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高中数学 第2章 平面解析几何初步 2.1.4 两条直线的交点课件8 苏教版必修2_图文

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§2.1 直线与方程 2.1.4 两条直线的交点

本节知识目录

明目标、知重点






填要点、记疑点

线



探要点、究所然




当堂测、查疑缺

探究点一 直线的交点与方程组的解的关系 探究点二 直线交点的应用

明目标、知重点
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标; 2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系.

填要点、记疑点
1.两直线的交点坐标 已知直线:l1:A1x+B1y+C1=0;l2:A2x+B2y+C2=0.点 A(a,b). (1)若点 A 在直线 l:Ax+By+C=0 上,则有: Aa+Bb+C=0 . (2)若点 A 是直线 l1 与 l2 的交点,则有:?????AA21aa++BB21bb++CC21==00.,

填要点、记疑点

2.两直线的位置关系

方程组?????AA12xx+ +BB12yy+ +CC12= =00 的解 一组 无数组 无解

直线l1与l2的公共点的个数 直线l1与l2的位置关系

一个 无数个 零个 相交 重合 平行

探要点、究所然
[情境导学] 由于任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示,那么两条直线是否有交点 与它们的方程所组成的方程组是否有解有何联系?

探要点、究所然
探究点一 :直线的交点与方程组的解的关系
思考 1 为什么说求两条直线的交点,就是求这两个直线方程的公共解?
答 两条直线相交,交点一定同时在这两条直线上,交点坐标是这两个方 程组成的方程组的唯一解; 反之,如果这两个二元一次方程组成的方程组只有一个解,那么以这个解 为坐标的点,必是直线 l1 和 l2 的交点. 因此求这两条直线的交点,就是求这两个直线方程的公共解.

探要点、究所然
探究点一 :直线的交点与方程组的解的关系
思考 2 设两条直线的方程分别是 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0. 那么方程组的解的情况和两直线的相交、重合、平行有怎样的关系? 答 它们的关系如下表所示:

方程组?????AA21xx++BB21yy++CC21==00 的解 一组 无数组

直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个

直线l1与l2的位置关系

相交 重合

无解
零个 平行

探要点、究所然
探究点二 :直线交点的应用
例1 分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点: (1)l1:2x-y=7,l2:3x+2y-7=0; (2)l1:2x-6y+4=0,l2:4x-12y+8=0; (3)l1:4x+2y+4=0,l2:y=-2x+3.
解 (1)因为方程组?????23xx- +y2-y-7= 7=00 的解为?????xy= =- 3 1 , 因此直线l1和l2相交,且交点坐标为(3,-1).

探要点、究所然
探究点二 :直线交点的应用
例1 分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点: (1)l1:2x-y=7,l2:3x+2y-7=0; (2)l1:2x-6y+4=0,l2:4x-12y+8=0; (3)l1:4x+2y+4=0,l2:y=-2x+3.
(2)方程组?????42xx--162y+y+4= 8=00 有无数组解,这表明直线l1和l2重合.

探要点、究所然
探究点二 :直线交点的应用
例1 分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点: (1)l1:2x-y=7,l2:3x+2y-7=0; (2)l1:2x-6y+4=0,l2:4x-12y+8=0; (3)l1:4x+2y+4=0,l2:y=-2x+3.
(3)方程组?????24xx++y2-y+3=4=00 无解,这表明直线l1和l2没有公共点, 故l1∥l2.

探要点、究所然
探究点二 :直线交点的应用
反思与感悟 判定两条直线的位置关系有两种方法:(1)通过解两直线对应 方程组成的方程组,若方程组有一解两直线相交,无解两直线平行,两方 程能化成同一个方程两直线重合;(2)利用两直线的斜率及截距的关系.

探要点、究所然

探究点二 :直线交点的应用

跟踪训练1 判定下列各对直线的位置关系,如果相交,求出交点的坐标:

(1)l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0; (2)l1:3x-y+4=0,l2:6x-2y-1=0;

(3)l1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0.



