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最新2017高考数学难点突破

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难点 9 指数函数、对数函数问题 指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一,本节主要帮助考生掌握两种函数的概念、图 象和性质并会用它们去解决某些简单的实际问题. ●难点磁场 (★★★★★)设 f(x)=log2 (1)试判断函数 f(x)的单调性,并用函数单调性定义,给出证明; (2)若 f(x)的反函数为 f 1(x),证明:对任意的自然数 n(n≥3),都有 f 1(n)> - - - - 1 ? x ,F(x)= 1 +f(x). 2? x 1? x (3)若 F(x)的反函数 F 1(x),证明:方程 F 1(x)=0 有惟一解. ●案例探究 [例 1]已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点,分别过点 A、B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点. (1)证明:点 C、D 和原点 O 在同一条直线上; (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标. 命题意图:本题主要考查对数函数图象、对数换底公式、对数方程、指数方程等基础知识,考 查学生的分析能力和运算能力.属★★★★级题目. 知识依托:(1)证明三点共线的方法:kOC=kOD. (2)第(2)问的解答中蕴涵着方程思想,只要得到方程(1),即可求得 A 点坐标. 错解分析:不易考虑运用方程思想去解决实际问题. 技巧与方法:本题第一问运用斜率相等去证明三点共线;第二问运用方程思想去求得点 A 的 坐标. (1)证明:设点 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,由题意知:x1>1,x2>1,则 A、B 纵坐标分别为 log8x1,log8x2.因为 A、B 在过点 O 的直线上,所以 (x1,log2x1),(x2,log2x2),由于 log2x1= k1= n ; n ?1 log8 x1 log8 x 2 ? ,点 C、D 坐标分别为 x1 x2 log8 x1 log8 x 2 ? 3log8x2,所以 OC 的斜率: = 3 log8 x1 , log2 x 2 ? log8 2 log8 2 log2 x1 3 log8 x1 ? , x2 x1 log2 x 2 3 log8 x 2 ? ,由此可知:k1=k2,即 O、C、D 在同一条直线上. x2 x2 即:log2x1= OD 的斜率:k2= 1 log2x2,代入 x2log8x1=x1log8x2 得: 3 x13log8x1=3x1log8x1,由于 x1>1 知 log8x1≠0,∴x13=3x1.又 x1>1,∴x1= 3 ,则点 A 的坐标为( 3 ,log8 3 ). (2)解:由 BC 平行于 x 轴知:log2x1=log8x2 [例 2]在 xOy 平面上有一点列 P1(a1,b1),P2(a2,b2),?,Pn(an,bn)?,对每个自然数 n 点 Pn 位于函数 y=2000( a x ) (0<a<1)的图象上,且点 Pn,点(n,0)与点(n+1,0)构成一个以 Pn 为顶点的等腰三角形. 10 (1)求点 Pn 的纵坐标 bn 的表达式; (2)若对于每个自然数 n,以 bn,bn+1,bn+2 为边长能构成一个三角形,求 a 的取值范围; (3)设 Cn=lg(bn)(n∈N*),若 a 取(2)中确定的范围内的最小整数,问数列{Cn}前多少项的和最大? 试说明理由. 命题意图:本题把平面点列,指数函数,对数、最值等知识点揉合在一起,构成一个思维难度 较大的综合题目,本题主要考查考生对综合知识分析和

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