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福建省厦门六中2018-2019学年高三(上)第一次段考数学试卷(文科)(解析版)

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福建省厦门六中 2018-2019 学年高三(上)第一次段考数学试卷(文科)(解析版)

福建省厦门六中 2018-2019 学年高三(上)第一次段考数 学试卷(文科)

一、选择题(本大题共 12 小题,共 60.0 分)

1. 函数

的最小值为

A. 1

B. 2

C.

【答案】D 【解析】解:





时,函数 y 取得最小值 .

故选:D. 利用两角和的正弦公式即可化为 数的单调性、最值即可得出. 本题属于基础题,熟练掌握两角和的正弦公式化 及正弦函数的单调性、最值是解题的关键.

D.
,进而利用正弦函 、

2. 已知正四面体 ABCD 中,E 是 AB 的中点,则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值 为

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】解:如图,

取 AD 中点 F,连接 EF,CF,

为 AB 的中点,



则 为异面直线 BD 与 CE 所成的角,

为正四面体,E,F 分别为 AB,AD 的中点,



设正四面体的棱长为 2a,









中,由余弦定理得:



1 / 13

故选:B.

由 E 为 AB 的中点,可取 AD 中点 F,连接 EF,则 为异面直线 CE 与 BD 所成角,

设出正四面体的棱长,求出

的三边长,然后利用余弦定理求解异面直线 CE 与 BD

所成角的余弦值.

本题考查异面直线及其所成的角,关键是找角,考查了余弦定理的应用,是中档题.

3. 已知 m 和 n 是两条不同的直线, 和 是两个不重合的平面,那么下面给出的条件

中一定能推出

的是

A.

,且

B.

,且

C.

,且

D.

,且

【答案】B

【解析】解: ,且

,或 ,或 m 与 相交,故 A 不成立;

,且

,故 B 成立;

,且

,或 ,或 m 与 相交,故 C 不成立;



,且 ,知

不成立,故 D 不正确.

故选:B.

根据 A,B,C,D 所给的条件,分别进行判断,能够得到正确结果.

本题考查直线与平面的位置关系的判断,是基础题,解题时要认真审题,仔细解答.

4. 要得到函数
A. 向左平移 单位 C. 向右平移 单位

的图象,只要将函数

的图象

B. 向右平移 单位

D. 向左平移 单位

【答案】D

【解析】解:由于函数



故只要将函数 故选:D. 由于函数 位即可实现目标. 本题主要考查函数

的图象相左平移 个单位,即可得到函数

的图象,

,故只要将函数

的图象相左平移 个单

的图象变换,属于中档题.

5. 已知

的三个顶点 A,B,C 及平面内一点 P 满足

,则点 P



的关系为

A. P 在

内部

B. P 在

外部

C. P 在 BC 边所在直线上

D. P 是 AC 边的一个三等分点

【答案】C

福建省厦门六中 2018-2019 学年高三(上)第一次段考数学试卷(文科)(解析版)

【解析】解:

的三个顶点 A,B,C 及平面内一点 P 满足



则:



所以:



整理得:



根据向量共线的充要条件





所以:P、B、C 三点共线.

故选:C.

直接利用向量的线性运算整理得

,进一步利用向量的共线的充要条件

求出结果. 本题考查的知识要点:向量的线性运算的应用,向量的共线的充要条件的应用,主要考 查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型.

6.

的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足

,则

A.

B.

C.

D. 或

【答案】B

【解析】解:



由正弦定理可得:

,整理可得:



由余弦定理可得:







故选:B.

由已知及正弦定理可得

,由余弦定理可得

,结合范围



可求 A 的值. 本题主要考查了正弦定理,余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.

7. 将函数

的图象上各点的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 ,

所得图象的一个对称中心可能是

A.

B.

C.

D.

【答案】C

3 / 13

【解析】解:由题意得:变换后的函数是





, ,可得

,,

令 ,则 .

当 时,



所以所得图象的一个对称中心可能是 .

