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新课程高中数学训练题组(选修4-4 4-5)含答案

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特别说明:
《新课程高中数学训练题组》是由李传牛老师根据最新课
程标准, 参考独家内部资料, 结合自己颇具特色的教学实践和卓有成 效的综合辅导经验精心编辑而成; 本套资料分必修系列和选修系列及 部分选修 4 系列。欢迎使用本资料! 本套资料所诉求的数学理念是: (1) 解题活动是高中数学教与学 的核心环节, (2) 精选的优秀试题兼有巩固所学知识和检测知识点缺 漏的两项重大功能。 本套资料按照必修系列和选修系列及部分选修 4 系列的章节编 写,每章或节分三个等级:[基础训练 A 组], [综合训练 B 组], [提高训练 C 组] 建议分别适用于同步练习,单元自我检查和高考综合复习。 本套资料配有详细的参考答案,特别值得一提的是:单项选择题 和填空题配有详细的解题过程, 解答题则按照高考答题的要求给出完 整而优美的解题过程。 本套资料对于基础较好的同学是一套非常好的自我测试题组:可 以在 90 分钟内做完一组题,然后比照答案,对完答案后,发现本可 以做对而做错的题目, 要思考是什么原因: 是公式定理记错?计算错 误?还是方法上的错误?对于个别不会做的题目, 要引起重视, 这是 一个强烈的信号: 你在这道题所涉及的知识点上有欠缺, 或是这类题 你没有掌握特定的方法。
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本套资料对于基础不是很好的同学是一个好帮手, 结合详细的参 考答案, 把一道题的解题过程的每一步的理由捉摸清楚, 常思考这道 题是考什么方面的知识点, 可能要用到什么数学方法, 或者可能涉及 什么数学思想,这样举一反三,慢慢就具备一定的数学思维方法了。

目录:数学选修 4-4,4-5 数学选修 4-4 数学选修 4-4 数学选修 4-4
坐标系与参数方程 [基础训练 A 组]

坐标系与参数方程

[综合训练 B 组]

坐标系与参数方程

[提高训练 C 组]

数学选修 4-5 不等式选讲 数学选修 4-5 不等式选讲 数学选修 4-5 不等式选讲
而 不 愠 , 不 亦 君 子 乎 ? 来 , 不 亦 乐 乎 ? 人 不 知 亦 说 乎 ? 有 朋 自 远 方 子 曰 : 学 而 时 习 之 , 不

[基础训练 A 组]

[综合训练 B 组]

[提高训练 C 组]

新课程高中数学测试题组
根据最新课程标准,参考独家内部资料, 精心编辑而成; 本套资料分必修系列和选修 系列及部分选修 4 系列。欢迎使用本资料!

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数学选修 4-4 [基础训练 A 组]
一、选择题 1.若直线的参数方程为 ?

坐标系与参数方程

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t



2 3 3 C. 2
A.

2 3 3 D. ? 2
B. ?

2.下列在曲线 ?

? x ? sin 2? (? 为参数) 上的点是( ? y ? cos ? ? sin ?
B. ( ?



A. ( , ? 2) 3.将参数方程 ?

1 2

3 1 , ) 4 2

C. (2, 3)

D. (1, 3)

? x ? 2 ? sin 2 ? ? (? 为参数) 化为普通方程为( 2 ? y ? sin ? ?
B. y ? x ? 2 C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3) )

) D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

A. y ? x ? 2

4.化极坐标方程 ? 2 cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为( A. x ? y ? 0或y ? 1
2 2

B. x ? 1

C. x ? y ? 0或x ? 1
2 2

D. y ? 1

5.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( A. (2,



?
3

)

B. (2, ?

?
3

)

C. (2,

2? ) 3

D. (2, 2k? ? )

?
3

), (k ? Z )

6.极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为( A.一条射线和一个圆 二、填空题 1.直线 ? B.两条直线

C.一条直线和一个圆

D.一个圆

? x ? 3 ? 4t (t为参数) 的斜率为______________________。 ? y ? 4 ? 5t
? x ? et ? e ? t ? (t为参数) 的普通方程为__________________。 t ?t ? y ? 2(e ? e ) ?

2.参数方程 ?

3.已知直线 l1 : ?

? x ? 1 ? 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A(1, 2) , ? y ? 2 ? 4t

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则 AB ? _______________。

1 ? ?x ? 2 ? 2 t ? (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为______________。 4.直线 ? ? y ? ?1 ? 1 t ? ? 2
5.直线 x cos ? ? y sin ? ? 0 的极坐标方程为____________________。 三、解答题 1.已知点 P( x, y) 是圆 x 2 ? y 2 ? 2 y 上的动点, (1)求 2x ? y 的取值范围;

(2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

2. 求直线 l1 : ?

?x ? 1? t ? (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标,及点 P ? y ? ?5 ? 3t ?

与 Q(1, ?5) 的距离。

x2 y 2 ? ? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值。 3.在椭圆 16 12

数学选修 4-4 [综合训练 B 组]
一、选择题 1. 直线 l 的参数方程为 ? 之间的距离是( )

坐标系与参数方程

?x ? a ? t l 则点 P 与 P (a, b) (t为参数) , 上的点 P1 对应的参数是 t1 , 1 ?y ? b ? t

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A. t1

B. 2 t1

C. 2 t1

D.

2 t1 2

1 ? ?x ? t ? 2.参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ?y ? 2 ?
A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线



D.两条射线

1 ? ?x ? 1? 2 t ? 3.直线 ? (t为参数) 和圆 x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点, ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2
则 AB 的中点坐标为( A. (3, ?3) ) C. ( 3, ?3) ) D. (3, ? 3) B. (? 3,3)

4.圆 ? ? 5cos? ? 5 3sin ? 的圆心坐标是( A. ( ?5, ?

