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第二章 函数、导数及其应用(必记知识点+必明易错点+必会方法)

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第二章 函数、导数及其应用

第一节

函数及其表示

1.函数映射的概念 函数 两集合 A,B 对应关 系 f: A→B 设 A,B 是两个非空数集 如果按照某个对应关系 f,对于集 合 A 中的任何一个数 x,在集合 B 中都存在唯一确定的数 f(x)与之对 应 称 f: A→B 为从集合 A 到集合 B 的 一个函数 y=f(x),x∈A 映射 设 A,B 是两个非空集合 如果按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个 元素 x,在集合 B 中都有唯一确 定的元素 y 与之对应 称对应 f: A→B 为从集合 A 到集 合 B 的一个映射 对应 f:A→B 是一个映射

名称 记法

2.函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域: 在函数 y=f(x),x∈A 中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.显然,值域是集合 B 的子集. (2)函数的三要素:定义域、值域和对应关系. (3)相等函数:如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,则这两个函数相等,这是判 断两函数相等的依据. (4)函数的表示法 表示函数的常用方法有:解析法、图像法、列表法. 3.分段函数 若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函 数通常叫做分段函数.分段函数虽然由几部分组成,但它表示的是一个函数.

1

1.解决函数的一些问题时,易忽视“定义域优先”的原则. 2.易混“函数”与“映射”的概念:函数是特殊的映射,映射不一定是函数,从 A 到 B 的一个映射,A、B 若不是数集,则这个映射便不是函数. 3.误把分段函数理解为几种函数组成. [试一试] 1.(2013· 江西高考)函数 y= x ln(1-x)的定义域为( A.(0,1) C.(0,1] B.[0,1) D.[0,1] )

? ?1-x>0, 解析:选 B 根据题意得? 解得 0≤x<1,即所求定义域为[0,1). ? ?x≥0,
2 ? ?x +1,x≤1, 2.若函数 f(x)=? 则 f(f(10))=( ?lg x,x>1, ?

)

A.lg 101 C.1 解析:选 B

B .2 D.0 f(10)=lg 10=1,故 f(f(10))=f(1)=12+1=2.

求函数解析式的四种常用方法 (1)配凑法:由已知条件 f(g(x))=F(x),可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式,然后以 x 替代 g(x),便得 f(x)的表达式; (2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法; (3)换元法:已知复合函数 f(g(x))的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围; 1? (4)解方程组法:已知关于 f(x)与 f? ?x?或 f(-x)的表达式,可根据已知条件再构造出另外一 个等式组成方程组,通过解方程求出 f(x). [练一练] 1.设 g(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则 f(x)等于( A.-2x+1 C.2x-3 答案:D 2.若 f(x)=x2+bx+c,且 f(1)=0,f(3)=0,则 f(x)=________. 答案:x2-4x+3 )

B.2x-1 D.2x+7

2

考点一

函数与映射的概念

1.下列四组函数中,表示同一函数的是( A.y=x-1 与 y= ?x-1?2 C.y=4lg x 与 y=2lg x2 答案:D

) B.y= x-1与 y= x-1 x-1

x D.y=lg x-2 与 y=lg 100

2.以下给出的同组函数中,是否表示同一函数?为什么? 1,x≤1, ? ? x (1)f1:y= ;f2:y=1.(2)f1:y=?2,1<x<2, x ? ?3,x≥2; f2: x y x≤1 1 1<x<2 2 x≥2 3

(3)f1:y=2x;f2:如图所示.

解:(1)不同函数.f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0},f2(x)的定义域为 R. (2)同一函数.x 与 y 的对应关系完全相同且定义域相同,它们是同一函数的不同表示方 式. (3)同一函数.理由同②. [类题通法] 两个函数是否是同一个函数,取决于它们的定义域和对应关系是否相同,只有当两个函 数的定义域和对应关系完全相同时,才表示同一函数.另外,函数的自变量习惯上用 x 表示, 但也可用其他字母表示,如:f(x)=2x-1,g(t)=2t-1,h(m)=2m-1 均表示同一函数.

考点二

函数的定义域问题

3

函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合,它是函数不可缺少的组成部分. 归纳起来常见的命题角度有: ?1?求给定函数解析式的定义域; ?2?已知 f?x?的定义域,求 f?g?x? ? 的定义域; ?3?已知定义域确定参数问题.?

角度一 求给定函数解析式的定义域 1.(1)(2013· 山东高考)函数 f(x)= A.(-3,0] C.(-∞,-3)∪(-3,0] 1-2x+ 1 的定义域为( x+3 )

B.(-3,1] D.(-∞,-3)∪(-3,1]

1? 2 (2)(2013· 安徽高考)函数 y=ln? ?1+x?+ 1-x 的定义域为________.
?1-2x≥0, ? 解析:(1)由题意,自变量 x 应满足? ?x+3>0, ? ?x≤0, ? 解得? ,∴-3<x≤0. ? ?x>-3

1 x+1 ? ? ? ? ?1+x>0, >0, ?x<-1或x>0, (2)要使函数有意义,需? 即? x 即? 解得 0<x≤1, ?-1≤x≤1, ? ?1-x2≥0, ? ? ?x2≤1, 所以定义域为(0,1]. 答案:(1)A (2)(0,1]

角度二 已知 f(x)的定义域,求 f(g(x))的定义域 2.已知函数 f(x)的定义域是[-1,1],求 f(log2x)的定义域. 解:∵函数 f(x)的定义域是[-1,1],∴-1≤log2x≤1, 1 ? 1 ∴ ≤x≤2.故 f(log2x)的定义域为? ?2,2?. 2 角度三 已知定义域确定参数问题 3.(2014· 合肥模拟)若函数 f(x)= ________. 解析: 函数 f(x)的定义域为 R, 所以 2x2+2ax-a-1≥0 对 x∈R 恒成立, 即 2x2+2ax-a≥1, x2+2ax-a≥0 恒成立,因此有 Δ=(2a)2+4a≤0,解得-1≤a≤0. 答案:[-1,0] [类题通法]
4

2x2+2ax-a-1的定义域为 R,则 a 的取值范围为

简单函数定义域的类型及求法 (1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解. (2)对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解. (3)若已知函数 f(x)的定义域为[a,b],则函数 f(g(x))的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 求出.

考点三

求函数的解析式

1? 2 1 [典例] (1)已知 f? ?x+x?=x +x2,求 f(x)的解析式; 2 ? (2)已知 f? ?x+1?=lg x,求 f(x)的解析式; (3)已知 f(x)是二次函数,且 f(0)=0,f(x+1)=f(x)+x+1,求 f(x); (4)定义在(-1,1)内的函数 f(x)满足 2f(x)-f(-x)=lg(x+1),求函数 f(x)的解析式. [解] 1? 2 1 ? 1?2 (1)由于 f? ?x+x?=x +x2=?x+x? -2,

所以 f(x)=x2-2,x≥2 或 x≤-2, 故 f(x)的解析式是 f(x)=x2-2(x≥2 或 x≤-2). 2 2 2 (2)令 +1=t 得 x= ,代入得 f(t)=lg , x t-1 t-1 又 x>0,所以 t>1, 2 故 f(x)的解析式是 f(x)=lg (x>1). x-1 (3)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由 f(0)=0,知 c=0,f(x)=ax2+bx, 又由 f(x+1)=f(x)+x+1, 得 a(x+1)2+b(x+1)=ax2+bx+x+1, 即 ax2+(2a+b)x+a+b=ax2+(b+1)x+1,
?2a+b=b+1, ? 所以? ? ?a+b=1,

1 解得 a=b= . 2 1 1 所以 f(x)= x2+ x(x∈R). 2 2 (4)当 x∈(-1,1)时,有 2f(x)-f(-x)=lg(x+1).① 以-x 代 x,得

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2f(-x)-f(x)=lg(-x+1).② 由①②消去 f(-x),得 2 1 f(x)= lg(x+1)+ lg(1-x),x∈(-1,1). 3 3 [类题通法] 求函数解析式常用的方法 (1)待定系数法;(2)换元法(换元后要注意新元的取值范围); (3)配凑法;(4)解方程组法. [针对训练] 1.已知 f( x+1)=x+2 x,求 f(x)的解析式. 解:法一:设 t= x+1, 则 x=(t-1)2(t≥1); 代入原式有 f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1. 故 f(x)=x2-1(x≥1). 法二:∵x+2 x=( x)2+2 x+1-1=( x+1)2-1, ∴f( x+1)=( x+1)2-1( x+1≥1), 即 f(x)=x2-1(x≥1). 2.设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等实根,且 f′(x)=2x+2,求 f(x)的解 析式. 解:设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则 f′(x)=2ax+b=2x+2, ∴a=1,b=2,f(x)=x2+2x+c. 又∵方程 f(x)=0 有两个相等实根, ∴Δ=4-4c=0,c=1,故 f(x)=x2+2x+1.

考点四

分段函数

?2x+a,x<1, ? [典例] (1)已知实数 a≠0,函数 f(x)=? 若 f(1-a)=f(1+a),则 a 的值 ? ?-x-2a,x≥1.

为________. 2x ,x<0, ? ? π?? (2)(2013· 福建高考)已知函数 f(x)=? 则 f? f? π 4??=________. ? ? ? ?-tan x,0≤x<2, [解析] (1)当 a>0 时,1-a<1,1+a>1. 这时 f(1-a)=2(1-a)+a=2-a,
6
3

f(1+a)=-(1+a)-2a=-1-3a. 3 由 f(1-a)=f(1+a)得 2-a=-1-3a,解得 a=- . 2 不合题意,舍去. 当 a<0 时,1-a>1,1+a<1, 这时 f(1-a)=-(1-a)-2a=-1-a, f(1+a)=2(1+a)+a=2+3a. 3 由 f(1-a)=f(1+a)得-1-a=2+3a,解得 a=- . 4 3 综上可知,a 的值为- . 4 π π 0, ?, (2)∵ ∈? 2 ? 4 ? π? π ∴f? ?4?=-tan4=-1,
3 ?π?? ∴f? ?f?4??=f(-1)=2×(-1) =-2.

3 [答案] (1)- 4 [类题通法]

(2)-2

分段函数“三种”题型的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值 首先确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应的解析式代入求解. (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围 应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段 的自变量的取值范围. (3)已知含参函数值或函数值关系(范围)求参数的值或范围 提醒:当分段函数的自变量范围不确定时,应分类讨论. [针对训练]
?2 x,x∈?-∞,1?, 设函数 f(x)=? 2 若 f(x)>4,则 x 的取值范围是______. ?x ,x∈[1,+∞?,


解析:当 x<1 时,由 f(x)>4,得 2 x>4,即 x<-2;


当 x≥1 时,由 f(x)>4 得 x2>4,所以 x>2 或 x<-2, 由于 x≥1,所以 x>2.综上可得 x<-2 或 x>2. 答案:(-∞,-2)∪(2,+∞)

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第二节

函数的单调性与最值

1.增函数、减函数 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I,区间 D?I,如果对于任意 x1,x2∈D,且 x1<x2,则有: (1)f(x)在区间 D 上是增函数?f(x1)<f(x2); (2)f(x)在区间 D 上是减函数?f(x1)>f(x2). 2.单调区间的定义 若函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数,则称函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格 的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. 3.函数的最值 前提 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足 ①对于任意 x∈I,都有 条件 f(x)≤M;②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M 结论 M 为最大值 ①对于任意 x∈I,都有 f(x)≥M;②存 在 x0∈I,使得 f(x0)=M M 为最小值

1. 函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减. 单调区间只 能用区间表示,不能用集合或不等式表示;如有多个单调区间应分别写,不能用并集符号 “∪”联结,也不能用“或”联结. 2. 两函数 f(x), g(x)在 x∈(a, b)上都是增(减)函数, 则 f(x)+g(x)也为增(减)函数, 但 f(x)· g(x), 1 等的单调性与其正负有关,切不可盲目类比. f?x? [试一试] 1.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( A.y=ln(x+2) 1?x C.y=? ?2? )

B.y=- x+1 1 D.y=x+ x

解析:选 A 选项 A 的函数 y=ln(x+2)的增区间为(-2,+∞),所以在(0,+∞)上一 定是增函数.
8

2.函数 f(x)=x2-2x(x∈[-2,4])的单调增区间为______;f(x)max=________. 解析:函数 f(x)的对称轴 x=1,单调增区间为[1,4],f(x)max=f(-2)=f(4)=8. 答案:[1,4] 8

1.判断函数单调性的四种方法 (1)定义法:取值、作差、变形、定号、下结论; (2)复合法:同增异减,即内外函数的单调性相同时,为增函数,不同时为减函数; (3)图像法:如果 f(x)是以图像形式给出的,或者 f(x)的图像易作出,可由图像的直观性判 断函数单调性. (4)导数法:利用导函数的正负判断函数单调性. 2.求函数最值的五个常用方法 (1)单调性法:先确定函数的单调性,再由单调性求最值. (2)图像法:先作出函数的图像,再观察其最高点、最低点,求出最值. (3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值. (4)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等 式求出最值. (5)导数法:先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最值. 提醒:在求函数的值域或最值时,应先确定函数的定义域. [练一练] 1.(2013· 北京高考)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( 1 A.y= x C.y=-x2+1 答案:C 1 2.函数 f(x)= 2 在区间[2,3]上的最大值是________,最小值是________. x +1 1 1 答案: 5 10 B.y=e
-x

)

D. y=lg|x|

考点一

求函数的单调区间

1.函数 f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________.

