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北京市朝阳区2014届高三数学上学期期末考试试题 理

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北京市朝阳区 2013-2014 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学试卷(理工类)
(考试时间 120 分钟 满分 150 分) 2014.1

本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分 第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项. 1.函数 f ( x ) ? A. [0, ??)

1 ? x 的定义域为 x ?1
B. (1, ??) C. [0,1)

(1, ??)

D. [0,1)

2.如果点 P ? 2, y0 ? 在以点 F 为焦点的抛物线 y 2 ? 4 x 上,则 PF ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3.命题 p : ?x ? R, x2 ? ax ? a2 ? 0 ;命题 q : ?x ? R , sin x ? cos x ? 2 ,则下列命题 中为真命题的是 A. p ? q C. (?p) ? q B. p ? q 开始 D. (?p) ? (?q)

4.在△ ABC 中, ?A ? 30? , AB ? 3 , BC ? 1 , 则△ ABC 的面积等于 A.

i?0

a ? a0
B.

3 2

3 4

i ? i ?1
a ? 2a ? 1

3 C. 或 3 2

3 3 D. 或 2 4
a<2013? 否 输出 i



5.执行如图所示的程序框图,输出结果是 4 . 若 a0 ??1, 2,3? ,则 a0 所有可能的取值为 A. 1, 2,3 C. 2 B. 1 D. 1, 2

结束

6.已知正方形的四个顶点分别为 O (0, 0) , A(1, 0) , B(1,1) , C (0,1) ,点 D, E 分别在线段

OC , AB 上运动,且 OD ? BE ,设 AD 与 OE 交于点 G ,则点 G 的轨迹方程是
A. y ? x(1 ? x) (0 ? x ? 1) C. y ? x2 (0 ? x ? 1) B. x ? y(1 ? y) (0 ? y ? 1) D. y ? 1 ? x2 (0 ? x ? 1)

7.已知平面向量 a , b 的夹角为 120 ,且 a ? b ? ?1 ,则 | a ? b | 的最小值为 A.

6

B. 3

C. 2

D. 1

8.已知数列 ?an ? 满足 an ? n ? k n (n ? N? ,0 ? k ? 1) 下面说法正确的是 ①当 k ? ②当

1 时,数列 ?an ? 为递减数列; 2

1 ? k ? 1时,数列 ?an ? 不一定有最大项; 2 1 ③当 0 ? k ? 时,数列 ?an ? 为递减数列; 2 k ④当 为正整数时,数列 ?an ? 必有两项相等的最大项. 1? k
A. ①② B. ②④ C. ③④ D. ②③

第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上. 9.某校为了解高一学生寒假期间的阅读情况, 抽查并统计了 100 名同学的某一周阅读时间, 绘 制了频率分布直方图(如图所示) ,那么这 100 名 学 生 中 阅 读 时 间 在 [4,8) 小 时 内 的 人 数 为 _____. 0.15 0.14 0.12 0.05 0.04 2 4 6 8 10 12 小时 频率/组距

10.在各项均为正数的等比数列 ?an ? 中,若 log2 a2 ? log2 a8 ? 1,则 a3 ? a7 ?



11.直线 y ? kx 与圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 相交于 O , A 两点,若 OA =2 3 ,则实数 k 的值

是_____.

12. 一个三棱锥的三视图如图所示, 则该三棱锥 的体积是 ;表面积是 .
2 6

3 正视图

3

2 3 侧视图

3

? x ? y ? 3, 13.实数 x, y 满足 ? 若 y ? k ( x ? 2) 2 x ? y ? 0, ?
恒成立,则实数 k 的最大值是 .

