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2014《步步高》高考数学第一轮复习08 空间向量及其运算

时间:2013-10-09


§ 8.6
2014 高考会这样考

空间向量及其运算

1.考查空间向量的线性运算及其数量积;2.利用向量的数量积判断向量

的关系与垂直;3.考查空间向量基本定理及其意义. 复习备考要这样做 1.和平面向量类比理解空间向量的概念、 运算; 2.掌握空间向量的共线、

垂直的条件,理解空间向量基本定理和数量积.

1. 空间向量的有关概念 (1)空间向量:在空间中,具有大小和方向的量叫做空间向量. (2)相等向量:方向相同且模相等的向量. (3)共线向量:表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量. (4)共面向量:平行于同一个平面的向量. 2. 共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量 a,b(b≠0),a∥b 的充要条件是存在实数 λ,使得 a=λb. → → 推论 如图所示,点 P 在 l 上的充要条件是OP=OA+ta① → → → → 其中 a 叫直线 l 的方向向量, t∈R, l 上取AB=a, 在 则①可化为OP=OA+tAB → → → 或OP=(1-t)OA+tOB. (2)共面向量定理的向量表达式:p=xa+yb,其中 x,y∈R,a,b 为不共线向 → → → → → → → 量,推论的表达式为MP=xMA+yMB或对空间任意一点 O,有OP=OM+xMA+yMB或 → → → → OP=xOM+yOA+zOB,其中 x+y+z=__1__. (3)空间向量基本定理 如果三个向量 a,b,c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在有序实数组{x,y,z},使 得 p=xa+yb+zc,把{a,b,c}叫做空间的一个基底. 3. 空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 → → 已知两个非零向量 a,b,在空间任取一点 O,作OA=a,OB=b,则∠AOB 叫做向量 a π 与 b 的夹角,记作〈a,b〉 ,其范围是 0≤〈a,b〉≤π,若〈a,b〉= ,则称 a 与 b 互 2

相垂直,记作 a⊥b. ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a,b,则|a||b|cos〈a,b〉叫做向量 a,b 的数量积,记作 a· b,即 a· b=|a||b|cos〈a,b〉 . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律:(λa)· b=λ(a· b); ②交换律:a· b=b· a; ③分配律:a· (b+c)=a· b+a· c. 4. 空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则 a· 1b1+a2b2+a3b3. b=a (2)共线与垂直的坐标表示 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则 a∥b?a=λb?a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3 (λ∈R), a⊥b?a· b=0?a1b1+a2b2+a3b3=0(a,b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3), 则|a|= a· a= a2+a2+a2, 1 2 3 a1b1+a2b2+a3b3 a· b cos〈a,b〉= = 2 2 2 2 . |a||b| a1+a2+a3· b2+b2+b3 1 2 设 A(a1,b1,c1),B(a2,b2,c2), → 则 dAB=|AB|= ?a2-a1?2+?b2-b1?2+?c2-c1?2. [难点正本 疑点清源] 1. 空间向量是由平面向量拓展而来的,因此空间向量的概念和性质与平面向量的概念和性 质相同或相似, 故在学习空间向量时, 如果注意与平面向量的相关内容相类比进行学习, 将达到事半功倍的效果.比如: a· b (1)定义式:a· b=|a||b|cos〈a,b〉或 cos〈a,b〉= ,用于求两个向量的数量积或夹 |a||b| 角; (2)非零向量 a,b,a⊥b?a· b=0,用于证明两个向量的垂直关系; (3)|a|2=a· a,用于求距离等等. 2. 用空间向量解决几何问题的一般步骤: (1)适当的选取基底{a,b,c};

(2)用 a,b,c 表示相关向量; (3)通过运算完成证明或计算问题.

