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【初中数学】22.2 降次-解一元二次方程

时间:2012-12-14


22.2 降次——解一元二次方程
22.2.1 配方法
知识清单全练
1、配方法: 通过配成____来解一元二次方程的方法,叫做配方法。 2、若方程能化成 x 2 ? p 或 (mx ? n)2 ? p( p ? 0) 的形式,那么可得 x =______________或 mx ? n =_________ 3、一般来说,当二次项系数为__________,一次项系数为___________时,用配方法较简便。 4、配方法的一般步骤: (1)化二次项系数为_____________,并将含有未知数的项放在方程的_________边,常数项放在方程的____边。 (2) 配方, 方程两边同时加上_________________,使左边配成一个完全平方式, 写成 (mx ? n)2 ? p( p ? 0) 的形式。 (3)若 p ____0,则可直接开平方求出方程的根,若 p ____0,则方程无实数根。 答案:1、完全平方式; 2、 ? , ? p , ? p ; 3、1,偶数; 4、 (1)1,左,右(2)一次项系数一半的平方(3) ? , ?

重要知识点讲解 知识点一:直接开平方法解一元二次方程
(1) 如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方,另一边是非负数,那么我们可以用直接开平方法解这 类方程。一般地,对于形如 x ? a(a ? 0) 的方程,根据平方根的定义可解得 x1 ? a , x2 ? ? a 。
2

(2) 直接开平方法适用于形如 x 2 ? p 或 (mx ? a)2 ? p(m ? 0) 形式的方程,如果 p ? 0 ,就可以利用直接开平 方法来解。 (3) 用直接开平方法求一元二次方程的根,一定要正确运用平方根的性质,即正数的平方根有两个,它们互为 相反数;零的平方根是零;负数没有平方根。 (4) 直接开平方法求一元二次方程的步骤是: ①移项; ②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为 1; ③两边直接开平方,使原方程变成两个一元一次方程;④解一元一次方程,求出原方程的根。 例1 运用直接开平方法解下列方程: (1) 4 x ? 9 ;
2

(2) ( x ? 3) ? 2 ? 0
2

知识点二:配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫做配方法。配方法的目的是降次,把一个一元二次方程转 1

化为两个一元一次方程来解。 配方法的一般步骤可以总结为:一移、二除、三配、四开。 (1)把常数项移到等号的右边,总结为: “一移” ; (2)方程两边都除以二次项系数,总结为: “二除”(3)方程的两边都加上一次项系数一般的平方,把左边配成 ; 完全平方式,总结为: “三配”(4)若等号右边为非负数,直接开平方法求出方程的解,总结为: ; “四开” 。 例2 用配方法解方程 4 x ? 12 x ? 1 ? 0 。
2

经典例题讲解
例1 运用直接开平方法解方程: 4(3x ? 2)2 ? 32 ? 0 。

例2

用配方法解一元二次方程 x ? 4 x ? 5 的过程中,配方正确的是(
2

) D. ( x ? 2)2 ? 9

A. ( x ? 2)2 ? 1 例3

B. ( x ? 2)2 ? 1

C. ( x ? 2)2 ? 9

用配方法解下列方程:
2

(1) x ? 10 x ? 16 ? 0 ;

(2) (2 x ? 1)( x ? 3) ? 0 ;

(3) 2 x ? 4 x ? 5 ? 0
2

基础闯关全练
一、选择题 1、用配方法解方程 x ?
2

2 x ? 1 ? 0 ,正确的是( 3



A、 ( x ? ) ? 1, x1 ?
2

2 3

5 1 , x2 ? ? , 3 3

B、 ( x ? ) ?
2

2 3

4 2? 3 ,x ? 9 2
8 ,原方程无实数解 9
D、 x ? ?3 )

3 2 8 ,原方程无实数解 2 9 2 2、方程 x ? 9 ? 0 的解是( ) A、 x ? 3 B、 x ? ?2
C、 ( x ? ) ? ?
2

D、 ( x ? ) ? ?
2

1 3

C、 x ? 4.5

2 3、把方程 x ? 8 x ? 3 ? 0 化成 ( x ? m) ? n 的形式,则 m, n 的值是(

A、4,13

B、4,19
2

C、-4,13 )

D、-4,19

4、若 x 取全体实数,则代数式 3x ? 6 x ? 4 的值( A、一定为正 B、一定为负 C、可能是 0
2

D、正数,负数,0 都有可能
2 2

5、已知方程 x ? 6x ? q ? 0 可以配方成 ( x ? p) ? 7 的形式,那么 x ? 6x ? q ? 2 可以配方成下列的( 2



A、 ( x ? p)2 ? 5
2

B、 ( x ? p ? 2)2 ? 5

C、 ( x ? p ? 2)2 ? 9 )