4? ) 3

B. (?5,

?
3

)

C. (5,

?
3

)

D. ( ?5,

5? ) 3


5.与参数方程为 ?

?x ? t ? ? y ? 2 1? t ?

(t为参数) 等价的普通方程为(
y2 ? 1(0 ? x ? 1) 4

A. x ?
2

y2 ?1 4 y2 ? 1(0 ? y ? 2) 4

B. x ?
2

C. x ?
2

D. x ?
2

y2 ? 1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2) 4


6.直线 ?

? x ? ?2 ? t (t为参数) 被圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 所截得的弦长为( ? y ? 1? t
B. 40

A. 98

1 4

C. 82

D. 93 ? 4 3

二、填空题

1 ? ?x ? 1? 1. 曲线的参数方程是 ? 则它的普通方程为__________________。 t (t为参数,t ? 0) , 2 ? y ? 1? t ?
2.直线 ?

? x ? 3 ? at (t为参数) 过定点_____________。 ? y ? ?1 ? 4t
2 2

3.点 P(x,y)是椭圆 2 x ? 3 y ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为___________。
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4.曲线的极坐标方程为 ? ? tan ? ?

1 ,则曲线的直角坐标方程为________________。 cos ?

5.设 y ? tx(t为参数) 则圆 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的参数方程为__________________________。 三、解答题 1.参数方程 ?

? x ? cos ? (sin ? ? cos ? ) (? 为参数) 表示什么曲线? ? y ? sin ? (sin ? ? cos ? )

2.点 P 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上,求点 P 到直线 3x ? 4 y ? 24 的最大距离和最小距离。 16 9

3.已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程。

?
6



(2)设 l 与圆 x ? y ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积。
2 2

数学选修 4-4 [提高训练 C 组]
一、选择题

坐标系与参数方程.

1.把方程 xy ? 1 化为以 t 参数的参数方程是(



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1 ? ?x ? t 2 A. ? 1 ? y ? t?2 ?

? x ? sin t ? B. ? 1 ? y ? sin t ?

? x ? cos t ? C. ? 1 ? y ? cos t ?

? x ? tan t ? D. ? 1 ? y ? tan t ?


2.曲线 ?

? x ? ?2 ? 5t (t为参数) 与坐标轴的交点是( ? y ? 1 ? 2t
2 5 1 2 ( B. (0, )、 , 0) 1 1 5 2 5 (8, D. (0, )、 0) 9

( A. (0, )、 , 0)

(8, C. (0, ?4)、 0)
3.直线 ?

? x ? 1 ? 2t (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为( y ? 2?t ?
B.



12 5 9 5 C. 5
A.

12 5 5 9 10 D. 5
? x ? 4t 2 ? y ? 4t (t为参数) 上,

4.若点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线 ? 则 PF 等于( A. 2 C. 4 B. 3 D. 5 )

5.极坐标方程 ? cos 2? ? 0 表示的曲线为( A.极点 C.一条直线 B.极轴 D.两条相交直线



6.在极坐标系中与圆 ? ? 4sin ? 相切的一条直线的方程为( A. ? cos ? ? 2 C. ? ? 4 sin(? ? B. ? sin ? ? 2



?
3

)

D. ? ? 4 sin(? ?

?
3

)

二、填空题 1.已知曲线 ?

? x ? 2 pt 2 ? y ? 2 pt

(t为参数,p为正常数) 上的两点 M , N 对应的参数分别为 t1和t2, ,

且t1 ? t2 ? 0 ,那么 MN =_______________。

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2.直线 ?

? x ? ?2 ? 2t ? ? y ? 3 ? 2t ?

(t为参数) 上与点 A(?2,3) 的距离等于 2 的点的坐标是_______。

3.圆的参数方程为 ?

? x ? 3sin ? ? 4cos ? (? 为参数) ,则此圆的半径为_______________。 ? y ? 4sin ? ? 3cos ?

4.极坐标方程分别为 ? ? cos ? 与 ? ? sin ? 的两个圆的圆心距为_____________。

5.直线 ?

? x ? t cos ? ? x ? 4 ? 2cos ? 与圆 ? 相切,则 ? ? _______________。 ? y ? t sin ? ? y ? 2sin ?

三、解答题

1 t ? ?t ? x ? 2 (e ? e ) cos ? ? 1.分别在下列两种情况下,把参数方程 ? 化为普通方程: ? y ? 1 (et ? e ? t ) sin ? ? ? 2
(1) ? 为参数, t 为常数; (2) t 为参数, ? 为常数;

2.过点 P (

10 , 0) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x2 ? 12 y2 ? 1 交于点 M , N , 2

求 PM ? PN 的值及相应的 ? 的值。

新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修 4-4
一、选择题

坐标系与参数方程

[基础训练 A 组]

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1.D 2.B 3.C 4.C 5.C 6.C

k?

y ? 2 ?3t 3 ? ?? x ? 1 2t 2 3 1 时, y ? 4 2

转化为普通方程: y 2 ? 1 ? x ,当 x ? ?

转化为普通方程: y ? x ? 2 ,但是 x ? [2,3], y ?[0,1]

? ( ? cos ? ? 1) ? 0, ? ? x 2 ? y 2 ? 0, 或? cos ? ? x ? 1
(2, 2k? ? 2? ), (k ? Z ) 都是极坐标 3

? cos? ? 4sin ? cos? ,cos? ? 0, 或? ? 4sin ? ,即? 2 ? 4? sin ?
则 ? ? k? ?