故选:C.

根据

的图象变换规律可得所得图象对应的函数为







本题主要考查

,可得对称中心的横坐标,从而得出结论. 的图象变换规律,正弦函数的对称中心,属于中档题.

8. 已知

,则

的值是

A.

B.

C.

D.

【答案】D

【解析】解:





故选:D.

由已知和诱导公式可得

,从而由二倍角的余弦公式即可求值.

本题主要考察了诱导公式和二倍角的余弦公式的应用,属于基础题.

9. 如图, ,
则多面体
A. B. C. D.

均垂直于平面 ABC 和平面 , 的外接球的表面积为

, ,

【答案】C

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【解析】解:由题意,多面体

正方体,切去一个角,

多面体

的外接球的直径为

为棱长为 的 ,半

径为 ,

多面体

的外接球的表面积为



故选:C.

由题意,多面体

为棱长为 的正方体,切去一个角,可得多面体

的外接球的直径、半径,即可求出多面体

的外接球的表面

积.

本题考查多面体

的外接球的表面积,考查学生的计算能力,求出多面体

的外接球的半径是关键.

10. 一船向正北方向航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直

线上,继续航行半个小时后,看见一灯塔在船的南偏西 方向,另一灯塔在船的

南偏西 方向,则这只船的速度是

A. 15 海里 时

B. 5 海里 时

C. 10 海里 时

D. 20 海里 时

【答案】C

【解析】解:设灯塔位置为 A,B,船的初始位置为 C,半

小时后航行至 D 处,

由题意可知







海里,



海里,

海里,

船的航行速度为

海里 小时.

故选:C. 作出图形,根据三角形的边角关系得出结论. 本题考查了解三角形的实际应用,属于中档题.

11. 已知函数
A.

的定义域为
B.

,值域为
C.

,则 的值不可能是
D.

【答案】C

【解析】解:函数

在 R 上有

函数的周期

值域

含最小值不含最大值,故定义域

小于一个周期

5 / 13

故选:C.

结合三角函数 R 上的值域

,当定义域为 ,值域为

,可知 小于一个

周期,从而可得.

本题考查了正弦函数的图象及利用图象求函数的值域,解题的关键是熟悉三角函数

的值域

,而在区间 上的值域

,可得函数的定义域与周期的关

系,从而可求结果.

12. 已知 O 为

内一点,且有

,记







面积分别为 , , ,则 : : 等于

A. 3:2:1

B. 3:1:2

C. 6:1:2

D. 6:2:1

【答案】C

【解析】解:如图所示,

延长 OB 到点 E,使得

,分别以 , 为邻边

作平行四边形 OAFE.











,可得



于是





同理可得:









的面积比 :1:2.

故选:C.

如图所示,延长 OB 到点 E,使得

,分别以 , 为邻边作平行四边形 则

,由于

,可得





可得

于是

,得到

同理可得:



即可得出.

本题考查了向量的平行四边形法则、向量共线定理、三角形的面积计算公式.

二、填空题(本大题共 4 小题,共 20.0 分)

13. 已知向量



,且

,则实数 ______.

【答案】8

【解析】解:根据题意,向量











,则



解可得



故答案为:8.

根据题意,由向量的坐标计算公式可得 的关系,又由向量垂直与向量数量积的关

系可得

,解可得 m 的值,即可得答案.

本题考查向量数量积的坐标计算,关键是掌握向量垂直与向量数量积的关系.

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14. 某几何体的三视图如图所示,正视图与侧视图完全相同,则该几何体的体积为 ______.

【答案】

【解析】解:由三视图可知:该几何体是一个正四棱锥,挖去一个圆锥所得的组合体,

四棱锥的体积为



圆锥的体积为:



故组合体的体积 ;

故答案为: .
由三视图可知:该几何体是一个四棱锥,挖去一个圆锥所得的组合体,分别计算四棱锥 和圆锥的体积,相减可得答案 本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积和表面积,解决本题的关键是得到该几何 体的形状.