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1 解析:要使 y=log5(2x+1)有意义,则 2x+1>0,即 x>- ,而 y=log5u 为(0,+∞)上的 2 1 1 ? 增函数,当 x>- 时,u=2x+1 也为 R 上的增函数,故原函数的单调增区间是? ?-2,+∞?. 2 1 ? 答案:? ?-2,+∞? 2.函数 y=x-|1-x|的单调增区间为________.
?1, ? 解析:y=x-|1-x|=? ?2x-1, ?

x≥1, x<1.

作出该函数的图像如图所示.

由图像可知,该函数的单调增区间是(-∞,1]. 答案:(-∞,1] 3 .设函数 y = f(x) 在 ( -∞,+∞) 内有定义.对于给定的正数 k ,定义函数 fk(x) =
? ?f?x?,f?x?≤k, 1 - ? 取函数 f(x)=2 |x|.当 k= 时,函数 fk(x)的单调递增区间为( 2 ?k,f?x?>k, ?

)

A.(-∞,0) C.(-∞,-1) 1 解析:选 C 由 f(x)> ,得-1<x<1. 2 1 由 f(x)≤ ,得 x≤-1 或 x≥1. 2

B.(0,+∞) D.(1,+∞)

所以 f 1
2

? ?1 (x)=?2,-1<x<1, ? ?2 ,x≤-1.
x

2 x,x≥1,


故 f 1 (x)的单调递增区间为(-∞,-1).
2

[类题通法] 求函数单调区间的方法与判断函数单调性的方法相同即: (1)定义法;(2)复合法;(3)图像法;(4)导数法.

考点二

函数单调性的判断

10

k [典例] 试讨论函数 f(x)=x+ (k>0)的单调性. x [解] 法一:由解析式可知,函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞).在(0,+∞)内任取 k k 1 1 x1x2-k x2+ ?-?x1+ ?=(x2-x1)+k? - ?=(x2-x1) x1,x2,令 x1<x2,那么 f(x2)-f(x1)=? . x2? ? x1? ? ?x2 x1? x1x2 因为 0<x1<x2,所以 x2-x1>0,x1x2>0. 故当 x1,x2∈( k,+∞)时,f(x1)<f(x2), 即函数在( k,+∞)上单调递增. 当 x1,x2∈(0, k)时,f(x1)>f(x2), 即函数在(0, k)上单调递减. k 考虑到函数 f(x)=x+ (k>0)是奇函数,在关于原点对称的区间上具有相同的单调性,故 x 在(-∞,- k)上单调递增,在(- k,0)上单调递减. 综上,函数 f(x)在(-∞,- k)和( k,+∞)上单调递增,在(- k,0)和(0, k)上单调 递减. k 法二:f′(x)=1- 2. x 令 f′(x)>0 得 x2>k, 即 x∈(-∞, - k)或 x∈( k, +∞), 故函数的单调增区间为(-∞, - k)和( k,+∞).令 f′(x)<0 得 x2<k,即 x∈(- k,0)或 x∈(0, k),故函数的单调减区 间为(- k,0)和(0, k). 故函数 f(x)在(-∞,- k)和( k,+∞)上单调递增,在(- k,0)和(0, k)上单调递减. [类题通法] 1.利用定义判断或证明函数的单调性时,作差后要注意差式的分解变形彻底. 2.利用导数法证明函数的单调性时,求导运算及导函数符号判断要准确. [针对训练] - 2x 判断函数 g(x)= 在 (1,+∞)上的单调性. x-1 解:任取 x1,x2∈(1,+∞),且 x1<x2, -2x1 -2x2 2?x1-x2? 则 g(x1)-g(x2)= - = , x1-1 x2-1 ?x1-1??x2-1? 由于 1<x1<x2, 所以 x1-x2<0,(x1-1)(x2-1)>0, 因此 g(x1)-g(x2)<0,即 g(x1)<g(x2). 故 g(x)在(1,+∞)上是增函数.

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考点三

函数单调性的应用

函数单调性的应用比较广泛是每年高考的重点和热点内容 .归纳起来常见的命题角度 有: ?1?求函数的值域或最值; ?2?比较两个函数值或两个自变量的大小; ?3?解函数不等式; ?4?求参数的取值范围或值.?

角度一 求函数的值域或最值 1.已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1) 2 =- . 3 (1)求证:f(x)在 R 上是减函数; (2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 解:(1)证明:∵函数 f(x)对于任意 x,y∈R, 总有 f(x)+f(y)=f(x+y), ∴令 x=y=0,得 f(0)=0. 再令 y=-x,得 f(-x)=-f(x). 在 R 上任取 x1>x2,则 x1-x2>0, f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2). 又∵当 x>0 时,f(x)<0, 而 x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0, 即 f(x1)<f(x2). 因此 f(x)在 R 上是减函数. (2)∵f(x)在 R 上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为 f(-3)与 f(3). 而 f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为 2,最小值为-2. 角度二 比较两个函数值或两个自变量的大小

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1 2.已知函数 f(x)=log2x+ ,若 x1∈(1,2),x2∈(2,+∞),则( 1-x A.f(x1)<0,f(x2)<0 C.f(x1)>0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 D.f(x1)>0,f(x2)>0

)

1 解析: 选 B ∵函数 f(x)=log2x+ 在(1, +∞)上为增函数, 且 f(2)=0, ∴当 x1∈(1,2) 1-x 时,f(x1)<f(2)=0, 当 x2∈(2,+∞)时,f(x2)>f(2)=0, 即 f(x1)<0,f(x2)>0. 角度三 解函数不等式
?x2-4x+3,x≤0, ? 3.已知函数 f(x)=? 2 则不等式 f(a2-4)>f(3a)的解集为( ? - x - 2 x + 3 , x >0 , ?

)

A.(2,6) C.(1,4)

B.(-1,4) D.(-3,5)

解析:选 B 作出函数 f(x)的图像,如图所示,则函数 f(x)在 R 上是单调递减 的.由 f(a2-4)>f(3a),可得 a2-4<3a,整理得 a2-3a-4<0,即(a+1)(a-4)<0, 解得-1<a<4,所以不等式的解集为(-1,4). 角度四 求参数的取值范围或值 ?a-2?x,x≥2, ? ? f?x1?-f?x2? 4. 已知函数 f(x)=??1?x 满足对任意的实数 x1≠x2, 都有 <0 成立, x1-x2 ??2? -1,x<2 ? 则实数 a 的取值范围为( A.(-∞,2) C.(-∞,2] 解析:选 B 函数 f(x)是 R 上的减函数, a-2<0, ? ? 13 于是有? 由此解得 a≤ , 1?2 ? 8 ??a-2?×2≤?2? -1, ? 13? 即实数 a 的取值范围是? ?-∞, 8 ? . [类题通法] 1.含“f”不等式的解法 首先根据函数的性质把不等式转化为 f(g(x))>f(h(x))的形式,然后根据函数的单调性去掉 “f”,转化为具体的不等式(组),此时要注意 g(x)与 h(x)的取值应在外层函数的定义域内. 2.比较函数值大小的思路
13

) 13? B.? ?-∞, 8 ? 13 ? D.? ? 8 ,2?

比较函数值的大小时,若自变量的值不在同一个单调区间内,要利用其函数性质,转化 到同一个单调区间上进行比较,对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图像法求解.

第三节

函数的奇偶性及周期性

1.函数的奇偶性 奇偶性 偶函数 定 义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x, 都有 f(-x)=f(x), 那么函数 f(x)是偶函数 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x,都有 f(-x)=- f(x),那么函数 f(x)是奇函数 图像特点 关于 y 轴对称

奇函数

关于原点对称

2.周期性 (1)周期函数: 对于函数 y=f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f(x +T)=f(x),那么就称函数 y=f(x)为周期函数,称 T 为这个函数的周期. (2)最小正周期: 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期.

1.判断函数的奇偶性,易忽视判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称 是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2.判断函数 f(x)的奇偶性时,必须对定义域内的每一个 x,均有 f(-x)=-f(x),而不能 说存在 x0 使 f(-x0)=-f(x0)、f(-x0)=f(x0). 3.分段函数奇偶性判定时,f(-x0)=f(x0)利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而 否定函数在整个定义域上的奇偶性是错误的. [试一试] 1.(2013· 广东高考)定义域为 R 的四个函数 y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x 中,奇函 数的个数是( )
14

A.4 C.2

B .3 D.1

解析:选 C 由奇函数的概念可知,y=x3,y=2sin x 是奇函数. 2.已知 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数,那么 a+b 的值是( 1 A.- 3 1 C. 2 1 B. 3 1 D.- 2 )

解析:选 B ∵f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上的偶函数, 1 ∴a-1+2a=0,∴a= .又 f(-x)=f(x), 3 1 ∴b=0,∴a+b= . 3

1.判断函数奇偶性的两个方法 (1)定义法:

(2)图像法:

2.周期性常用的结论 对 f(x)定义域内任一自变量的值 x: (1)若 f(x+a)=-f(x),则 T=2a; (2)若 f(x+a)= 1 ,则 T=2a; f?x?

1 (3)若 f(x+a)=- ,则 T=2a.(a>0) f?x? [练一练] 3? 已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)=-f? ?x+2?,且 f(1)=2,则 f(2 014)=________.
15

3? 解析:∵f(x)=-f? ?x+2?, 3? 3? ? 3? ∴f(x+3)=f?? ?x+2?+2 =-f?x+2?=f(x).

?

?

∴f(x)是以 3 为周期的周期函数. 则 f(2 014)=f(671×3+1)=f(1)=2. 答案:2

考点一

函数奇偶性的判断

1.判断下列函数的奇偶性. (1)f(x)= 1-x2+ x2-1; (2)f(x)= 3-2x+ 2x-3; (3)f(x)=3x-3 x;


4-x2 (4)f(x)= ; |x+3|-3
?x2+x,x>0, ? (5)f(x)=? 2 ? ?x -x,x<0.
2 ? ?x -1≥0, ? 解:(1)∵由 得 x=± 1, 2 ?1-x ≥0, ?

∴f(x)的定义域为{-1,1}. 又 f(1)+f(-1)=0,f(1)-f(-1)=0, 即 f(x)=± f(-x). ∴f(x)既是奇函数又是偶函数.
?3? (2)∵函数 f(x)= 3-2x+ 2x-3的定义域为?2?, ? ?

不关于坐标原点对称, ∴函数 f(x)既不是奇函数,也不是偶函数. (3)∵f(x)的定义域为 R, ∴f(-x)=3 x-3x=-(3x-3 x)=-f(x),
- -

所以 f(x)为奇函数.

16

2 ? ?4-x ≥0, (4)∵由? 得-2≤x≤2 且 x≠0. ?|x+3|-3≠0, ?

∴f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2], 4-x2 4-x2 4-x2 ∴f(x)= = = , x |x+3|-3 ?x+3?-3 ∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数. (5)易知函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,又当 x>0 时,f(x)=x2+x, 则当 x<0 时,-x>0, 故 f(-x)=x2-x=f(x); 当 x<0 时,f(x)=x2-x,则当 x>0 时,-x<0,故 f(-x)=x2+x=f(x),故原函数是偶函数. [类题通法] 判断函数奇偶性除利用定义法和图像法,应学会利用性质,具体如下: (1)“奇+奇”是奇,“奇-奇”是奇,“奇· 奇”是偶,“奇÷ 奇”是偶; (2)“偶+偶”是偶,“偶-偶”是偶,“偶· 偶”是偶,“偶÷ 偶”是偶; (3)“奇· 偶”是奇,“奇÷ 偶”是奇.

考点二

函数奇偶性的应用

[典例] (1)已知 y=f(x)+x2 是奇函数,且 f(1)=1.若 g(x)=f(x)+2,则 g(-1)=________. (2)已知奇函数 f(x)的定义域为[-2,2],且在区间[-2,0]上递减,求满足 f(1-m)+f(1- m2)<0 的实数 m 的取值范围. [解析] (1)∵y=f(x)+x2 是奇函数,且 x=1 时,y=2,∴当 x=-1 时,y=-2, 即 f(-1)+(-1)2=-2, 得 f(-1)=-3,所以 g(-1)=f(-1)+2=-1. [答案] -1 [解] (2)∵f(x)的定义域为[-2,2],

? ?-2≤1-m≤2, ∴? 解得-1≤m≤ 3.① 2 ?-2≤1-m ≤2, ?

又 f(x)为奇函数,且在[-2,0]上递减, ∴f(x)在[-2,2]上递减, ∴f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1)?1-m>m2-1,即-2<m<1.② 综合①②可知,-1≤m<1.