?
2

, 或 x2 ? y 2 ? 4 y

二、填空题 1. ?

5 4

k?

y?4 ?5 t 5 ? ?? x ?3 4 t 4

x2 y 2 ? ? 1, ( x ? 2) 2. 4 16

y ? t ? x ? et ? e ? t ? x ? 2 ? 2e y y ? ? ?? ? (x ? ) x ? ? ( ) ?y y 2 2 ? et ? e ? t ?t ? ? x ? ? 2e ?2 ? ? 2

4

3.

5 2

将?

? x ? 1 ? 3t 1 5 5 ) ) 代入 2 x ? 4y ? 5 t ? ,则 B ( , 0 ,而 A( 1 , 2,得 AB ? 得 2 2 2 ? y ? 2 ? 4t
直 线 为 x ? y ?1 ? 0 , 圆 心 到 直 线 的 距 离 d ?

4 . 14

1 2 ,弦长的一半为 ? 2 2

22 ? (
5. ? ?

2 2 14 ,得弦长为 14 ) ? 2 2

?
2

??

? c o s? c o?? ? s i? s? n s n ? i
? x ? cos ? , ? y ? 1 ? sin ?

0 , ? o s ? ,取 ? ? ? ? ? ?( c ) 0

?
2

三、解答题 1.解: (1)设圆的参数方程为 ?

2x ? y ? 2cos? ? sin ? ? 1 ? 5 sin(? ? ? ) ?1 ?? 5 ?1 ? 2x ? y ? 5 ?1
(2) x ? y ? a ? cos ? ? sin ? ? 1 ? a ? 0

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? a ? ?( c o? ? s ? a ? ? 2 ?1
2.解:将 ?

s? n? )? ? i 1

2 s i n (? ?? 4

?

) 1

?x ? 1? t ? 代入 x ? y ? 2 3 ? 0 得 t ? 2 3 , ? y ? ?5 ? 3t ?
2 2

得 P(1 ? 2 3,1) ,而 Q(1, ?5) ,得 PQ ? (2 3) ? 6 ? 4 3 3.解:设椭圆的参数方程为 ?

4 cos ? ? 4 3 sin ? ? 12 ? x ? 4 cos ? ? ,d ? 5 ? y ? 2 3 sin ? ?

?

4 5 co? ? s 5

3 s ?n? i

? 3

4 5 5

2 c o?( ? s 3

?

? )

3

当 c o s?( ?

?
3

? 时, d m i n? ) 1

4 5 , 。 ,此时所求点为 ( 2 ? 3 ) 5

新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修 4-4
一、选择题 1.C 2.D 距离为 t1 ? t1 ?
2 2

坐标系与参数方程 [综合训练 B 组]

2 t1

y ? 2 表示一条平行于 x 轴的直线,而 x ? 2, 或x ? ?2 ,所以表示两条射线
t ?t 1 3 2 (1 ? t )2 ? (?3 3 ? t ) ? 16 ,得 t 2 ? 8t ? 8 ? 0 , t1 ? t2 ? 8, 1 2 ? 4 2 2 2

3.D

1 ? ?x ? 1? 2 ? 4 ?x ? 3 ? ? 中点为 ? ?? ? ? y ? ?3 3 ? 3 ? 4 ? y ? ? 3 ? ? 2
4.A 圆心为 ( , ?

5 2

5 3 ) 2

5.D

y2 y2 2 2 x ? t, ? 1? t ? 1? x , x ? ? 1, 而t ? 0, 0 ? 1 ? t ? 1, 得0 ? y ? 2 4 4
2

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6.C

? 2 ? x ? ?2 ? 2t ? ? x ? ?2 ? t ? 2 ,把直线 ? x ? ?2 ? t 代入 ?? ? ? ? y ? 1? t ? y ? 1? t ? y ? 1 ? 2t ? 2 ? ? 2

( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 得 (?5 ? t )2 ? (2 ? t )2 ? 25, t 2 ? 7t ? 2 ? 0
t1 ? t2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 41 ,弦长为 2 t1 ? t2 ? 82
二、填空题 1. y ?

x( x ? 2) ( x ? 1) ( x ? 1) 2

1 1 1? x ? ,t ? , 而 y ? 1? t 2 , t 1? x
即 y ? 1? (

1 2 x( x ? 2) ) ? ( x ? 1) 1? x ( x ? 1) 2

2. (3, ?1)

y ?1 4 ? , ?( y ? 1 ) ? 4x ? 1 2?对于任何 a 都成立,则 x ? 3 ,且y ? ? 1 a 0 x?3 a

3. 22

x2 y 2 ? ? 1 ,设 P( 6 c o s , 2? i, ) 椭圆为 ? s n 6 4

x ? 2 y ? 6 cos? ? 4sin ? ? 22 sin(? ? ? ) ? 22
4. x ? y
2

? ? t a n??

1 s i? n ? ,? c 2o s? ? 2 cos ? c o? s

s ?n 2? , i

2

c?o s ? ?

?i , 即sx n? y
2

4t ? ?x ? 1? t2 ? 5. ? 2 ? y ? 4t ? 1? t2 ?

x2 ? (tx)2 ? 4tx ? 0 ,当 x ? 0 时, y ? 0 ;当 x ? 0 时, x ?

4t ; 1? t2

4t ? ?x ? 1? t2 4t ? 而y? tx ,即 y ? ,得 ? 2 2 1? t ? y ? 4t ? 1? t2 ?
2

三、解答题 1.解:显然

y y2 1 1 ? tan ? ,则 2 ? 1 ? , cos 2 ? ? 2 2 y x x cos ? ?1 x2

x ? c o 2 ? ? s i? s n

1 c? s o? 2

s? n 2 i?

