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高中数学 第1章归纳总结同步导学案 北师大版必修5

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第一章归纳总结 知识结构 知识梳理 一、数列的概念与函数特征 1.数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列,数列还可以看作一个定义域为 N +(或它的有限子集 {1,2,…,n})的函数的一列函数值. 2.通项公式:如果数列{an}的第 n 项与 n 之间的函数关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个数 列的通项公式. 3.an 与 Sn 之间的关系: 如果 Sn 是数列{an}的前 n 项和,则 Sn=a1+a2+…+an. S1, 数列{an}的前 n 项和 Sn 与 an 之间的关系是 an= (n=1) . Sn-Sn-1, 4.数列的分类 (n≥2) (1)根据数列的项数可以对数列进行分类:项数有限的数列叫作有穷数列,项数无限的数列叫作无穷数列. (2)按照项与项之间的大小关系、数列的增减性,可以分为以下几类: ①一般地,一个数列{an},如果从第 2 项起,每一项都大于它前面的一项,即 an+1>an,那么这个数列叫作 递增数列. ②一个数列{an},如果从第 2 项起,每一项都小于它前面的一项,即 an+1<an,那么这个数列叫作递减数列. ③一个数列{an},如果从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,那么这个数列叫作 摆动数列. ④一个数列{an},如果它的每一项都相等,那么这个数列叫作常数列. 5.根据数列的通项公式判定数列的单调性 (1)已知 an=f(n),若 f(x)的单调性可以确定,则{an}的单调性可以确定. (2)比较法 ①作差比较法 n∈N+,an+1-an>0 ? {an}为递增数列; n∈N+,an+1-an=0 ? {an}为常数列; n∈N+,an+1-an<0 ? {an}为递减数列. ②对各项同号的数列,可用作商比较法. n∈N+,an>0(<0), n∈N+,an>0(<0), n∈N+,an>0(<0), 二、等差数列 an ?1 >1(<1) ? {an}为递增数列; an an ?1 =1 ? {an}为常数列; an an ?1 <1(>1) ? {an}为递减数列. an 1.定义:若一个数列从第二项起,每一项与其前一项的差等于同一个常数,则这个数列就叫等差数列,其 中的常数叫等差数列的公差,它常用字母 d 表示.即定义的表达式为 an+1-an=d(n∈N+)或 an-an-1=d(n≥2,n ∈N+). 2.通项公式:若数列{an}为等差数列,则 an=a1+(n-1)d. 3.前 n 项和公式:若数列{an}为等差数列,则前 n 项和 Sn= n( a1 ? an ) n(n ? 1) =na1+ d. 2 2 a?b . 2 4.等差中项:若三个数 a,A,b 成等差数列,则 A 叫做 a 与 b 的等差中项,并且 A= 5.等差数列的性质: (1)已知等差数列{an}的公差为 d,且第 m 项为 am,第 n 项为 an,则 an=am+(n-m)d; (2)在等差数列{an}中,若 m+n=p+q, (m,n,p,q∈N+)则 am+an=ap+aq; (3)若数列{an}满足 Sn=an +bn,则{an}为等差数列,且 a1=a+b,d=2a; (4)若数列{an}满足 Sn=an +bn+c(c≠0),则{an}从第 2 项起成等差数列; (5)等差数列和的最大值、最小值. 2 2 1° 在等差数列{an}中,a1>0,d<0,则 Sn 有最大值;若 a1<0,d>0,则 Sn 有最小值. 2° 求 Sn 的最值的方法: ① 因为 Sn= d 2 d n +(a1- )n,所以可转化为二次函数求最值,但应注意 n∈N+; 2 2 an≤0, 则 Sn 为最大值; 则 Sn 为最小值. an≥0, ②利用 an+1<0, 三、等比数列 an+1>0, 1.定义:若一个数列从第二项起,每一项与其前一项的比等于同一个常数,则此数列叫做等比数列;这个 常数叫做等比数列的公比,用字母 q 表示. 2.等比中项:若三个数 a,G,b 成等比数列,则 G 叫做 a 与 b 的等比中项,且 G=± ab . 3.通项公式:等比数列{an}的通项公式 an=a1q . 4. 前 n 项和公式:若等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ,公比为 q ,当 q=1 时, Sn=na1; 当 q ≠ 1 时 n-1 a1 (1 ? q n ) a1 ? an q Sn= = . 1? q 1? q 5.等比数列的重要性质: (1)在等比数列{an}中,若 k+l=m+n, (k,l,m,n∈N+)则 ak·al=am·an. (2)数列{an}为等比数列,则 an=a1q = n-1 a1 n ·q . q ①q>1,a1>0 或 0<q<1,a1<0 时,{an}是递增数列; ②q>1,a1<0 或 0<q<1,a1>0 时,{an}是递减数列; ③q=1 时,{an}是常数列; ④q<0 时,{an}是摆动数列. 6.等差、等比数列的判定方法的区别. 判定方法:(1)定义法:an+1-an=d(d 为常数) ? {an}为等差数列; an ?1 =q(q 为非零常数) ? {an}为等比数列. an (2)中项公式法:2an+1=an+an+2 (n∈N+) ? {an}为等差数列. a2n+1=an·an+2 (an·an+1·an+2≠0,n∈N+) ? {an}为等比数列. (3)通项公式法:an=pn+q(p、q 为常数) ? {an}为等差数列; an=cqn(c、q 均是不为 0 的常数,n∈N+) ? {an}为等比数列; Sn=kqn-k(k 为常数,且 q≠0,1) ? {an}为等比数列. 四、数列的综合应用 1.函数思想、方程思想、分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到. 2.数列与函数、数列与不等式的综合、用数列知识解决实际问题等内容. 3

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