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2.3.1 变量之间的相关关系&2.3.2 两个变量的线性相关_图文

时间:2018-10-24

2.3

变量间的相关关系

2.3.1 变量之间的相关关系
2.3.2 两个变量的线性相关

城 门 失 火 殃 及 池 鱼

世界是一个普遍联系的整体,任何事物都与其 他事物相联系. 函数是研究两个变量之间的依存关系的一种数 量形式.对于两个变量,如果当一个变量的取值一 定时,另一个变量的取值被惟一确定,则这两个变 量之间的关系就是一个函数关系.

在中学校园里,有这样一种说法:“如果你的数学
成绩好,那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照 这种说法,似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着 某种关系,我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量, 那么这两个变量之间的关系是函数关系吗?

不是函数关系,但这两个变量是有一定关系的,它
们之间是一种不确定性的关系. 如果能通过数学成绩对

物理成绩进行合理估计,将有着非常重要的现实意义.

1.理解两个变量的相关关系的概念.(重点) 2.会作散点图,并利用散点图判断线性相关关系. (难点) 3.了解最小二乘法的思想及回归方程系数公式的推导 过程. 4.通过实例加强回归直线方程含义的理解,能够对实 际问题进行分析和预测.

微课1 变量之间的相关关系

当自变量一定时,因变量的取值带有一定的随机性
的两个变量之间的关系称为相关关系. 例:(1)商品销售收入与广告支出经费之间的关系; (2)粮食产量与施肥量之间的关系; (3)人体内脂肪含量与年龄之间的关系.

相关关系是一种
非确定关系

相关关系与函数关系的异同点: 相同点:均是指两个变量的关系.
不同点:1.函数关系是一种确定的关系,是两个非随 机变量之间的关系;而相关关系是一种非确定关系,是 非随机变量与随机变量之间的关系. 2.两个变量之间产生相关关系的原因是受许多不确定 的随机因素的影响. 3.需要通过样本来判断变量之间是否存在相关关系.

在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研

究人员获得了一组样本数据:
年龄 脂肪 年龄 脂肪 23 9.5 53 29.6 27 17.8 54 30.2 39 21.2 56 31.4 41 25.9 57 30.8 45 27.5 58 33.5 49 26.3 60 35.2 50 28.2 61 34.6

其中各年龄对应的脂肪数据是这个年龄人群脂肪含量
的样本平均数.以x轴表示年龄,y轴表示脂肪含量,你

能在直角坐标系中描出样本数据对应的图形吗?

在平面直角坐标系中,表示具有相关关系的

两个变量的一组数据图形,称为散点图.

这些点散布在从左下角到右上角的区域,对于两

个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关.

如果两个变量成负相关,从整体上看这两个变量

的变化趋势如何?
一个变量随另一个变量的变大而变小,散点

图中的点散布在从左上角到右下角的区域.

【即时训练】
下面哪些变量是相关关系( A.出租车费与行驶的里程 B.房屋面积与房屋价格 C.身高与体重 D.铁的大小与质量 C )

例1 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格和房

屋的面积的数据:
房屋面积 61 (平方米) 销售价格 (万元) 70 115 110 80 135 105

12.2 15.3 24.8

21.6 18.4 29.2

22

画出数据对应的散点图,并指出销售价格与房屋 面积这两个变量是正相关还是负相关.

解:
售价/万元

正相关

【变式练习】 在下列两个变量的关系中,哪些是相关关系? ①正方形边长与面积之间的关系; ②作文水平与课外阅读量之间的关系; ③人的身高与年龄之间的关系; ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系. 答案:②③④

【总结提升】 在研究两个变量之间是否存在某种关系时,必须从

散点图入手,对于散点图,可以作如下判断:
(1)如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,变

量之间就是函数关系;
(2)如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近,

变量之间就有相关关系;

(3)如果所有的样本点都落在某一直线的附近, 变量之间就有线性相关关系; (4)如果散点图中的点的分布几乎没有什么规 则,则这两个变量之间不具有相关关系,即两个 变量之间是相互独立的. 除了散点图,还有其他的表示相关关系的图形吗?

微课2

回归直线 年龄和人体脂肪含量的样本数据的散点图中

的点的分布有什么特点?

这些点大致分布在一条直线附近.

我们再观察它的图象发现这些点大致分布在一条直 线附近,像这样,如果散点图中点的分布从整体上 看大致在一条直线附近,我们就称这两个变量之间 具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线,该直 线所对应的方程叫做回归方程. 那么,我们该怎样求出这个回归方程呢? 请同学们展开讨论,能得出哪些具体的方案?