15. 函数

的部分图象如图所示,则

的单调递减区间为______.

【答案】



【解析】解:由题意可得函数的周期为



,解得





再根据函数的图象以及五点法作图,可得



7 / 13

解得 ,





,可解得



的单调递减区间为:



故答案为:

,.

由函数的图象和五点法作图可得函数的解析式,由余弦函数的单调性和复合函数的单调 性可得. 本题考查余弦函数的单调性,求出函数的解析式是解决问题的关键,属基础题.

16. 直线 l:

为参数 ,抛物线 C 的方程

, 两点的距离和是______.

【答案】

,l 与 C 交于 、 ,求点



【解析】解:令

,则



离,





代入

得:



则点

到 , 两点的距离之和等于

,则 表示直线上任一点到 的距 ,化简得: ,

故答案为:





,则



,则 表示直线上任一点到 的距离,将



代入

,则点

到 , 两点的距离之和等于

结论. 本题考查直线的参数方程,考查参数几何意义的运用,比较基础.

,即可得出

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70.0 分)

17. 在直角坐标系 xOy 中,直线 :

,圆 :

原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

Ⅰ 求 , 的极坐标方程;

Ⅱ 若直线 的极坐标方程为

,设 与 的交点为 M,

N,求

的面积.

【答案】解:Ⅰ 由于









极坐标方程为



,以坐标

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故C : 化简可得

的极坐标方程为: ,


Ⅱ 把直线 的极坐标方程

代入

圆:



可得



求得





,由于圆 的半径为 1,



的面积为



【解析】 Ⅰ 由条件根据



Ⅱ 把直线 的极坐标方程代入

求得 , 的极坐标方程. ,求得 和 的值,结合圆的半径可



,从而求得

的面积

的值.

本题主要考查简单曲线的极坐标方程,点的极坐标的定义,属于基础题.

18.

的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知



Ⅰ 求 B;

若 ,且 AC 边的中线

,求 a 的值.

【答案】解: Ⅰ



由余弦定理可得:
, .

, ,可得:

可得:
, ,

,AC 边的中线



由中线长定理可得:



整理可得:





,由余弦定理可得:



,整理可得:

,解得: 或 舍去 .

【解析】 Ⅰ 利用降幂公式,诱导公式,三角形内角和定理,余弦定理化简已知可求

,结合范围

,可求 B 的值.

由已知及中线长定理可得:

,由余弦定理可得: 9 / 13

,从

而可得:

,进而解得 a 的值.

本题主要考查了降幂公式,诱导公式,三角形内角和定理,余弦定理,中线长定理,余

弦定理在解三角形中的综合应用,考查了数形结合思想和转化思想,属于中档题.

19. 已知曲线 C 的极坐标方程是

,以极点为原点,极轴为 x 轴正

半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同的长度单位.

写出曲线 C 的普通方程,并说明它表示什么曲线;

过点

作倾斜角为 的直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,证明



定值,并求倾斜角 的取值范围.

【答案】解: 曲线 C 的极坐标方程是





化为

,即



由于



,因此曲线 C 表示的上半圆.

过点

作倾斜角为 的直线 l 方程为:



当直线 l 与半圆相切时,圆心

到直线 l 的距离 ,



化为



曲线 C 表示的是上半圆,因此取





因此当直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点时,



由割线定理可得



【解析】 由曲线 C 的极坐标方程是

,可得



化为

,由于

,可得

,因此曲线 C 表示的上半圆.

过点

作倾斜角为 的直线 l 方程为:



利用直线 l 与半圆相切的性质和点到直线的距离公式可得:圆心

到直线 l 的距离



,化为

由于曲线 C 表示的是上半圆,取

,可

得.
因此当直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点时,可得 的取值范围 再利用割线定理可得 即可得出.
本题考查了圆的极坐标方程及其标准方程、直线与圆的相切与相交时的位置关系及其性 质、割线定理,属于中档题.

