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椭圆的方程及其几何性质教案

时间:2015-03-16


教 学 课 题 教 学 目 标

椭圆及其标准方程

知识与技能:1.掌握椭圆的定义,掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程; 2.能根据条件确定椭圆的标准方程,掌握运用待定系数法求椭圆的标准 方程; 过程与方法:1.通过对椭圆概念的引入教学,培养学生的观察能力和探索能力; 2.通过椭圆的标准方程的推导,使学生进一步掌握求曲线方程的一般方 法, 并渗透数形结合和等价转化的思想方法, 提高运用坐标法解决几何问 题的能力; 情感态度与价值观: 通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程, 激发学生学习数学的 积极性,培养学生的学习兴趣和创新意识 椭圆的定义的理解及其标准方程记忆.

教 学 重 点 教 学 难 点

椭圆标准方程的推导.

教 学 过 程

一、情境设置,引入新课: 思考问题: 1.在解析几何中,我们通常把动点按照某种规律运动形成的轨迹叫做曲线.曲线和方程 的关系是什么? (如果曲线上任意一点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解,同时以方程 f(x,y)=0 的解为 坐标的点又都在曲线上,那么方程就是曲线的方程,曲线就是方程的曲线.) 2.圆的定义是:在平面上,到定点的距离等于定长的点的轨迹;那么当动点满足哪些条 件时轨 迹仍然是圆? (①平面上到两个定点(距离为 2d)距离的平方和等于定值 a(a>2d2)的点的轨迹是圆; ②平面上,与两个定点连线的斜率乘积为-1 的点的轨迹是圆.) 由此可见,平面上到两个定点距离或与两个定点连线满足某种条件的点的轨迹比较特 殊,下面就从这点出发研究. 二、探索研究,进行新课: 1.请学生观察计算机演示如图 2-23,并思考.

(1)动点是在怎样的条件下运动的? (2)动点运动出的轨迹是什么? (3)是否到两个定点距离之和等于定值的点的轨迹就一定是椭圆呢? 观察后请学生回答.

(4)当两个定点位置变化时,轨迹发生了怎样的变化? 从而得出结论: 在平面上到两个定点 F1,F2 距离之和等于定值 2a 的点的轨迹为

最后由学生口述教师板书: 把平面内与两个定点 F1, F2 距离之和等于定值 2a 的点的轨 迹叫做椭圆,其中 2a>|F1F2|.顺便可以指出两个定点叫做焦点,两个焦点之间的距离 叫做焦距,用 2c(c>0)表示. 2.推导椭圆的 标准方程. 思考问题:(1)求曲线方程的步骤是什么? (2)求到两个定点 F1,F2 距离之和等于定值 2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹. (求曲线方程的步骤是:①建立坐标系设动点坐标:②寻找动点满足的几何条件;③把 几何条件坐标化;④化简得方程;⑤检验其完备性.) 注: 建立直角坐标系一般应符合简单和谐化的原则, 如使关键点的坐标、 关键几何量(距 离、直线的斜率等)的表达式简单化,注意要充分利用图形的特殊性. (让学生思考后回答) 三、解题研究,应用新知: 例1
,? ? ? ?2,0? , ? 2, 0 ? ,并且经过点 ? 2 ? ,求它的 ?2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 ?5 3?

标准方程. 分析:由椭圆的标准方程的定义及给出的条件,容易求出 a, b, c .引导学生用其他方法 来解. 例 2 如图, 在圆 x ? y ? 4 上任取一点 P , 过点 P 作 x 轴的垂线段 PD ,D 为垂足. 当
2 2

点 P 在圆上运动时,线段 PD 的中点 M 的轨迹是什么? 分析:点 P 在圆 x ? y ? 4 上运动,由点 P 移动引起点 M 的运动,则称点 M 是点 P
2 2

的伴随点, 因点 M 为线段 PD 的中点, 则点 M 的坐标可由点 P 来表示, 从而能求点 M 的轨迹方程. 例 3 如图,设 A , B 的坐标分别为

? ?5,0? , ? 5,0? .直线 AM , BM 相交于点 M ,

4 且它们的斜率之积为 9 ,求点 M 的轨迹方程. ?
分析:若设点

M ? x, y ?

,则直线 AM , BM 的斜率就可

以用含 x, y 的式子表示,由于直线 AM , BM 的斜率之

4 积是 9 ,因此,可以求出 x, y 之间的关系式,即得到点 M 的轨迹方程. ?
四. 课堂练习 作业:P40 练习

1. 若椭圆 课 时 练 习

x2 y2 ? ? 1 上一点 P 到一个焦点距离等于 6, 100 36

那么点 P 到另一个焦点距离是 2.(1)a=4,b=1, 焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程是 (2)a=4,c= 15 ,焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程是 (3)a+b=10,c= 2 5 的椭圆的标准方程是 . .

