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17.1

时间:2015-03-25


? 学数学解方程时,人们总会碰到"元"、"次"、"根(解)"。不过,你知 道题目中的数学术语"元"、"次"、"根(解)"(当然只是指汉语译名) 是谁创造的?说来你也许不信,是清朝的康熙皇帝。 ? 康熙皇帝是一个抱负远大、好学上进的君主,他曾拜比利时的 南怀仁等传教士为师,学习天文、数学、地理,还学拉丁文。康熙大 帝虽然聪颖过人,但是听外籍教师讲课并不轻松。因为南怀仁等人的 汉语和满语水平有限,日常会话还能够勉强对付着,而要将严谨而高 深的科学知识表达出来就显得力不从心了。而当时课本多是外文,即 使中译本也是半通不通的。这样,学习中就必然有许多精力被消耗在 语言沟通上,进度不快。 ? 不过,康熙学习很刻苦,也很有耐心。一遍听不懂,就请老师 再讲一遍,直至真正弄懂为止。南怀仁在讲方程时句子冗长,吐音又 很不清楚,康熙的脑子常常被搞得晕晕糊糊的。怎样才能让老师讲得 好懂呢?一阵冥思苦想后,一个妙法突然冒出来。他向南怀仁建议, 将未知数翻译为"元",最高次数翻译为"次"(限整式方程),使方程 左右两边相等的未知数的值翻译为"根"或"解"……南怀仁用笔认真地记 了下来,随即用这些新创术语换下自己原先使用的繁琐词语:"求二'元' 一'次'方程的'根(解)'……果然扫除了很多障碍,提高数学效率。南怀 仁惊疑地盯着康熙,愣怔了一会儿,突然按照西方最亲切的礼节一下 子将康熙紧紧抱住:"我读书和教书几十年,无论是老师还是学生,还 从来没见过一个像您这样肯动脑筋的人!" ? 康熙创造的这几个数学术语科学而简洁,十分便于理解和记忆, 因此一直延用到今天。

P请用自己的语言描述“元”和 “次”?

? 元:整式方程中含有的未知数 (字母) ? 次:整式方程中单项式的最高 次数 注:知道任意一个整式方程的名字

试一试:说出方程的名字 ? (1):3x+2y=0 ? (2):3y+x2=30 ? (3):x+xy-y=0 ? (4):9x3y-z=0

P:说出一元二次方程的概念
? 像这样的等号两边都是整式, 只含有 一个未知数(一元),并且未知数的最 高次数是2(二次)的方程叫做一元二次 方程。 即:一元二次方程的共同特点: ① 只含一个未知数; ②未知数的最高次数是2. ③方程两边都是整式;

一元二次方程的一般形式

一般地,任何一个关于x 的一元 二次方程都可以 2 化为 的形式,我们把 2 (a,b,c为常数,a≠0)称为一元二次 方程的一般形式。

ax ? bx ? c ? 0 ax ? bx ? c ? 0

想一想
为什么要限制a≠0,b,c可以为零吗?

ax
二次项系数

2+

bx+c=0
一次项系数

(a ≠ 0)

判断下列方程是否为一元二次方程? 例1 :

(1)x +x =36
(3)x+3y=36 (5) x+1=0
2

2

? ?

(2) x + x =36
3 2

?
?

1 2 (4) 2 ? ? 0 x x
2

?

(7)4 x ? 1 ? (2 x ? 3)
(8)( x ) ? 2 x ? 6 ? 0
2

x (6) ? 6 ? 3 2

? ?

P:你对一般形式中的a,b,c的 理解?

练习巩固
下列方程哪些是一元二次方程? 为什么? (1)7x2-6x=0 (2)2x2-5xy+6y=0

1 -1 =0 (3)2x2- - 3x 2 y (4) - = 0 2
(5)x2+2x-3=1+x2 解: (1)、 (4)

练习巩固
1.关于x的方程(k-3)x2 + 2x-1=0,

当k ≠3 时,是一元二次方程. 2.关于x的方程(k2-1)x2 + 2 (k-1) x + 2k + 2=0 当k ≠±1 时,是一元二次方程. 当k =-1 时,是一元一次方程.
2+1 m 3.m为何值时,方程(m-1)x +3x+2=0

是关于x的一元二次方程?
4.若关于x的方程2mx(x-1)-nx(x+1)=1,化 成一般形式后为4x2-2x-1=0,求m、n的值。

例.把下列方程化为一元二次方程的形式,并写出它的二次项
系数、一次项系数和常数项:
一般形式 二次项 系 数 一次项 系 数 常数项


2



3x =5x-1 (x+2)(x -1)=6

3 3x2-5 5x+1=0 1x2 +1 x-8=0

3 1

-5 1 0

1 -8 4

4-7x =0

2

-7x2 +4=0 0x+4=0 -7 或- -7x 7 2 +0 或7x2 - 4=0 7

0

-4

抢答:
一元二次方程 二次项 一次项 常数项 系数 系数

2x +x+4=0 -4y +2y=0 3x -x-1=0 4x -5=0
(m-3)x -(m-1)x-m=0(m≠3)
2

2

2 -4 3 4 m-3 3

1 2 -1

4 0 -1

2

2

2

0
1-m -8

-5
-m -10

3x(x-1)=5(x+2)

?
一元一次方程与一元二次 方程有什么联系与区别?
一元一次方程 一元二次方程

一般式
相同点 不同点

ax2+bx+c=0 (a≠0) 整式方程,只含有一个未知数 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2

ax+b=0 (a≠0)

1.本节学习的数学知识是:
(1) 2、学习的数学思想方法是 转化、建模思想。
一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 (2)

3、如何理解一元二次方程的一般形式 2 ax ? bx ? c ? 0 (a≠0)? (a≠0)是成为一元二次方程的必要条件 (1)
找一元二次方程的二次项、一次项 (2) 系数及常数项要先化为一般式


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