17

本例(2)中条件在区间[-2,0]上“递减”变为“递增”,试想 m 的范围改 变吗?若改变,求 m 的取值范围.

解:改变. ∵f(x)为奇函数且在[-2,0]上递增, ∴f(x)在[-2,2]上递增. ∴m2-1>1-m. 即 m>1 或 m<-2. 由例(2)①知 1<m≤ 3. 故 m 的取值范围为(1, 3]. [类题通法] 应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (1)求函数值: 将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)求解析式: 将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出,或充分利用奇偶性构造 关于 f(x)的方程(组),从而得到 f(x)的解析式. (3)求函数解析式中参数的值: 利用待定系数法求解,根据 f(x)± f(-x)=0 得到关于待求参数的恒等式,由系数的对等性 得参数的值或方程(组),进而得出参数的值. (4)画函数图像和判断单调性: 利用奇偶性可画出另一对称区间上的图像及判断另一区间上的单调性. [针对训练] f?x2?-f?x1? 1. 定义在 R 上的偶函数 f(x)满足: 对任意的 x1, x2∈[0, +∞), (x1≠x2), 有 <0, x2-x1 则( ) A.f(3)<f(-2)<f(1) C.f(-2)<f(1)<f(3) B.f(1)<f(-2)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2)

解析:选 A 由题意知 x∈[0,+∞)时,f(x)为减函数且当 x∈R 时,f(x)的图像关于直线 x=0 对称,所以 f(1)>f(-2)>f(3),故选 A. 2.(1)设函数 f(x)=x(ex+ae x)(x∈R)是偶函数,则实数 a 的值为________.


(2)已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数,若 f(a)≥f(2),则实数 a 的取值范围是________. 解析:(1)∵函数 f(x)=x(ex+ae x)(x∈R)是偶函数,


18

∴设 g(x)=ex+ae x,x∈R,


由题意知,g(x)为奇函数,∴g(0)=0, 则 1+a=0,即 a=-1. (2)∵y=f(x)是 R 上的偶函数,且在(-∞,0]上是减函数, ∴函数 y=f(x)在[0,+∞)上是增函数. ∴当 a>0 时,由 f(a)≥f(2)可得 a≥2, 当 a<0 时,由 f(a)≥f(2)=f(-2),可得 a≤-2. 所以实数 a 的取值范围是(-∞,-2]∪[2,+∞). 答案:(1)-1 (2)(-∞,-2]∪[2,+∞)

考点三

函数的周期性及其应用 1 ,且当-3≤x<-1 时,f(x)=- f?x?

[典例] 已知函数 f(x)对任意的实数满足:f(x+3)=-

(x+2)2,当-1≤x<3 时,f(x)=x.则 f(1)+f(2)+f(3)+?+f(2 014)=________. 1 [解析] ∵对任意 x∈R,都有 f(x+3)=- , f?x? ∴f(x+6)=f(x+3+3) 1 1 =- =- =f(x), 1 f?x+3? - f?x? ∴f(x)是以 6 为周期的周期函数,∵当-3≤x<-1 时, f(x)=-(x+2)2, 当-1≤x<3 时,f(x)=x, ∴f(1)=1,f(2)=2,f(3)=f(-3)=-1, f(4)=f(-2)=0, f(5)=f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0. ∴f(1)+f(2)+?+f(6)=1, ∴f(1)+f(2)+?+f(6)=f(7)+f(8)+?+f(12)=?=f(2 005)+f(2 006)+?+f(2 010)=1, 2 010 ∴f(1)+f(2)+?+f(2 010)=1× =335. 6 而 f(2 011)+f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1+2-1+0=2, ∴f(1)+f(2)+?+f(2 014)=335+2=337. [答案] 337 [类题通法] 函数周期性的判定与应用 (1)判断函数的周期只需证明 f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数,且周期为 T,
19

函数的周期性常与函数的其他性质综合命题. (2)根据函数的周期性, 可以由函数局部的性质得到函数的整体性质, 在解决具体问题时, 要注意结论:若 T 是函数的周期,则 kT(k∈Z 且 k≠0)也是函数的周期. [针对训练] 设 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 且对任意实数 x, 恒有 f(x+2)=-f(x). 当 x∈[0,2]时, f(x) =2x-x2. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)当 x∈[2,4]时,求 f(x)的解析式. 解:(1)证明:∵f(x+2)=-f(x), ∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x). ∴f(x)是周期为 4 的周期函数. (2)∵x∈[2,4],∴-x∈[-4,-2], ∴4-x∈[0,2], ∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8. 又∵f(4-x)=f(-x)=-f(x), ∴-f(x)=-x2+6x-8, 即 f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].

第四节

函数的图像

1.利用描点法作函数图像 其基本步骤是列表、描点、连线,具体为: 首先:①确定函数的定义域;②化简函数解析式;③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、 周期性); 其次:列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点); 最后:描点,连线. 2.利用图像变换法作函数的图像 (1)平移变换: y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=f(x-a); a<0,左移|a|个单位
a>0,右移a个单位

20

y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=f(x)+b. b<0,下移|b|个单位 (2)伸缩变换:
? y=f(x) ???????? 1 ? y=f(ωx); ? ?1,缩短为原来的 ?
1 0?? ?1,伸长为原来的 倍

b>0,上移b个单位

y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=Af(x). 0<A<1,缩为原来的A倍 (3)对称变换: y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=-f(x); y=f(x)― ― ― ― ― ― →y=f(-x); y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― →y=-f(-x). (4)翻折变换: y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=f(|x|); 将y轴右边的图像翻折到左边去 y=f(x)― ― ― ― ― ― ― ― ― →y=|f(x)|. 将x轴下方图翻折上去
留下x轴上方图 去掉y轴左边图,保留y轴右边图 关于原点对称 关于y轴对称 关于x轴对称

A>1,伸为原来的A倍

1.在解决函数图像的变换问题时,要遵循“只能对函数关系式中的 x,y 变换”的原则, 写出每一次的变换所得图像对应的解析式,这样才能避免出错. 2.明确一个函数的图像关于 y 轴对称与两个函数的图像关于 y 轴对称的不同,前者也是 自身对称,且为偶函数,后者也是两个不同函数的对称关系. [试一试] (2014· 安徽“江南十校”联考)函数 y=log2(|x|+1)的图像大致是( )

解析:选 B 首先判断定义域为 R.又 f(-x)=f(x).所以函数 y=log2(|x|+1)为偶函数,当 x>0 时,y=log2(x+1).故选 B.

1.数形结合思想 借助函数图像,可以研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等性质;利用 函数的图像,还可以判断方程 f(x)=g(x)的解的个数、求不等式的解集等. 2.分类讨论思想

21

画函数图像时,如果解析式中含参数,还要对参数进行讨论,分别画出其图像. [练一练] 若关于 x 的方程|x|=a-x 只有一个解,则实数 a 的取值范围是________. 解析:由题意 a=|x|+x
? ?2x,x≥0, 令 y=|x|+x=? 图像如图所示,故要使 a=|x|+x 只有一解则 ?0,x<0, ?

a>0. 答案:(0,+∞)

考点一

作函数的图像

分别画出下列函数的图像: (1)y=|lg x|; (2)y=2x 2;


(3)y=x2-2|x|-1.
?lg x,x≥1, ? 解:(1)y=? 图像如图 1. ? ?-lg x,0<x<1.

(2)将 y=2x 的图像向左平移 2 个单位.图像如图 2.
2 ? ?x -2x-1,x≥0, ? (3)y= 2 图像如图 3. ?x +2x-1,x<0. ?

[类题通法] 画函数图像的一般方法 (1)直接法.当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时,就可根据这些函数 的特征直接作出; (2)图像变换法.若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到,可利 用图像变换作出,但要注意变换顺序.对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形,并应注 意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.

22

考点二

识图与辨图

[典例] (1)(2013· 福建高考)函数 f(x)=ln(x2+1)的图像大致是(

)

(2)(2012· 湖北高考 ) 已知定义在区间[0,2] 上的函数 y= f(x) 的图像如图所 示,则 y=-f(2-x)的图像为( )

[解析] (1)f(x)=ln(x2+1),x∈R, 当 x=0 时,f(0)=ln 1=0, 即 f(x)过点(0,0),排除 B,D. ∵f(-x)=ln[(-x)2+1]=ln(x2+1)=f(x), ∴f(x)是偶函数,其图像关于 y 轴对称,故选 A. (2)法一:由 y=f(x)的图像知
? ?x?0≤x≤1?, f(x)=? ?1?1<x≤2?. ?

当 x∈[0,2]时,2-x∈[0,2],
? ?1?0≤x≤1?, 所以 f(2-x)=? ? ?2-x?1<x≤2?, ? ?-1?0≤x≤1?, 故 y=-f(2-x)=? ?x-2?1<x≤2?. ?

法二:当 x=0 时,-f(2-x)=-f(2)=-1; 当 x=1 时,-f(2-x)=-f(1)=-1. 观察各选项,可知应选 B.

23

[答案] (1)A (2)B [类题通法] 识图常用的方法 (1)定性分析法:通过对问题进行定性的分析,从而得出图像的上升(或下降)的趋势,利 用这一特征分析解决问题; (2)定量计算法:通过定量的计算来分析解决问题; (3)函数模型法:由所提供的图像特征,联想相关函数模型,利用这一函数模型来分析解 决问题. [针对训练] 3 ,x≤1, ? ? 1.(2014· 佛山一模)函数 f(x)=?log x,x>1, 则 y=f(x+1)的图像大致是( 1 ? ? 3
x

)

3 ,x≤1, ? ? 解析:选 B 作出 f(x)=?log x,x>1 的图像,如图. 1 ? ? 3 再把 f(x)的图像向左平移一个单位, 可得到 y=f(x+1)的图像.故选 B. 2.如图, 函数 f(x)的图像是曲线 OAB, 其中点 O, A, B 的坐标分别为(0,0), 1 (1,2),(3,1),则 f?f?3??的值等于________.

x

?

?

解析:∵由图像知 f(3)=1, ∴ 1 1 =1.∴f?f?3??=f(1)=2. ? ? f?3?

答案:2

考点三

函数图像的应用

24

函数图像是函数的一种表达形式,它形象地揭示了函数的性质,为研究函数的数量关 系提供了“形”的直观性.归纳起来图像的应用常见的命题角度有: ?1?确定方程根的个数; ?2?求参数的取值范围; ?3?求不等式的解集.? 角度一 确定方程根的个数
? ?|lg x|,x>0, 1.(2014· 日照一模)已知 f(x)=? |x| 则函数 y=2f2(x)-3f(x)+1 的零点个数是 ?2 ,x≤0, ?

________. 1 解析:方程 2f2(x)-3f(x)+1=0 的解为 f(x)= 或 1.作出 y=f(x)的图像,由图像知零点的 2 个数为 5.

答案:5

角度二 求参数的取值范围
? ?a,a-b≤1, 2.对实数 a 和 b,定义运算“?”:a?b=? 设函数f?x?=(x2-2)?(x-1),x ?b,a-b>1. ?

∈R.若函数 y=f(x)-c 的图像与 x 轴恰有两个公共点,则实数 c 的取值范围是( A.(-1,1]∪(2,+∞) C.(-∞,-2)∪(1,2]
? ?a,a-b≤1, 解析:选 B ∵a?b=? ?b,a-b>1, ?

)

B.(-2,-1]∪(1,2] D.[-2,-1]

∴函数 f(x)=(x2-2)?(x-1)
2 ? ?x -2,-1≤x≤2, =? ?x-1,x<-1或x>2. ?

结合图像可知,当 c∈(-2,-1]∪(1,2]时,函数 f(x)与 y=c 的图像有两个公共点, ∴c 的取值范围是(-2,-1]∪(1,2].

角度三 求不等式的解集

25

3.函数 f(x)是定义在[-4,4]上的偶函数,其在[0,4]上的图像如图 f?x? 所示,那么不等式 <0 的解集为________. cos x π 0, ?上 y=cos x>0, 解析:在? ? 2? π ? 在? ?2,4?上 y=cos x<0. π f?x? 1, ?上 由 f(x)的图像知在? 2 ? ? cos x<0, 因为 f(x)为偶函数,y=cos x 也是偶函数, f?x? 所以 y= 为偶函数, cos x π f?x? ? ? π? 所以 <0 的解集为? ?-2,-1?∪?1,2?. cos x π ? ? π? 答案:? ?-2,-1?∪?1,2? [类题通法] 1.研究函数性质时一般要借助于函数图像,体现了数形结合思想; 2.有些不等式问题常转化为两函数图像的上、下关系来解决; 3.方程解的问题常转化为两熟悉的函数图像的交点个数问题来解决.