俯视图

14.所有真约数(除本身之外的正约数)的和等于它本身的正整数叫做完全数. 如: 6=1 ? 2 ? 3 ;

28=1 ? 2 ? 4 ? 7 ? 14 ; 496=1 ? 2 ? 4 ? 8 ? 16 ? 31 ? 62 ? 124 ? 248 .
? n?1 n 已经证明: 若 2 ? 1 是质数,则 2 (2 ? 1)是完全数 , n ? N . 请写出一个四位完 全
n



;又 6 ? 2 ? 3 ,所以 6 的所有正约数之和可表示为 (1 ? 2) ? (1 ? 3) ;

28 ? 22 ? 7 ,所以 28 的所有正约数之和可表示为 (1 ? 2 ? 22 ) ? (1 ? 7) ;
按此规律, 496 的所有正约数之和可表示为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ? cos x ? sin x ?1 .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小值; (Ⅱ)若 f (? ) ?

5 ,求 cos 2? 的值. 16

16. (本题满分 13 分) 甲、乙两名同学参加“汉字听写大赛”选拔测试,在相同测试条件下,两人 5 次测试的 成绩(单位:分)如下表: 第1次 甲 乙 58 65 第2次 55 82 第3次 76 87 第4次 92 85 第5次 88 95

(Ⅰ)请画出甲、乙两人成绩的茎叶图. 你认为选派谁参赛更好?说明理由(不用计算) ; (Ⅱ)若从甲、乙两人 5 次的成绩中各随机抽取一个成绩进行分析,设抽到的两个成绩中, 90 分以上的个数为 X ,求随机变量 X 的分布列和期望 EX .

17. (本题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P - ABC 中, PA ? 平面 ABC , AB ? AC . (Ⅰ)求证: AC ? PB ;

OA ? OB ) (Ⅱ) 设 O, D 分别为 AC , AP 的中点, 点 G 为△ OAB 内一点, 且满足 OG ? ( ,
求证: DG ∥面 PBC ; (Ⅲ)若 AB = AC = 2 , PA = 4 , 求二面角 A ? PB ? C 的余弦值.

1 3

P

D

C

O G

A

18. (本题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? a) ln x , a ? R . (Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x ) 的极小值; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数,求 a 的取值范围.

B

P( 3, ) . 19.已知椭圆 C 两焦点坐标分别为 F 1 (? 3,0) , F 2 ( 3,0) ,且经过点
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)已知点 A(0, ?1) ,直线 l 与椭圆 C 交于两点 M , N .若△ AMN 是以 A 为直角顶点的 等腰直角三角形,试求直线 l 的方程.

1 2

20. (本题满分 13 分) 已知 a, b, c 是正数, a1 ? lg a , a2 ? lg b , a3 ? lg c . (Ⅰ)若 a, b, c 成等差数列,比较 a1 ? a2 与 a2 ? a3 的大小; (Ⅱ)若 a1 ? a2 ? a2 ? a3 ? a3 ? a1 ,则 a, b, c 三个数中,哪个数最大,请说明理由;

b?t , c ? t( t ?N ) (Ⅲ) 若a ?t , , 且 a1 , a2 , a3 的整数部分分别是 m, m ? 1, 2m ? 1,
2

3

?

2

2

求所有 t 的值.

北京市朝阳区 2013-2014 学年度高三年级第一学期期末统一考试 数学答案(理工类) 2014.1 一、选择题 题号 答案

1 C

2 C

3 B

4 D

5 B

6 A

7 A

8 C

二、填空题 题 1 9 号 0 答 案

1 1

12

1 3

14

54

2

?

3 3

18 2

36 3

2 3

8128

(1 ? 2 ? 22 ? 23 ? 24 ) ? (1 ? 31)

三、解答题 15.解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? ? cos2 x ? sin x ? 1

? sin 2 x ? sin x
1 1 ? (sin x ? ) 2 ? , 2 4 1 1 又 sin x ???1,1? ,所以当 sin x ? 时,函数 f ( x) 的最小值为 ? .?? 6 分 2 4 1 2 1 5 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 (sin ? ? ) ? ? , 2 4 16 1 2 9 所以 (sin ? ? ) ? . 2 16 5 1 于是 sin ? ? (舍)或 sin ? ? ? . 4 4 1 2 7 2 又 cos 2? ? 1 ? 2sin ? ? 1 ? 2(? ) ? . ?????? 13 分 4 8
16.解: (Ⅰ)茎叶图如右图所示,由图可知,乙的平均 成绩大于甲的平均成绩,且乙的方差小于甲的方差,因 此应选派乙参赛更好. ?????? 6 分 (Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值为 0,1, 2 . 甲 5 8 5 6 5 乙

P( X ? 0) ?