D、 ( x ? p)2 ? 9

6、将方程 x ? 8 x ? 9 ? 0 左边变成完全平方式后,方程是( A、 ( x ? 4)2 ? 7
2

B、 ( x ? 4)2 ? 25
2

C、 ( x ? 4)2 ? ?9 )

D、 ( x ? 4)2 ? ?7

7、如果二次三项式 x ? 16 x ? m 是一个完全平方式,那么 m 的值是( A、 ?8 8、下列变形正确的是( A、 x ?
2

B、4 )

C、 ?2 2

D、 ?2 2

2 1 2 5 x ? ? ( x ? )2 ? 3 9 3 9 1 2 1 2 C、 y ? y ? ? ( y ? 1) 2 2
二、填空题 9、当 x =__________时,等式 (1 ? 2 x) ?
2

B、 x2 ? 4 x ? ( x ? 2)2 ? 4 D、 mx ? x ?
2

1 1 1 1 2 n ? 4m ? m( x 2 ? x ) ? ? m( x ? ) ? n m n 2m 4mn

1 成立。 4

10、方程 2( x ? 1)2 ? 8 的解为_________________。
2 11、若把方程 x ? 4 x ? 6 化成 ( x ? m) ? n 的形式,则 m ? n ? _______________。
2

12、如果代数式 x ? 6 x ? m 是一个完全平方式,则 m ? _______________。
2 2

13、已知 x ?
2

3 x ? 1 可以通过配方变形为 ( x ? m)2 ? n 则 mn ? ______________。 2
2

三、解答题 14、解方程: 12(2 ? x) ? 9 ? 0

15、解方程: x ? 6 x ? 9 ? (5 ? 2 x)
2

2

16、用配方法解方程: 8 y ? 2 ? 4 y
2

17、用配方法解方程: x ? 4 x ? 5 ? 0
2

3

18、用配方法解方程: x ? 6 x ? 3 ? 0
2

19、用配方法证明: ?3x ? 12 x ? 16 的值恒小于 0.
2

20、对于二次三项式 x ? 10 x ? 36 ,小明同学得到如下结论:无论 x 取何值,它的值都不可能是 10.你是 否同意他 的说法?请说明理由。
2

答案:1、D;2、D;3、C;4、A;5、D;6、A;7、A;8、D; 9、

3 1 21 或 ;10、 x1 ? 3, x2 ? ?1 ;11、8;12、 ?3 ;13、 4 4 64 8 3 3 1? 5 1? 5 ;15、 x1 ? , x2 ? 2 ;16、 y1 ? ; , x2 ? 2 ? , y2 ? 3 2 2 4 4

14、 x1 ? 2 ?

17、 x1 ? 1, x2 ? ?5 ;18、 x1 ? 3 ? 2 3, x2 ? 3 ? 2 3 ;19、略;20、略。

三年模拟全练
一、选择题 1、 (2011 广东汕头金中南校第二次月考)用配方法将方程 x ? 6 x ? 7 ? 0 变形,结果正确的是(
2



A. ( x ? 3) ? 4 ? 0
2

B. ( x ? 3) ? 2 ? 0
2
2

C. ( x ? 3) ? 2 ? 0
2

D. ( x ? 3) ? 4 ? 0
2

2、 (四川南充第一次月考)用配方法解方程 2 x ? 4 x ? 3 ? 0 ,可化为( A. ( x ? 1) ?
2



1 2

B. ( x ? 1) ?
2

5 2

C. ( x ? 2)2 ? 7
2

D. ( x ? 2)2 ? ?1 )

3、 (2010 上海浦东新区预测)用配方法解方程 x ? 4 x ? 1 ? 0 时,配方后所得的方程是( A. ( x ? 2) ? 1
2

B. ( x ? 2) ? ?1
2

C. ( x ? 2) ? 3
2

D. ( x ? 2) ? 3
2

二、填空题 4、 (2012 湖北黄冈蔡河中学九年级第一次月考)配方 x ? 3x ? ___=(
2

)2 。

2 2 5 、 2011 江 苏 靖 江 月 考 ) 若 把 代 数 式 x ? 3x ? 2 化 成 ( x ? m) ? k 的 形 式 , 其 中 m, k 为 常 数 , 则 (

m ? k ? __________ ;
三、解答题 6、 (2012 重庆万州中学九年级期中)配方法解方程: 4 x ? 8 x ? 3 ? 0 。
2

4

答案:1、B;2、B;3、C;4、

9 3 5 7 7 , x ? ;5、 ;6、 x1 ? ?1 ? , x2 ? ?1 ? 。 4 2 4 2 2

五年中考全练
一、选择题 1、 (2011 甘肃兰州)用配方法解方程 x ? 2 x ? 5 ? 0 时,原方程应变形为(
2



A. ( x ? 1)2 ? 6

B. ( x ? 2)2 ? 9

C. ( x ? 1)2 ? 6
2

D. ( x ? 2)2 ? 9 )

2、 (2009 内蒙古呼和浩特)用配方法解方程 3x ? 6 x ? 1 ? 0 ,则方程可变形为( A. ( x ? 3) ?
2

1 3

B. 3( x ? 1) ?
2

1 3

C. (3x ? 1)2 ? 1
2

D. ( x ? 1) ?
2

2 3


3、 (2009 浙江台州)用配方法解一元二次方程 x ? 4 x ? 5 的过程中,配方正确的是( A. ( x ? 2)2 ? 1 二、解答题 4、 (2011 江苏南京)解方程 x ? 4 x ? 1 ? 0 。
2