1. 已知向量 a=(4,-2,-4),b=(6,-3,2),则(a+b)· (a-b)的值为________. 答案 -13 解析 ∵a+b=(10,-5,-2),a-b=(-2,1,-6), ∴(a+b)· (a-b)=-20-5+12=-13. 2. 下列命题: → → → → ①若 A、B、C、D 是空间任意四点,则有AB+BC+CD+DA=0; ②|a|-|b|=|a+b|是 a、b 共线的充要条件; ③若 a、b 共线,则 a 与 b 所在直线平行; → → → → ④对空间任意一点 O 与不共线的三点 A、 C, B、 若OP=xOA+yOB+zOC (其中 x、 z∈R), y、 则 P、A、B、C 四点共面. 其中不正确的所有命题的序号为__________. ... 答案 ②③④ 解析 ①中四点恰好围成一封闭图形,正确; ②中当 a、b 同向时,应有|a|+|b|=|a+b|; ③中 a、b 所在直线可能重合; ④中需满足 x+y+z=1,才有 P、A、B、C 四点共面. 3. 同时垂直于 a=(2,2,1)和 b=(4,5,3)的单位向量是____________________. 1 2 2 1 2 2 答案 ?3,-3,3?或?-3,3,-3? ? ? ? ? 解析 设与 a=(2,2,1)和 b=(4,5,3)同时垂直 b 单位向量是 c=(p,q,r),则

?p +q +r =1, ? ?2p+2q+r=0, ?4p+5q+3r=0, ?

2

2

2

? ? 2 解得?q=-3, ?r=2, ? 3
1 p= , 3

? ? 2 或?q=3, ?r=-2, ? 3

1 p=- , 3

即同时垂直 a,b 的单位向量为

?1,-2,2?或?-1,2,-2?. 3 3? ? 3 3 3? ?3
→ → 4. 如图所示,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,M 为 A1C1 与 B1D1 的交点.若AB=a, AD → → =b,AA1=c,则下列向量中与BM相等的向量是 ( )

1 1 A.- a+ b+c 2 2 1 1 B. a+ b+c 2 2 1 1 C.- a- b+c 2 2 1 1 D. a- b+c 2 2 答案 A → → → → 1 → → 解析 BM=BB1+B1M=AA1+ (AD-AB) 2 1 1 1 =c+ (b-a)=- a+ b+c. 2 2 2 5. 如图所示,在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别在 A1D、AC 上, 2 1 且 A1E= A1D,AF= AC,则 3 3 A.EF 至多与 A1D、AC 之一垂直 B.EF 与 A1D、AC 都垂直 C.EF 与 BD1 相交 D.EF 与 BD1 异面 答案 B 解析 设 AB=1,以 D 为原点,DA 所在直线为 x 轴,DC 所在直线 为 y 轴,DD1 所在直线为 z 轴建立空间直角坐标系,则 A1(1,0,1), 1 1 2 1 D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E?3,0,3?,F?3,3,0?,B(1,1,0), ? ? ? ? 1 1 1 → → → D1(0,0,1),A1D=(-1,0,-1),AC=(-1,1,0),EF=?3,3,-3?, ? ? 1→ → → → → → → BD1=(-1,-1,1),EF=- BD1,A1D· =AC· =0,从而 EF∥BD1,EF⊥A1D, EF EF 3 EF⊥AC. ( )

题型一 空间向量的线性运算 例1 三棱锥 O—ABC 中,M,N 分别是 OA,BC 的中点,G 是△ABC → → → → → 的重心,用基向量OA,OB,OC表示MG,OG. 思维启迪:利用空间向量的加减法和数乘运算表示即可. → → → 1→ 2→ 解 MG=MA+AG= OA+ AN 2 3 1→ 2 → → = OA+ (ON-OA) 2 3 1→ 2 1 → → → = OA+ [ (OB+OC)-OA] 2 32 1→ 1→ 1→ =- OA+ OB+ OC. 6 3 3 → → → 1→ 1→ 1→ 1→ OG=OM+MG= OA- OA+ OB+ OC 2 6 3 3 1→ 1→ 1→ = OA+ OB+ OC. 3 3 3 探究提高 用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关

键.要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等 于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多 边形法则.在立体几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间仍 然成立. 如图所示, ABCD-A1B1C1D1 中, ABCD 是平行四边形. 若 → 1→ → → → → → AE= EC,A1F=2FD,若AB=b,AD=c,AA1=a,试用 a,b,c 表 2 → 示EF. 解 → → → 如图,连接 AF,则EF=EA+AF.

由已知 ABCD 是平行四边形, → → → 故AC=AB+AD=b+c, → → → A1D=A1A+AD=-a+c.