C C 16 ? , CC 25
1 2C4 8 , ? 1 1 C5C5 25

1 4 1 5

1 4 1 5

6 8 2

7 8 9 2 5 7 5

P( X ? 1) ?

P( X ? 2) ?

1 1 ? , 1 C C5 25
1 5

随机变量 X 的分布列是:

0 1 2 16 8 1 P 25 25 25 16 8 1 2 EX ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? . ?????? 13 分 25 25 25 5 17.证明: (Ⅰ)因为 PA ? 平面 ABC , AC ? 平面 ABC , 所以 PA ? AC . 又因为 AB ? AC ,且 PA AB = A , 所以 AC ? 平面 PAB . 又因为 PB ? 平面 PAB , 所以 AC ? PB . ?????? 4 分
X
(Ⅱ) 解法 1:因为 PA ? 平面 ABC ,所以 PA ? AB , PA ? AC .又因为 AB ? AC , 所以建立如图所示的空间直角坐标系 A ? xyz . 设 AC = 2a , AB = b , PA = 2c , 则 A(0, 0, 0) , B(0, b, 0) , C (2a, 0, 0) ,

z
P

P(0,0, 2c), D(0,0, c) , O(a,0,0) .
OA ? OB ) 又因为 OG ? ( , a b 所以 G ( , , 0) . 3 3 a b 于是 DG ? ( , , ?c) , 3 3 1 3

D C

x

O G

A

BC ? (2a, ?b,0) , PB ? (0, b, ?2c) .
设平面 PBC 的一个法向量

? ?n ? BC ? 0, n ? ( x0 , y0 , z0 ) ,则有 ? ? ? n ? PB ? 0.
即?

B

y

? 2ax0 ? by0 ? 0, ? by0 ? 2cz0 ? 0.

不妨设 z0 ? 1 ,则有 y0 ?

2c c c 2c , x0 ? ,所以 n ? ( , ,1) . b a a b c 2c a b c a 2c b ,1) ? ( , , ?c) ? ? ? ? ? 1? (?c) ? 0 , 因为 n ? DG ? ( , a b 3 3 a 3 b 3
所以 n ? DG .又因为 DG ? 平面 PBC , 所以 DG ∥平面 PBC . ?????? 9 分

P

D

解法 2:

1 (OA ? OB ) . 2 1 2 OA ? OB ) 由已知 OG ? ( 可得 OG ? OE , 3 3 则点 G 在 OE 上.连结 AG 并延长交 CB 于 F ,连 PF .
取 AB 中点 E ,连 OE ,则 OE ? 因为 O, E 分别为 AC , AB 的中点, 所以 OE ∥ BC ,即 G 为 AF 的中点. 又因为 D 为线段 PA 的中点, 所以 DG ∥ PF . 又 DG ? 平面 PBC , PF ? 平面 PBC , 所以 DG ∥平面 PBC . (Ⅲ)由(Ⅱ)可知平面 PBC 的一个法向量 n ? ( ,

B
?????? 9 分

c 2c ,1) ? (2, 2,1) . a b

又因为 AC ? 面 PAB ,所以面 PAB 的一个法向量是 AC ? (2,0,0) . 又 cos n, AC ?

n ? AC n ? AC

?

4 2 ? , 3? 2 3
2 . 3

由图可知,二面角 A ? PB ? C 为锐角, 所以二面角 A ? PB ? C 的余弦值为 18. 解: (Ⅰ)定义域 (0, ??) . 当 a ? 0 时, f ( x) ? x ln x , f ?( x) ? ln x ? 1 . 令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? ?????? 14 分

1 . e

当 x ? (0, ) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 为减函数; 当 x ? ( , ??) 时, f ?( x) ? 0 , f ( x ) 为增函数.