B. ( x ? 2)2 ? 1

C. ( x ? 2)2 ? 9

D. ( x ? 2)2 ? 9

5、 (2008 山东泰安)用配方法解方程: 6 x ? x ? 12 ? 0
2

答案:1、C;2、D;3、D;4、 x1 ? 2 ? 3 , x2 ? 2 ? 3 ;5、 x1 ?

3 4 , x2 ? ? 2 3

探究创新全练
2 若方程 x ? 6 x ? 2 ? 0 配成 ( x ? p) ? q ? 0 的形式后,用 ( p, q) 作为一个点的坐标,那么这个点是(
2



A. (3,11) 答案:B

B. (3, ?7)

C. (3, 7)

D. (6, ?7)

22.2.2 公式法
知识清单全练
1、一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 的求根公式是_______________,利用它解一元二次方程的方法叫做公式法。 2、用公式法解一元二次方程的一般步骤:
2

5

(1)把一元二次方程化为______________; (2)确定_______________的值; (3)计算__________的值; (4)若___________ ? ,可利用_____________求出原方程的根,若__________ ? 0 ,则原方程无解。 3、 (1)当 b ? 4ac ? 0 时,一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有______实数根。
2

(2)当 b ? 4ac ? 0 时,一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有______实数根。
2

(3)当 b ? 4ac ? 0 时,一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) ______实数根。
2

重要知识点讲解

知识点一 公式法解一元二次方程
( 1 ) 一 般 地 , 对 于 一 元 二 次 方 程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) , 如 果 b ? 4ac ? 0 , 那 么 方 程 的 两 个 根 为
2

x?

?b ? b2 ? 4ac 。这个公式叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式,我们可以由一元二次方程的系数 2a

a , b, c 的值直接求得方程的解,这种解方程的方法叫做公式法。
(2)一元二次方程的求根公式的推导过程,就是用配方法解一般形式的一元二次方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的过 程。 (3)公式法解一元二次方程的具体步骤: ①方程化为一般形式 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) ,一般 a 化为正值;
2

②确定公式中 a , b, c 的值; ③求出 b ? 4ac 的值;
2

④若 b ? 4ac ? 0 ,则把 a , b, c 和 b ? 4ac 的值代入公式可求解,若 b ? 4ac ? 0 ,则方程无实数根。
2 2 2

例 1 用公式法解方程: 5x ? 4 x ? 12 ? 0
2

知识点二 一元二次方程根的判别式
2 式子 b ? 4ac 叫做方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 根的判别式,通常用希腊字母 ? 来表示它,即 ? ? b ? 4ac ;
2 2

例 2 若关于 x 的一元二次方程 kx ? 2 x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是( A. k ? ?1
2



B. k ? ?1 ,且 k ? 0 C. k ? 1 D. k ? 1 ,且 k ? 0

6

经典例题讲解
例 1 已知方程 x ? bx ? a ? 0 有一个根是 ?a(a ? 0) ,则下列代数式的值恒为常数的是(
2



a C. a ? b b 2 例 2 解方程 x ? 3x ? 1 ? 0 ;
A. ab B.

D. a ? b

基础闯关全练
一、选择题 1、方程 x ? 4 ? 3x 中, a , b, c 的值分别是(
2

) D、1, 3, 4 )

A、1,-3,-4

B、0,-3,-4
2

C、1,-4, 3
2

2、用公式法解一元二次方程 x ? 4 x ? 3 ? 0, b ? 4ac ,的值计算正确的是( A、4
2

B、28

C、20
2

D、-4 )
2

3、下列方程中,有实数解的是( A、 x ? 3x ? 4 ? 0 , C、 x ? 3x ? 5 ? 0 ,
2

B、 x ? 6 x ? 5 ? 0 , D、 2 x ? 6 x ? 5 ? 0 ,
2 2

4、若 m 为不等于零的实数,则方程 x ? mx ? m ? 0 的根的情况是( A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、有两个实数根 D、没有实数根
2 2



5、如果关于 x 的一元二次方程 k x ? (2k ? 1) x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根,那么 k 的取值范围是(



1 1 1 1 B、 k ? ? 且 k ? 0 C、 k ? ? D、 k ? ? 且 k ? 0 4 4 4 4 2 6、若方程 x ? 4 x ? c ? 0 有两个不相等的实数根,则实数 c 的值可以是( )
A、 k ? ? A、6 B、5 C、4
2