2

? os ? c?

1 2

2 tan ? 2 1 t a? ? n

?

2

?c o s

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1 即x? ? 2

y y ?1 1 y2 y x ? x ? , x(1 ? 2 ) ? ? 1 2 2 2 y y y x x 1? 2 1? 2 1? 2 x x x 2

得x?

y2 y ? ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 x x 12cos ? ? 12sin ? ? 24 5

2.解:设 P(4cos ? ,3sin ? ) ,则 d ?

12 2 cos(? ? ) ? 24 4 即d ? , 5
当 cos(? ? 当 cos(? ?

?

?
?
4 4

) ? ?1 时, d max ? ) ? 1 时, d min

12 (2 ? 2) ; 5 12 ? (2 ? 2) 。 5

? ? ? 3 x ? 1 ? t cos t ?x ? 1? ? ? ? 6 2 3.解: (1)直线的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2
? 3 t ?x ? 1? ? 2 代入 x 2 ? y 2 ? 4 (2)把直线 ? ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 2 2

t1t2 ? ?2 ,则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2

新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修 4-4
一、选择题 1.D 2.B

坐标系与参数方程

[提高训练 C 组]

xy ? 1 , x 取非零实数,而 A,B,C 中的 x 的范围有各自的限制
2 1 1 ,而 y ? 1 ? 2t ,即 y ? ,得与 y 轴的交点为 (0, ) ; 5 5 5 1 1 1 当 y ? 0 时, t ? ,而 x ? ?2 ? 5t ,即 x ? ,得与 x 轴的交点为 ( , 0 ) 2 2 2
当 x ? 0 时, t ?
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3.B

? x ? 1 ? 5t ? ? x ? 1 ? 2t ? ? ?? ? ?y ? 2 ? t ? y ? 1 ? 5t ? ? ?

2 ? x ? 1 ? 2t 5 ,把直线 ? 代入 1 ?y ? 2 ?t 5

x2 ? y 2 ? 9 得 (1 ? 2t )2 ? (2 ? t )2 ? 9,5t 2 ? 8t ? 4 ? 0
12 8 16 12 5 t1 ? t2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? (? )2 ? ? ,弦长为 5 t1 ? t2 ? 5 5 5 5
4.C 5.D 6.A 抛物线为 y 2 ? 4 x ,准线为 x ? ?1 , PF 为 P(3, m) 到准线 x ? ?1 的距离,即为 4

? cos 2? ? 0, cos 2? ? 0, ? ? k? ?

?
4

,为两条相交直线

? ? 4sin ? 的普通方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , ? cos? ? 2 的普通方程为 x ? 2
圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 与直线 x ? 2 显然相切

二、填空题 1. 4p t1 显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴。即 x 轴, M N ? 2 p 1 t? 2 t ?2

p1t 2

2. (?3, 4) ,或 (?1, 2)

2 2 1 (? 2t )2 ? ( 2t ) 2 ? ( 2) ,2t ? , t ? ? 2 2

3. 5

由?

n ? x ? 3 s i ? ? 4 c?o s 2 得 x ? y 2 ? 25 n ? y ? 4 s i ? ? 3 c?o s
1 1 , 0和 ( 0 , ) ) 2 2

4.

2 2

圆心分别为 (

5.

? 5? ,或 6 6

2 2 ? 直线为 y ? x t a n ,圆为 ( x ? 4) ? y ? 4 ,作出图形,相切时,

易知倾斜角为 三、解答题

? 5? ,或 6 6

1.解: (1)当 t ? 0 时, y ? 0, x ? cos ? ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 当 t ? 0 时, c o ? ? s

x 1 t ?t (e ? e ) 2
x2 ?

, s? n i?

y 1 t ?t (e ? e ) 2
?1

而 x ? y ? 1,即
2 2

y2 1 t (e ? e ? t ) 2 4

1 t (e ? e ? t ) 2 4

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(2)当 ? ? k? , k ? Z 时, y ? 0 , x ? ?

1 t (e ? e?t ) ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 2 ? 1 t ?t 当 ? ? k? ? , k ? Z 时, x ? 0 , y ? ? (e ? e ) ,即 x ? 0 ; 2 2

2x 2x 2y ? t ?t ? t ?e ? e ? cos ? ?2e ? cos ? ? sin ? k? ? ? , k ? Z 时,得 ? 当? ? ,即 ? 2 ?e t ? e ? t ? 2 y ? 2e ? t ? 2 x ? 2 y ? ? sin ? cos ? sin ? ? ?
得 2e ? 2e
t ?t

?(

2x 2y 2x 2y ? )( ? ) cos ? sin ? cos ? sin ?



x2 y2 ? 2 ?1。 cos 2 ? sin ?

? 10 ? t cos ? ?x ? 2.解:设直线为 ? (t为参数) ,代入曲线并整理得 2 ? y ? t sin ? ?
(1 ? sin 2 ? )t 2 ? ( 10 cos ? )t ? 3 ?0 2

3 2 则 PM ? PN ? t1t2 ? 1 ? sin 2 ? ? 3 ? 2 所以当 sin ? ? 1 时,即 ? ? , PM ? PN 的最小值为 ,此时 ? ? 。 2 4 2

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不 好 不 子 如 之 如 曰 乐 者 好 : 之 之 知 者 者 之 。 , 者

新课程高中数学训练题组
根据最新课程标准,参考独家内部资料,精心 编辑而成;本套资料分必修系列和选修系列及 部分选修 4 系列。欢迎使用本资料!