→ → → → → 由已知,A1F=2FD,∴AF=AD+DF → → → 1→ =AD-FD=AD- A1D 3 1 1 =c- (c-a)= (a+2c), 3 3 1→ 1 → 又EA=- AC=- (b+c), 3 3 1 → → → ∴EF=EA+AF=- (b+c) 3 1 1 + (a+2c)= (a-b+c). 3 3 题型二 共线定理、共面定理的应用 例2 已知 E、F、G、H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、 DA 的中点, (1)求证:E、F、G、H 四点共面; (2)求证:BD∥平面 EFGH; → 1 → → → → (3)设 M 是 EG 和 FH 的交点,求证:对空间任一点 O,有OM= (OA+OB+OC+OD). 4 → → → → → 思维启迪: 对于(1)只要证出向量BD与EH共线即可; 对于(2)只要证出EG=EF+EH即可; 对于(3),易知四边形 EFGH 为平行四边形,则点 M 为线段 EG 与 FH 的中点,于是向量 → → → → → → → OM可由向量OG和OE表示,再将OG与OE分别用向量OC,OD和 → → 向量OA,OB表示. 证明 (1)连接 BG,

→ → → 则EG=EB+BG → 1 → → =EB+ (BC+BD) 2 → → → → → =EB+BF+EH=EF+EH, 由共面向量定理的推论知: E、F、G、H 四点共面. → → → (2)因为EH=AH-AE

1 → 1→ 1 → → 1 → = AD- AB= (AD-AB)= BD, 2 2 2 2 所以 EH∥BD. 又 EH?平面 EFGH,BD?平面 EFGH, 所以 BD∥平面 EFGH. (3)找一点 O,并连接 OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG. → 1→ → 1→ 由(2)知EH= BD,同理FG= BD, 2 2 → → 所以EH=FG,即 EH 綊 FG, 所以四边形 EFGH 是平行四边形. 所以 EG,FH 交于一点 M 且被 M 平分. 1→ 1→ → 1 → → 故OM= (OE+OG)= OE+ OG 2 2 2 1 1 → → 1 1 → → = ?2?OA+OB??+ ?2?OC+OD?? ? 2? ? 2? 1 → → → → = (OA+OB+OC+OD). 4 探究提高 在求一个向量由其他向量来表示的时候,通常是利用向量的三角形法则、平 行四边形法则和共线向量的特点, 把要求的向量逐步分解, 向已知向量靠近, 进行求解. 若 要证明两直线平行,只需判定两直线所在的向量满足线性 a=λb 关系,即可判定两直线 平行. 如图,在三棱柱 ABC—A1B1C1 中,D 为 BC 边上的中点, 求证:A1B∥平面 AC1D. → → → 证明 设BA=a,BB1=c,BC=b, → → → → → 则BA1=BA+AA1=BA+BB1 =a+c, 1 → → → → 1→ AD=AB+BD=AB+ BC=-a+ b, 2 2 → → → → → → AC1=AC+CC1=BC-BA+BB1=b-a+c, → → → BA1=AC1-2AD, ∵A1B?平面 AC1D,∴A1B∥平面 AC1D. 题型三 空间向量数量积的应用 例3 已知空间三点 A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5). → → (1)求以AB,AC为边的平行四边形的面积;

→ → (2)若|a|= 3,且 a 分别与AB,AC垂直,求向量 a 的坐标. 思维启迪:利用两个向量的数量积可以求向量的模和两个向量的夹角. 解 (1)由题意可得:

→ → AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2), → → AB· AC → → ∴cos〈AB,AC〉= → → |AB||AC| = -2+3+6 7 1 = = . 14× 14 14 2

3 → → ∴sin〈AB,AC〉= , 2 → → ∴以AB,AC为边的平行四边形的面积为 1→ → → → S=2× |AB|· |· |AC sin〈AB,AC〉 2 =14× 3 =7 3. 2

(2)设 a=(x,y,z),

?x +y +z =3 ? 由题意得?-2x-y+3z=0 ?x-3y+2z=0 ? ?x=1 ? 解得?y=1 ?z=1 ? ?x=-1 ? 或?y=-1 ?z=-1 ?

