ABC 的高,且 PD ? 2 ;
B ? B C 在 AC 上取中点 E , 连接 BE , 又A

, 所以 BE 是 ?ABC 的高。 因为 AB ? 6 ,

AE ?

1 (1 ? 3) ? 2 , 所 以 BE ? ( 6) 2 ? 22 ? 2 , 故 三 棱 锥 P ? A B C的 体 积 2

V?

1 1 4 2 ?2 ? ? 2 ? ( 1 ?3 ) ? ; 3 2 3

(2)连接 BD 。因为在 Rt ?PDC 中, PD ? 2 , CD ? 3 ,所以 PC 2 ? 22 ? 32 ? 13 ;
?BAC ? 由 ( 1 ) 知 PD ? 平 面 ABC , 所 以 PD ? BD 。 因 为 c o s 2 ?3 6 2 ,所以 6

BD 2 ? AD 2 ? AB 2 ? 2 AD AB cos ?BAC ? 1 ? 6 ? 2 6 ?
P
2







?B

2

? P 7 ,又 D 2BC ? 2 ?B 6 ,所以 D BC 2 ? PB2 ? PC 2 ,所以 ?PBC 为直角三

角形。

?5a1 ? 10d ? 70 19、 (1)因为 S5 ? 70 , a2 , a7 , a22 成等比数列,所以 ? 2 ?(a1 ? 6d ) ? (a1 ? d )(a1 ? 21d )
?a ? 6 解得 ? 1 ,所以 an ? 6 ? 4(n ?1) ? 4n ? 2 ; ?d ? 4
(2) 由 (1) 知 Sn ? 故
Tn ? 1 1 ? ? S1 S2 ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ? ? ? ? ? ? ? Sn 4 1 3 2 4 3 5 4 6 ? 1 1 1 1 1 3 1 1 ? ? ? )? ( ? ? ) n ?1 n ? 1 n n ? 2 4 2 n ? 1 n ? 2

n( 6? 4 n? 2 ) 2

? 2n ( n? 2 ) , 所以

1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ), Sn 2 n(n ? 2) 4 n n ? 2

?

3 1 1 1 1 1 1 ? ( ? ) , 因 为 ( ? ? ) 8 4 n ?1 n ? 2 4 n? 1 n? 2

0 故 Tn ? ,

3 ; 因 为 8

Tn ?1 ? Tn ?

1 ? 0 , 所 以 数 列 {Tn } 递 增 , 又 n ? 1 , 所 以 2(n ? 3)(n ? 1)
数学(文科)试题 A 第 7 页 共 4 页

3 1 1 1 1 Tn ? ? ( ? )? 8 4 1?1 1? 2 6

20、 (1)由题意,可得 f ?( x) ? ?3x2 ? 2ax ? ? x(3x ? 2a) , ①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,故 f ( x) 无单调递增区间;
2a , 0) ; 3 2a ③当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? (0, ) ; 3

②当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? (

综上所述,当 a ? 0 时, f ( x) 无单调递增区间;当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递增区 间为 (
2a , 0) ; 3 2a ); 3 2a ) , f ( x) 递增; 由 f ?( x) ? 0 3

当 a ? 0 时, f ( x) 的单调递增区间为 (0,

(2) 由 (1) 知, 当 a ? [3, 4] 时, 由 f ?( x) ? 0 得 x ? (0,

2a 2a 4a 3 ? b ,极小 得 x ? (??, 0) ( , ??) , f ( x) 递减;故 f ( x) 有极大值为 f ( ) ? 3 3 27

? 4a 3 ?b ? 0 ? 值 为 f ( 0)? b , 要 使 得 f ( x) 在 R 上 有 三 个 零点 , 需满 足 ? 27 对任意 ?b ? 0 ?
a ? [3, 4] 恒成立。

?b ? ?4 故? 即 b ? (?4, 0) ?b ? 0
21、 (1)由题意可设曲线 C 的方程为 x 2 ?
y2 ? 1 ,由于该双曲线的离心率为 5 , b2



y2 c2 2 2 2 x ? ? 1; ,所以曲线 C 的方程为 ? 1 ? b ? 5 ? b ? 4 4 a2

(2)由题意可设直线 AP 方程为 y ? k ( x ? 1), k ? (0, 2) ,由(1)知曲线 C 方程为

( ? x1) ?y ? k y2 ? x ? ? 1 , 故 ? 2 y2 消 去 y 得 (4 ? k 2 ) x2 ? 2k 2 x ? (4 ? k 2 ) ? 0 , 故 4 ?1 ?x ? ? 4
2

数学(文科)试题 A

第 8 页 共 4 页

(?1) x1 ? ?

4 ? k2 4 ? k2 4 ? k2 x ? x ? 即 ,同理可得 ,故 x1 x2 ? 1 ; 1 2 4 ? k2 4 ? k2 4 ? k2

( 3 ) 设

P( 1 x ,

, T2 (, x 2 ,则 y 由 ) 1y )
2 ?4 x2 ( 1

x12 ?

y12 y2 2 ? 1, x2 ? 2 ?1 4 4

得 ,

2 y12 ? 4 ( x12 ? 1 y )2 ? ,

)
①;

由 PA PB ? 15 得, ( x1 ?1, y1 ) ( x1 ?1, y1 ) ? x12 ?1 ? y12 ? 5( x12 ?1) ? 15 即 x12 ? 4 由(1)知 x1 ?
4 ? k2 8 ? ? 1 ? 1(0 ? k ? 2) ②,故 1 ? x12 ? 4 ; 2 2 4?k 4?k

由题意可知, S1 ? y2 , S2 ?
2 所以 S12 ? S2 ? 5?(

y2 1 2 2 2 y1 ? S12 ? S2 ? y2 ? 1 ? 5 ? (4 x2 ? x12 ) ,又 x1 x2 ? 1 2 4

4 4 ? x12 ) ,因为 2 ? x12 ? 4 仅当 x12 ? 2 ? (1, 4] 时,等号成立,故 2 x1 x1

2 2 2 又当 x12 ? 4 时, 取得最小值 0, 所以 S12 ? S2 的取值范围为 [0,1] 。 S12 ? S2 ? 1, S12 ? S2

数学(文科)试题 A

第 9 页 共 4 页


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