数学选修 4-5 [基础训练 A 组]
一、选择题 1.下列各式中,最小值等于 2 的是( A.

不等式选讲



x y ? y x

B.

x2 ? 5 x ?4
2

C. tan ? ?

1 tan ?
y

D. 2 ? 2
x

?x

2.若 x, y ? R 且满足 x ? 3 y ? 2 ,则 3 ? 27 ? 1 的最小值是(
x



A. 3 3 9

B. 1 ? 2 2

C. 6

D. 7 )

3.设 x ? 0, y ? 0, A ? A. A ? B C. A ? B

x? y x y ? , B? ,则 A, B 的大小关系是( 1? x ? y 1? x 1? y

B. A ? B D. A ? B
?

4.若 x, y, a ? R ,且 x ?

y ? a x ? y 恒成立,则 a 的最小值是(
C. 1 D.



A.

2 2

B. 2

1 2

5.函数 y ? x ? 4 ? x ? 6 的最小值为( A. 2 B. 2 C. 4

) D. 6 )

6.不等式 3 ? 5 ? 2 x ? 9 的解集为( A. [?2,1) ? [4,7) C. (?2, ?1] ? [4,7)

B. (?2,1] ? (4,7] D. (?2,1] ? [4,7)

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二、填空题 1.若 a ? b ? 0 ,则 a ?

1 的最小值是_____________。 b( a ? b)
a b b?m a?n , , , 按由小到大的顺序排列为 b a a?m b?n

2.若 a ? b ? 0, m ? 0, n ? 0 ,则

3.已知 x, y ? 0 ,且 x 2 ? y 2 ? 1,则 x ? y 的最大值等于_____________。

1 1 1 1 ? 10 ? 10 ? ?? ? 11 ,则 A 与 1 的大小关系是_____________。 10 2 2 ?1 2 ? 2 2 ?1 12 5.函数 f ( x) ? 3 x ? 2 ( x ? 0) 的最小值为_____________。 x
4.设 A ? 三、解答题 1.已知 a ? b ? c ? 1 ,求证: a ? b ? c ?
2 2 2

1 3

2.解不等式 x ? 7 ? 3x ? 4 ? 3 ? 2 2 ? 0

3.求证: a ? b ? ab ? a ? b ? 1
2 2

4.证明: 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

1 1 1 ? ? ... ? ?2 n 2 3 n

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数学选修 4-5 [综合训练 B 组]
一、选择题 1.设 a ? b ? c, n ? N ,且 A. 2 B. 3

不等式选讲

1 1 n ? ? 恒成立,则 n 的最大值是( a?b b?c a?c C. 4 D. 6
) D.最小值 ?1



x2 ? 2 x ? 2 2. 若 x ? (??,1) ,则函数 y ? 有( 2x ? 2
A.最小值 1 B.最大值 1 C.最大值 ?1

3.设 P ? 2 , Q ? 7 ? 3 , R ? 6 ? 2 ,则 P, Q, R 的大小顺序是( A. P ? Q ? R C. Q ? P ? R B. P ? R ? Q D. Q ? R ? P
3 3 2 2



4.设不等的两个正数 a , b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a ? b 的取值范围是( A. (1, ??) C. [1, ] B. (1, ) D. (0,1)



4 3

4 3

? 5.设 a, b, c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 ,若 M ? ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ,则必有(

1 a

1 b

1 c



A. 0 ? M ?

1 8

B.

1 ? M ? 1 C. 1 ? M ? 8 8

D. M ? 8

6.若 a, b ? R ? ,且 a ? b, M ? A. M ? N 二、填空题 B. M ? N

a b ? , N ? a ? b ,则 M 与 N 的大小关系是 b a
D. M ? N

C. M ? N

1.设 x ? 0 ,则函数 y ? 3 ? 3 x ?

1 的最大值是__________。 x

2.比较大小: log3 4 ______ log6 7 3.若实数 x, y, z 满足 x ? 2 y ? 3z ? a(a为常数) ,则 x ? y ? z 的最小值为
2 2 2

4.若 a, b, c, d 是正数,且满足 a ? b ? c ? d ? 4 ,用 M 表示

a ? b ? c, a ? b ? d , a ? c ? d , b ? c ? d 中的最大者,则 M 的最小值为__________。
5.若 x ? 1, y ? 1, z ? 1, xyz ? 10 ,且 x
lg x

? ylg y ? z lg z ? 10 ,则 x ? y ? z ? _____ 。

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三、解答题 1.如果关于 x 的不等式 x ? 3 ? x ? 4 ? a 的解集不是空集,求参数 a 的取值范围。

a 2 ? b2 ? c 2 a ? b ? c 2.求证: ? 3 3

3.当 n ? 3, n ? N 时,求证: 2n ? 2(n ? 1)

4.已知实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ,且有 a ? b ? c ? 1, a ? b ? c ? 1
2 2 2

求证: 1 ? a ? b ?

4 3

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数学选修 4-5 [提高训练 C 组]
一、选择题

不等式选讲

1.若 log x y ? ?2 ,则 x ? y 的最小值是(



A.

33 2 2
3 2

B.

23 3 3
2 3

C.

3

D.

2
a b c d ? ? ? , a?b?c b?c?d c?d ?a d ?a?b

? 2. a, b, c ? R ,设 S ?

