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四川省雅安中学学高一数学下学期期末模拟试题-课件

时间:2016-08-05


雅安中学 2015—2016 学年度下期期末模拟考试 高一数学
Ⅰ卷

一、选择题(每小题 5 分,满分 60 分) 1. sin 200 cos100 ? cos1600 sin 100 =( A ? )

3 2

B

3 2

C ?

1 2

D

1 2


2.设等差数列 ?an ? 的前 n 项之和为 Sn ,已知 S10 ? 100 ,则 a4 ? a7 ? (

A 、12
A. 20

B 、20
B.18

C 、40
C.16

D 、100
) ; D.14

3.已知数列:4,a , 12 ,b 中,前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,则 b ?(

4.已知正△ABC 的边长为 a,以它的一边为 x 轴,对应的高线为 y 轴,画出它的水平放置的 直观图 ?A?B?C ? ,则 ?A?B?C ? 的面积是( A. 3 2 a 4 B. 3 2 a 8 C. ) 6 2 a 8 D. ) D.

6 2 a 16

5.已知实数 x ? y ,且 y ? 0 ,则下列结论正确的是( A.

x ?1 y

B. cx ? cy(c ? R )

3 3 C. x ? y

1 1 ? x y

6.已知 an?1 ?

1 , a1 ? 2. 则 a2016 的值为( 1 ? an
B .2



A .-1

C .0

D.

1 2


2 7.二次不等式 mx ? mx ? 1 ? 0 的解集是全体实数的条件是(

A. [?4,0] 8.下列结论正确的是(

B.(-4,0] )

C.[0,4)

D.(-4,0)

A.当 x ? 0且x ? 1时, lg x ? 1 ? 2 lg x C. 当x ? 2时, x ? 9.已知 sin ? ? cos ? ?

B. 当x ? 0

时, x ?

1 x

?2

1 ? ,且 ? ? ? ? ,则 cos 2? ? ( 5 2

1 的最小值为 2 x

D.当 0 ? x ? 2 时, x ? )

1 有最大值. x

1

A. ?

7 25

B.

7 25

C. ?

7 25

D.-

24 25


10.在等差数列 ?an ? 中,若 S 4 ? 1, S8 ? 4 ,则 a17 ? a18 ? a19 ? a20 的值为( A. 9 B. 12 C. 16 ) D. 17

11.一几何体的三视图如下,则它的体积是 (

a a
2a
正视图 A.

a a
2a
侧视图

2a
俯视图

3?? 3 a 3

B.

7 3 a? 12

C.

3? ? 16 3 a 12

D.

7 3 a? 3

12.已知 x ? 0, y ? 0,lg 2 x ? lg 4 y ? lg 2 ,则

1 1 ? 的最小值是( x y



A.6

B.5

C. 3 ? 2 2

D. 4 2

Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分。 2 2 13.U=x +y +1 与 V=2(x+y-1)的大小关系是________. 14.△ABC 中,如果

a b c = = ,那么△ABC 的形状是 tan A tan B tan C

____



15.已知 a =(1,2), b =(1,1),且 a 与 a +λ b 的夹角为锐角,则实数 λ 的取值范围是 ____________. 16.给出以下五个结论: ①若等比数列{ an }满足 a1 ? 2, 且S 3 ? 6 ,则公比 q ? ?2 ; ②数列 ?an ? 的通项公式 an ? n cos

?

?

?

?

?

n? ? 1 ,前 n 项和为 Sn ,则 s13 ? 19. 2

③ 若数列 an ? n2 ? ?n(n ? N? ) 为单调递增数列,则 ? 取值范围是 ? ? ?2 ;

3 ,其前 n 项和为 Sn ,则使 Sn ? 0 的 n 的最小值为 12 . 2n ? 11 1 1 1 1 ⑤1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? 2 ? (n ? 2) 2 3 n n
④ 已知数列 {an } 的通项 an ? 其中正确结论的序号为_____________(写出所有正确的序号) . 三、解答题(共 70 分) 17(10分) 、已知 ?ABC 中, cos A ?

3 12 , cos B ? ,求 sin C 的值. 5 13
2

18(12分) 、已知数列 ?an ?是各项为正数的等比数列,且 a2 ? 9 , a4 ? 81. (I) 求数列 ?an ?的通项公式 an ;

(II) 若 bn ? log3 an ,求证:数列 ?bn ?是等差数列.