方案1.先画出一条直线,测量出各点与它的距离,

再移动直线,到达一个使距离的和最小的位置时,测
出它的斜率和截距,得到回归方程.如图:

方案2.在图中选两点作直线,使直线两侧的点
的个数基本相同.

方案3.如果多取几组点,确定多条直线,再求出这 些直线的斜率和截距的平均数作为回归直线的斜率 和截距而得到回归方程. 如图:

最小二乘法 求回归直线,使得样本数据的点到它的距离的平方 和最小的方法叫做最小二乘法. 对一组具有线性相关关系的样本数据:(x1,y1), (x2,y2), …,(xn,yn),如何求回归方程?

? ?a ? ? ? bx y

? ?a ? ? ? bx y
?? b

? (x
i ?1 n

n

i

? x )( yi ? y )

2 ( x ? x ) ? i i ?1

?

?x
i ?1 n i ?1

n

i

yi ? nx y

2 2 x ? nx ? i

? ? ? y ? bx a

【即时训练】
已知x,y的取值如下表所示:

? ? 7 ,则 如果y与x线性相关,且线性回归方程为 y ? ? bx

1 1 1 B. C.? D. 10 10 2 7 2?3? 4 5? 4?6 ? ? 3, y ? ? 5, 又 a ? , 解:因为 x ? 2 3 3

? =( B ) b
A.? 1 2

2

7 1 ? ? 所以 ? 5 ? 3b, 所以b ? . 2 2

例2

有一个同学家开了一个小卖部,他为了研究

气温对热饮销售的影响,经过统计,得到一个卖 出的热饮杯数与当天气温的对比表:
摄氏温度

/℃

-5

0

4 132

7 128

12 130

15 116

19 104

23 89

27 93

31 76

36 54

热饮杯数 156 150

(1)画出散点图. (2)从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关 系的一般规律. (3)求回归方程.

(4)如果某天的气温是2 ℃,预测这天卖出的热
饮杯数.

解:(1)散点图如下:
热饮杯数
160 150 140 130 · · · 120 · 110 · 100 ·· 90 80 · 70 60 · 50

-10

O

10

20

30

40

温度/℃

(2)从散点图看到,各点散布在从左上角到右下角 的区域里,因此,气温与热饮销售杯数之间成负相 关,即气温越高,卖出去的热饮杯数越少. (3)从散点图可以看出,这些点大致分布在一条直线 的附近,因此利用公式求出回归方程的系数 .得回归 方程. y = -2.352x+147.767
(4)当x=2时,y =143.063.因此,某天的气温为

2 ℃时,这天大约可以卖出143杯热饮.

【总结提升】 求样本数据的线性回归方程,可按下列步骤进行: 第一步,计算平均数
n

x ,y;
n i ?1 i i

第二步,求和

? x ,? x y ;
2 i ?1 i

?? 第三步,计算 b

? ( x ? x )( y ? y ) ? x y ? nx y
i ?1 i i 2 ( x ? x ) ? i i ?1 n

n

n

?

i ?1 n

i i

2 2 x ? nx ?i i ?1

? ; ? ? y ? bx ,a

第四步,写出回归方程.

【变式练习】
考点一
(2015· 高考重庆卷)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐 年增长. 设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表: 年份 时间代号 t 储蓄存款 y (千亿元) 2010 2011 2012 2013 2014 1 5 2 6 3 7 4 8 5 10

(1)求 y 关于 t 的回归方程^ y =^ b t+^ a; (2)用所求回归方程预测该地区 2015 年(t=6)的人民币储蓄存 款. 附:回归方程^ y =^ b t+^ a 中,^ b = i?1 n

?t y
i i ?1

n

i

? nty
2

? t i 2 ? nt

,^ a = y -^ bt.

【解析】(1)列表计算如下: i ti yi t2 tiyi 考点一 i 1 1 5 1 5 2 2 6 4 12 3 3 7 9 21 4 4 8 16 32 5 5 10 25 50 ∑ 15 36 55 120 1 n 15 1 n 36 这里 n=5, t =n ? t i = =3, y =n ? yi = =7.2. 5 5 i ?1 i ?1 又 ltt= ? t i 2 -n t 2=55-5×32=10,
i ?1 n

考点一

lty= ? t i yi-n t
i ?1

n

y =120-5×3×7.2=12,

l 12 ty 从而^ b = l = =1.2,^ a = y -^ b t =7.2-1.2×3 10 tt =3.6, 故所求回归方程为^ y =1.2t+3.6. (2)将 t=6 代入回归方程可预测该地区 2015 年的 人民币储蓄存款为 ^ y = 1.2×6 + 3.6 = 10.8( 千亿 元).