第五节

二次函数与幂函数

1.五种常见幂函数的图像与性质 函数 特征 性质 图像 定义域 值域 R R R {y|y≥0}
26
1 2

y=x

y=x2

y=x3

y=x

y=x

-1

R R

{x|x≥0} {y|y≥0}

{x|x≠0} {y|y≠0}

奇偶性 单调性 公共点

奇 增

偶 (-∞,0]减, (0,+∞)增

奇 增 (1,1)

非奇非偶 增

奇 (-∞,0)和 (0,+∞)减

2.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); (2)顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0); (3)零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 3.二次函数的图像和性质 a>0 图像 定义域 值域 x∈R a<0

?4ac-b ,+∞? ? 4a ?
b? 在? ?-∞,-2a?上递减, b ? 在? ?-2a,+∞?上递增

2

?-∞,4ac-b ? 4a ? ?
b? 在? ?-∞,-2a?上递增, b ? 在? ?-2a,+∞?上递减

2

单调性

奇偶性 图像特 点

b=0 时为偶函数,b≠0 时既不是奇函数也不是偶函数 b ①对称轴:x=- ; 2a b 4ac-b ? ②顶点:?- , 4a ? ? 2a
2

1.研究函数 f(x)=ax2+bx+c 的性质,易忽视 a 的取值情况而盲目认为 f(x)为二次函数. 2.形如 y=x (α∈R)才是幂函数,如 y=3x 不是幂函数. [试一试] 1.若 f(x)既是幂函数又是二次函数,则 f(x)可以是( A.f(x)=x2-1 C.f(x)=-x2 答案:D 2.已知函数 f(x)=ax2+x+5 的图像在 x 轴上方,则 a 的取值范围是(
27
α
1 2

)

B.f(x)=5x2 D.f(x)=x2

)

1? A.? ?0,20? 1 ? C.? ?20,+∞?

1? B.? ?-∞,-20? 1 ? D.? ?-20,0?

? ? ?a>0, ?a>0, 1 解析:选 C 由题意知? 即? 得 a> . 20 ?Δ<0, ?1-20a<0 ? ?

1.函数 y=f(x)对称轴的判断方法 (1)对于二次函数 y=f(x), 如果定义域内有不同两点 x1, x2 且 f(x1)=f(x2), 那么函数 y=f(x) x1+x2 的图像关于 x= 对称. 2 (2)二次函数 y=f(x)对定义域内所有 x, 都有 f(a+x)=f(a-x)成立的充要条件是函数 y=f(x) 的图像关于直线 x=a 对称(a 为常数). 2.与二次函数有关的不等式恒成立两个条件
? ?a>0, (1)ax2+bx+c>0,a≠0 恒成立的充要条件是? 2 ?b -4ac<0. ? ?a<0, ? (2)ax2+bx+c<0,a≠0 恒成立的充要条件是? 2 ? ?b -4ac<0.

3.两种数学思想 (1)数形结合是讨论二次函数问题的基本方法.特别是涉及二次方程、二次不等式的时候 常常要结合图形寻找思路. (2)含字母系数的二次函数问题经常使用的方法是分类讨论.比如讨论二次函数的对称轴 与给定区间的位置关系,讨论二次方程根的大小等.

[练一练] 如果函数 f(x)=x2+(a+2)x+b(x∈[a,b])的图像关于直线 x=1 对称,则函数 f(x)的最小 值为________. a+2 ? ?a=-4, ?- =1, ? 2 解析:由题意知? 得? ? ?b=6. ? ?a+b=2, 则 f(x)=x2-2x+6=(x-1)2+5≥5. 答案:5

28

考点一

幂函数的图像与性质

1.幂函数 y=f(x)的图像过点(4,2),则幂函数 y=f(x)的图像是(

)

1 解析:选 C 令 f(x)=x ,则 4 =2,∴α= ,∴f(x)=x 2 . 2
α α

1

1 2.图中曲线是幂函数 y=xα 在第一象限的图像.已知 n 取± 2,± 四个 2 值,则相应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 α 值依次为________. 1 1 答案:2, ,- ,-2 2 2 3? 5 ?2? 5 ?2? 5 3.设 a=? ?5? ,b=?5? ,c=?5? ,则 a,b,c 的大小关系是________. 解析:∵y=x
2 5
2
3

2

(x>0)为增函数,∴a>c.

2?x ∵y=? ?5? (x∈R)为减函数,∴c>b, ∴a>c>b. 答案:a>c>b [类题通法] 1.幂函数 y=xα 的图像与性质由于 α 的值不同而比较复杂,一般从两个方面考查: (1)α 的正负:α>0 时,图像过原点和(1,1),在第一象限的图像上升;α<0 时,图像不过 原点,在第一象限的图像下降. (2)曲线在第一象限的凹凸性:α>1 时,曲线下凸;0<α<1 时,曲线上凸;α<0 时,曲线 下凸. 2.在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数.借助其单调性进行比 较,准确掌握各个幂函数的图像和性质是解题的关键.

考点二

求二次函数的解析式

[典例] 已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是 8,试确定此 二次函数的解析式. [解] 法一(利用一般式): 设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
29

4a+2b+c=-1, ? ?a-b+c=-1, 由题意得? 4ac-b ? ? 4a =8,
2

a=-4, ? ? 解得?b=4, ? ?c=7. ∴所求二次函数为 f(x)=-4x2+4x+7. 法二(利用顶点式): 设 f(x)=a(x-m)2+n. ∵f(2)=f(-1), 2+?-1? 1 ∴抛物线的对称轴为 x= = . 2 2 1 ∴m= .又根据题意函数有最大值 8,∴n=8. 2 1?2 ∴y=f(x)=a? ?x-2? +8. 1?2 ∵f(2)=-1,∴a? ?2-2? +8=-1,解得 a=-4, 1?2 2 ∴f(x)=-4? ?x-2? +8=-4x +4x+7. 法三(利用零点式): 由已知 f(x)+1=0 两根为 x1=2,x2=-1, 故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1), 即 f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值 ymax=8,即 解得 a=-4 或 a=0(舍). ∴所求函数的解析式为 f(x)=-4x2+4x+7. [类题通法] 求二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,规律如下: 4a?-2a-1?-a2 =8. 4a

30

[针对训练] 已知 y=f(x)为二次函数,且 f(0)=-5,f(-1)=-4,f(2)=-5,求此二次函数的解析式. 解:设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 因为 f(0)=-5,f(-1)=-4,f(2)=-5, c=-5, ? ? 所以?a-b+c=-4, ? ?4a+2b+c=-5, 1 2 解得 a= ,b=- ,c=-5, 3 3 1 2 故 f(x)= x2- x-5. 3 3 考点三 二次函数的图像与性质

研究二次函数在闭区间上的最值解决的关键是考查对称轴与区间的关系, 当含有参数 时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.归纳起来常见的命题角度有: ?1?轴定区间定求最值; ?2?轴动区间定求最值; ?3?轴定区间动求最值.?

角度一 轴定区间定求最值 1.已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6] (1)当 a=-2 时,求 f(x)的最值; (2)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调区间. 解:(1)当 a=-2 时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1,由于 x∈[-4,6], ∴f(x)在[-4,2]上单调递减,在[2,6]上单调递增, ∴f(x)的最小值是 f(2)=-1, 又 f(-4)=35,f(6)=15,
31

故 f(x)的最大值是 35. (2)当 a=1 时,f(x)=x2+2x+3, ∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为 x∈[-6,6],
?x2+2x+3,x∈?0,6], ? 且 f(x)=? 2 ? ?x -2x+3,x∈[-6,0].

∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6], 单调递减区间是[-6,0].

角度二 轴动区间定求最值 2.已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 x∈[0,1]时有最大值 2,求 a 的值. 解:函数 f(x)=-x2+2ax+1-a=-(x-a)2+a2-a+1,对称轴方程为 x=a. (1)当 a<0 时,f(x)max=f(0)=1-a, ∴1-a=2,∴a=-1. (2)当 0≤a≤1 时,f(x)max=a2-a+1, ∴a2-a+1=2,∴a2-a-1=0, 1± 5 ∴a= (舍). 2 (3)当 a>1 时,f(x)max=f(1)=a,∴a=2. 综上可知,a=-1 或 a=2. 角度三 轴定区间动求最值 3.设函数 y=x2-2x,x∈[-2,a],若函数的最小值为 g(a),求 g(a). 解:∵函数 y=x2-2x=(x-1)2-1, ∴对称轴为直线 x=1, ∵x=1 不一定在区间[-2,a]内, ∴应进行讨论. 当-2<a≤1 时,函数在[-2,a]上单调递减,则当 x=a 时,y 取得最小值,即 ymin=a2 -2a; 当 a>1 时,函数在[-2,1]上单调递减,在[1,a]上单调递增,则当 x=1 时,y 取得最小 值,即 ymin=-1.
?a2-2a,-2<a≤1, ? 综上,g(a)=? ? ?-1,a>1.

[类题通法] 影响二次函数在闭区间上的最大值与最小值的要素和求法: (1)最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关.
32

(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图像求解,在区间的端点或二次函数图像的顶 点处取得最值. 当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论.

第六节

指数与指数函数

1.根式的性质 n (1)( a)n=a. n (2)当 n 为奇数时 an=a;
?a ?a≥0?, ? n 当 n 为偶数时 an=? ?-a ?a<0?. ?

2.有理数指数幂 (1)幂的有关概念: ①正分数指数幂:a ②负分数指数幂:a
m n

n = am(a>0,m,n∈N*,且 n>1). = a 1
m n

?

m n



1 n am

(a>0,m,n∈N*,且 n>1).

③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的性质: ①aras=ar s(a>0,r,s∈Q);


②(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q); ③(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q). 3.指数函数的图像与性质 y=ax a>1 0<a<1

图像

定义域

R

33

值域 性质 过定点(0,1)

(0,+∞) 当 x>0 时, y>1; x<0 时, 0<y<1 在(-∞,+∞)上是增函数 当 x>0 时,0<y<1;x<0 时, y>1 在(-∞,+∞)上是减函数

1.在进行指数幂的运算时,一般用分数指数幂的形式表示,并且结果不能同时含有根号 和分数指数幂,也不能既有分母又含有负指数. 2.指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的图像和性质跟 a 的取值有关,要特别注意区分 a>1 或 0<a<1. [试一试] 1.化简[(-2)6] 2 -(-1)0 的结果为( A.-9 C.-10 答案:B 2.若函数 y=(a2-1)x 在(-∞,+∞)上为减函数,则实数 a 的取值范围是________. 解析:由题意知 0<a2-1<1,即 1<a2<2, 得- 2<a<-1 或 1<a< 2. 答案:(- 2,-1)∪(1, 2)
1

) B .7 D.9

1.对可化为 a2x+b· ax+c=0 或 a2x+b· ax+c≥0(a2x+b· ax+c≤0)的指数方程或不等式, 常借助换元法解决. 2.指数函数的单调性是由底数 a 的大小决定的,因此解题时通常对底数 a 按 0<a<1 和 a>1 进行分类讨论. [练一练] 1.函数 y= 1?x 1-? ?2? 的定义域为________.

答案:[0,+∞) 2.若函数 f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数 a=________. 解析:当 a>1 时,f(x)=ax-1 在[0,2]上为增函数, 则 a2-1=2,∴a=± 3.又∵a>1,∴a= 3. 当 0<a<1 时,f(x)=ax-1 在[0,2]上为减函数 又∵f(0)=0≠2,∴0<a<1 不成立.
34

综上可知,a= 3. 答案: 3

考点一

指数幂的化简与求值

求值与化简:
1 3 ?21? - 2 -(0.01)0.5; 2 ?0+2-2· (1)? ? 5? ? 4? 5 - - - (2) a 3 · b 2· (-3a 2 b 1)÷ (4a 3 · b 3) 6 1 1

2

1 2



2

?a 3 · b 1? (3) 6


-

1 2

· a

-

1 2

1

· b3

a· b5

1 1 1 4? 2 ? 1 ? 2 1 2 1 1 1 16 解:(1)原式=1+ ×? - ?100? =1+4×3-10=1+6-10=15. 4 ?9?

5 ? - - (2)原式=- a 6 b 3÷ (4a 3 · b 3) 2
? 5 ? - =- a 6 b 3÷ (a 3 b 3 ) 4 1
1

1

2

1 2

2

? 5 ? =- a 2 · b 2. 4

1

3

5 1 5 ab =- · 3=- . 4 ab 4ab2

(3)原式=

a 3b 2 · a 2b3 a b
1 6 5 6

?

1

1

?

1

1

=a

1 1 1 ? ? ? 3 2 6

· b2

1 1 5 ? ? 3 6

1 = . a

[类题通法] 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数. (3)底数是负数,先确定符号,底数是小数,先化成分数,底数是带分数的,先化成假分 数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解 答.

35

考点二

指数函数的图像及应用

1 [典例] (1)(2012· 四川高考)函数 y=ax- (a>0,且 a≠1)的图像可能是( a

)

1?a ?1?b (2)已知实数 a,b 满足等式? ?2? =?3? ,下列五个关系式: ①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b. 其中不可能成立的关系式有( A.1 个 C.3 个 ) B .2 个 D.4 个

1 [解析] (1)法一:当 0<a<1 时,函数 y=ax- 是减函数,且其图像可视为是由函数 y= a 1 ax 的图像向下平移 个单位长度得到的,结合各选项知选 D. a 1 法二:因为函数 y=ax- (a>0,且 a≠1)的图像必过点(-1,0),所以选 D. a 1?x ?1?x (2)函数 y1=? ?2? 与 y2=?3? 的图像如图所示.

