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版高中数学第二章圆锥曲线与方程21曲线与方程211曲线与方程学案新人教A版选修2 1(数学教案)

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2.1.1 学习目标 曲线与方程 1. 了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系 .2. 初步领会“曲线的方 程”与“方程的曲线”的概念.3.学会根据已有的情境资料找规律,学会分析、判断曲线与 方程的关系,强化“形”与“数”的统一以及相互转化的思想方法. 知识点一 曲线与方程的概念 思考 1 设平面内有一动点 P,属于下列集合的点组成什么图形? (1){P|PA=PB}(A,B 是两个定点); (2){P|PO=3 cm}(O 为定点). 答案 (1)线段 AB 的垂直平分线; (2)以 O 为圆心,3 cm 为半径的圆. 思考 2 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么?为什么? 答案 y=±x.在直角坐标系中,到两坐标轴距离相等的点 M 的坐标(x0,y0)满足 y0=x0 或 y0=-x0,即(x0,y0)是方程 y=±x 的解;反之,如果(x0,y0)是方程 y=x 或 y=-x 的解, 那么以(x0,y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等. 梳理 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹) 上的点与一个二元方程 f(x,y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点, 那么,这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线. 知识点二 曲线的方程与方程的曲线解读 思考 1 曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解,能否说 f(x,y)=0 是曲线 C 的方 程?试举例说明. 答案 不能.还要验证以方程 f(x, y)=0 的解为坐标的点是否都在曲线上.例如曲线 C 为“以 原点为圆心,以 2 为半径的圆的上半部分”与“方程 x +y =4”,曲线上的点都满足方程, 但曲线的方程不是 x +y =4. 思考 2 方程 x- y=0 能否表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线?方程 x-y= 0 呢? 答案 方程 x- y=0 不能表示直角坐标系中的第一、三象限的角平分线.因为第一、三象 限角平分线上的点不全是方程 x- y=0 的解.例如,点 A(-2,-2)不满足方程,但点 A 是第一、三象限角平分线上的点.方程 x-y=0 能够表示第一、三象限的角平分线. 2 2 2 2 1 梳理 (1)曲线的方程和方程的曲线是两个不同的概念, 是从不同角度出发的两种说法.曲线 C 的点集和方程 f(x,y)=0 的解集之间是一一对应的关系,曲线的性质可以反映在它的方 程上,方程的性质又可以反映在曲线上.定义中的条件①说明曲线上的所有点都适合这个方 程;条件②说明适合方程的点都在曲线上而毫无遗漏. (2)曲线的方程和方程的曲线有着紧密的关系,通过曲线上的点与实数对(x,y)建立了一一 对应关系,使方程成为曲线的代数表示,通过研究方程的性质可间接地研究曲线的性质. 类型一 曲线与方程的概念理解与应用 命题角度 1 曲线与方程的判定 例 1 命题“曲线 C 上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0 的解”是正确的,下列命题中正确 的是( ) A.方程 f(x,y)=0 的曲线是 C B.方程 f(x,y)=0 的曲线不一定是 C C.f(x,y)=0 是曲线 C 的方程 D.以方程 f(x,y)=0 的解为坐标的点都在曲线 C 上 答案 B 解析 不论方程 f(x,y)=0 是曲线 C 的方程,还是曲线 C 是方程 f(x,y)=0 的曲线,都必 须同时满足两层含义: 曲线上的点的坐标都是方程的解, 以方程的解为坐标的点都在曲线上, 所以 A、C、D 错误.举例如下:曲线 C:一、三象限角平分线,方程为|x|=|y|,显然满足 已知条件,但 A、C、D 错. 反思与感悟 解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是否是曲线的方程或判 定曲线是否是方程的曲线),只要一一检验定义中的“两性”是否都满足,并作出相应的回 答即可. 判断点是否在曲线上,就是判断点的坐标是否适合曲线的方程. 跟踪训练 1 设方程 f(x,y)=0 的解集非空,如果命题“坐标满足方程 f(x,y)=0 的点都 在曲线 C 上”是不正确的,那么下列命题正确的是( A.坐标满足方程 f(x,y)=0 的点都不在曲线 C 上 B.曲线 C 上的点的坐标都不满足方程 f(x,y)=0 C.坐标满足方程 f(x,y)=0 的点有些在曲线 C 上,有些不在曲线 C 上 D.一定有不在曲线 C 上的点,其坐标满足 f(x,y)=0 答案 D 解析 “坐标满足方程 f(x,y)=0 的点都在曲线 C 上”不正确,即“坐标满足方程 f(x, ) y)=0 的点不都在曲线 C 上”是正确的.“不都在”包括“都不在”和“有的在, 有的不在” 2 两种情况,故 A、C 错,B 显然错. 命题角度 2 曲线与方程的概念应用 例 2 证明与两条坐标轴的距离的积是常数 k(k>0)的点的轨迹方程是 xy=±k. 证明 ①如图,设 M(x0,y0)是轨迹上的任意一点. 因为点 M 与 x 轴的距离为|y0|,与 y 轴的距离为|x0|,所以|x0|·|y0|=k, 即(x0,y0)是方程 xy=±k 的解. ②设点 M1 的坐标(x1,y1)是方程 xy=±k 的解, 则 x1y1=±k,即|x1|·|y1|=k. 而|x1|,|y1|正是点 M1 到纵轴、横轴的距离,因此点 M1 到这两条直线的距离的积是常数 k, 点 M1 是曲线上的点.由①②可知,xy=±k 是与两条坐标轴的距离的积为常数 k(k>0)的点的 轨迹方程. 反思与感悟 解决此类问题要从两方面入手:(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解,即 直观地说“点不比解多”称为纯粹性;(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上,即直观 地说“解不比点多”,称为完备性,只有点和解一一对应,才能说曲线是方程的曲线,方程 是曲线的方程. 跟踪训练 2 写出方程(x+y-

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