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【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.1.2 演绎推理课时提升作业 新人教A版选修1-2

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演绎推理

一、选择题(每小题 3 分,共 18 分) 1.已知△ABC 中,∠A=30°,∠B=60° ,求证:a<b. 证明:因为∠A=30°,∠B=60°,所以∠A<∠B. 所以 a<b.其中,划线部分是演绎推理的( A.大前提 C.结论 ) B.小前提 D.三段论

【解析】选 B.由三段论的组成可得划线部分为三段论的小前提. 2.演绎推理是以下列哪个为前提推出某个特殊情况下的结论的推理方法( A.一般的原理 C.一般的命题 B.特定的命题 D.定理、公式 )

【解析】选 A.演绎推理是根据一般的原理,对特殊情况做出的判断.故其推理的前提是一般的原理. 3.(2014·厦门高二检测)“因为四边形 ABCD 是矩形,所以四边形 ABCD 的 对角线相等”,补充以上推理的大 前提是( )

A.正方形都是对角线相等的四边形 B.矩形都是对角线相等的四边形 C.等腰梯形都是对角线相等的四边形 D.矩形都是对边平行且相等的四边形 【解析】选 B.由大前提、小前提、结论三者的关系,知大前提是:矩形是对角线相等的四边形. 故应选 B. 4.“π 是无限不循环小数,所以π 是无理数”以上推理的大前提是( A.实数分为有理数和无理数 B.π 不是有理数 C.无理数都是无限不循环小数 D.有理数都是有限循环小数 【解析】 选 C.用三段论推导一个结论成立,大前提应该是结论成立的依据.因为无理数都是无限不循环小数, π 是无限不循环小数,所以π 是无理数,故大前提是无理数都是无限不循环小数. 5.《论语·子路》篇中说:“名不正,则言不顺;言不顺,则事不成;事不成,则礼乐不兴;礼乐不兴,则刑罚不
-1-

)

中;刑罚不中,则民无所措手足;所以,名不正,则民无所措手足.”上述推理用的是( A.类比推理 C.演绎推理 B.归纳推理 D.一次三段论

)

【解析】选 C.这是一个复合三段论,从“名不正 ”推出“民无所措手足”,连续运用五次三段论,属演绎推 理形式. 6.(2014·郑州高二检测)在 R 上定义运算?:x?y=x(1-y).若不等式(x-a)?(x+a)<1 对任意实数 x 都成立,则 ( ) B.0<a<2 D.- <a<

A.-1<a<1 C.- <a< 【解题指南】应用演绎推理结合不等式进行推理. 【解析】选 C.因为 x?y=x(1-y), 所以(x-a)?(x+a)=(x-a)(1-x-a), 即原不等式等价于 (x-a)(1-x- a)<1 即 x -x-(a -a-1)>0. 所以Δ =1+4(a -a-1)<0 即 4a -4a-3<0. 解得- <a< . 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 7.以下推理过程省略的大前提为: 因为 a +b ≥2ab, 所以 2(a +b )≥a +b +2ab.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

______________________________.

【解析】由小前提和结论可知,是在小前提的两边同时加上了 a +b ,故大前提为:若 a≥b,则 a+c≥b+c. 答案:若 a≥b,则 a+c≥b+c 8.(2014·苏州高二检测)一切奇数都不能被 2 整除,2 +1 是奇数,所以 2 +1 不能被 2 整除, 其演绎推理的 “三段论”的形式为___________________________ ___________________________________________________________________________________________ ____________________________________________. 【解析】大前提指的是已知的一般原理,小前提指的是所研究的特殊情况,而结论是根据一般原理,对特殊 情况做出的判断,故此处的大前提是一切奇数都不能被 2 整除,小前提是 2 +1 是奇数,结论是 2 +1 不能被 2 整除,故可用三段论表示为:一切奇数都不能被 2 整除,????????????? 大前提
-2100 100 100 100

2

2

2 +1 是奇数,????????????????????? 小前提 所以 2 +1 不能被 2 整除.???????????????? 结论 答案:一切奇数都不能被 2 整除,????????????? 大前提 2 +1 是奇数,????????????????????? 小前提 所以 2 +1 不能被 2 整除.???????????????? 结论 9.不等式 ax +4x+a>1-2x 对一切 x∈R 恒成立,则实数 a 的取值范围是 【解析】不等式 ax +4x+a>1-2x 对一切 x∈R 恒成立, 即(a+2)x +4x+a-1>0 对一切 x∈R 恒成立. (1)若 a+2=0,显然不成立. (2)若 a+2≠0,则 答案:(2,+∞) 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 10.如图,△ABC 是斜边为 2 的等腰直角三角形,点 M,N 分别为 AB,AC 上的点,过 M,N 的直线 l 将该三角形分 成周长相等的两部分. 所以 a>2.
2 2 2 2 2 100 100 100

100

.