1?a ?1?b 由? ?2? =?3? 得,a<b<0 或 0<b<a 或 a=b=0. 故①②⑤可能成立,③④不可能成立.故选 B. [答案] (1)D (2)B [类题通法] 指数函数图像的画法及应用

36

1? (1)画指数函数 y=ax(a>0,a≠1)的图像,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),? ?-1,a?. (2)与指数函数有关的函数的图像的研究,往往利用相应指数函数的图像,通过平移、对 称变换得到其图像. (3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解. [针对训练] 1?x 1.(2014· 北京模拟)在同一坐标系中,函数 y=2x 与 y=? ?2? 的图像之间的关系是( A.关于 y 轴对称 C.关于原点对称 1?x -x 解析:选 A ∵y=? ?2? =2 , ∴它与函数 y=2x 的图像关于 y 轴对称. 2.方程 2x=2-x 的解的个数是________. 解析:方程的解可看作函数 y=2x 和 y=2-x 的图像交点的横坐标,分 别作出这两个函数图像(如图). 由图像得只有一个交点,因此该方程只有一个解. 答案:1 B.关于 x 轴对称 D.关于直线 y=x 对称 )

考点三

指数函数的性质及应用

a - [典例] 已知 f(x)= 2 (ax-a x)(a>0,且 a≠1). a -1 (1)判断 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性. [解] (1)函数 f(x)的定义域为 R,关于原点对称.

a - 又因为 f(-x)= 2 (a x-ax)=-f(x), a -1 所以 f(x)为奇函数. (2)当 a>1 时,a2-1>0, y=ax 为增函数,y=a x 为减函数,


从而 y=ax-a x 为增函数.


所以 f(x)为增函数. 当 0<a<1 时,a2-1<0, y=ax 为减函数,y=a x 为增函数,


从而 y=ax-a x 为减函数.


37

所以 f(x)为增函数. 故当 a>0 且 a≠1 时,f(x)在定义域内单调递增.

在本例条件下,当 x∈[-1,1]时,f(x)≥b 恒成立,求 b 的取值范围.

解:由(2)知 f(x)在 R 上是增函数, 所以在区间[-1,1]上为增函数. 所以 f(-1)≤f(x)≤f(1). a - 所以 f(x)min=f(-1)= 2 (a 1-a) a -1
2 a 1-a = 2 · =-1. a -1 a

所以要使 f(x)≥b 在[-1,1]上恒成立,则只需 b≤-1. 故 b 的取值范围是(-∞,-1]. [类题通法] 利用指数函数的性质解决问题的方法 求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等 相关性质, 其次要明确复合函数的构成, 涉及值域、 单调区间、 最值等问题时, 都要借助“同 增异减”这一性质分析判断,最终将问题归结为内层函数相关的问题加以解决. [针对训练] 1?ax2-4x+3 已知函数 f(x)=? . ?3? (1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值; (3)若 f(x)的值域是(0,+∞),求 a 的值. 1?-x2-4x+3 解:(1)当 a=-1 时,f(x)=? , ?3? 令 g(x)=-x2-4x+3, 1?t 由于 g(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,+∞)上单调递减,而 y=? ?3? 在 R 上单调 递减, 所以 f(x)在(-∞,-2)上单调递减,在(-2,+∞)上单调递增,即函数 f(x)的单调递增 区间是(-2,+∞), 单调递减区间是(-∞,-2). 1?g(x) (2)令 g(x)=ax2-4x+3,f(x)=? ?3? ,
38

由于 f(x)有最大值 3,所以 g(x)应有最小值-1, a>0, ? ? 因此必有?3a-4 ? ? a =-1,

解得 a=1,即当 f(x)有最大值 3 时,a 的值等于 1. (3)由指数函数的性质知, 1?g(x) 要使 y=? ?3? 的值域为(0,+∞). 应使 g(x)=ax2-4x+3 的值域为 R, 因此只能 a=0.(因为若 a≠0,则 g(x)为二次函数,其值域不可能为 R). 故 a 的值为 0.

第七节

对数与对数函数

1.对数的定义 如果 ax=N(a>0 且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=logaN,其中 a 叫 做对数的底数,N 叫做真数. 2.对数的性质与运算及换底公式 (1)对数的性质(a>0 且 a≠1): ①loga1=0;②logaa=1;③alogaN=N. (2)对数的换底公式 logcb 基本公式:logab= (a,c 均大于 0 且不等于 1,b>0). logca (3)对数的运算法则: 如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(M· N)=logaM+logaN, M ②loga =logaM-logaN, N ③logaMn=nlogaM(n∈R). 3.对数函数的图像与性质

39

a>1

0<a<1

图像

定义域 值域 定点 单调性 函数值 正负

(0,+∞) R 过点(1,0) 在(0,+∞)上是增函数 当 0<x<1,y<0 当 0<x<1 时,y>0 在(0,+∞)上是减函数 当 x>1 时,y>0; 当 x>1 时,y<0;

4.反函数 指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)互为反函数,它们的图像 关于直线 y=x 对称.

1.在运算性质 logaMn=nlogaM 中,易忽视 M>0. 2.解决与对数函数有关的问题时易漏两点: (1)函数的定义域; (2)对数底数的取值范围. [试一试] 1.(2013· 重庆高考)函数 y= A.(-∞,2) C.(2,3)∪(3,+∞) 1 的定义域是( log2?x-2? )

B.(2,+∞) D.(2,4)∪(4,+∞)

? ?x-2>0, 解析:选 C 由题可知? 所以 x>2 且 x≠3,故选 C. ?x-2≠1, ?

2.(2013· 四川高考)lg 5+lg 20的值是________. 解析:lg 5+lg 20=lg( 5× 20)=lg 10=1. 答案:1

1.对数值的大小比较的基本方法 (1)化同底后利用函数的单调性;(2)作差或作商法;(3)利用中间量(0 或 1);(4)化同真数 后利用图像比较.
40

2.明确对数函数图像的基本点 (1)当 a>1 时,对数函数的图像“上升”; 当 0<a<1 时,对数函数的图像“下降”. 1 ? (2)对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图像过定点(1,0),且过点(a,1)? ?a,-1?,函数图像 只在第一、四象限. [练一练] 1.函数 y=loga(3x-2)(a>0,a≠1)的图像经过定点 A,则 A 点坐标是( 2? A.? ?0,3? C.(1,0) 答案:C 2.(2013· 全国卷Ⅱ)设 a=log32,b=log52,c=log23,则( A.a>c>b C.c>b>a B.b>c>a D.c>a>b ) 2 ? B.? ?3,0? D.(0,1) )

解析:选 D 易知 log23>1,log32,log52∈(0,1).在同一平面直角坐标系中画出函数 y =log3 x 与 y=log5 x 的图像,观察可知 log32>log52.所以 c>a>b.比较 a,b 的其他解法: 1 1 1 1 log32>log3 3= ,log52<log5 5= ,得 a>b;0<log23<log25,所以 > ,结合换底公式 2 2 log23 log25 即得 log32>log52.

考点一

对数式的化简与求值

1.(2013· 陕西高考)设 a,b,c 均为不等于 1 的正实数, 则下列等式中恒成立的是( A.logab· logcb=logca C.loga(bc)=logab· logac B.logab· logca=logcb D.loga(b+c)=logab+logac

)

logcb 解析:选 B 利用对数的换底公式进行验证,logab· logca= · logca=logcb,则 B 对. logca 2.计算下列各题: 3 (1)lg +lg 70-lg 3- ?lg 3?2-lg 9+1; 7 1 32 4 (2) lg - lg 8+lg 245 2 49 3

41

3 ×70 7 解:(1)原式=lg - ?lg 3?2-2lg 3+1=lg 10- ?lg 3-1?2=1-|lg 3-1|=lg 3. 3 1 32 4 (2) lg - lg 8+lg 245 2 49 3 1 4 3 1 = ×(5lg 2-2lg 7)- × lg 2+ (lg 5+2lg 7) 2 3 2 2 5 1 = lg 2-lg 7-2lg 2+ lg 5+lg 7 2 2 1 1 1 1 = lg 2+ lg 5= lg(2×5)= . 2 2 2 2 [类题通法] 对数运算的一般思路 (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形, 化成分数指数幂的形式, 使幂的底数最简, 然后正用对数运算性质化简合并. (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同 底对数真数的积、商、幂的运算.

考点二

对数函数的图像及应用

[典例] (1)已知 lg a+lg b=0,则函数 f(x)=ax 与函数 g(x)=-logbx 的图像可能是(

)

1 (2)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是( 2 A.?0,

)

?

2? 2?

B.?

2 ? ? 2 ,1?

C.(1, 2) [解析] (1)∵lg a+lg b=0,∴ab=1, ∵g(x)=-logbx 的定义域是(0,+∞), 故排除 A. 若 a>1,则 0<b<1, 此时 f(x)=ax 是增函数, g(x)=-logbx 是增函数, 结合图像知选 B.

D.( 2,2)

42

(2)法一:构造函数 f(x)=4x 和 g(x)=logax,当 a>1 时不满足条件,当 0<a<1 时,画出两 1? 1 2 ?1? ?1? 个函数在? ?0,2?上的图像,可知,f?2?<g?2?,即 2<loga2,则 a> 2 ,所以 a 的取值范围为? 2 ? . ? 2 ,1?

1 法二:∵0<x≤ ,∴1<4x≤2,∴logax>4x>1, 2 1 1 ∴0<a<1,排除选项 C,D;取 a= ,x= , 2 2 1 则有 4 =2,log 1 =1,显然 4x<logax 不成立,排除选项 A. 2 2 [答案] (1)B (2)B
1 2

若本例(2)变为:若不等式(x-1)2<logax 在 x∈(1,2)内恒成立,则 实数 a 的取值范围为________. 解析:设 f1(x)=(x-1)2,f2(x)=logax,要使当 x∈(1,2)时,不等式(x-1)2<logax 恒成立, 只需 f1(x)=(x-1)2 在(1,2)上的图像在 f2(x)=logax 图像的下方即可. 当 0<a<1 时,显然不成立; 当 a>1 时,如图,

要使 x∈(1,2)时 f1(x)=(x-1)2 的图像在 f2(x)=logax 的图像下方,只需 f1(2)≤f2(2), 即(2-1)2≤loga2, 又即 loga2≥1. 所以 1<a≤2,即实数 a 的取值范围是(1,2]. 答案:(1,2] [类题通法] 应用对数型函数的图像可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、 值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解. [针对训练]
43

3 ,x≤1, ? ? 已知函数 f(x)=?log 1 x,x>1, 则 y=f(1-x)的大致图像是( ? ? 3

x

)

3 ,x≥0, ? ? 解析: 选 C 由题意可得 f(1-x)=?log ?1-x?,x<0, )因此当 x≥0 时, y=f(1 ? 1 ? 3 -x)为减函数,且 y>0;当 x<0 时,y=f(1-x)为增函数,且 y<0.

1-x

考点三

对数函数的性质及应用

[典例] 已知函数 f(x)=log4(ax2+2x+3). (1)若 f(1)=1,求 f(x)的单调区间; (2)是否存在实数 a,使 f(x)的最小值为 0?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. [解] (1)∵f(1)=1,

∴log4(a+5)=1,因此 a+5=4,a=-1, 这时 f(x)=log4(-x2+2x+3). 由-x2+2x+3>0 得-1<x<3,函数 f(x)的定义域为(-1,3). 令 g(x)=-x2+2x+3, 则 g(x)在(-1,1)上单调递增,在(1,3)上单调递减. 又 y=log4x 在(0,+∞)上单调递增, 所以 f(x)的单调递增区间是(-1,1),单调递减区间是(1,3). (2)假设存在实数 a 使 f(x)的最小值为 0, 则 h(x)=ax2+2x+3 应有最小值 1,

a>0, ? ? 1 因此应有?3a-1 解得 a= . 2 ? ? a =1, 1 故存在实数 a= 使 f(x)的最小值为 0. 2 [类题通法] 求复合函数 y=f(g(x))的单调区间的步骤 (1)确定定义域;

44

(2)将复合函数分解成基本初等函数 y=f(u),u=g(x); (3)分别确定这两个函数的单调区间; (4)若这两个函数同增或同减,则 y=f(g(x))为增函数,若一增一减,则 y=f(g(x))为减函 数,即“同增异减”. [针对训练] 已知 f(x)=loga(ax-1)(a>0 且 a≠1). (1)求 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的单调性. 解:(1)由 ax-1>0 得 ax>1,当 a>1 时,x>0; 当 0<a<1 时,x<0. ∴当 a>1 时,f(x)的定义域为(0,+∞); 当 0<a<1 时,f(x)的定义域为(-∞,0). (2)当 a>1 时,设 0<x1<x2,则 1<ax1<ax2, 故 0<ax1-1<ax2-1, ∴loga(ax1-1)<loga(ax2-1). ∴f(x1)<f(x2). 故当 a>1 时,f(x)在(0,+∞)上是增函数. 类似地,当 0<a<1 时,f(x)在(-∞,0)上为增函数.

