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甘肃省永昌县第一中学2015-2016学年高二数学上学期期中试题 文

时间:2015-12-28


永昌县第一高级中学 2015—2016—1 期中考试卷 高二数学 (文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)和第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) ,考试时间 120 分 钟,满分为 150 分。请将第Ⅰ卷正确答案涂在机读卡上,第Ⅱ卷在答题卡上做答。 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1、不等式 ? 25x ? 10x ? 1 ? 0 的解集为(
2





A. ?

B. ? x x ? ?

? ?

1? 5?

C. ? x x ?

? ?

1? ? 5?

D. ? x x ? ?

? ?

1? 5?


座位号

2、在△ABC 中, B ? 45? , C ? 60?, c ? 1, 则最短边的边长为( A.

6 2



B.

1 2
2

C.

6 3

D.

3 2


考场号

3、若不等式 8x ? 9 ? 7 和不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集相同,则 a , b 的值为( 准 A. a ? ?4, b ? ?9 B. a ? ?8, b ? ?10 C. a ? ?1, b ? 9 )

D. a ? ?1, b ? 2

4、对任意等比数列{an},下列说法一定正确的是( A.a1,a3,a9 成等比数列 不 C. a2 , a4 , a8 成等比数列

B.a2,a3,a6 成等比数列 D. a3 , a6 , a9 成等比数列 )
2

姓名



5、设 a ? 1 ? b ? ?1 ,则下列不等式中恒成立的是( A.

1 1 ? a b

B.

1 1 ? a b

2 C . a ? 2b

D. a ? b

线

6、等比数列{an}中,a4=2,a5=5,则数列{lg an}的前 8 项和等于( A.6 B.5 C.4 D.3



班级



7、点 ( x, y ) 在直线 x ? 2 y ? 3 上移动,则 2 ? 4 的最小值为(
x y



A. 4

B. 4 3

C. 4 2

D. 2 2 )

8、在△ABC 中, c ? 3, b ? 1, B ? 30? ,则△ABC 的面积为(

A.

3 或 3 2

B.

3 3 或 4 2

C.

3 或 3 4

D.

3

y≤x, ? ? 9. 若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤1,且 z=2x+y 的最大值和最小值分别为 m 和 n,则 ? ?y≥-1,
1

m-n=(



A.5 B.6 C.7 D.8 10、设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? ?11, a4 ? a6 ? ?6 ,则当 S n 取最小值时,

n 等于(
A.6

) B.7 C.8 ) D. 9

11、在 ?ABC 中,若

cos A b ? ,则 ?ABC 是( cos B a

A. 等腰或直角三角形 C. 直角三角形

B. 等边三角形 D. 等腰三角形

已知数列 ?an ? 中,a1 ? 1, 前 n 项和为 Sn , 且点 P(an , an?1 )(n ? N * ) 在一次函数 y ? x ? 1 12、 的图象上,则

1 1 1 1 ? ? ? ? ? =( S1 S2 S3 Sn
B.



A.

2n n ?1

2 n(n ? 1)

C.

n(n ? 1) 2

D.

n 2(n ? 1)

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、设 S n 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和,若 S 7 ? 35 ,则 a 4 ? ___________。 14、不等式 m x ? m x ? 1 的解集为 R,则 m 的取值范围是____________。
2

15、不等式

2x ? 1 ? 1 的解集是____________。 3x ? 1

16、数列 ?an ? 的前 n 项和 sn ? 2an ? 3(n ? N * ) ,则 a5 ? 三、解答题(17 题 10 分,19、20、21、22 每题 12 分) 17、已知等比数列 ?an ? 中, a1 ? 2, a4 ? 16 , (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an 与前 n 项和 Sn ; (2)设等差数列 ?bn ? 中, b2 ? a2 , b9 ? a5 ,求数列 ?bn ? 的通项公式 bn 与前 n 项和 Sn 。

18、在 ?ABC 中,角 A 、 B 、C 的对边分别为 a、b、c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cosC ,

2

?1? 、求角 B 的大小;

?2? 、若 b ?

7 , a ? c ? 4, 求 ?ABC 的面积。

19、已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设数列 bn ?



a5 ? 5,S 5? 15。

1 , n ? N ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 。 a n a n ?1

20、如图 1?5 所示,在平面四边形 ABCD 中,

AD=1,CD=2,AC= 7.

(1)求 cos∠CAD 的值; (2)若 cos∠BAD=- 长. 图 1?5 7 21 ,sin∠CBA= ,求 BC 的 14 6

21、某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园 ABCD,公园由长方形的休闲区 A1B1C1D1(阴影部分)和环公园人行道组成。已知休闲区 A1B1C1D1 的面积为 4000 平方米,人行 道的宽分别为 4 米和 10 米。 (1)若设休闲区的长 A1B1 ? x 米,求公园 ABCD 所占面积 S 关于 x 的函数 S ( x) 的解析 式; (2) 要使公园所占面积最小, 休闲区 A1B1C1D1 的长和宽该如何设计?并求出面积最小值。 D D1 C1 C
4米

A1 A 10 米

B1

4米

10 米 B

3

22、已知数列 ?an ?的前 n 项和为 sn ,满足 sn ? 2n ? 2an . (1)证明:数列 ?an ? 2?是等比数列,并求数列 ?an ?的通项公式 an ; (2) 若数列 ?bn ?满足 bn ? log2 (an ? 2) ,设 Tn 是数列 ?