19(12分) 、如右图,在 ?ABC 中,设 AB ? a , AC ? b , 点 D 在 BC 边上. (I)若 D 为 BC 边中点,求证: AD ?

A

1 ( a ? b) 2
B D C

(II)若 AD ? ? a ? ?b ,求证: ? ? ? ? 1 .

20(12分) 、已知向量 m ? (1, 3), n ? (sin x, cos x) ,设函数 f ( x) ? m ? n (I)求函数 f ( x) 的最小正周期和最大值;

3

( II )设锐角 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,若 c ?

1 6 , cos B ? , 且 3

f (C) ? 3 ,求 b .

21(12 分) 、如图,某观测站在港口 A 的南偏西 40? 方向的 C 处,测得一船在距观测站 31 海 里的 B 处,正沿着从港口出发的一条南偏东 20? 的航线上向港口 A 开去,当船走了 20 海里 到达 D 处,此时观测站又测得 CD 等于 21 海里,问此时船离港口 A 处还有多远?

1 . 4 ?2 1 (1)求证: f ( x ) ? f (1 ? x ) ? ; 2 1 2 n ?1 ) ? f (1), 求 an ; (2)设数列 ?an ? 满足 an ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( n n n
22(12 分) 、已知函数 f ( x ) ?
x

(3)设数列 ?an ? 的前项 n 和为 Sn ,若 S n ? ? an n ? N 高一数学参考答案 一.选择题:DBBDC 二、13.U>V.

?

*

? 恒成立,求实数 ? 的取值范围.

DBBCA

AC 15.(-

14.等边三角形.

5 +?) ,0) ?(0, . 3

16.②,⑤.

三、解答题(共 70 分)

4

3 12 , cos B ? ,求 sin C 的值. 5 13 3 12 (0,?) 解:? A、B ? ,且 cos A ? , cos B ? 5 13 5 4 ? sin A ? 1 ? cos 2 A ? , sin B ? 1 ? cos 2 B ? 13 5
17(10分) 、已知 ?ABC 中, cos A ? 又? A ? B ? C ? ? , ?sin C ? sin[? ? ( A ? B)] ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? cos A sin B

?

5 3 12 4 63 ? ? ? ? 13 5 13 5 65

18(12分) 、已知数列 ?an ?是各项为正数的等比数列,且 a2 ? 9 , a4 ? 81. (I) 求数列 ?an ?的通项公式 an ; (II) 若 bn ? log3 an ,求证:数列 ?bn ?是等差数列.
2

解:(I) 求数列 ?an ?的公比为 q ,? a2 ? 9 , a4 ? 81.则 q ?

a4 81 ? ?9, a2 9

又? an ? 0, ? q ? 0, ? q ? 3 ,故通项公式 an ? a2q n?2 ? 9 ? 3n?2 ? 3n, n? N? (II) 证明:由(I) 知 an ? 3n ,?bn ? log3 an ? log3 3n ? n ,
? , n ? N ,故数列 ?bn ?是一个公差等于1的等差数列. ?bn?1 ? bn ? (n ? 1) ? n ? 1 (常数)

19(12分) 、如右图,在 ?ABC 中,设 AB ? a , AC ? b , 点 D 在 BC 边上. (I)若 D 为 BC 边中点,求证: AD ?

A

1 ( a ? b) 2
B D C

(II)若 AD ? ? a ? ?b ,求证: ? ? ? ? 1 .

证明: (I)? AB ? a , AC ? b ,? BC ? AC ? AB ? b ? a

1 1 BC ? (b ? a ) , 2 2 1 1 ? AD ? AB ? BD ? a ? (b ? a) ? (a ? b) 2 2
又 D 为 BC 边中点,? BD ? (II)? 点 D 在 BC 边上,? BD // BC 则存在实数 t ,使得 BD ? t BC ? t (b ? a) , , 则 AD ? AB ? BD ? a ? t (b ? a) ? ( 1 ? t )a ? tb 若 AD ? ? a ? ?b ,则 ? ? 1 ? t , ? ? t , ? ? ? ? ? (1 ? t ) ? t ? 1 20(12分) 、已知向量 m ? (1, 3), n ? (sin x, cos x) ,设函数 f ( x) ? m ? n

5

(I)求函数 f ( x) 的最小正周期和最大值; (II)设锐角 ?ABC 的三个内角 A, B, C 的对边 分别为 a , b, c ,若 c ?