第八节

函数与方程

1.函数零点的定义 对于函数 y=f(x)(x∈D),把使 f(x)=0 成立的实数 x 叫做函数 y=f(x)(x∈D)的零点. 2.二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图像与零点的关系 Δ>0 二次函数 y=ax2+bx +c (a>0)的图像 与 x 轴的交点 零点个数 (x1,0),(x2,0) 两个
45

Δ=0

Δ<0

(x1,0) 一个

无交点 零个

3.二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且 f(a)· f(b)<0 的函数 y=f(x),通过不断地把函数 f(x)的零点 所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二 分法.

1.函数 y=f(x)的零点即方程 f(x)=0 的实根,易误为函数点. 2 . 由 函 数 y = f(x) 在 闭 区 间 [a , b] 上 有 零 点 不 一 定 能 推 出 f(a)· f(b)<0,如图所示. 所以 f(a)· f(b)<0 是 y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要 条件. [试一试] 1.若函数 f(x)=ax+b 有一个零点是 2,那么函数 g(x)=bx2-ax 的零点是( A.0,2 1 C.0,- 2 解析:选 C ∵2a+b=0, ∴g(x)=-2ax2-ax=-ax(2x+1). 1 ∴零点为 0 和- . 2 2.函数 f(x)=2x+3x 的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) C.(0,1) 答案:B ) 1 B.0, 2 1 D.2,- 2 )

B.(-1,0) D.(1,2)

1.函数零点个数的判断方法. (1)直接求零点:令 f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点; (2) 零点存在性定理:利用定理不仅要求函数在区间 [a , b] 上是连续不断的曲线,且 f(a)· f(b)<0,还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点; (3)利用图像交点的个数:画出两个函数的图像,看其交点的个数,其中交点的横坐标有 几个不同的值,就有几个不同的零点. 2.三个等价关系(三者相互转化)

46

3.用二分法求函数零点近似值的步骤 第一步:确定区间[a,b],验证 f(a)· f(b)<0,给定精确度 ε; 第二步:求区间(a,b)的中点 c. 第三步:计算 f(c); ①若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; ②若 f(a)· f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)); ③若 f(c)· f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). 第四步:判断是否达到精确度 ε:即若|a-b|<ε,则得到零点近似值 a(或 b),否则重复第 二、三、四步. [练一练] (2014· 中山模拟)函数 f(x)=ex+x-2 的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) C.(0,1) 解析:选 C ∵f′(x)=ex+1>0, ∴f(x)=ex+x-2 在 R 上是增函数. 而 f(-2)=e 2-4<0,


)

B.(-1,0) D.(1,2)

f(-1)=e 1-3<0,


f(0)=-1<0, f(1)=e-1>0, f(2)=e2>0, ∴f(0)· f(1)<0. 故(0,1)为函数 f(x)的零点所在的一个区间.

考点一

函数零点所在区间的判定

1.函数 f(x)=x2-3x-18 在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点. 解析:法一:∵f(1)=12-3×1-18=-20<0, f(8)=82-3×8-18=22>0, ∴f(1)· f(8)<0,
47

又 f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]的图像是连续的, 故 f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点. 法二:令 f(x)=0,得 x2-3x-18=0, x∈[1,8],∴(x-6)(x+3)=0. ∵x=6∈[1,8],x=-3?[1,8], ∴f(x)=x2-3x-18,x∈[1,8]存在零点. 答案:存在 2.(2014· 保定调研)函数 f(x)=log3x+x-2 的零点所在的区间为( A.(0,1) C.(2,3) B.(1,2) D.(3,4) )

解析:选 B 法一:函数 f(x)=log3x+x-2 的定义域为(0,+∞),并且在(0,+∞)上递 增、连续,又 f(1)=-1<0,f(2)=log32>0,所以函数 f(x)=log3x+x-2 有唯一的零点且零点 在区间(1,2)内. 法二: 作出函数 y=log3x 与 y=-x+2 的图像(图略), 不难看出其交点的横坐标在区间(1,2) 内,故选 B. 2 3.(2013· 朝阳模拟)函数 f(x)=2x- -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数 a 的取值范围 x 是( ) A.(1,3) C.(0,3) B.(1,2) D.(0,2)

解析: 选 C 由条件可知 f(1)f(2)<0, 即(2-2-a)(4-1-a)<0, 即 a(a-3)<0, 解得 0<a<3. [类题通法] 判断函数零点所在区间的方法 判断函数在某个区间上是否存在零点, 要根据具体题目灵活处理. 当能直接求出零点时, 就直接求出进行判断;当不能直接求出时,可根据零点存在性定理判断;当用零点存在性定 理也无法判断时可画出图像判断.

考点二

判断函数零点个数 )

?x+1,x≤0, ? [典例] (1)已知函数 f(x)=? 则函数 y=f(f(x))+1 的零点个数是( ? ?log2x,x>0,

A.4 C.2

B .3 D.1 )

(2)(2013· 天津高考)函数 f(x)=2x|log0.5x|-1 的零点个数为( A.1
48

B .2

C.3

D.4

[解析] (1)由 f(f(x))+1=0 可得 f(f(x))=-1, 1? 又由 f(-2)=f? ?2?=-1. 1 可得 f(x)=-2 或 f(x)= . 2 1 若 f(x)=-2,则 x=-3 或 x= ; 4 1 1 若 f(x)= ,则 x=- 或 x= 2, 2 2 综上可得函数 y=f(f(x))+1 有 4 个零点. 1?x (2)令 f(x)=2x|log0.5x|-1=0,可得|log0.5x|=? ?2? . 1?x 设 g(x)=|log0.5x|,h(x)=? ?2? ,在同一坐标系下分别画出函数 g(x),h(x) 的图像, 可以发现两个函数图像一定有 2 个交点, 因此函数 f(x)有 2 个零点. [答案] (1)A (2)B [类题通法] 函数零点个数的判断通常转化为两函数图像交点的个数,其步骤是: (1)令 f(x)=0; (2)构造 y1=f1(x),y2=f2(x); (3)作出 y1,y2 图像; (4)由图像交点个数得出结论. [针对训练] πx 函数 f(x)=3cos -log 1 x 的零点的个数是( 2
2

)

A.2 C.4

B .3 D.5

π 解析:选 D 把求函数 f(x)的零点的个数问题转化为求函数 y=3cos x 的 2 图像与函数 y=log 1 x 的图像的交点的个数的问题,在同一个坐标系中画出这
2

π 两个函数的图像,如图.函数 y=3cos x 的最小正周期是 4,当 x=8 时,y= 2 πx log 1 8=-3,结合图像可知两个函数的图像只能有 5 个交点,即函数 f(x)=3cos -log 1 x 2
2 2

有 5 个零点.

49

考点三

函数零点的应用

[典例] 若函数 f(x)=xln x-a 有两个零点,则实数 a 的取值范围为________. [解析] 令 g(x)=xln x,h(x)=a,则问题可转化成函数 g(x)与 h(x) 的图像有两个交点.g′(x)=ln x+1,令 g′(x)<0,即 ln x<-1,可解 1 1 1 得 0<x< ;令 g′(x)>0,即 ln x>-1,可解得 x> ,所以,当 0<x< 时, e e e 1 1 函数 g(x)单调递减; 当 x> 时, 函数 g(x)单调递增, 由此可知当 x= 时, e e 1 1 g(x)min=- .在同一坐标系中作出函数 g(x)和 h(x)的简图如图所示,据图可得- <a<0. e e 1 ? [答案] ? ?-e,0?

若函数变为 f(x)=ln x-x-a,其他条件不变,则 a 的取值范围是________.

解析:函数 f(x)=ln x-x-a 的零点,即为关于 x 的方程 ln x-x -a=0 的实根,将方程 ln x-x-a=0,化为方程 ln x=x+a,令 y1 =ln x,y2=x+a,由导数知识可知,直线 y2=x+a 与曲线 y1=ln x 相 切时有 a=-1,所以关于 x 的方程 ln x-x-a=0 有两个不同的实根, 实数 a 的取值范围是(-∞,-1). 答案:(-∞,-1) [类题通法] 已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用的方法 (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题加以解决. (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,然后数 形结合求解. [针对训练]
?2x-a,x≤0 ? (2014· 海淀模拟)已知函数 f(x)=? 2 有三个不同的零点,则实数 a 的取值 ?x -3ax+a,x>0 ?

范围是________. 解析:依题意,要使函数 f(x)有三个不同的零点,则当 x≤0 时,方程 2x-a=0 即 2x=a 必有一个根,此时 0<a≤1;当 x>0 时,方程 x2-3ax+a=0 有两个不等的实根,即方程 x2-

50

Δ=9a -4a>0, ? ? 3ax+a=0 有两个不等的正实根, 于是有?3a>0, ? ?a>0, 0<a≤1, ? ? 4 实数 a 需满足? 4 即 <a≤1. 9 ?a>9, ? 4 ? 答案:? ?9,1?

2

4 由此解得 a> .因此, 满足题意的 9

第九节

函数模型及其应用

1.几种常见的函数模型 函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 f(x)=ax+b(a,b 为常数,a≠0) f(x)=ax2+bx+c(a,b,c 为常数,a≠0) f(x)=bax+c(a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=blogax+c(a,b,c 为常数,a>0 且 a≠1,b≠0) f(x)=axn+b(a,b,n 为常数,a≠0,n≠0) 函数解析式

2.三种函数模型性质比较 y=ax(a>1) 在(0,+∞)上的 单调性 增长速度 图像的变化 增函数 越来越快 随 x 值增大,图像与 y 轴接近平行 y=logax(a>1) 增函数 越来越慢 随 x 值增大,图像与 x 轴接近平行 y=xn(n>0) 增函数 相对平稳 随 n 值变化而不同

1.易忽视实际问题的自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域. 2.注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.

51

[试一试] 据调查,苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为 4 000 辆次,其中变速车存 车费是每辆一次 0.3 元,普通车存车费是每辆一次 0.2 元,若普通车存车数为 x 辆次,存车费 总收入为 y 元,则 y 关于 x 的函数关系是( A.y=0.1x+800(0≤x≤4 000) B.y=0.1x+1 200(0≤x≤4 000) C.y=-0.1x+800(0≤x≤4 000) D.y=-0.1x+1 200(0≤x≤4 000) 解析:选 D y=0.2x+(4000-x)×0.3=-0.1x+1 200 (0≤x≤4 000). )

解决实际应用问题的一般步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建 立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题. 以上过程用框图表示如下:

[练一练] (2013· 陕西高考)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小 于 300 m2 的内接矩形花园(阴影部分),则其边长 x(单位:m)的取值范围是 ( ) A.[15,20] C.[10,30] B.[12,25] D.[20,30]

解析:选 C 设矩形的另一边长为 y m, x 40-y 则由三角形相似知, = , 40 40 ∴y=40-x. ∵xy≥300,

52

∴x(40-x)≥300, ∴x2-40x+300≤0,∴10≤x≤30.

考点一

一次函数与二次函数模型

1.某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是月租 20 元,B 种方式是 月租 0 元. 一个月的本地网内通话时间 t(分钟)与电话费 s(元)的函数关系如图所 示,当通话 150 分钟时,这两种方式电话费相差( A.10 元 C.30 元 )

B.20 元 40 D. 元 3

解析:选 A 依题意可设 sA(t)=20+kt,sB(t)=mt, 又 sA(100)=sB(100), ∴100k+20=100m, 得 k-m=-0.2, 于是 sA(150)-sB(150)=20+150k-150m=20+150×(-0.2)=-10, 即两种方式电话费相差 10 元,选 A. 2.(2013· 北京西城区抽检)将进货单价为 80 元的商品按 90 元出售时,能卖出 400 个.若 该商品每个涨价 1 元,其销售量就减少 20 个,为了赚取最大的利润,售价应定为每个( A.115 元 C.95 元 B.105 元 D.85 元 )

解析:选 C 设售价定为(90+x)元,卖出商品后获得利润为:y=(90+x-80)(400-20x) =20(10+x)(20-x)=20(-x2+10x+200)=-20(x2-10x-200)=-20[(x-5)2-225],∴当 x =5 时,y 取得最大值,即售价应定为:90+5=95(元),选 C. 3.为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采 用了新工艺, 把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品. 已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为:y= 1 2 x -200x+80 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元. 2 该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多 少元才能使该单位不亏损? 解:设该单位每月获利为 S, 则 S=100x-y
53

1 2 ? =100x-? ?2x -200x+80 000? 1 =- x2+300x-80 000 2 1 =- (x-300)2-35 000, 2 因为 400≤x≤600, 所以当 x=400 时,S 有最大值-40 000. 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴 40 000 元,才能不亏损. [类题通法] 求解一次函数与二次函数模型问题的关注点 (1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但一定要密切注意函数的定义 域,否则极易出错; (2)确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待定系数法; (3)解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.