D、3 )

7、若关于 x 的一元二次方程 nx ? 2 x ? 1 ? 0 无实数根,则一次函数 y ? (n ? 1) x ? n 的图像不经过( A、第一象限 二、填空题 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

8、已知关于 x 的一元二次方程 (k ? 1) x ? 2 x ? 1 ? 0 有两个不相同的实数根,则 k 的取值范围是_____________.
2

9、关于 x 的一元二次方程 mx ? nx ? 0 解的情况是___________________________
2

10、已知关于 x 的方程 x ? (3 ? m) x ?
2
2

m2 ? 0 有两个不相同的实数根,那么 m 的最大整数值是_______________ 4

11、关于 x 的一元二次方程 x ? 4 x ? k ? 0 有两个相等的实数根,则 k 的取值范围是____________

7

12、若 b ? 1 ? a ? 4 ? 0 且一元二次方程 kx ? ax ? b ? 0 有两个实数根,则 k 的取值范围是______________
2

13、关于 x 的方程 x2 ? 2(k ? 1) x ? (k ? 1)2 ? 0 的解的情况是____________________ 三、解答题 14、用公式法解方程 x ? 4 x ? 3 ? 0 .
2

15、已知关于 x 的一元二次方程 9 x2 ? (m ? 7) x ? m ? 3 ? 0 ,试证明不论 m 取何值,原方程都有两个不相等的实数 根。

16、 a , b, c 是 ? ABC 的三边, 若 且关于 x 的方程 a( x 2 ? 1) ? 2cx ? b( x 2 ? 1) ? 0 有两个相等的实数根, 试判断 ? ABC 的形状。

答案:1、A;2、B;3、B;4、B;5、B;6、D;7、C;8、 k ? ?2 且 k ? ?1 ;9、有两个实数根;10、1;11、-4; 12、 k ? 4 或 k ? 0 ;13、有两个相等的实数根;14、 x1 ? ?2 ? 7 , x2 ? ?2 ? 7 ;15、略;15 略;

三年模拟全练
一、选择题 1、 (2011 北京海淀第一学期期中)方程 x ? 3x ? 6 ? 0 的根的情况是( A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
2



C.没有实数根

D.无法确认是否有实数根
2

2、 (2012 江苏南通海安八校联考)关于 x 的方程 (a ? 2) x ? 6 x ? 1 ? 0 有实数根,则 a 满足( A. a ? ?7 二、填空题 B. a ? ?7 且 a ? 2 C. a ? ?7 且 a ? 2 D. a ? 2



3 、 2012 湖 北 黄 冈 蔡 河 中 学 九 年 级 第 一 次 月 考 ) 已 知 ab ? 0 , 不 解 方 程 , 试 判 断 关 于 x 的 方 程 (

x2 ? (2a ? b) x ? (a 2 ? ab ? 2b2 ) ? 0 的根的情况是_____________________。
4 、 2010 长 沙 初 三 模 拟 ) 方 程 (m ? 1) x ? 2mx ? m ? 3 ? 0 有 两 个 不 等 的 实 根 , 则 m 的 取 值 范 围 是 (
2

_____________________。 5、 (2010 北京海淀第一学期期中)已知关于 x 的一元二次方程 (3a ? 1) x ? ax ?
2

1 ? 0 有两个相等的实数根,求代 4

8

数式 a ? 2a ? 1 ?
2

1 的值。 a

答案:1、C;2、A;3、有两个不相等的实数根;4、 m ?

3 且 m ? 1 ;5、3 2

五年中考全练
一、选择题 1、 (2011 四川成都)已知关于 x 的一元二次方程 mx2 ? nx ? k ? 0( m ? 0) 有两个实数根,则下列关于判别式

n2 ? 4 mk 的判断正确的是( 2 A. n ? 4mk ? 0 2 B. n ? 4mk ? 0 2 C. n ? 4mk ? 0 2 D. n ? 4mk ? 0



2、 (2010 上海)已知一元二次方程 x ? x ? 1 ? 0 ,下列判断正确的是( A.该方程有两个相等的实数根;
2



B.该方程有两个不相等的实数根; C.该方程无实数根; D.该方程根的情况不确定; 3、 (2010 山东潍坊) 关于 x 的一元二次方程 x ? 6 x ? 2k ? 0 有两个不相等的实数根, 则实数 k 的取值范围是 (
2



A. k ?

9 2

B. k ?

9 2

C. k ?

9 2

D. k ?

9 2


4、 (2011 重庆) 已知关于 x 的一元二次方程 (a ?1) x2 ? 2 x ? 1 ? 0 有两个不相等的实数根, a 的取值范围是 则 ( A. a ? 2 B. a ? 2 C. a ? 2 且 a ? 1 D. a ? ?2 )