2

2

2





∴向量 a 的坐标为(1,1,1)或(-1,-1,-1). 探究提高 (1)当题目条件有垂直关系时,常转化为数量积为零进行应用;

(2)当异面直线所成的角为 α 时, 常利用它们所在的向量转化为向量的夹角 θ 来进行计算; (3)通过数量积可以求向量的模. 如图所示,平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1,且两两夹角为 60° . (1)求 AC1 的长; (2)求 BD1 与 AC 夹角的余弦值. 解 → → → (1)记AB=a,AD=b,AA1=c,

则|a|=|b|=|c|=1, 〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60° , 1 ∴a· b=b· c=c· . a= 2

→ |AC1|2=(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2(a· b+b· c+c· a) 1 1 1 =1+1+1+2×?2+2+2?=6, ? ? → ∴|AC1|= 6,即 AC1 的长为 6. → → (2)BD1=b+c-a,AC=a+b, → → ∴|BD1|= 2,|AC|= 3, → → BD1· =(b+c-a)· AC (a+b) =b2-a2+a· c+b· c=1. → → BD1· AC 6 → → ∴cos〈BD1,AC〉= = . 6 → → |BD1||AC| ∴AC 与 BD1 夹角的余弦值为 6 . 6

空间向量运算错误

典例:(12 分)如图所示,在各个面都是平行四边形的四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,P 是 CA1 的中点,M 是 CD1 的中点,N → 是 C1D1 的中点,点 Q 在 CA1 上,且 CQ∶QA1=4∶1,设AB → → =a,AD=b,AA1=c,用基底{a,b,c}表示以下向量: → → → → (1)AP;(2)AM;(3)AN;(4)AQ. 易错分析 解本题易出错的地方就是对空间向量加减法的运算,特别是减法运算理解不 → → → → 4→ 清,如把CA1误认为是AC-AA1;另一个错误是向量的数乘表示不准,如把CQ= CA1, 5 → 3→ 误认为CQ= CA1. 4 规范解答 解 如图连接 AC,AD1.

→ 1 → → (1)AP= (AC+AA1) 2 1 → → → = (AB+AD+AA1) 2 1 = (a+b+c).[3 分] 2

1 → → 1 → → → → (2)AM= (AC+AD1)= (AB+2AD+AA1) 2 2 1 = (a+2b+c).[6 分] 2 1 → → → 1 → 1 → 1 → → → → → → (3)AN= (AC1+AD1)= [(AB+AD+AA1)+(AD+AA1)]= (AB+2AD+2AA1)= (a+2b+ 2 2 2 2 2c) 1 = a+b+c.[9 分] 2 → → → → 4 → → (4)AQ=AC+CQ=AC+ (AA1-AC) 5 1→ 4 → 1→ 1 → 4 → = AC+ AA1= AB+ AD+ AA1 5 5 5 5 5 1 1 4 = a+ b+ c.[12 分] 5 5 5 温馨提醒 (1)空间向量的加减法运算和数乘是表示向量的基础; (2)空间任一向量用一组

基底表示是唯一的;(3)空间向量共线和两直线平行是不同的.

方法与技巧 1.利用向量的线性运算和空间向量基本定理表示向量是向量应用的基础. 2.利用共线向量定理、共面向量定理可以证明一些平行、共面问题;利用数量积运算可以解 决一些距离、夹角问题. 3.利用向量解立体几何题的一般方法:把线段或角度转化为向量表示,用已知向量表示未知 向量,然后通过向量的运算或证明去解决问题. 失误与防范 1.向量的数量积满足交换律、分配律,但不满足结合律,即 a· b=b· a,a· (b+c)=a· b+a· 成 c 立,(a· c=a· c)不一定成立. b)· (b· 2. 用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理; 求两点间距离或某一 线段的长度,一般用向量的模来解决;解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零;求 异面直线所成的角,一般可以转化为两向量的夹角,但要注意两种角的范围不同,最后应 进行转化.

A 组 专项基础训练 (时间:35 分钟,满分:57 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) → → → 1. 已知 O,A,B,C 为空间四个点,又OA,OB,OC为空间的一个基底,则 A.O,A,B,C 四点不共线 B.O,A,B,C 四点共面,但不共线 C.O,A,B,C 四点中任意三点不共线 D.O,A,B,C 四点不共面 答案 D → → → → → → 解析 OA,OB,OC为空间的一个基底,所以OA,OB,OC不共面,但 A,B,C 三种 → → → 情况都有可能使OA,OB,OC共面. 2. 已知 a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若 a∥b,则 λ 与 μ 的值可以是 1 A.2, 2 C.-3,2 答案 A 1 1 B.- , 3 2 D.2,2 ( ) ( )