1 6 , cos B ? , 且 f (C) ? 3 ,求 b . 3

解: (I)由已知得 f ( x) ? m ?n ? sin x ? 3 cos x ? 2 sin( x ? 所以 f ( x) 最小正周期 T ? 2? ,最大值为2. (II)由 f (C ) ? 2 sin(C ?

?
3



?
3

)?

3 ? sin(C ?

?
3

)?

3 2 ,

?0 ? C ? ? ,?

?
3

?C?

?
3

?

4? ? 2? ? , ?C ? ? , ?C ? 3 3 3 3

c sin B 1 2 2 b? ? cos B ? ? sin B ? sin C 3 3 ,由正弦定理得 又

6?

2 2 3 ?8 3 3 2

21(12 分) 、如图,某观测站在港口 A 的南偏西 40? 方向的 C 处,测得一船在距观测站 31 海 里的 B 处,正沿着从港口出发的一条南偏东 20? 的航线上向港口 A 开去,当船走了 20 海里 到达 D 处,此时观测站又测得 CD 等于 21 海里,问此时船离港口 A 处还有多远?
A

解:如图,设 ?ACD ? ? , ?BDC ? ? 在 ?BCD 中,由余弦定理得

40? 20?

D

?
?
C B

DB2 ? DC 2 ? BC 2 202 ? 212 ? 312 1 cos ? ? ? ?? 2 DB ? DC 2 ? 20? 21 7

sin ? ? 1 ? cos2 ? ?

4 3 7
0 0 0

在 ?ACD 中, ?A ? 40 ? 20 ? 60 ,

? ? ? ? 600
5 3 14
5 3 14 ? 15 (海里) 3 2

sin ? ? sin(? ? 600 ) ? sin ? cos600 ? cos ? sin 600 ?

AD CD CD sin ? ? ? AD ? ? 由正弦定理得: sin ? sin A sin A
答:此时船离港口 A 处还有 15 海里.

21?

6

22(12 分) 、已知函数 f ( x ) ?

1 . 4 ?2
x

(I)求证: f ( x ) ? f (1 ? x ) ?

1 ; 2

(II)设数列 ?an ? 满足 an ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( (III)设数列 ?an ? 的前项 n 和为 Sn ,若 S n ? ? an n ? N 解: (I)证明:? f ( x) ?

1 n

2 n

n ?1 ) ? f (1), 求 an ; n

?

*

? 恒成立,求实数 ? 的取值范围.

1 , 4 ?2
x

? f ( x) ? f (1 ? x) ?

1 1 1 4x 2 ? 4x 1 ? ? ? ? ? x 1? x x x x 4 ? 2 4 ? 2 4 ? 2 4 ? 2?4 2(2 ? 4 ) 2
1 2

(II)由(I)知 f ( x ) ? f (1 ? x ) ?

1 n ?1 2 n?2 1 f (0) ? f (1) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( )? f ( ) ?? ? n n n n 2 故
1 2 n ?1 an ? f (0) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? f (1), n n n n ?1 n?2 )? f ( ) ? ? ? f (0) ,两式相加得 又 an ? f (1) ? f ( n n 1 n ?1 2 n?2 1 2an ? [ f (0) ? f (1)] ? [ f ( ) ? f ( )] ? [ f ( ) ? f ( )] ? ? ? [ f (1) ? f (0)] ? (n ? 1) n n n n 2 n ?1 ? an ? ,n? N? 4 n ?1 ,n? N?, (III)由(II)知 an ? 4 1 ? an ?1 ? an ? , (n ? N ? ) ? 数列 ?an ? 是一个等差数列, 4 1 n ?1 n( ? ) n(a1 ? an ) 4 ? n(n ? 3) ? Sn ? ? 2 2 2 8

S n ? ?a n ?
又? ( n ? 1) ?

n(n ? 3) n ?1 n(n ? 3) 1 2 ?? ?? ? ? [(n ? 1) ? ? 1] 8 4 2(n ? 1) 2 n ?1
2 2 ? 1 在 n ? N ? 上为递增得函数,? 当 n ? 1 时 [( n ? 1) ? ? 1]min ? 2 n ?1 n ?1
*

则 S n ? ? an n ? N

?

? 恒成立,实数 ? 的取值范围为 ?? ?,1?.

7


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