1 e

1 e

1 1 . e e x?a (Ⅱ)由已知得 f ?( x) ? ln x ? . x
所以函数 f ( x ) 的极小值是 f ( ) ? ?

?????? 5 分

因为函数 f ( x ) 在 (0, ??) 是增函数,所以 f ?( x) ? 0 ,对 x ? (0, ??) 恒成立. 由 f ?( x) ? 0 得 ln x ?

x?a ? 0 ,即 x ln x ? x ? a 对 x ? (0, ??) 恒成立. x

设 g ( x) ? x ln x ? x , 要使 “ x ln x ? x ? a 对 x ? (0, ??) 恒成立” ,只要 a ? g ( x)min .

因为 g ?( x) ? ln x ? 2 ,令 g ?( x) ? 0 得 x ? 当 x ? (0, 当 x?(

1 . e2

1 ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 为减函数; e2

1 , ?? ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 为增函数. e2 1 1 所以 g ( x) 在 ? 0, ??? 上的最小值是 g ( 2 ) ? ? 2 . e e
故函数 f ( x ) 在 (0, ??) 是增函数时,实数 a 的取值范围是 ( ??, ?

1 ] e2

?? 13 分

19.解: (Ⅰ)设椭圆标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) .依题意 a 2 b2

2a ? PF1 ? PF2 ? 12 ?
2 2

1 1 ? ? 4 ,所以 a ? 2 . 4 4
2

又 c ? 3 ,所以 b ? a ? c ? 1 .

x2 ? y2 ? 1 . 于是椭圆 C 的标准方程为 4

?????? 5 分

(Ⅱ)依题意,显然直线 l 斜率存在.设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,则

? x2 ? ? y2 ? 1 2 2 2 由? 4 得 (4k ? 1) x ? 8kmx ? 4m ? 4 ? 0 . ? y ? kx ? m ?
2 2 2 2 因为 ? ? 64k m ? 4(4k ? 1)(4m ? 4) ? 0 ,得 4k ? m ? 1 ? 0 .
2 2

?????? ①

8km ? x1 ? x2 ? ? 2 ? ? 4k ? 1 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,线段 MN 中点为 Q( x0 , y0 ) ,则 ? 2 ? x x ? 4m ? 4 1 2 ? 4k 2 ? 1 ?
于是 x0 ? ?

4km m , y0 ? kx0 ? m ? 2 . 2 4k ? 1 4k ? 1

因为 AM ? AN ,线段 MN 中点为 Q ,所以 AQ ? MN . (1)当 x0 ? 0 ,即 k ? 0 且 m ? 0 时,

y0 ? 1 k ? ?1 ,整理得 3m ? 4k 2 ? 1 . x0

??????②

因为 AM ? AN , AM ? ( x1, y1 ? 1), AN ? ( x2 , y2 ?1) , 所以 AM AN ? x1x2 ? ( y1 ?1)( y2 ?1) ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? k (m ?1)( x1 ? x2 ) ? m2 ? 2m ?1

? (1 ? k 2 )
2

4m 2 ? 4 8km ? k (m ? 1)(? 2 ) ? m2 ? 2m ? 1 ? 0 , 2 4k ? 1 4k ? 1
3 或 m ? ?1 . 5

整理得 5m ? 2m ? 3 ? 0 ,解得 m ? 当 m ? ?1 时,由②不合题意舍去. 由①②知, m ?

3 5 时, k ? ? . 5 5

(2)当 x0 ? 0 时, (ⅰ)若 k ? 0 时,直线 l 的方程为 y ? m ,代入椭圆方程中得 x ? ?2 1 ? m2 . 设 M (?2 1 ? m2 , m) , N (2 1 ? m2 , m) ,依题意,若△ AMN 为等腰直角三角形,则

AQ ? QN .即 2 1 ? m 2 ? 1 ? m ,解得 m ? ?1 或 m ?
即此时直线 l 的方程为 y ?