1.下面哪些变量是相关关系( C A.出租车费与行驶的里程 B.房屋面积与房屋价格 C.身高与体重 D.铁的大小与质量

)

2.(2015·湖北高考)已知变量 x 和 y 满足关系 y=-0.1x+1, 变量 y 与 z 正相关,下列结论中正确的是 A.x 与 y 正相关,x 与 z 负相关 B.x 与 y 正相关,x 与 z 正相关 C.x 与 y 负相关,x 与 z 负相关 D.x 与 y 负相关,x 与 z 正相关 【解析】选 C.因为变量 x 和 y 满足关系 y=-0.1x+1,其中
-0.1<0,所以 x 与 y 成负相关;又因为变量 y 与 z 正相关,不 妨 设 z=ky+b(k>0) , 则 将 y=-0.1x+1 代 入 即 可 得 到 : z=k(-0.1x+1)+b=-0.1kx+(k+b),因为-0.1k<0,所以 x 与 z 负 相关.

(

)

3.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位: cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi,yi) (i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程 为 y =0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是 ( )

A.y与x具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点的中心

C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增
加0.85 kg D.若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体 重必为58.79 kg

解:选D.本题考查线性回归方程的特征与性质,意在考 查考生对线性回归方程的了解,解题思路: A,B,C均 正确,是回归方程的性质,D项是错误的,线性回归方

程只能预测学生的体重.选项D应改为“若该大学某女
生身高为170 cm,则估计其体重大约为58.79 kg”.

[易错点] 本题易错一:对线性回归方程不了解,无法
得出答案;易错二:对回归系数b不了解,错选C;易错

三:线性回归方程有预测的作用,得出的结果不是准确
结果,误以为D项是对的.

4.(2015·高考福建卷)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出 的关系,随机调查了该社区 5 户家庭,得到如下统计数据表: 收入 x(万元) 8.2 支出 y(万元) 6.2 8.6 7.5 10.0 11.3 11.9 8.0 8.5 9.8

根据上表可得回归方程^ y=^ bx+^ a,其中^ b=0.76,^ a= y -^ b x .据此 估计,该社区一户年收入为 15 万元家庭的年支出为( A.11.4 万元 C.12.0 万元 B.11.8 万元 D.12.2 万元

B)

【解析】由题意知, 8.2+8.6+10.0+11.3+11.9 x= =10, 5 6.2+7.5+8.0+8.5+9.8 y= =8. 5 又∵^ b =0.76,∴^ a =0.4,∴^ y =0.76x+0.4, ∴当 x=15 时,^ y =11.8.

5.为分析初中升学考试的数学成绩对高一学生学习情

况的影响,在高一年级学生中随机抽取了10名学生,
他们的入学成绩与期末考试成绩如下表:
学生编号 入学成绩x 期末成绩y 1 63 65 2 67 78 3 45 52 4 88 82 5 81 92 6 71 89 7 52 73 8 99 98 9 58 56 10 76 75

(1)若变量之间具有线性相关关系,求出回归直线 的方程. (2)若某学生的入学成绩为80分,试估计他的期末 成绩.

【解析】 ( 1) x ?

1 (63 ? 67 ? 45 ? 88 ? 81 ? 71 ? 52 ? 99 ? 58 ? 76) ? 70 , 10

1 y ? (65 ? 78 ? 52 ? 82 ? 92 ? 89 ? 73 ? 98 ? 56 ? 75) ? 76, 10 n
?? 所以 b

?x y
i ?1 n i

i

? nx y
2

?x
i ?1

? 0.765 56, a ? ? y ? b? x ? 22.410 8,

2 i

? nx

故所求线性回归直线方程是 y ? 22.410 8 ? 0.765 56 x .
( 2)某学生入学成绩为 80 分,代入上式可求得 y ? 84 ,即这个学生 期末成绩的预测分值约为 84 分.

函数关系

确定关系

变 量 间 的 关 系
相关关系

散点图

线性相关
不确定关系

线性回归方程

追赶时间的人,生活就会宠爱他;放弃时

间的人,生活就会冷落他.


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