则下列判断中正确的是( ) A. 0 ? S ? 1 B. 1 ? S ? 2 C. 2 ? S ? 3 D. 3 ? S ? 4 3.若 x ? 1 ,则函数 y ? x ? A. 16 C. 4 B. 8 D.非上述情况

1 16 x ? 的最小值为( x x2 ? 1



4. b ? a ? 0 , P ? 设 且

a?b a 2 ? b2 , ? , M ? ab , N ? , ? , R Q 1 1 1 1 2 2 ? 2 ? a2 b a b

2

2

则它们的大小关系是( A. P ? Q ? M ? N ? R C. P ? M ? N ? Q ? R 二、填空题 1.函数 y ?

) B. Q ? P ? M ? N ? R D. P ? Q ? M ? R ? N

3x ( x ? 0) 的值域是 x ? x ?1
2

.

2.若 a, b, c ? R ? ,且 a ? b ? c ? 1 ,则 a ? b ? c 的最大值是 3.已知 ?1 ? a, b, c ? 1 ,比较 ab ? bc ? ca 与 ?1 的大小关系为 4.若 a ? 0 ,则 a ? .

1 1 ? a 2 ? 2 的最大值为 a a

.

5.若 x, y, z 是正数,且满足 xyz ( x ? y ? z ) ? 1 ,则 ( x ? y)( y ? z ) 的最小值为______。

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三、解答题 1. 设 a, b, c ? R ? ,且 a ? b ? c ,求证: a 3 ? b 3 ? c 3
2 2 2

2.已知 a ? b ? c ? d ,求证:

1 1 1 9 ? ? ? a ?b b ?c c ?a a ?d

3.已知 a, b, c ? R ? ,比较 a ? b ? c 与 a b ? b c ? c a 的大小。
3 3 3 2 2 2

4.求函数 y ? 3 x ? 5 ? 4 6 ? x 的最大值。

5.已知 x, y, z ? R ,且 x ? y ? z ? 8, x ? y ? z ? 24
2 2 2

求证:

4 4 4 ? x ?3 , ? y ?3 , ?z ?3 3 3 3

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新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修 4-5
一、选择题 1.D 2.D 3.B

不等式选讲

[基础训练 A 组]

? 2x ? 0, 2? x ? 0,? 2x ? 2? x ? 2 2x 2? x ? 2
3x ? 33 y ?1 ? 2 3x ? 33 y ?1 ? 2 3x ?3 y ?1 ? 7
B? x y x y x? y ? ? ? ? ? A ,即 A ? B 1? x 1? y 1? x ? y 1? y ? x 1? x ? y

4.B

?

x2 ? y 2 x ? y 2 ? ,即 x2 ? y 2 ? ( x ? y) , 2 2 2
2 ( x ? y ) ,而 x ? y ? a x ? y , 2
1 1 2 ( x ? y ) 恒成立,得 ? ,即a ? 2 a a 2

? x? y ?

即 x? y ?

5.A

y ? x ?4 ? x ? ? x ? ? ? 6 4 6 x

2 ?

6.D

? 2 x ? 5 ? 9 ??9 ? 2 x ? 5 ? 9 ??2 ? x ? 7 ? ?? ?? ,得 (?2,1] ? [4,7) ? ? 2 x ? 5 ? 3 ?2 x ? 5 ? 3, 或2 x ? 5 ? ?3 ? x ? 4, 或x ? 1 ?

二、填空题 1. 3

(a ? b) ? b ?

1 1 ? 3 3 (a ? b) ? b ? ?3 b(a ? b) b(a ? b)

2.

b b?m a?n a b b? m ? ? ? ? 1, 由糖水浓度不等式知 ? a a?m b?n b a a? m b b?n a a?n a?n a ? 1 ,得 ? ? 1 ,即 1 ? ? 且 ? a a?n b b?n b?n b

3. 2 4. A ? 1

x? y ? 2

x2 ? y 2 , x ? y ? 2 x2 ? y 2 ? 2 2

A?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? 10 ? 10 ? ?? ? 11 ? 10 ? 10 ? 10 ? ?? ? 10 ? 1 10 2 2 ?1 2 ? 2 2 ? 1 ??????????? 2 2 2 2
210 个

5. 9

12 3 x 3 x 1 2 3 x3 x3 1 2 f ( x)? 3x? 2 ? ? ?2 ? 3 ? ? 9 ? x 2 2 x 2 2 x2

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三、解答题 1.证明:? a2 ? b2 ? c2 ? (a ? b ? c)2 ? (2ab ? 2bc ? 2ac)

? (a ? b ? c)2 ? 2(a2 ? b2 ? c2 ) ?3 ( 2 ? b2 ? c2 ) ? (a ? b ? c2 ?1 a )
? a 2 ? b 2 ? c 2?
2 2 2

1 3

1 ( a ? b ? c) 2 2 2 2 另法一:? a ? b ? c ? ? a ? b ? c ? 3 3
1 ? ( 2 2 ? 2 2 ? 2 2 ? 2 b ? 2b c? 2 a c) a b c a 3 1 2 ? [ (a ? b 2 ? ( ? c2) ? (a ? c ) ]? 0 ) b 3
? a 2 ? b 2 ? c 2? 1 3

另法二:?(12 ? 12 ? 12 )(a2 ? b2 ? c2 ) ? (a ? b ? c)2 ? 1
2 2 即 3 ( ? b ? c ) ,? a ? b ? c ? a2 ? 1
2 2 2

1 3

2.解:原不等式化为 x ? 7 ? 3x ? 4 ? 2 ? 1 ? 0 当x?

4 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ?1 ? 0 3

得 x ? 5?

2 4 2 ,即 ? x ? 5 ? ; 2 3 2
4 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ?1 ? 0 3

当 ?7 ? x ? 得x??

1 2 1 2 4 ? ,即 ? ? ?x? ; 2 4 2 4 3

当 x ? ?7 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ?1 ? 0 得 x ? 6?