5、 (2009 山东潍坊)关于 x 的方程 (a ? 6) x2 ? 8x ? 6 ? 0 有实数根,则整数 a 的最大值是( A.6 二、填空题 B.7 C.8 D.9
2

6、 (2010 江苏连云港)若关于 x 的方程 x ? mx ? 3 ? 0 有实数根,则 m 的值可以为________________(任意给出 一个符合条件的值即可) 7、 (2010 湖北荆门)如果方程 ax ? 2 x ? 1 ? 0 有两个不等实根,则实数 a 的取值范围是_________________。 三、解答题
2

8、 (2011 湖南郴州)当 t 取什么值时,关于 x 的一元二次方程 2 x ? tx ? 2 ? 0 有两个相等的实数根。
2

1、D;2、B;3、B;4、C;5、C;6、答案不唯一;7、 a ? 1 且 a ? 0 ;8、 t ? 4 或 t ? ?4 时,原方程有两个相等 的实数根;

9

探究创新全练
0 在 Rt ? ABC 中,?C ? 90 ,若 a, b, c 是 Rt ? ABC 的三边,试证明关于 x 的方程 (a ? c) x ? bx ?
2

1 (c ? a ) ? 0 4

有两个相等的实数根。

答案:略

22.2.3 因式分解法
知识清单全练
1、当 一 元 二 次 方 程 的 一 边 为 0 , 而 另 一 边 易 于 分 解 成 两 个 一 次 因 式 的 乘 积 时 , 令 每 个 因 式 分 别 的 等 于 ______________________,得到两个__________________________,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法。 2、用因式分解法解方程的原理:若 a ? b =0 ,则______________________________。 3、用因式分解法解方程的一般步骤: (1)整理方程,使方程右边为_________________________________。 (2)将方程左边分解为两个__________________________________。 (3)令每一个因式分别为 0,得到两个_______________________。 (4)分别解两个_______________________,它们的解就是原方程的解。

重要知识点讲解 知识点一 因式分解法解一元二次方程
(1) 把一元二次方程的一边化为 0,而另一边分解成两个一次因式的积,进而转化为求两个一元一次方程的解, 这种解方程的方法叫做因式分解法; (2) 因式分解法解一元二次方程是一种简洁的方法,但是此法具有局限性,很多的一元二次方程不能用此方法 来求解。 (3) 因式分解法的详细步骤: ① 移项,将所有的项移到左边,右边化为 0; ② 把方程的左边分解成两个因式的积,可用的方法有提公因式、平方差公式和完全平方公式; ③ 令每一个因式分别为零,得到一元一次方程; ④ 解一元一次方程即可得到原方程的解。 例1 用因式分解法解方程 4( x ?1) ? 9(3 ? 2 x) ? 0
2 2

10

知识点二 用合适的方法解一元二次方程
方法名称 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 理论依据 平方根的意义 完全平方公式 配方法 当 ab ? 0 时, a ? 0 或 b ? 0 适用范围 形如 x 2 ? p 或 (mx ? n)2 ? p( p ? 0) 所有的一元二次方程 所有的一元二次方程 一边为 0,另一边易于分解成两个一次因式的积的一元二次方程

例2 用合适的方法解下列方程: (1) x ? 3x ? 2 ? 0 ;
2

(2) x( x ? 1) ? 5 x ? 0

经典例题讲解
例1 方程 ( x ? 3)( x ? 1) ? x ? 3 的解是____________________; 例2 一元二次方程 x ? 3x 的解是____________________; 例3 用适当的方法解下列方程。
2

(1) x ? 6 x ? ?9 ;
2

(2) x(2 x ? 1) ? 3(1 ? 2 x) ;

(3) x ? 3x ? 10 ? 0 ;
2

基础闯关全练
一、选择题 1、下列方程中适合用因式分解法解的是( A、 x +x +1=0
2 2

) C、 x2 +(1+ 2)x=0 ) C、配方法 D、因式分解法 D、 x +6x+7=0
2

B、 2 x -3x-5=0

2、解方程 x(x-1)=0 时,比较适合采用的方法是( A、直接开平方 B、公式法 3、方程 2 x(x +3)=5(x +3) 的根是( )

5 5 B、 x1 =-3,x2 = 2 2 2 4、方程 x =4 x 的解是()
A、 x = A、 x =4 B、 x =2 )