3.(1)两个焦点的坐标分别是(-4,0),(4,0),椭圆上一点 P 到两焦点距离的和 等于 10,椭圆的标准方程是 . (2)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且椭圆经过点 的标准方程是 教 学 反 思 . ,椭圆

通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程, 激发了学生学习数学的积极性, 培养了学 生的学习兴趣和创新意识,本节课教学效果较好。

教 学 课 题 教 学 目 标

椭圆的简单几何性质

知识与技能:通过对椭圆标准方程的讨论,使学生掌握椭圆的几何性质,并正确地画出 它的图形;培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力; 过程与方法:在合作、互动的教学氛围中,通过师生、学生之间的交流、合作、互动实 现共同探究, 领会每一个几何性质的内涵, 并学会运用它们解决一些简单 问题。 情感态度与价值观:在教学相长的教学活动情境中,培养学 生运用数形结合思想解决 实际问题的能力,培养学生科学探索精神、审美观和科学世界观,。 椭圆的简单几何性质及其探究过程。

教 学 重 点 教 学 难 点

利用曲线方程研究曲线几何性质的基本方法和离心率是用来刻画椭的扁平程度的给出 过程

一、知识回顾,引入新课: 1.复习椭圆的定义:在平面内,到两定点距离之和等于定长(定长大于两定点间的距 离)的动点的轨迹.
x2 y2 y2 x2 ? 2 ?1 ? 2 ?1 2 2 b b 2.复习椭圆的标准方程: a ,a (a

?b ? 0)

二 、探索研究,进行新课: 1.范围: 教 学 过 程

x2 y2 ? 1, ?1 2 b2 由标准方程知,椭圆上点的坐标 ( x, y ) 满足不等式 a ,y
2 2 ∴ x ? a , y ? b ,∴ | x |? a , | y |? b ,

2

2

B2 A1
O

说明椭圆位于直线 x ? ? a , y ? ?b 所围成的矩形里. 2.对称性:

F2
A2

A2

x

在曲线方程里,若以 ? y 代替 y 方程不变,所以若点 ( x, y ) 在曲线上时,点 ( x, ? y ) 也在 曲线上,所以曲线关于 x 轴对称,同理,以 ?x 代替 x 方程不变,则曲线关于 y 轴对称。 若同时以 ?x 代替 x , ? y 代替 y 方程也不变,则曲线关于原点对称. 所以,椭圆关于 x 轴、 y 轴和原点对称.这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中 心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心. 3.顶点:

确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与 x 轴、 y 轴的交点坐标. 在椭圆的标准方程中,令 x ? 0 ,得 y ? ?b ,则

B1 (0, ?b) , B2 (0, b) 是椭圆与 y 轴的

A (?a, 0) , A2 (a,0) 是椭圆与 x 轴的两个交点. 两个交点。同理令 y ? 0 得 x ? ? a ,即 1
所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点. 同时,线段

A1 A2 、 B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为 2a 和 2b , a 和

b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
由椭圆的对称性知:椭圆的短轴端点到焦点的距离为 a ;在 Rt ?OB2 F2 中,| OB2 |? b ,

| OF2 |? c , | B2 F2 |? a ,且 | OF2 |2 ?| B2 F2 |2 ? | OB2 |2 ,即 c2 ? a 2 ? c2 .
4.离心率:

c e? a 叫椭圆的离心率. 椭圆的焦距与长轴的比
∵ a ? c ? 0 ,∴ 0 ? e ? 1 ,且 e 越接近 1 ,c 就 越接近 a ,从而 b 就越小,对应的椭圆越扁; 反之, e 越接近于 0 ,c 就越接近于 0 , 从而 b 越接近于 a ,这时椭圆越接近于圆。

y

B2 A1
O

A2 B1

x

当且仅当 a ? b 时, c ? 0 ,两焦点重合,图形变为圆,方程为 x ? y ? a .
2 2 2

三、解题研究,应用新知:[来源:学_科_网] 例 1.求椭圆 16 x ? 25 y ? 400 的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.
2 2

x2 y 2 ? 2 ?1 2 b [ 来源 : 高考学习 网 解:把已知方程化为标准方程 a , a ? 5 , b ? 4 ,∴

c ? 25 ? 16 ? 3,
∴椭圆长轴和短轴长分别为 2a ? 10 和 2b ? 8 ,离心率 焦点坐标

e?

c 3 ? a 5,

F1 (?3, 0)

, F2 (3,0) ,顶点

A1 (?5, 0)

, A2 (5,0) ,

B1 (0, ?4)

, B2 (0, 4) .

例 2.过适合下列条件的椭圆的标准方程:

3 P ( ? 3, 0) Q (0, ? 2) (1)经过点 、 ;(2)长轴长等于 20 ,离心率等于 5 .

解:(1)由题意, a ? 3 , b ? 2 ,又∵长轴在 x 轴上,

x2 y 2 ? ?1 4 所以,椭圆的标准方程为 9 .
(2)由已知 2a ? 20 ,

e?

c 3 ? a 5 ,∴ a ? 10 , c ? 6 ,∴ b2 ? 102 ? 62 ? 64 ,

x2 y 2 y 2 x2 ? ?1 ? ?1 所以,椭圆的标准方程为 100 64 或 100 64 .

例 3.如图, 设

M ? x, y ?

与定点

F ? 4,0?

的距离和它到直线 l :

x?

25 4 的距离的比是常数

4 5 ,求点 M 的轨迹方程.
分析:若设点

M ? x, y ?

,则

MF ?

? x ? 4?

2

? y2

,它到

直线 l :

x?

25 25 d ? x? 4 , 4 的距离

则容易得点 M 的轨迹方程. 四. 课堂练习

课 时 练 习 教 学 反 思

x2 y2 ? ? 1 的焦点坐标是 1. 椭圆 100 36 6 2. 焦点在 y 轴上,c=3,e= 的椭圆的标准方程是 5 3 3.长轴长等于 20,离心率等于 的椭圆的标准方程是 5 2 2 4.讨论椭圆 4 x ? y ? 16 的范围,画出图形.
在合作、互动的教学氛围中,通过师生、学生之间的交流、合作、互动实现共同探究, 使学生领会了每一个几何性质的内涵, 并学会了运用它们解决一些简单问题, 本节课教 学效果较好。


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