考点二

分段函数模型

[典例]

提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下,大

桥上的车流速度 v(单位:千米/小时)是车流密度 x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密 度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0 千米/小时;当车流密度不超过 20 辆/ 千米时,车流速度为 60 千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200 时,车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数. (1)当 0≤x≤200 时,求函数 v(x)的表达式. (2)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/ 小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最大值(精确到 1 辆/小时). [解] (1)由题意:当 0≤x≤20 时,v(x)=60;

当 20≤x≤200 时,设 v(x)=ax+b.
? ?200a+b=0, 由已知得? 解得 ?20a+b=60, ?

?a=-3, ? 200 ?b= 3 ,

1

故函数 v(x)的表达式为 60,0≤x≤20, ? ? v(x)=?200-x ? ? 3 ,20<x≤200.
54

(2)依题意并由(1)可得 60x,0≤x≤20, ? ? f(x)=?x?200-x? ,20<x≤200. ? 3 ? 当 0≤x≤20 时,f(x)为增函数,故当 x=20 时,其最大值为 60×20=1 200; 1 1 x+200-x?2 10 000 当 20<x≤200 时,f(x)= x(200-x)≤ ? 3 3? 2 ?= 3 . 当且仅当 x=200-x,即 x=100 时,等号成立. 所以当 x=100 时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值. 综上,当 x=100 时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值 f(x)max= 10 000 ≈3 333,即当车流 3

密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3 333 辆/小时. [类题通法] 应用分段函数模型的关注点 (1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构 成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段函数模型求解. (2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏. (3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者). [针对训练] 某公司研制出了一种新产品,试制了一批样品分别在国内和国外上市销售,并且价格根 据销售情况不断进行调整,结果 40 天内全部销完.公司对销售及销售利润进行了调研,结果 如图所示,其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上 市时间的关系,图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系.

(1)分别写出国外市场的日销售量 f(t)与上市时间 t 的关系及国内市场的日销售量 g(t)与上 市时间 t 的关系; (2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于 6 300 万元?若有,请说明是上市 后的第几天;若没有,请说明理由. 解:(1)图①是两条线段,由一次函数及待定系数法,
? ?2t,0≤t≤30, 得 f(t)=? ?-6t+240,30<t≤40. ?

图②是一个二次函数的部分图像,
55

3 故 g(t)=- t2+6t(0≤t≤40). 20
? ?3t,0≤t≤20, (2)每件样品的销售利润 h(t)与上市时间 t 的关系为 h(t)=? ?60,20<t≤40. ?

故国外和国内的日销售利润之和 F(t)与上市时间 t 的关系为

? ? ? 3 ? F(t)=?60?-20t +8t?,20<t≤30, 3 ? t +240?,30<t≤40. ?60??-20 ?
2 2

3 2 ? 3t? ?-20t +8t?,0≤t≤20,

3 2 9 3 2 ? 当 0≤t≤20 时,F(t)=3t? ?-20t +8t?=-20t +24t , 27 ? 27 ∴F′(t)=- t2+48t=t? ?48-20t?≥0, 20 ∴F(t)在[0,20]上是增函数, ∴F(t)在此区间上的最大值为 F(20)=6 000<6 300. 3 2 ? 当 20<t≤30 时,F(t)=60? ?-20t +8t?. 由 F(t)=6 300,得 3t2-160t+2 100=0, 70 解得 t= (舍去)或 t=30. 3 3 2 ? 当 30<t≤40 时,F(t)=60? ?-20t +240?. 由 F(t)在 (30,40]上是减函数,得 F(t)<F(30)=6 300. 故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于 6 300 万元,为上市后的第 30 天.

考点三

指数函数模型

[典例] 一片森林原来面积为 a,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等, 当砍伐到面积的一半时,所用时间是 10 年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 1 2 ,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的 . 4 2 (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年? [解] (1)设每年降低的百分比为 x(0<x<1).则

56

1 1 a(1-x)10= a,即(1-x)10= , 2 2 1? 10 解得 x=1-? ?2? (2)设经过 m 年剩余面积为原来的 a(1-x)m= 解得 m=5. 故到今年为止,已砍伐了 5 年. (3)设从今年开始,以后砍了 n 年, 则 n 年后剩余面积为 令 2 a(1-x)n. 2 2 ,则 2
1

m 1 1? 10 2 ?1? 2 , m =1, a,即? = ?2? ?2? 2 10 2

2 1 2 a(1-x)n≥ a,即(1-x)n≥ , 2 4 4
n

?1? 10 ≥?1? 2 , n ≤3,解得 n≤15. ?2? ?2? 10 2
故今后最多还能砍伐 15 年. [类题通法] 应用指数函数模型应注意的问题 (1)指数函数模型,常与增长率相结合进行考查,在实际问题中有人口增长、银行利率、 细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决. (2)应用指数函数模型时,关键是对模型的判断,先设定模型,再将已知有关数据代入验 证,确定参数,从而确定函数模型. (3)y=a(1+x)n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解. 提醒:解指数不等式时,一定要化为同底,且注意对应函数的单调性. [针对训练] (2013· 长春联合测试)某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间内,他的这支股票先 经历了 n 次涨停(每次上涨 10%), 又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%), 则该股民这支股票的盈 亏情况(不考虑其他费用)为( A.略有盈利 C.没有盈利也没有亏损 ) B.略有亏损 D.无法判断盈亏情况

3

解析:选 B 设该股民购这支股票的价格为 a,则经历 n 次涨停后的价格为 a(1+10%)n =a×1.1n,经历 n 次跌停后的价格为 a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n= 0.99n· a<a,故该股民这支股票略有亏损.

57

第十节

变化率与导数、导数的计算

1.导数的概念 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数: 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率
Δx→0

lim

f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim 为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 f′(x0)或 y′|x=x , Δx Δx→0 Δx 0

即 f′(x0)= lim →
Δx 0

f?x0+Δx?-f?x0? Δy = lim . → Δx Δx 0 Δx

(2)导数的几何意义: 函数 f(x)在点 x0 处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y=f(x)上点 P(x0,y0)处的切线的斜 率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数).相应地,切线方程为 y-y0=f′(x0)(x-x0). (3)函数 f(x)的导函数: 称函数 f′(x)= lim →
Δx 0

f?x+Δx?-f?x? 为 f(x)的导函数. Δx

2.基本初等函数的导数公式 (sin x)′=cos_x,(cos x)′=-sin_x,(ax)′=axln_a,(ex)′=ex,(logax)= 1 = . x 3.导数的运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′=f′(x)± g′(x); (2)[f(x)· g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)? f?x? ? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ′= (g(x)≠0). ?g?x?? [g?x?]2 1 ,(ln x)′ xln a

4.复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=yu′· ux′,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.

58

1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. 2.求曲线切线时,要分清在点 P 处的切线与过 P 点的切线的区别,前者只有一条,而 后者包括了前者. 3. 曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个, 这和研究直线与二次曲线相切时有差 别. [试一试] 1.(2013· 江西高考)设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(ex)=x+ex,则 f′(1)=________. 1 解析:因为 f(ex)=x+ex,所以 f(x)=x+ln x(x>0),所以 f′(x)=1+ ,所以 f′(1)=2. x 答案:2 2.函数 y=xcos x-sin x 的导数为________. 解析:y′=(xcos x)′-(sin x)′ =x′cos x+x(cos x)′-cos x =cos x-xsin x-cos x =-xsin x. 答案:-xsin x

考点一

利用导数的定义求函数的导数

利用导数的定义求函数的导数: 1 (1)y=x2,(2)f(x)= . x+2 Δy f?x+Δx?-f?x? 解:(1)因为 = Δx Δx = = ?x+Δx?2-x2 Δx x2+2x·Δx+?Δx?2-x2 =2x+Δx, Δx
Δx 0

所以 y′= lim →

Δy = lim (2x+Δx)=2x. Δx Δx→0

1 1 - x + Δ x + 2 x + 2 f ? x + Δ x ? - f ? x ? Δy (2)因为 = = Δx Δx Δx 1 =- ?x+Δx+2??x+2?

59

所以 y′= lim → [类题通法]

Δx 0Δx

Δy =- lim →

Δx 0

1 1 =- . ?x+Δx+2??x+2? ?x+2?2

定义法求函数的导数的三个步骤 一差:求函数的改变量 Δy=f(x+Δx)-f(x). Δy f?x+Δx?-f?x? 二比:求平均变化率 = . Δx Δx 三极限:取极限,得导数 y′=f′(x)= lim →
Δx 0Δx

Δy .

考点二

导数的运算

[典例] 求下列函数的导数. ex+1 (1)y=x sin x;(2)y= x ;(3)y=ln(2x-5). e -1
2

[解]

(1)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x.

?ex+1?′?ex-1?-?ex+1??ex-1?′ (2)y′= ?ex-1?2 = ex?ex-1?-?ex+1?ex -2ex = x . ?ex-1?2 ?e -1?2

(3)令 u=2x-5,y=ln u, 1 2 则 y′=(ln u)′u′= · 2= , 2x-5 2x-5 2 即 y′= . 2x-5 [类题通法] 1.求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样可以减 少运算量,提高运算速度,减少差错. 2. 有的函数虽然表面形式为函数的商的形式, 但在求导前利用代数或三角恒等变形将函 数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量. 3.复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然 后求导. [针对训练] π? ?π? 已知 f(x)=sin 2x,记 fn+1(x)=fn′(x)(n∈N*),则 f1? ?6?+f2?6?+?+f2 ________. 解析:由题意,可知 f2(x)=f1′(x)=(sin 2x)′=2cos 2x;
60
013

?π?+f2 014?π?= ?6? ?6?

f3(x)=f2′(x)=(2cos 2x)′=-4sin 2x; f4(x)=f3′(x)=(-4sin 2x)′=-8cos 2x; f5(x)=f4′(x)=(-8cos 2x)′=16sin 2x; ? 故 f4k+1(x)=24ksin 2x,f4k+2(x)=24k 1cos 2x,f4k+3(x)=-24k 2sin 2x,f4k+4(x)=-24k 3·cos
+ + +

2x(k∈N). π? ?π?+?+f2 014?π? 所以 f1? + f 2 ?6? ?6? ?6? π π π 2× ?+21cos?2× ?-22sin?2× ?- =20sin? ? 6? ? 6? ? 6? π π 2× ? + 24sin ?2× ? + ? - 22 23cos ? ? 6? ? 6?
013 010

π 2× ? - 22 sin ? ? 6?

011

π 2× ? + 22 cos ? ? 6?

012

π 2× ? + 22 sin ? ? 6?

π 2× ? cos? ? 6? =(20-22+24-26+?+22 008-22
010

+22

012

π )sin +(21-23+25-27+?+22 009-22 3

011



π 22 013)cos 3
2 1 007 1×[1-?-22?1 007] 3 2×[1-?-2 ? ] 1 = × + × 2 2 1-?-22? 1-?-22? 2 014 1+22 014 3 2×?1+2 ? 1 × + × 5 2 5 2

= =

? 3+2??1+22 014? 10

? 3+2??1+22 014? 答案: 10

考点三

导数的几何意义

导数的几何意义是每年高考的重点, 求解时应把握导数的几何意义是切点处切线的斜 率,利用这一点可以解决有关导数的几何意义的问题.归纳起来常见的命题角度有: ?1?求切线方程; ?2?求切点坐标; ?3?求参数的值.?