(1)问 AM+AN 是否为定值?请说明理由. (2)如何设计,方能使四边形 BMNC 的面积最小? 【解析】(1)AM+AN 是定值,理由如下,△ABC 是斜边为 2 的等腰直角三角形, 所以 AB=AC= = .

因为 M,N 分别为 AB,AC 上的点,过 MN 的直线将该三角形分成周长相等的两个部分, 所以 AM+AN+MN=MB+BC+NC+MN, 所以 AM+AN=MB+BC+NC. 又(AM+AN)+(MB+BC+NC)=AM+MB+BC+AN+NC=AB+BC+AC=2+2 所以 AM+AN=MB+BC+NC= 所以 AM+AN 为定值. (2)当△AMN 的面积最大时,四边形 BMNC 的面积最小,
-3-

,

+1,

AM+AN=

+1. +1-x, +1-x) , 时,S△AMN 有最大值,四边形 BMNC 的面积最小, 时,四边形 BMNC 的面积最小.

令 AM=x,则 AN= S△AMN= AM·AN= x( =当 x=

即当 AM=AN=

11.(2014·西安高二检测)已知 y=f(x)在(0,+∞)上有意义,单调递增,且满足 f(2)=1,f(xy)=f(x)+f(y), (1)求证:f(x )=2f(x). (2)求 f(1)的值. (3)若 f(x)+f(x+3)≤2,求 x 的取值范围. 【解析】(1)因为 f(xy)=f(x)+f(y), 所以 f(x )=f(x·x)=f(x)+f( x)=2f(x). (2)因为 f(1)=f(1 )=2f(1), 所以 f(1)=0. (3)因为 f(x)+f(x+3) =f(x(x+3))≤2 =2f(2)=f(4), 且函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增, 所以 解得 0<x≤1.
2 2 2

一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.“三角函数是周期函数,y=tanx,x∈ 在以上演绎推理中,下列说法正确的是( A.推理完全正确 C.小前提不正确 【解析】选 C.y=tanx,x∈ ) B.大前提不正确 D.推理形式不正确 只是三角函数的一部分,并不能代表一般的三角函数,所以小前提错
-4-

是三角函数,所以 y=tanx,x∈

是周期函数.”

误,导致整个推理结论错误. 2.在“△ABC 中,E,F 分别是边 AB,AC 的中点,则 EF∥BC”的推理过程中,大前提是( A.三角形的中位线平行于第三边 B.三角形的中位线等于第三边长的一半 C.E,F 为 AB,AC 的中点 D.EF∥BC 【解析】选 A.本题的推理形式是三段论,其大前提是一个一般的结论,即三角形中位线定理. 3. 已知函数 f(x)=|sinx| 的图象与直线 y=kx(k>0) 有且仅有三个交点 , 交点的横坐标的最大值为 α , 令 A= A.A>B C.A=B ,B= ,则( ) B.A<B D.A 与 B 的大小不确定 )

【解析】选 C.作出函数 f( x)=|sinx|的图象与直线 y=kx(k>0)的图象,如图所示,

要使两个函数有且仅有三个交点, 则由图象可知,直线在 设切点为 P(α ,-sinα ), 当 x∈ 时,f(x)=|sinx|=-sinx, . 内与 f(x)相切.

此时 f′(x)=-cosx,x∈ 所以-cosα =所以 即 A=B. ,即α =tanα , = =

=

=

=

.

4.在证明 f(x)=2x+1 为增函数的过程中,有下列四个命题:①增函数的定义是大前提;②增函数的定义是小
-5-

前提;③函数 f(x)=2x+1 满足增函数的定义是大前提;④函数 f(x)=2x+1 满足增函数的定义是小前提.其中 正确的命题是( A.①④ ) B.②④ C.①③ D.②③

【解析】 选 A.根据三段论特点,过程应为:大前提是增函数的定义;小前提是 f(x)=2x+1 满足增函数的定义; 结论是 f(x)=2x+1 为增函数,故①④正确. 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.(2014·长春高二检测)已知 sinα =
2 2

,cosα =

,其中α 为第二象限角,则 m 的值为

.