2 ,与 x ? ?7 矛盾; 2 1 2 2 ? ? x ? 5? 2 4 2

所以解为 ?

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3.证明:?(a2 ? b2 ) ? (ab ? a ? b ?1)

? a 2 ? b 2 ? ab ? a ? b ? 1 1 ? (2a 2 ? 2b 2 ? 2ab ? 2a ? 2b ? 2) 2 1 2 ? [(a ? 2ab ? b 2 ) ? (a 2 ? 2a ? 1) ? (b 2 ? 2b ? 1)] 2 1 ? [(a ? b)2 ? (a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2 ] ? 0 2
? a 2 ? b2 ? ab ? a ? b ? 1
4.证明:?

1 1 1 ? ? k ?1 ? k 2 k k ?1 ? k 1 k ? 2 (k ? k ?1 )

?2 ( k ? 1 ? k ) ?

? 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

1 1 1 ? ? ... ? ?2 n 2 3 n

数学选修 4-5
一、选择题 1.C

不等式选讲

[综合训练 B 组]

?

a ?c a ?c a ?b ?b ?c a ?b ?b ?c b ?c a ?b ? ? ? ? 2? ? ?4 a ?b b?c a ?b b?c a ?b b ?c 1 1 4 1 1 n ? ? ? ? ? ,而 恒成立,得 n ? 4 a ? b b? c a c a ? b b ? c a ? c ?

2.C

( x ? 1)2 1 x ?1 1 1? x 1 y? ? ? ? ? ?2 ? ? ?1 2x ? 2 2x ? 2 2 2( x ? 1) 2 2(1 ? x)

3.B

? 2 ? 2 ? 2 2 ? 6,? 2 ? 6 ? 2 ,即 P ? R ;
又?

6? 3? 7? 2, ?

6?

2?

7? ,即 R ? Q ,所以 P ? R? Q 3
( a ? b) 2 4

4.B

a2 ? ab ? b2 ? a ? b,(a ? b)2 ? (a ? b) ? ab ,而 0 ? ab ?
4 ( a ? b) 2 所以 0 ? (a ? b) ? (a ? b) ? ,得 1 ? a ? b ? 3 4
2

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5.D

M ?(

a?b?c a?b?c a?b?c (b ? c)(a ? c)(a ? b) ? 1)( ? 1)( ? 1) ? a b c abc

?

8 ab bc ac ?8 abc
a b ? b ? 2 a, ? a ?2 b b a

6.A

? a ? b,?

?

a b a b ? b? ? a ? 2 b ? 2 a ,即 ? ? b? a b a b a

二、填空题 1. 3 ? 2 3 2. ?

y ? 3 ? 3x ?

1 1 ? 3 ? 2 3x ? ? 3 ? 2 3 ,即 ym a x? 3 ? 2 3 x x
a b b b

a b 设 log3 4 ? a,log6 7 ? b ,则 3 ? 4 , 6? ,得 7 ? 3 ? 4 ? 6 ? 4 ? 2 ? 3 7

即3

a ?b

?

4 ? 2b 4 ? 2b a ?b b ?1? a ? b ? 0 ? a ? b ,显然 b ? 1, 2 ? 2 ,则 3 ? 7 7
2

3.

a2 14

2 2 2 ?( 1 ? 2 ? 3 x ( 2 ?y )

?z

2

) x( ? y ? z3 2 )?a 2 ? 2
a2 14

2 即 1 4 x2 ? y 2 ? z 2 )? a,? x ? y ? z ? (
2 2 2

4. 3

M?

1 (a ? b ? c ? a ? b ? d ? a ? c ? d ? b ? c ? d ) 4 3 ? (a ? b ? c ? d ?,即 M m i n? 3 ) 3 4
lz g 2 )? 1? l gx ? l g2 ? y 2 lg ? z 2 zl g? )

5. 12

g l g xl gx ? y l y ? z (

1 2 ( l g? l g y x y lzg ? lg z xl g l g )

而 l g x ? l g y ? l gz ?
2 2 2

(lg x?

yg l?

? [lg( xyz )]2 ? 2(lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x) ? 1 ? 2(lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x) ? 1
即 lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x ? 0 ,而 lg x,lg y,lg z 均不小于 0 得 lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x ? 0 , 此时 lg x ? lg y ? 0 ,或 lg y ? lg z ? 0 ,或 lg z ? lg x ? 0 , 得 x ? y ? 1, z ? 10 ,或 y ? z ? 1, x ? 10 ,或 x ? z ? 1, y ? 10
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x ? y ? z ? 12
三、解答题 1.解:? x ? 3 ? x ? 4 ? ( x ? 3) ? ( x ? 4) ? 1

?( x ? 3? x ? 4 m i n? 1 )
当 a ? 1 时, x ? 3 ? x ? 4 ? a 解集显然为 ? , 所以 a ? 1 2.证明:? (12 ? 12 ? 12 )(a2 ? b2 ? c2 ) ? (a ? b ? c)2

?

a 2 ? b 2 ? c 2 (a ? b ? c ) ? 3 9

2



a2 ? b 2? c 2 a ? b ? c ? 3 3

1 2 n 1 n n 3.证明:? 2n ? (1 ?1)n ? 1 ? Cn ? Cn ? ...Cn ? 1 ? Cn ? Cn ?1 ? Cn ? 2(n ? 1)

(本题也可以用数学归纳法) ? 2n ? 2 n ? 1 ) ( 4.证明:? a ? b ? 1 ? c, ab ?