C、 x =-3

D、 x1 =3,x2 =-

5 2

C、 x1 =0,x2 =4

D、 x1 =0,x2 =2

5、方程 (x-5)(x-6)=x-5 的解是(

A、 x =5 B、 x =5或x =6 6、方程 x(x +1)=3(x +1) 的解是( ) A、 x =-1 B、 x =3

C、 x =7

D、 x =5或x =7

C、

x1 =-1,x2 =3

D、以上答案都不对 11

7、已知 ( x2 ? y 2 )( x2 ? y 2 ? 2) ? 8 ? 0 ,则 x2 +y 2 的值是( A、-4 B、2
2

) D、2 或-4

C、-1 或 4

8、已知一个三角形的两边长是方程 x -8 x +15=0 的根,则第三边长 y 的取值范围是() A、 y <8 二、填空题 9、方程 x -3x =0 的解是_____________________________________________; 10、方程 3(x-5)2 =2(5-x) 的根为________________________________________; 11、方程 (x-1)(x+2)=2(x+2) 的跟是_________________________________; 12、三角形两边长分别为 3 和 6,第三边长是方程 x -6 x+8=0 的解,则三角形的周长为_______________; 13、 ( x ? y ?1) ? 4 ,则 x ? y =_________________;
2 2 2 2 2
2 2

B、 2<y <8

C、 3<y <8

D、无法确定

三 、解答题 14、解方程: 2 x(x +1)=3(x +1)

15、解方程: (x-3) +2 x(x-3)=0

2

16、解方程: (2 y ?1) ? 3(1 ? 2 y)
2

2 17、已知 a,b,c 均是实数,且 a-1 + b +2b+1+(c+2) =0 ,求方程 ax +bx+c=0 的根。

2

2

18、解方程 x( x ? 1) ? 2 。有学生给出如下解法:

? x( x ? 1) ? 2 ? 1? 2 ? (?1) ? (?2)

?x ? 1 ?x ? 2 ? x ? ?1 ? x ? ?2 或? 或? 或? ?? ? x ? 1 ? 2 ? x ? 1 ? 1 ? x ? 1 ? ?2 ? x ? 1 ? ?1
解上面第一、四方程组,无解;解第二、三方程组,得 x ? 2 或 x ? ?1 。? x ? 2 或 x ? ?1 。请问:这个解法对吗? 12

试说明你的理由,如果你觉得这个解法不对,请你求出方程的解。

答案: C; D; B; C; D; C; B; B; x1 ? 0, x2 ? 3 ; 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、x1 ? 5, x2 ? 12、13;13、3;14、 x1 ? ?1, x2 ? 不对。

13 ; 11、x1 ? ?2, x2 ? 3 ; 3

3 1 ;15、 x1 ? 3, x2 ? 1 ;16、 y1 ? ; y2 ? ?1 ;17、 x1 ? 2, x2 ? ?1 ;18、解法 2 2

三年模拟全练
一、选择题 1、下列方程中,两根是 -2,-3 的方程是( A、 x -5x+6=0
2 2
2

) C、 x +5x-6=0 )
2

B、
2 2

x - 5x - 6 = 0

2

D、

x 2 + 5x + 6 = 0

2、若实数 x,y 满足 (x +y +2)(x +y -1)=0 ,则 x 2 ? y 2 的 值是( A、1 二、填空题 B、-2 C、2 或-1

D、-2 或 1

3、写出一个有一根为 2 的一元二次方程____________________________(二次项系数为 1). 三、解答题 4、用恰当的方法解方程 (3x-2) =(x+4)
2 2

答案:1、D;2、A;3、答案不唯一;4、 x1 ? ?

1 , x2 ? 3 ; 2

五年中考全练
一、选择题 1、一元二次方程 x =2 x 的根是( A、 x =2 B、 x =0 ) C、 -1,2 D、-1,3 )
2

) C、 x1 =0,x2 =2 D、 x1 =0,x2 =-2

2、方程 (x+1)(x-2)=x+1 的解是( A、2 B、3
2

3、小华在解一元二次方程 x -x =0 时,只得出一个根是 x =1 ,则被漏掉的一个根是( A、 x =4 B、 x =3 C、 x =2 D、 x =0 4、方程 x -5 x-6=0 的两根为( A、6 和-1 B、-6 和 1 二、填空题
2

) C、 -2 和-3 D、2 和 3

13

5、已知关于 x 的方程 x +2m=3 的解是 x=m ,则 m 的值是_____________________; 6、方程 x -4 x =0 的解是_____________________; 7、方程 (x +2)(x-1)=0 的解为____________________; 8、方程 (x+2)(x-1)=2(x+2) 的根是_________________; 三、解答题 9、解方程: (x-3)2 +4 x(x-3)=0
2

2

10、已知 x1 ,x2 是关于 x 的方程 (x-2)(x-m)=(p-2)(p-m) 的两个实数根。 (1)求 x1 ,x2 的值; (2)若 x1 ,x2 是某直角三角形的两直角边的长, 问当实数 m, p 满足什么条件时, 此直角三角形的面积最大?并求出 其最大值。

答案:1、C;2、D;3、D;4、A;5、-3 或 1;6、 x ? 0 或 x ? 4 ;7、 x1 ? ?2, x2 ? 3 ;8、 x1 ? ?2, x2 ? 1 ; 9、 x1 ? 3, x2 ?