【解题指南】利用 sin α +cos α =1 结合α 为第二象限角解决. 【解析】由 sin α +cos α =
2 2

+

=

=1 得 m(m-8)=0,所以 m=0 或 m=8.又α 为

第二象限角,所以 sinα >0,cosα <0.所以 m=8(m=0 舍去) 答案:8 【误区警示】本题易忽略α 为第二象限角这一条件出现两个答案的错误. 6.(2013·聊城高二检测 )已知 f(1,1)=1,f(m,n)∈N ( m,n∈N ),且对任意 m,n∈N 都有: ①f(m,n+1)=f(m,n)+2 ②f(m+1,1)=2f(m,1) 给出以下三个结论: (1)f(1,5)=9.(2)f(5,1)=16.(3)f(5,6)=26. 其中正确结论为 【解析】由条件可知, 因为 f(m,n+1)=f(m,n)+2,且 f(1,1)=1, 所以 f(1,5)=f(1,4)+2=f(1,3)+4=f(1,2)+6 =f(1,1)+8=9. 又因为 f(m+1,1)=2f(m,1), 所以 f(5,1)=2f(4,1)=2 f(3,1) =2 f(2,1)=2 f(1,1)=16, 所以 f(5,6)=f(5,1)+10=2 f(1,1)+10=26. 故(1)(2)(3)均正确. 答案:(1)(2)(3) 三、解答题(每小题 12 分,共 24 分) 7.如图,正三棱柱 ABC-A1B1C1 的棱长均为 a,D,E 分别为 C1C
-64 3 4 2 * * *

.

与 AB 的中点,A1B 交 AB1 于点 G. (1)求证:A1B⊥AD. (2)求证:EC∥平面 AB1D. 【解题指南】(1)线线垂直→线面垂直→线线垂直. (2)线线平行→线面平行. 【证明】(1)连接 A1D,DG,BD.

因为三棱柱 ABC-A1B1C1 是棱长均为 a 的正三棱柱, 所以四边形 A1ABB1 为正方形. 所以 A1B⊥AB1. 因为点 D 是 C1C 的中点, 所以△A1C1D≌△BCD. 所以 A1D=BD. 所以点 G 为 A1B 与 AB1 的交点, 所以 G 为 A1B 的中点. 所以 A1B⊥DG. 又因为 DG∩AB1=G, 所以 A1B⊥平面 AB1D. 又因为 AD? 平面 AB1D, 所以 A1B⊥AD. (2)连接 GE,所以 EG∥A1A, 所以 GE⊥平面 ABC. 因为 DC⊥平面 ABC,所以 GE∥DC. 又因为 GE=DC= a, 所以四边形 GECD 为平行四边形.
-7-

所以 EC∥GD. 又因为 EC?平面 AB1D,DG? 平面 AB1D, 所以 EC∥平面 AB1D. 8.(2014·广州高二检测)在数列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N . (1)证明数列{an-n}是等比数列. (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn. (3)证明不等式 Sn+1≤4Sn,对任意 n∈N 皆成立. 【解析】(1)因为 an+1=4an-3n+1, 所以 an+1-(n+1)=4(an-n),n∈N . 又 a1-1=1,所以数列{an-n}是首项为 1,且 公比为 4 的等比数列. (2)由(1)可知 an-n=4 ,于是数列{an}的通项公式为 an=4 +n. 所以数列{an}的前 n 项和 Sn= (3)对任意的 n∈N , Sn+1-4Sn= 4 +
2 * n-1 n-1 * * *

+

.

=- (3n +n-4)≤0.
*

所以不等式 Sn+1≤4Sn,对任意 n∈N 皆成立. 【变式训练】已知函数 f(x)= (1)判定函数 f(x)的奇偶性. (2)判定函数 f(x)在 R 上的单调性,并证明. 【解析】(1)对任意 x∈R 有-x∈R, 并且 f(-x)= = ==-f(x), (x∈R).

所以 f(x)是奇函数. (2)方法一:f(x)在 R 上单调递增,证明如下: 任取 x1,x2∈R,并且 x1>x2, f(x1)-f(x2)= -8-

=

=

.

因为 x1>x2,所以 即 又因为 >0, +1>0,

>

>0,

+1>0.

所以 所以 f(x1)>f(x2).

>0.

所以 f(x)在 R 上为单调递增函数. 方法二:f(x)在 R 上单调递增,f′(x)= 所以 f(x)在 R 上为单调递增函数. >0,

-9-


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