?λ+1= 2 , ?λ=2, ?λ=-3, ? ? ? 2λ 解析 由题意知:? 6 解得? 1 或? 1 ?μ=2 ?μ=2. ?2μ-1=0, ? ? ?
3. 如图所示,PD 垂直于正方形 ABCD 所在平面,AB=2,E 为 PB 的 3 → → 中点,cos〈DP,AE〉= ,若以 DA,DC,DP 所在直线分别为 3 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,则点 E 的坐标为 A.(1,1,1) 3 C.?1,1,2? ? ? 答案 A a 解析 设 PD=a (a>0),则 A(2,0,0),B(2,2,0),P(0,0,a),E?1,1,2?, ? ? a → → ∴DP=(0,0,a),AE=?-1,1,2?, ? ? 1 B.?1,1,2? ? ? D.(1,1,2) ( )

3 a2 → → ∵cos〈DP,AE〉= ,∴ =a 3 2 ∴E 的坐标为(1,1,1).

a2 3 2+ · ,∴a=2. 4 3

4. 如图所示,已知 PA⊥平面 ABC,∠ABC=120° ,PA=AB=BC=6, 则 PC 等于 A.6 2 C.12 答案 C → → → → 解析 因为PC=PA+AB+BC, → → → → → → 所以PC2=PA2+AB2+BC2+2AB· BC =36+36+36+2×36cos 60° =144. → 所以|PC|=12. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) → → → 5. 在四面体 O—ABC 中,OA=a,OB=b,OC=c,D 为 BC 的中点,E 为 → AD 的中点,则OE=______________(用 a,b,c 表示). 答案 1 1 1 a+ b+ c 2 4 4 B.6 D.144 ( )

→ 1→ 1→ 1→ 1→ 1→ 解析 OE= OA+ OD= OA+ OB+ OC 2 2 2 4 4 1 1 1 = a+ b+ c. 2 4 4 8 6. 若向量 a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且 a 与 b 的夹角的余弦值为 ,则 λ=________. 9 2 答案 -2 或 55 2-λ+4 8 a· b 解析 由已知得 = = , 9 |a||b| 5+λ2· 9 2 ∴8 5+λ2=3(6-λ),解得 λ=-2 或 λ= . 55 7. 在空间直角坐标系中,以点 A(4,1,9)、B(10,-1,6)、C(x,4,3)为顶点的△ABC 是以 BC 为 斜边的等腰直角三角形,则实数 x 的值为________. 答案 2 → → → → 解析 由题意知AB· =0,|AB|=|AC|,可解得 x=2. AC

三、解答题(共 22 分) 8. (10 分)如图,已知 M、N 分别为四面体 ABCD 的面 BCD 与面 ACD 的重心,且 G 为 AM 上一点,且 GM∶GA=1∶3.求证:B、G、N 三 点共线. → → → 证明 设AB=a,AC=b,AD=c, → → → → 3→ 则BG=BA+AG=BA+ AM 4 1 3 1 1 =-a+ (a+b+c)=- a+ b+ c, 4 4 4 4 → → → → 1 → → BN=BA+AN=BA+ (AC+AD) 3 1 1 4→ =-a+ b+ c= BG. 3 3 3 → → ∴BN∥BG,即 B、G、N 三点共线. → → 9. (12 分)已知空间中三点 A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设 a=AB,b=AC. (1)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值; (2)若 ka+b 与 ka-2b 互相垂直,求实数 k 的值. 解 (1)∵a=(1,1,0),b=(-1,0,2),

∴a· b=(1,1,0)· (-1,0,2)=-1, 又|a|= 12+12+02= 2, |b|= ?-1?2+02+22= 5, 10 a· -1 b ∴cos〈a,b〉= = =- , |a||b| 10 10 即向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值为- (2)方法一 ∵ka+b=(k-1,k,2). ka-2b=(k+2,k,-4),且 ka+b 与 ka-2b 互相垂直, ∴(k-1,k,2)· (k+2,k,-4)=(k-1)(k+2)+k2-8=0, 5 5 ∴k=2 或 k=- ,∴当 ka+b 与 ka-2b 互相垂直时,实数 k 的值为 2 或- . 2 2 方法二 由(2)知|a|= 2,|b|= 5,a· b=-1, 5 ∴(ka+b)· (ka-2b)=k2a2-ka· b-2b2=2k2+k-10=0,得 k=2 或 k=- . 2 B 组 专项能力提升 (时间:25 分钟,满分:43 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分) 10 . 10