(1)解方程组?????3x-x+y=3y-0 10=0 ,得???????xy==5353

.

所以,l1与l2相交,交点是M????53,35????.

探要点、究所然
探究点二 :直线交点的应用
跟踪训练1 判定下列各对直线的位置关系,如果相交,求出交点的坐标:

(1)l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0;

(2)l1:3x-y+4=0,l2:6x-2y-1=0;

(3)l1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0.

(2)解方程组?????36xx- -y2+y-4= 1=0, 0

① ②

①×2-②得9=0,矛盾,方程组无解, 所以两直线无公共点,l1∥l2.

探要点、究所然

探究点二 :直线交点的应用

跟踪训练1 判定下列各对直线的位置关系,如果相交,求出交点的坐标:

(1)l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0; (2)l1:3x-y+4=0,l2:6x-2y-1=0;

(3)l1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0.

(3)解方程组?????63xx++84yy--15= 0=0, 0,

① ② ①×2得6x+8y-10=0.

因此,①和②可以化成同一个方程, 即①和②表示同一条直线,l1与l2重合.

探要点、究所然
探究点二 :直线交点的应用
例2 直线l经过原点,且经过另外两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的 交点,求直线l的方程. 解 方法一 解方程组?????2x-x+y-3y+ 1=8=0 0 ,得?????xy= =- -12, 所以两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0的交点坐标为(-1,-2),
又直线l经过原点(0,0),设经过原点的直线方程为y=kx, 将(-1,-2)代入方程,得k=2,所求直线l的方程为y=2x, 即2x-y=0.

探要点、究所然
探究点二 :直线交点的应用
方法二 设经过两条直线2x+3y+8=0,x-y-1=0交点的直线方程为(2x+3y +8)+λ(x-y-1)=0,又直线l经过原点, 把(0,0)代入l的方程,得λ=8,
将λ=8代入l的方程并整理,得2x-y=0.

探要点、究所然
探究点二 :直线交点的应用
反思与感悟 已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0相交, 那么过两直线的交点的直线方程可设为(A1x+B1y+C1)+λ(A2x+B2y+C2) =0 (λ∈R).

探要点、究所然
探究点二 :直线交点的应用
跟踪训练2 求经过两直线3x+4y-2=0与2x+y+2=0的交点且垂直于 5x+2y-1=0的直线方程. 解 由方程组?????32xx+ +4y+y-22==00,, 解得?????xy= =2-,2, 即两直线的交点为(-2,2). 设所求直线为2x-5y+m=0,将点(-2,2)代入,得
2×(-2)-5×2+m=0,解得m=14. 故所求直线方程为2x-5y+14=0.

探要点、究所然
探究点二 :直线交点的应用
例3 如图,以Rt△ABC的两条直角边AB,BC向三角形外分别作正方形ABDE 和正方形BCFG.连结EC,AF,两直线交于点M.求证:BM⊥AC.
证明 以两条直角边所在直线为坐标轴,建立直角坐标系. 设正方形ABDE和正方形BCFG的边长分别为a,b,则A(0,a),C(b,0), B(0,0),E(-a,a),F(b,-b).

探要点、究所然
探究点二 :直线交点的应用
直线AF的方程是ay++bb=0x--bb, 即(a+b)x+by-ab=0. 直线EC的方程是ay- -00=-x-a-bb, 即ax+(a+b)y-ab=0. 解方程组??????aax++b?a?x++bb?yy- -aabb= =00, , 得???????xy= =aa22+ +aaaab2bbb2+ +bb22, ,

探要点、究所然
探究点二 :直线交点的应用
即M点的坐标为????a2+aa2bb+b2,a2+aabb2+b2????, 故kBM=ab,又kAC=0b- -a0=-ab,
所以kBM·kAC=-1.因此BM⊥AC.

探要点、究所然
探究点二 :直线交点的应用
反思与感悟 本题是用代数的方法证明的几何问题,这就是解析法.具体来 说就是根据图形特点,建立适当的直角坐标系,利用坐标解决有关问题,这 种方法叫坐标的方法,也称为解析法.