20. 如图,在三棱柱 ABC, 别是线段 BC, 点的点.

中,侧棱

底面



,D, 分

的中点,P 是线段 AD 上异于端

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Ⅰ 在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 平行的直线 l,说明理由,并证明直

线 平面



Ⅱ 设 Ⅰ 中的直线 l 交 AC 于点 Q,求三棱锥

的体积 锥体体积公式:

,其中 S 为底面面积,h 为高

【答案】解:Ⅰ 在平面 ABC 内,过点 P 作直线 l 和 BC 平行,由于直线 l 不在平面

而 BC 在平面 内,

故直线 l 与平面 平行.

三角形 ABC 中,



,D, 分别是线段 BC,

中点,





再由

底面 ABC,可得







直线 平面



Ⅱ 设 Ⅰ 中的直线 l 交 AC 于点 Q,过点 D 作



侧棱

底面 ABC,故三棱柱

为直三棱柱,

故 DE 平面

C.

直角三角形 ACD 中,







内, 的





三棱锥

的体积



【解析】 Ⅰ 在平面 ABC 内,过点 P 作直线 l 和 BC 平行,根据直线和平面平行的判定

定理可得直线 l 与平面 平行.

等腰三角形 ABC 中,根据等腰三角形中线的性质可得

,故

再由



面 ABC,可得

再利用直线和平面垂直的判定定理可得直线 平面



Ⅱ 过点 D 作

,证明 平面

C.直角三角形 ACD 中,求出 AD 的值,可

得 DE 的值,从而求得

的值,再根据三棱锥

的体积

,运算求得结果.
本题主要考查直线和平面平行、垂直的判定定理的应用,用等体积法求三棱锥的体积, 属于中档题.

21. 已知椭圆 C:

的离心率为 ,点

在椭圆 C 上.

求椭圆 C 的方程; 直线 l 平行于 OM,且与椭圆 C 交于 A,B 两个不同的点,若 直线 l 在 y 轴上的截距 m 的取值范围.

为钝角,求

11 / 13

【答案】解: 椭圆 C:

的离心率为 ,点

在椭圆 C 上.

,解得







椭圆 C 的方程为



由直线 l 平行于 OM,得直线 l 的斜率

又 l 在 y 轴上的截距为 m, 的方程为

, .



,得



又直线 l 与椭圆交于 A、B 两个不同点,

为钝角等价于

,且









,于是





, 由韦达定理 化简整理得

, ,即

,代入上式, ,故所求范围是

【解析】 由椭圆 C:

的离心率为 ,点

在椭圆 C 上,列

出方程组,求出 a,b,由此能求出椭圆 C 的方程.

设 l 的方程为

,再与椭圆方程联立,将 为钝角,转化为





,利用韦达定理,即可求出直线 l 在 y 轴上的截距 m 的取值范围.

本题考查椭圆的几何性质,考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,解题的

关键是联立方程组,利用韦达定理解决直线与椭圆的位置关系问题.

22. 已知函数



Ⅰ 若函数



Ⅱ 若存在两个实数 , ,且



【答案】 Ⅰ 解: 函数



方程

无实数解,即



的图象无公共点,求实数 a 的取值范围;

,满足



,求证:

的图象无公共点, 无实数解,



,令





当,

;当





故 , 取极大值,也为最大值 .

实数 a 的取值范围是:



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Ⅱ 证明:令 , ,
等价于

, , ,


, ,





令,

等价于











上递增,

即有

,即

成立.





【解析】 Ⅰ 由条件可知方程

无实数解,即

无实数解,令



应用导数求出 的最值,即可得到 a 的取值范围;

Ⅱ 由条件得



,故推出



价于

,再令 ,

等价于

,构造



应用导数,判断单调性,得到 在

上递增,从而得证.

本题主要考查了导数在函数单调性和函数极值、最值中的应用,以及构造函数应用导数

证明不等式,属中档题.

13 / 13


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