3 m?2 ;10、 (1) x1 ? p, x2 ? m ? 2 ? p ; (2)当 p ? 且 m ? ?2 时,以 x1 , x2 为两直角边的直角 5 2

(m ? 2) 2 p2 三角形的面积最大,最大值为 或 。 8 2

探究创新全练
方程 x -(p+q)+pq=0 ,可变行为 (x-p)(x-q) =0, 解方程: (1) x +5x+6=0 ; (3) x -5x-6=0
2
2

2

(2) x -7x +10=0 (3) x +3x-4=0
2

2

答案: (1) x1 ? ?2, x2 ? ?3 ; (2) x1 ? 2, x2 ? 5 ; (3) x1 ? 6, x2 ? ?1; (4) x1 ? ?4, x2 ? 1 ;

14

22.2.4
知识清单全练

一元二次方程的根与系数的关系

1、在使用一元二次方程的根与系数的关系时,要将一元二次方程化为__________; 2、若一元二次方程 x2 +px+q=0 的两根为 x1 ,x2 ,则 p = _____________, q =______ ; 3、若 x1 ,x2 是一元二次方程 ax2 +bx+c=0(a ? 0) 的两个实数根,那么 x1 +x2 =_____________ ,

x1 x2 =____________________________;

重要知识点讲解 知识点一 一元二次方程根与系数的关系
若一元二次方程 x2 ? px ? q ? 0 的两个根为 x1 , x2 ,则有 x1 ? x2 ? ? p , x1 ? x2 ? q 。若一元二次方程

b c ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有两个实数根 x1 , x2 ,则有 x1 ? x2 ? ? , x1 ? x2 ? 。 a a
例: 已知关于 x 的一元二次方程 x ? 6 x ? k ? 1 ? 0 的两个实数根是 x1 , x2 , x12 ? x22 ? 24 , k 的值是________; 且 则
2

经典例题讲解
例1 若方程 x ? 3x ? 1 ? 0 的两根为 x1 , x2 ,则
2

1 1 ? 的值为________________________; x1 x2

例2 例3

已知 a , b 为实数,且 a ?1 ? 3(b ? 2) 2 ? 0 ,则以 a , b 为根的一元二次方程为________________; 已知关于 x 的方程 x2 ? 2(k ? 3) x ? k 2 ? 4k ? 1 ? 0 。 (1)若这个方程有实数根,求 k 的取值范围; (2)若这
2 2

个方程有一个根为 1,求 k 的值; (3)若以 x ? 2(k ? 3) x ? k ? 4k ? 1 ? 0 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反 比例函数 y ?

m 的图像上,求满足条件的 m 的最小值。 x

答案: (1) k ? 5 ; (2) k1 ? 3 ? 3 , k2 ? 3 ? 3 ; (3)当 k ? 2 时, m 取得最小值-5。

基础闯关全练
一、选择题 1、已知一元二次方程 x -4 x+3=0 的两根为 x1 ,x2 ,则 x1 x2 (
2

) 15

A、 4

B、3
2

C、 -4

D、-3

2、已知 x =1 是方程 x +bx-2=0 的一个根,则方程的另一个根是( ) A、 1 B、2 C、 -2 D、-1 3、关于 x 的方程 x2 +px+q=0 的两根同为负数,则( A、 p>0且q>0 B、 p>0且q<0
2 2

) D、 p<0且q<0 )

C、 p<0且q>0

4、若关于 x 的一元二次方程 x +kx+4k -3=0 的两个实数根分别是 x1 ,x2 ,且满足 x1 +x2 =x1 x2 =,则 k 的值为( A、 -1 或

3 4

B、-1
2

C、

3 4

D、不存在

5、已知 a ,b 是关于 x 的一元二次方程 x +nx-1=0 ,则 A、 n +2
2 2

B、 -n +2

2

b a + 的值是( ) a b 2 2 C、 n -2 D、 -n -2

6、若方程 x +mx +n=0 有一个根为 0,另一个根非 0,则 m,n 的值是( ) A、 m=0,n=0 B、 m ? 0,n=0 C、 m=0,n ? 0 D、 mn ? 0 7、关于 x 的方程 ax -(3a+1)x+2(a+1)=0 有两个不相等的实根 x1 ,x2 ,且有 x1 +x2 -x1 x2 =1-a ,则 a 的值是( A、1 二、填空题 8、已知一元二次方程 2 x -3x-1=0 的两根为 x1 ,x2 ,则 x1 +x2 =_____________ ; 9、一元二次方程 x +mx +3=0 的一个根为-3,则另一个根为___________________; 10、已知 x1 ,x2 是关于 x 的方程 (a-1)x2 +x+a2 -1=0 的两个实数根,且 x1 +x2 =
2 2 2