探要点、究所然
探究点二 :直线交点的应用
跟踪训练3 某商品的市场需求量y1(万件)、市场供应量y2(万件)、市场价格 x(元/件)分别近似地满足下列关系:y1=-x+70,y2=2x-20.当y1=y2时的 市场价格称为市场平衡价格,此时的需求量称为平衡需求量. (1)求市场平衡价格和平衡需求量; (2)若要使平衡需求量增加4万件,政府对每件商品应给予多少元补贴? 解 (1)解方程组?????yy==2-x-x+2070 得?????xy= =3400 , 故平衡价格为30元/件,平衡需求量为40万件.

探要点、究所然
探究点二 :直线交点的应用
(2)设政府给予t元/件补贴,此时的市场平衡价格(即消费者支付价格)为x元/件, 则供货者实际每件得到(x+t)元. 依题意得方程组?????-2?xx++t7?-0=240=4 44 ,解得x=26,t=6.
因此,政府对每件商品应给予6元补贴.

当堂测、查疑缺

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1.直线l1:3x+4y-5=0;l2:3x+5y-6=0的交点坐标为________.

当堂测、查疑缺

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1234

1.直线l1:3x+4y-5=0;l2:3x+5y-6=0的交点坐标为__M_????_13_,__1????_.

解析

解方程组????? 33xx++45yy--56==00,.

得???x=13, ??y=1.

∴l1与l2的交点是M????13,1????.

当堂测、查疑缺

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1234

2.当 a 取不同实数时,直线(2+a)x+(a-1)y+3a=0 恒过一个定点,这个定点 的坐标为_____________.

当堂测、查疑缺

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2.当 a 取不同实数时,直线(2+a)x+(a-1)y+3a=0 恒过一个定点,这个定点 的坐标为__(_-__1_,__-__2_) __.

解析 直线方程可写成a(x+y+3)+2x-y=0,则该直线系必过直线x+y+3=0 与直线2x-y=0的交点, 即(-1,-2).

当堂测、查疑缺

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1234

3.若 p,q 满足条件 p-2q=1,直线 px+3y-q=0 必过一个定点,该定点的坐

标为________.

当堂测、查疑缺

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3.若 p,q 满足条件 p-2q=1,直线 px+3y-q=0 必过一个定点,该定点的坐

标为________. 解析 方法一 由p-2q=1,得出p=2q+1,
代入直线px+3y-q=0,得(2q+1)x+3y-q=0,
分离参数,得q(2x-1)+x+3y=0, 得?????2x+x-31y==00,, 解得???????xy= =- 12,16. 故定点坐标为????12,-16????.

当堂测、查疑缺

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3.若 p,q 满足条件 p-2q=1,直线 px+3y-q=0 必过一个定点,该定点的坐 标为__????12_,__-__16_???? . 方法二 将 1=p-2q 代入直线 px+3y-q=0,
得px+3(p-2q)y-q=0,即p(x+3y)-q(6y+1)=0. 由?????x6+y+3y1==00,, 得???????xy==12-,16. ∴直线过定点????12,-16????.

当堂测、查疑缺

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1234

4.求经过原点且经过直线l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0的交点的直线方程.

当堂测、查疑缺

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4.求经过原点且经过直线l1:x-2y+2=0,l2:2x-y-2=0的交点的直线方程. 解 解方程组?????x2-x-2yy+ -22= =00, , 得?????xy= =22,. ∴l1与l2的交点是(2,2). 设经过原点的直线方程为y=kx,把(2,2)代入方程, 得k=1,所求方程为y=x.

呈重点、现规律
1.与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+D=0(D≠C).与y=kx+b 平行的直线系方程为y=kx+m(m≠b).
2.过两条直线交点的直线系方程:过两条直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+ B2y+C2=0交点的直线系方程是A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R), 但此方程中不含l2;一般形式是m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0(m2+ n2≠0),是过l1与l2交点的所有直线方程.


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