( a ? b) 2 ? ( a 2 ? b 2 ) ? c2 ? c 2

? a, b 是方程 x2 ? (1 ? c) x ? c2 ? c ? 0 的两个不等实根,
则 ?? (1 ? c) ? 4(c ? c) ? 0 ,得 ?
2 2 2

1 ?c ? 1 3

而 (c ? a) (c? b)? c ? ( a? b c a b 0 ) ? ? 即 c ? (1 ? c)c ? c ? c ? 0 ,得 c ? 0, 或c ?
2 2

2 3

所以 ?

1 4 ?c ?0 ,即 1 ? a ? b ? 3 3

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数学选修 4-5
一、选择题 1.A 由 log x y ? ?2 得 y ? 而x? y ? x?

不等式选讲

提高训练 C 组]

1 , x2

1 x x 1 x x 1 1 3 ? ? ? 2 ? 33 ? ? 2 ? 33 ? 3 2 2 x 2 2 x 2 2 x 4 2

a b c d ? ? ? a ?b?c b?c ?d c ?d ?a d ?a ?b a b c d ? ? ? d a b c ? ? ? ? ? 1? a ? b ? c ? d b? c? d ? a c d? a b d a b c ? ? ? ? ? ? ? ? a b c a a c c b b d d ? ? ? ? 即 S ? 1, , , , a?b?c a?c c?d ?a a?c b?c?d b?d d ?a?b d ?b a c c a b d d b ? ? ? ?1, ? ? ? ?1 得 a?b?c c?d ?a a?c a?c b?c?d d ?a ?b d ?b b?d a b c d ? ? ? ? 2 ,得 S ? 2 ,所以1 ? S ? 2 即 a?b?c b?c?d c?d ?a d ?a?b 1 16 x 1 16 3.B y ? x? ? 2 ? x? ? ? 2 16 ? 8 x x ?1 x x? 1 x R 为平方平均数,它最大 4.A
2.B 二、填空题 1. [?3, 0)

d

1 1 3x 3 ? , ,? x ? 0 , x ? ? ? 2得 x ? ? 1 ? ?1 ? x x x ? x ?1 x ? 1 ?1 x 1 3 ?1 ? ? 0 ? ?3 ? ? 0 ? ?3 ? y ? 0 1 1 x ? ?1 x ? ?1 x x

y?

2

2. 3 3. ?

2 2 ( 1 a ? 1? b ?1 ? c2 ) ?2( 1 ? 1 ? 1a ) ( b c ? ? ?

)? 3

? c1 ? 1 (c 构造单调函数 f ( x)? (b? c) x b ?,则 f ( 1 ) ( ? b ) ?1 ?), 0 f (?1) ? (?1 ? b)(?1 ? c) ? (1 ? b)(1 ? c) ? 0 ,即 ?1 ? x ? 1 , f ( x) ? 0 恒成立,
所以 f (a) ? (b ? c)a ? bc ? 1 ? 0 ,即 ab ? bc ? ca ? ?1

4. 2 ? 2

设 a ?
2

1 1 1 2 2 2 ,则 a ? 2 ? t ,即 a ? ? t ? 2 ? t( t ? 2 ) 2 a a a

再令 y ? a ? 即 t ?[

1 1 t ?1 ? 0 ? a 2 ? 2 ? t 2 ? 2 ? t (t ? 2) , y ' ? a a t2 ? 2

2 ,? ?时, y 是 t 的减函数,得 t ? 2 时, ym a x? 2 ? 2 )

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5. 2

( x ? y) ( y? z)? x y 2 y ? y ? ? z
a b ? ?1 c c

z? ( y ?x ?y ? x ) z

2x ( ? z

y x?y ? )

z2 z x ?

三、解答题 1.证明:? a, b, c ? R ,
?

?0 ?
2 3

2 2 2 a b ? 1 , 0 ? a 3, b 3, c 3, ? 1 ? c c
2 3

0

a ?b
2

c3

2 2 2 a 2 b 2 a b a ?b 3 3 3 3 ?( ) ?( ) ? ? ? ? 1, ? a ? b ? c 3 c c c c c

2.证明:? a ? b ? c ? d ,? a ? b ? 0, b ? c ? 0, c ? d ? 0

?(

1 1 1 1 1 1 ? ? )(a ? d ) ? ( ? ? )[( a ? b) ? (b ? c) ? (c ? d )] a ?b b?c c ?a a ?b b ?c c ?a

? 33
?

1 1 1 ? ? ? 3 3 (a ? b)(b ? c)(c ? d ) ? 9 a ?b b ?c c ?a

1 1 1 9 ? ? ? a ?b b?c c ?a a ?d
3 3 3

3.解:取两组数: a, b, c 与 a 2 , b2 , c 2 ,显然 a ? b ? c 是同序和,
2 a2 b? b ? c 2 c 是乱序和,所以 a3 ? b3 ? c3 ? a 2 b? b2 c c a a ? 2

4.解:函数的定义域为 [5, 6] ,且 y ? 0

y ? 3? x ? 5 ? 4 ? 6 ? x

? 32 ? 42 ? ( x ? 5) 2 ? ( 6 ? x ) 2 ?5
5.证明:显然 x ? y ? 8 ? z, xy ?

ymax ? 5

( x ? y)2 ? ( x 2 ? y 2 ) ? z 2 ? 8 z ? 20 2

? x, y 是方程 t 2 ? (8 ? z) x ? z 2 ? 8z ? 20 ? 0 的两个实根,
由 ?? 0 得

4 4 4 ? z ? 4 ,同理可得 ? y ? 4 , ? x ? 4 3 3 3

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新课程高中数学训练题组(选修4-4 4-5)含答案.doc

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