? bn ? ? 的前 n 项和,求证: ? an ? 2 ?

Tn ?

3 . 2

4

永昌县第一高级中学 2015—2016—1 期中考试 高二数学 (文科) 参考答案 三、选择题(每小题 5 分,共 5×12=60 分) 1、B 2、C 3、A 4、D 5、D 6、C 7、C 8、B 9、B 10、A 11、A 12、A

二、填空题(每小题 5 分,共 5×4=20 分) 13、5; 14、 ? 4 ? m ? 0 ; 15、 ? x ? 2 ? x ? ? ?

? ?

1? 3?

;16、 48

三、解答题(17 题 10 分,19、20、21、22 每题 12 分) 17、 ?a ? (1)设等比数列 n 的公比为 q 由已知,得 16 ? 2q ,解得 q ? 2
3

?an ? a1q

n ?1

? 2? 2

n?1

?2

n



a1 (1 ? q n ) 2(1 ? 2 n ) sn ? ? ? 2 n?1 ? 2 1? q 1? 2

(2)由(1)得 设等差数列

a2 ? 4, a5 ? 32,?b2 ? 4, b9 ? 32

?bn ? 的公差为 d ,则

?b1 ? d ? 4 ?b1 ? 0 ? ? ?b1 ? 8d ? 32 ,解得 ? d ? 4

? bn ? 4n ? 4

? Sn ? b1n ?

n ? n ? 1? d ? 2n 2 ? 2n 2
?

18、 (1) ?B ? 60

(2)

3 3 4

19、 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d. ∵a5=5,S5=15,

a1+4d=5, ? ? ∴? 5×?5-1? 5a1+ d=15, ? 2 ?
∴an=a1+(n-1)d=n. (2)∴ bn = =1 ? 1

∴?

? ?a1=1, ?d=1, ?

anan+1 n?n+1? n n+1



1

1 1 1 1 1 1 1 1 = - , s n ? 1 ? ? ? ? ? ? ......? ? 2 2 3 3 4 n

1 n ?1

1 n ? n ?1 n ?1

5

20、

解:(1)在△ADC 中,由余弦定理,得 cos∠CAD=

AC2+AD2-CD2 , 2AC·AD

7+1-4 2 7 故由题设知,cos∠CAD= = . 7 2 7 (2)设∠BAC=α ,则 α =∠BAD-∠CAD. 2 7 7 2 因为 cos∠CAD= ,cos∠BAD=- ,所以 sin∠CAD= 1-cos ∠CAD= 7 14 21 7?2 3 21 ?2 7?2 ? 2 1-? 1-?- ? = . ? = 7 ,sin∠BAD= 1-cos ∠BAD= 14 ? 7 ? ? 14 ? 于是 sin ? =sin (∠BAD-∠CAD)=sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD 3 21 2 7 ? 21 3 7? = × -?- ?× = . 14 7 2 ? 14 ? 7 在△ABC 中,由正弦定理,得

BC AC = . sin ∠CBA sin ?

AC ? sin ? 故 BC= = sin ?CBA



3 2

21 6

=3.

21、⑴由 A1B1 ? x ,知 B1C1 ?

4000 x

4000 ? 8) x 80000 ? 4160 ? 8 x ? ( x ? 0) x S ? ( x ? 20)(
⑵ S ? 4160? 8 x ? 当且仅当 8 x ?

80000 80000 ? 4160? 2 8 x ? ? 5760 x x

80000 即x ? 100 时取等号 x

∴要使公园所占面积最小,休闲区 A1B1C1D1 的长为 100 米、宽为 40 米.面积最小值为 5760. 22、 (1)因为 sn ? 2n ? 2an ,所以 sn?1 ? 2(n ? 1) ? 2an?1 , (n ? 2) 则 an ? 2 ? 2an ? 2an?1 即 an ? 2an?1 ? 2 所以有

an ? 2 ?2 a n ?1 ? 2

所以数列数列 ?an ? 2?是等比数列。 (2)由(1)知数列 ?an ? 2?是等比数列。当 n ? 1 时, a1 ? 2 ? 2a1 , a1 ? 2 , a1 ? 2 ? 4

an ? 2 ? 4 ? 2 n?1 ? 2 n?1 所以 an ? 2n?1 ? 2 , bn ? log2 (an ? 2) ? log2 2n?1 ? n ? 1
令 Cn ?

bn 2 3 4 n n ?1 n ?1 ? n?1 , Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ......? n ? n ?1 2 2 2 2 2 an ? 2 2

6

1 2 3 4 n n ?1 Tn ? 3 ? 4 ? 5 ? ......? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 1 1 n ?1 3 1 2 1 1 1 n ?1 2 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ......? n?1 ? n? 2 所以 Tn ? 1 ? ? n ? n ?1 ? 即 Tn ? 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2

7


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