3 . m ? ?1 不合题意舍去, 5

3 . 5

(ⅱ)若 k ? 0 且 m ? 0 时,即直线 l 过原点.依椭圆的对称性有 Q (0, 0) ,则依题意不能有

AQ ? MN ,即此时不满足△ AMN 为等腰直角三角形.
3 或 5x ? 5 y ? 3 ? 0 或 5x ? 5 y ? 3 ? 0 . ??????14 分 5 a b ac 20.解: (Ⅰ)由已知得 (a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) = lg ? lg ? lg 2 . b c b a?c 因为 a, b, c 成等差数列,所以 b ? , 2
综上,直线 l 的方程为 y ? 则 (a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? lg

4ac , (a ? c) 2

2 因为 a ? c ? 2ac ,所以 (a ? c) ? 4ac ,即
2 2

4ac ?1, (a ? c) 2

则 (a1 ? a2 ) ? (a2 ? a3 ) ? 0 ,即 a1 ? a2 ? a2 ? a3 ,当且仅当 a ? b ? c 时等号成立. ?????? 4 分 (Ⅱ)解法 1:令 m ? a1 ? a2 , n ? a2 ? a3 , p ? a3 ? a1 ,

依题意, m ? n ? p 且 m ? n ? p ? 0 ,所以 m ? 0 ? p . 故 a1 ? a2 ? 0 ,即 lg a ? lg b ;且 a1 ? a3 ? 0 ,即 lg a ? lg c . 所以 a ? b 且 a ? c . 故 a, b, c 三个数中, a 最大. 解法 2:依题意 lg

a b c a b c ? lg ? lg ,即 ? ? . b c a b c a
2 2 2

因为 a ? 0, b ? 0, c ? 0 ,所以 ac ? b , a ? bc , ab ? c . 于是, abc ? b , a ? abc , abc ? c ,
3
3 3

所以 a ? b , a ? c .
3 3 3 3

因为 y ? x3 在 R 上为增函数,所以 a ? b 且 a ? c . 故 a, b, c 三个数中, a 最大. ?????? 8 分
2

g t ?m ? 1 , (Ⅲ) 依题意,lg t ,lg t 2 ,lg t 3 的整数部分分别是 m, m2 ? 1, 2m ? 1 , 则m ? l
所以 2m ? 2lg t ? 2m ? 2 . 又 lg t ? 2lg t ,则 lg t 的整数部分是 2 m 或 2m ? 1 .
2 2

当 m ? 1 ? 2m 时, m ? 1 ;
2

当 m ? 1 ? 2m ? 1 时, m ? 0, 2 .
2

(1) 当 m ? 0 时, lg t , lg t , lg t 的整数部分分别是 0,1,1 ,
2 3

所以 0 ? lg t ? 1 , 所以 1 ? lg t 3 ? 2 . 1 ? lg t 2 ? 2 ,
1 2 2 3

2 1 1 2 ? lg t ? , 解得 10 2 ? t ? 10 3 . 2 3

又因为 10 ? ? 3, 4? , 10 ? ? 4,5? ,所以此时 t ? 4 . (2)当 m ? 1 时,同理可得 1 ? lg t ? 2 , 2 ? lg t ? 3 , 3 ? lg t ? 4 .
2 3
4 4 4 3 所以 1 ? lg t ? ,解得 10 ? t ? 10 .又 10 3 ? ? 21, 22 ? ,此时 t ? 10,11,12,...20, 21 . 3

2 3 (3)当 m ? 2 时,同理可得 2 ? lg t ? 3 , 5 ? lg t ? 6 , 9 ? lg t ? 10 ,

同时满足条件的 t 不存在.

综上所述 t ? 4,10,11,12,...20, 21 .

?????? 13 分


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