2



B、-1

C、 1 或-1

D、2

1 ,则 x1 x2 =__________; 3

11、已知 2- 5 是一元二次方程 x -4 x+c=0 的一个根,则另一个根是__________________.; 12、已知关于 x 的方程 x +mx-6=0 的一个根是 2,则 m =___ ;.另一个根是______________; 13、已知 x1 ,x2 是方程 x -5x-1=0 的两个根,则代数式 x12 +x2 2 的值是________________; 14、若 x1 ,x2 是方程 x -2x ? m=0 的两个根,且
2 2 2

1 1 + =2 ,则 m =____________________; x1 x2

三、解答题 15、已知关于 x 的一元二次方程 x +4 x +m-1=0 (1)请你为 m 选取一个合适的整数,使得到的方程有两个不相等的实数根; (2)设 ? ,? 是(1)中所得到的方程的两个实数根,求 ? +? +?? 的值。
2 2
2

16、已知关于 x 的方程 x +2kx+k -1=0 . 16

2

(1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)当 k 为何值时,方程的两根互为相反数?并求出此时方程的解。

17、已知方程 x +mx-1=0 的一个根是 x1 = 2-1,求 m 的值及另一个根。

2

18、已知 x1 ,x2 是关于 x 的一元二次方程 4x2 +4(m-1)x+m2 =0 的两个非零实数根,问 x1与x2 能否同号?若能同号, 请求出相应的 m 的取值范围;若不能同号,说明理由。

3 ;9、-1;10、-1;11、 2 ? 5 ;12、1,-3;13、 2 1 27;14、1;15(2)13;16、 (2) k ? 0, x ? ?1 ;17、 x2 ? ? 2 ?1, m ? 2 ;18、当 m ? 且 m ? 0 时, x1 与 x2 同 2
答案:1、B;2、C;3、A;4、C;5、D;6、B;7、B;8、 号。

三年模拟全练
一、选择题 1、已知 x =3 是方程 x -5x+c=0 的一个根,则这个方程的另一个根是( A、 -2 B、2 C、 -5 D、5
2 2

) ) )

2、已知 x =-1 是一元二次方程 x +mx-5=0 的一个解,则方程的另一个解是( A、 x =1 B、 x =-5 C、 x =5 D、 x =-4 3、关于 x 的一元二次方程 x -3x+a=0 的一个解是 x =-1 ,则它的另一个解是( A、 x =1 B、 x =2 C、 x =3 D、 x =4 4、若方程 x -4 x+2=0 的两根为 x1 ,x2 ,则
2
2

1 1 + =( x1 x2



17

A、2 二、填空题

B、-2

C、

1 2

D、 -

1 2

5、方程 x -2 x-1=0 的两个实数根分别为 x1 ,x2 ,则 (x1 -1)(x2 -1 =____________; )
2

答案:1、B;2、C;3、D;4、A;5、-2;

五年中考全练
一、选择题 1、已知 x1 ,x2 是方程 x =4 的两根,则 x1 +x2 的值是( A、 8 B、4 C、 2
2

) D、0 )

2、如果关于 x 的一元二次方程 x2 +px+q=0 的两根分别为 x1 =2,x2 =1 ,那么 p ,q 的值分别是( A、-3,2
2

B、3,-2

C、2,-3

D、2, 3 )

4、方程 2 x -7 x+4=0 的两个实数根分别为 x1 ,x2 ,则 x1 +x2 , x1 x2 的值分别是( A、 - ,-2

7 2

B、 -

7 ,2 2

C、 ,2

7 2

D、

7 ,-2 2

4、若 x1 ,x2 是方程 x +6 x+3=0 的两个实数根,则 A、6 B、-6 C、10
2

2

x2 x1 + 的值是( x1 x2
D、-10
2



5、已知 x1 ,x2 是关于 x 的一元二次方程 x -(2m+3)x+m =0 的两个不相等实数根,且满足 x1 +x2 =m2 ,则 m 的值是 ( ) B、3 C、3 或-1 D、-3 或 1

A、-1 m 二、填空题

6、孔明同学在解一元二次方程 x -3x+c=0 时,正确解得 x1 =1,x2 =2 ,则 c 的值为__________________; 7、已知 a ,b 是一元二次方程 x -2 x-1=0 的两个实数根,则代数式 (a-b)(a+b-2)+ab 的等于________; 三、解答题 8、若关于 x 的一元二次方程 x +4x+2k =0 的两个实数根,求 k 的取值范围及 k 的非负整数值。
2

2

2

9、已知一元二次方程 x -2x+m=0 (1)若方程有两个实数根,求 m 的范围; (2)若方程的两个实数根为 x1 ,x2 ,且 x1 +3x2 =3 ,求 m 的值。 18

2

答案:1、D;2、A;3、C;4、C;5、B;6、2;7、-1;8、 k 的非负整数值为 0,1,2;9、 (1) m ? 1 , m ?

3 。 4

探究创新
若 a,b,c 是 ? ABC 的三条边的长,且 a ,b 是方程 x -3 3x+1=0 的两根, c ? 5 试判断 ? ABC 的形状。
2

答案:直角三角形。

19


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