1. 有下列命题: ①若 p=xa+yb,则 p 与 a,b 共面; ②若 p 与 a,b 共面,则 p=xa+yb; → → → ③若MP=xMA+yMB,则 P,M,A、B 共面; → → → ④若 P,M,A,B 共面,则MP=xMA+yMB. 其中真命题的个数是 A.1 答案 B 解析 其中①③为真命题. → 1 → 2. 正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a,点 M 在 AC1 上且AM= MC1,N 为 B1B 的中点, 2 → 则|MN|为 A. 21 a 6 B. 6 a 6 C. 15 a 6 D. 15 a 3 ( ) B.2 C.3 D.4 ( )

答案 A 解析 以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz, 则 A(a,0,0),C1(0,a,a), a N?a,a,2?. ? ? 设 M(x,y,z). → 1→ ∵点 M 在 AC1 上且AM= MC1, 2 1 ∴(x-a,y,z)= (-x,a-y,a-z) 2 2a a a 2 a a ∴x= a,y= ,z= .∴M? 3 ,3,3?, ? ? 3 3 3 → ∴|MN|=

?a-2a?2+?a-a?2+?a-a?2= 21a. ? 3 ? ? 3? ?2 3? 6

π 3. 如图所示,已知空间四边形 OABC,OB=OC,且∠AOB=∠AOC= , 3 → → 则 cos〈OA,BC〉的值为 A.0 C. 3 2 1 B. 2 D. 2 2 ( )

答案 A → → → 解析 设OA=a,OB=b,OC=c,

π 由已知条件〈a,b〉=〈a,c〉= ,且|b|=|c|, 3 → → OA· =a· BC (c-b)=a· c-a· b 1 1 = |a||c|- |a||b|=0, 2 2 → → ∴cos〈OA,BC〉=0. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 4. 已知 a+3b 与 7a-5b 垂直,且 a-4b 与 7a-2b 垂直,则〈a,b〉=________. 答案 60° 解析 由条件知(a+3b)· (7a-5b) =7|a|2+16a· b-15|b|2=0, 及(a-4b)· (7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a· b=0. 1 两式相减,得 46a· b=23|b|2,∴a· |b|2. b= 2 代入上面两个式子中的任意一个,即可得到|a|=|b|. 1 2 |b| 1 a· 2 b ∴cos〈a,b〉= = = . |a||b| |b|2 2 ∵〈a,b〉∈[0° ,180° ],∴〈a,b〉=60° . π 5. 如图所示, 已知二面角 α—l—β 的平面角为 θ ?θ∈?0,2??, ? ? ?? AB⊥BC, BC⊥CD,AB 在平面 β 内,BC 在 l 上,CD 在平面 α 内,若 AB=BC =CD=1,则 AD 的长为________. 答案 3-2cos θ

→ → → → 解析 AD=AB+BC+CD, → → → → → → → → → → 所以AD2=AB2+BC2+CD2+2AB· +2AB· +2BC· =1+1+1+2cos(π-θ)=3- CD BC CD 2cos θ. → 所以|AD|= 3-2cos θ, 即 AD 的长为 3-2cos θ. 6. 已知 a=(1-t,1-t,t),b=(2,t,t),则|b-a|的最小值为________. 答案 3 5 5

解析 b-a=(1+t,2t-1,0), ∴|b-a|= ?1+t?2+?2t-1?2 = 1 9 5?t-5?2+ , ? ? 5

1 3 5 ∴当 t= 时,|b-a|取得最小值 . 5 5 三、解答题 7. (13 分)直三棱柱 ABC—A′B′C′中, AC=BC=AA′, ∠ACB=90° , D、E 分别为 AB、BB′的中点. (1)求证:CE⊥A′D; (2)求异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值. → → → (1)证明 设CA=a,CB=b,CC′=c, 根据题意,|a|=|b|=|c|,且 a· b=b· c=c· a=0, 1 1 1 → → ∴CE=b+ c,A′D=-c+ b- a. 2 2 2 1 1 → → ∴CE· A′D=- c2+ b2=0. 2 2 → → ∴CE⊥A′D,即 CE⊥A′D. (2)解 → ∵AC′=-a+c,

5 → → |AC′|= 2|a|,|CE|= |a|. 2 → → ? 1 AC′· =(-a+c)·b+2c? CE ? ? 1 1 = c2= |a|2, 2 2 1 2 |a| 2 10 → → ∴cos〈AC′,CE〉= = . 5 2 10 2· |a| 2 即异面直线 CE 与 AC′所成角的余弦值为 10 . 10


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