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4-4

时间:2012-07-03


圆锥曲线的参数方程 3.抛物线的参数方程

复习引入
a b ? x ? a cos ? 椭圆的参数方程:? (?为参数) ?y ? b sin?

y

椭圆的标准方程:

x

2

2

?

y

2 2

?1
O

A
B M N

x

椭圆的参数方程中参数φ的几何意义:

是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.

另外,? 称为离心角,规定参数 的取值范围是 ? ? [0, 2 ? )

复习引入
双曲线的参数方程
? x ? a sec ? (? 为 参 数 ) ? ? y ? b tan ?

y a A B'
?

?M
A' x

b o B

通 常 规 定 ? ? [0, 2 ? ) 且 ? ?

?
2

,? ?

3? 2



说明:

⑴ 这里参数 ? 叫做双曲线的离心角与直线 OM的倾斜角不同. x y ⑵ 双曲线的参数方程可以由方程 a ? b ? 1 2 2 与三角恒等式 sec ? ? 1 ? tan ? 相比较而得到, 所以双曲线的参数方程的实质是三角代换.
2 2 2 2

探究新知
思考:对于一般的抛物线,怎样建立相应的参 数方程呢?

如图:设抛物线的普通方程为 y 2=2px ,怎样 建立相应的参数方程呢?
设 M x,y) 为 抛 物 线 上 除 顶 点 外 的 任 ( 意 一 点 , 以 射 线 OM为 终 边 的 角 记 作 ?。

y

M(x,y)

因 为 点 M x,y) 在 ?的 终 边 上 , ( 根据三角函数定义可得 y x

?
o H x

? tan ? .

探究新知
2p ? x? 2 ? ? tan ? 解 出 x , y, 得 到 ? (? 为 参 数 ) 这 就 是 抛 物 线 ?y ? 2p ? tan ? ? ( 不 包 括 顶 点 )的 参 数 方 程
? x ? 2 pt 2 如果令t ? , t ? ( ? ? , 0 ) ? (0, ? ? ), 则 有 ? ( t为 参 数 ) tan ? ? y ? 2 pt 1 当 t ? 0时 , 由 参 数 方 程 表 示 的 点 正 好 就 是 抛 物 线 的 顶 点 (0, 0 ) 因 此 当 t ? ( ? ? , ? ? )时 , 参 数 方 程 就 表 示 抛 物 线 。 参 数 t 表 示 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。

探究新知
抛 物 线 y =2px(p>0) 的 参 数 方 程 为 :
?x=2pt2 , ( t为 参 数 , t ? R ) ? ? y ? 2 p t.
其 中 参 数 t= 1 tan? (? ? 0),当 ? =0时 , t=0.
2

几何意义为:
抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。

即 P(x,y)为 抛 物 线 上 任 意 一 点 ,则 有 t=

x y

.

新知应用
例 3 .如 图 O 是 直 角 坐 标 原 点 , A , B 是 抛 物 线 y ? 2 p x ( p ? 0 )上 异 于 顶 点 的 两 动 点 , 且
2

O A ? O B , O M ? A B并 于 A B 相 交 于 点 M , 求 点M的轨迹方程。

y
A M o B x

新知应用
解 : 根 据 条 件 , 设 点 M , A , B的 坐 标 分 别 为 ( x , y ) ( 2 p t1 , 2 p t1 ), ( 2 p t 2 , 2 p t 2 )( t1 ? t 2 , 且 t1 ? t 2 ? 0 ) 则
2 2

O M ? ( x , y ), O A ? ( 2 p t1 , 2 p t1 ), O B ? ( 2 p t 2 , 2 p t 2 )
2 2

?

?

?

A B ? ( 2 p ( t 2 ? t1 ), 2 p ( t 2 ? t1 ))
2 2

?

因 为 O A ? O B , 所 以 O A ? O B ? 0, 即 ( 2 p t1 t 2 ) ? ( 2 p ) t1t 2 ? 0, 所 以 t1t 2 ? ? 1 ......... ..(1)
2 2

?

?

?

?

新知应用
???? ? ??? ? ???? ??? ? ? 因 为 O M ? A B , 所 以 O M ? A B ? 0, 即 2 p x ( t 2 ? t1 ) ? 2 p y ( t 2 ? t1 ) ? 0
2 2

所 以 x ( t1 ? t 2 ) ? y ? 0, 即 t1 ? t 2 ? ? y x ( x ? 0 )....................( 2 )

??? ? 2 因 为 A B ? ( x ? 2 p t1 , y ? 2 p t1 ), ???? 2 M B ? ( 2 p t 2 ? x , 2 p t 2 ? y )且 A , M , B 三 点 共 线 ,

新知应用
所 以 ( x ? 2 p t1 )( 2 p t 2 ? y ) ? ( 2 p t 2 ? x )( y ? 2 p t1 )
2 2

化 简 , 得 y ( t1 ? t 2 ) ? 2 p t1t 2 ? x ? 0 ...............(3) 将 (1), ( 2 ) 代 入 (3), 得 到 y ( ?
2 2

y x

) ? 2 p ? x ? 0,

即 x ? y ? 2 p x ? 0 ( x ? 0 )这 就 是 点 M 的 轨 迹 方 程
探 究 : 在 例 3中 , 点 A , B 在 什 么 位 置 时 , ? A O B的 面积最小?最小值是多少 ?

新知应用
由 例 3可 得 O A = ( 2 p t1 ) ? ( 2 p t1 ) ? 2 p t1
2 2 2

t1 ? 1
2

OB ?

(2 pt2 ) ? (2 pt2 ) ? 2 p t2
2 2 2

t2 ? 1
2

所 以 , ? A O B的 面 积 为 S ? A O B ? 2 p t1 t 2
2

( t1 ? 1) ? ( t 2 ? 1)
2 2 2

? 2p

2

t1 ? t 2 ? 2 ? 2 p
2 2

( t1 ? t 2 ) ? 4 ? 4 p
2

2

当 且 仅 当 t1 ? ? t 2, 即 当 点 A , B 关 于 x 轴 对 称 时 , ? A O B的 面 积 最 小 , 最 小 值 为 4 p .
2

课堂练习
? x ? 2 pt 1、 若 曲 线 ? ( t为 参 数 ) 上 异 于 原 点 的 不 同 ? y ? 2 pt
2

两 点 M 1, M 2 所 对 应 的 参 数 分 别 是 t1 , t 2 , 则 弦 M 1M 2所 在 直 线 的 斜 率 是 ( C ) A、 t1 ? t 2 , C、 , t1 ? t 2 1 B 、 t1 ? t 2 D、 t1 ? t 2 1

课堂练习
解 : 由 于 M 1 , M 2两 点 对 应 的 参 数 方 程 分 别 是 t1 和 t 2, 则 可 得 点 M 1 和 M 2的 坐 标 分 别 为 M 1 ( 2 p t1 , 2 p t1 ), M 2 ( 2 p t 2 , 2 p t 2 ) ? kM
1M

2

2

2

?

2 p t1 ? 2 p t 2 2 p t1 ? 2 p t 2
2 2

?

1 t1 ? t 2

课堂练习
2、 设 M 为 抛 物 线 y ? 2 x 上 的 动 点 , 给 定 点
2

M 0 ( ? 1, 0 ), 点 P 为 线 段 M 0 M 的 中 点 , 求 点 P的 轨 迹 方 程 。

课堂小结
1、抛物线的参数方程的形式 2、抛物线参数的意义

课后作业
作业:课本P34, A组第4,5题


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