角度一 求切线方程
61

π? 1. (2014· 洛阳统考)已知函数 f(x)=3x+cos 2x+sin 2x, a=f′? ?4?,f′(x)是 f(x)的导函数, 则过曲线 y=x3 上一点 P(a,b)的切线方程为( A.3x-y-2=0 B.4x-3y+1=0 C.3x-y-2=0 或 3x-4y+1=0 D.3x-y-2=0 或 4x-3y+1=0 π? 解析:选 A 由 f(x)=3x+cos 2x+sin 2x 得 f′(x)=3-2sin 2x+2cos 2x,则 a=f′? ?4?= π π 3-2sin +2cos =1.由 y=x3 得 y′=3x2,过曲线 y=x3 上一点 P(a,b)的切线的斜率 k=3a2 2 2 =3×12=3.又 b=a3,则 b=1,所以切点 P 的坐标为(1,1),故过曲线 y=x3 上的点 P 的切线 方程为 y-1=3(x-1),即 3x-y-2=0. )

角度二 求切点坐标 2. (2013· 辽宁五校第二次联考)曲线 y=3ln x+x+2 在点 P0 处的切线方程为 4x-y-1=0, 则点 P0 的坐标是( A.(0,1) C.(1,3) ) B.(1,-1) D.(1,0)

3 解析:选 C 由题意知 y′= +1=4,解得 x=1,此时 4×1-y-1=0,解得 y=3,∴ x 点 P0 的坐标是(1,3). 角度三 求参数的值 1 7 3.已知 f(x)=ln x,g(x)= x2+mx+ (m<0),直线 l 与函数 f(x),g(x)的图像都相切,且 2 2 与 f(x)图像的切点为(1,f(1)),则 m 等于( A.-1 C.-4 1 解析:选 D ∵f′(x)= , x ∴直线 l 的斜率为 k=f′(1)=1, 又 f(1)=0, ∴切线 l 的方程为 y=x-1. g′(x)=x+m,设直线 l 与 g(x)的图像的切点为(x0,y0), 1 2 7 则有 x0+m=1,y0=x0-1,y0= x 0 +mx0+ ,m<0, 2 2 ) B.-3 D.-2

62

于是解得 m=-2,故选 D. [类题通法] 导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面: (1)已知切点 A(x0,f(x0))求斜率 k,即求该点处的导数值:k=f′(x0); (2)已知斜率 k,求切点 A(x1,f(x1)),即解方程 f′(x1)=k; (3)已知过某点 M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为 k 时,常需设出切点 A(x0,f(x0)),利 f?x1?-f?x0? 用 k= 求解. x1-x0

第十一节

导数的应用

1.函数的单调性 在(a,b)内可导函数 f(x),f′(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于 0. f′(x)≥0?f(x)在(a,b)上为增函数. f′(x)≤0?f(x)在(a,b)上为减函数. 2.函数的极值 (1)函数的极小值: 函数 y=f(x)在点 x=a 的函数值 f(a)比它在点 x=a 附近其它点的函数值都小,f′(a)=0, 而且在点 x=a 附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,则点 a 叫做函数 y=f(x)的极小值点, f(a)叫做函数 y=f(x)的极小值. (2)函数的极大值: 函数 y=f(x)在点 x=b 的函数值 f(b)比它在点 x=b 附近的其他点的函数值都大,f′(b)= 0, 而且在点 x=b 附近的左侧 f′(x)>0, 右侧 f′(x)<0, 则点 b 叫做函数 y=f(x)的极大值点, f(b)叫做函数 y=f(x)的极大值. 极小值点,极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值. 3.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数 f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数 f(x)在[a,b]上单调递增,则 f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函 数 f(x)在[a,b]上单调递减,则 f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.

63

1.求函数极值时,误把导数为 0 的点作为极值点;极值点的导数也不一定为 0. 2.易混极值与最值:注意函数最值是个“整体”概念,而极值是个“局部”概念. [试一试] 1.设函数 f(x)=xex,则( A.x=1 为 f(x)的极大值点 B.x=1 为 f(x)的极小值点 C.x=-1 为 f(x)的极大值点 D.x=-1 为 f(x)的极小值点 解析:选 D 求导得 f′(x)=ex+xex=ex(x+1),令 f′(x)=ex(x+1)=0,解得 x=-1, 易知 x=-1 是函数 f(x)的极小值点,所以选 D. 1 2.函数 y= x2-ln x 的单调递减区间为( 2 A.(-1,1] C.[1,+∞) ) B.(0,1] D.(0,+∞) )

1 解析:选 B 函数 y= x2-ln x 的定义域为(0,+∞), 2 1 ?x-1??x+1? y′=x- = ,令 y′≤0,则可得 0<x≤1. x x

解决含参数问题及不等式问题中的两个转化 (1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题,要注意分类 讨论和数形结合思想的应用. (2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性、极值问题处理. [练一练] 1 .函数 f(x) = x3 + 3ax2 + 3[(a + 2)x + 1] 既有极大值又有极小值,则 a 的取值范围是 ________. 解析:f′(x)=3x2+6ax+3(a+2), 令 3x2+6ax+3(a+2)=0, 即 x2+2ax+a+2=0. 因为函数 f(x)既有极大值又有极小值, 所以方程 x2+2ax+a+2=0 有两个不相等的实根, 即 Δ=4a2-4a-8>0,解得 a>2 或 a<-1. 答案:a>2 或 a<-1

64

2.函数 y=2x3-2x2 在区间[-1,2]上的最大值是________. 解析:y′=6x2-4x,令 y′=0, 2 得 x=0 或 x= . 3 2? 8 ∵f(-1)=-4,f(0)=0,f? ?3?=-27,f(2)=8. 所以最大值为 8. 答案:8

第一课时 导数与函数单调性

考点一

判断或证明函数的单调性

x -?a+5?x,x≤0, ? ? [典例] (2013· 天津高考节选)设 a∈[-2,0],已知函数 f(x)=? 3 a+3 2 ? ?x - 2 x +ax,x>0. 证明 f(x)在区间(-1,1)内单调递减, 在区间(1, +∞)内单调递增. a+3 2 [证明] 设函数 f1(x)=x3-(a+5)x(x≤0),f2(x)=x3- x +ax(x≥0), 2 ①f1′(x)=3x2-(a+5),由于 a∈[-2,0], 从而当-1<x≤0 时,f1′(x)=3x2-(a+5)<3-a-5≤0, 所以函数 f1(x)在区间(-1,0]内单调递减. ②f2′(x)=3x2-(a+3)x+a=(3x-a)(x-1), 由于 a∈[-2,0],所以当 0<x<1 时,f2′(x)<0;当 x>1 时,f2′(x)>0,即函数 f2(x)在区间 [0,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单调递增. 综合①②及 f1(0)=f2(0),可知函数 f(x)在区间(-1,1)内单调递减,在区间(1,+∞)内单 调递增. [类题通法] 导数法证明函数 f(x)在(a,b)内的单调性的步骤 (1)求 f′(x); (2)确认 f′(x)在(a,b)内的符号; (3)作出结论:f′(x)>0 时为增函数;f′(x)<0 时为减函数.

3

65

[针对训练] 已知函数 f(x)=x2-ex 试判断 f(x)的单调性并给予证明. 解:f(x)=x2-ex,f(x)在 R 上单调递减, f′(x)=2x-ex,只要证明 f′(x)≤0 恒成立即可. 设 g(x)=f′(x)=2x-ex,则 g′(x)=2-ex, 当 x=ln 2 时,g′(x)=0, 当 x∈(-∞,ln 2)时,g′(x)>0, 当 x∈(ln 2,+∞)时,g′(x)<0. ∴f′(x)max=g(x)max=g(ln 2)=2ln 2-2<0, ∴f′(x)<0 恒成立, ∴f(x)在 R 上单调递减.

考点二

求函数的单调区间

[典例] (2012· 北京高考改编)已知函数 f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求 a,b 的值; (2)当 a2=4b 时,求函数 f(x)+g(x)的单调区间. [解] (1)f′(x)=2ax,g′(x)=3x2+b,

f?1?=a+1=c, ? ? 由已知可得?g?1?=1+b=c, ? ?2a=3+b,

解得 a=b=3.

a2 a2 (2)令 F(x)=f(x)+g(x)=x3+ax2+ x+1,F′(x)=3x2+2ax+ ,令 F′(x)=0,得 x1= 4 4 a a - ,x2=- , 2 6 ∵a>0,∴x1<x2, a a 由 F′(x)>0 得,x<- 或 x>- ; 2 6 a a 由 F′(x)<0 得,- <x<- . 2 6 a? ? a a? ? ? a ∴单调递增区间是? ?-∞,-2?,?-6,+∞?;单调递减区间为?-2,-6?.

在本例(2)中,若条件不变,讨论函数 f(x)+g(x)当 a>0 时,在区间(-∞,-1)上的单调性.

66

解:当 0<a≤2 时,f(x)+g(x)在(-∞,-1)上为增函数; a? ? a ? 当 2<a≤6 时,f(x)+g(x)在? ?-∞,-2?上单调递增,在?-2,-1?上单调递减; a? a a? a ? 当 a>6 时, f(x)+g(x)在? 在? 在? ?-∞,-2?上单调递增, ?-2,-6?上单调递减, ?-6,-1? 上单调递增. [类题通法] 求函数的单调区间的“两个”方法 (1)方法一:①确定函数 y=f(x)的定义域; ②求导数 y′=f′(x); ③解不等式 f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间; ④解不等式 f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. (2)方法二:①确定函数 y=f(x)的定义域; ②求导数 y′=f′(x),令 f′(x)=0,解此方程,求出在定义区间内的一切实根; ③把函数 f(x)的间断点(即 f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序 排列起来,然后用这些点把函数 f(x)的定义区间分成若干个小区间; ④确定 f′(x)在各个区间内的符号,根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性. [针对训练] (2013· 重庆高考)设 f(x) =a(x-5)2+6ln x,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切 线与 y 轴相交于点(0,6). (1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 6 解:(1)因为 f(x)=a(x-5)2+6ln x,故 f′(x)=2a(x-5)+ . x 令 x=1,得 f(1)=16a,f′(1)=6-8a,所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 y -16a=(6-8a)· (x-1),由点(0,6)在切线上可得 6-16a=8a-6, 1 故 a= . 2 1 (2)由(1)知,f(x)= (x-5)2+6ln x(x>0), 2 6 ?x-2??x-3? f′(x)=x-5+ = . x x 令 f′(x)=0,解得 x1=2,x2=3. 当 0<x<2 或 x>3 时, f′(x)>0, 故 f(x)在(0,2), (3, +∞)上为增函数; 当 2<x<3 时, f′(x)<0, 故 f(x)在(2,3)上为减函数. 9 由此可知 f(x)在 x=2 处取得极大值 f(2)= +6ln 2, 在 x=3 处取得极小值 f(3)=2+6ln 3. 2
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考点三

已知函数的单调性求参数的范围

[典例] (2014· 山西诊断)已知函数 f(x)=ln x-a2x2+ax(a∈R). (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在区间(1,+∞)上是减函数,求实数 a 的取值范围. [解] (1)当 a=1 时,f(x)=ln x-x2+x,其定义域是(0,+∞),

2x2-x-1 1 f′(x)= -2x+1=- , x x 2x2-x-1 1 令 f′(x)=0,即- =0,解得 x=- 或 x=1. x 2 ∵x>0,∴x=1. 当 0<x<1 时,f′(x)>0;当 x>1 时,f′(x)<0. ∴函数 f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减. (2)显然函数 f(x)=ln x-a2x2+ax 的定义域为(0,+∞), -2a2x2+ax+1 -?2ax+1??ax-1? 1 ∴f′(x)= -2a2x+a= = . x x x 1 ①当 a=0 时,f′(x)= >0, x ∴f(x)在区间(1,+∞)上为增函数,不合题意. 1 ②当 a>0 时,f′(x)≤0(x>0)等价于(2ax+1)·(ax-1)≥0(x>0),即 x≥ , a 1 ? 此时 f(x)的单调递减区间为? ?a,+∞?. 1 ? ?a≤1, 由? 得 a≥1. ?a>0, ? 1 ③当 a<0 时,f′(x)≤0(x>0)等价于(2ax+1)·(ax-1)≥0(x>0),即 x≥- ,此时 f(x)的 2a 1 ? 单调递减区间为? ?-2a,+∞?. 1 ? ?-2a≤1, 1 由? 得 a≤- . 2 ? ?a<0, 1 -∞,- ?∪[1,+∞). 综上,实数 a 的取值范围是? 2? ? [类题通法] 已知函数单调性,求参数范围的两个方法
68

(1)利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的 子集. (2)转化为不等式的恒成立问题:即“若函数单调递增,则 f′(x)≥0;若函数单调递减, 则 f′(x)≤0”来求解. 提醒:f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a,b)都有 f′(x)≥0 且在(a,b)内的任一 非空子区间上 f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解. [针对训练] 1 a (2014· 荆州质检)设函数 f(x)= x3- x2+bx+c,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 3 2 y=1. (1)求 b,c 的值; (2)若 a>0,求函数 f(x)的单调区间; (3)设函数 g(x)=f(x)+2x,且 g(x)在区间(-2,-1)内存在单调递减区间,求实数 a 的取 值范围. 解:(1)f′(x)=x2-ax+b,
? ? ?f?0?=1, ?c=1, 由题意得? 即? ? ? ?f′?0?=0, ?b=0.

(2)由(1)得,f′(x)=x2-ax=x(x-a)(a>0), 当 x∈(-∞,0)时,f′(x)>0, 当 x∈(0,a)时,f′(x)<0, 当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0. 所以函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(a,+∞),单调递减区间为(0,a). (3)g′(x)=x2-ax+2, 依题意,存在 x∈(-2,-1),使不等式 g′(x)=x2-ax+2<0 成立, 2 x+ ?max=-2 2, 即 x∈(-2,-1)时,a<? ? x? 2 当且仅当“x= ”即 x=- 2时等号成立, x 所以满足要求的 a 的取值范围是(-∞,-2 2). 第二课时 导数与函数极值、最值

69

考点一

运用导数解决函数的极值问题

a [典例] (2013· 福建高考节选)已知函数 f(x)=x-1+ x(a∈R,e 为自然对数的底数). e (1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (2)求函数 f(x)的极值. [解] a a (1)由 f(x)=x-1+ x,得 f′(x)=1- x. e e

又曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于 x 轴, a 得 f′(1)=0,即 1- =0,解得 a=e. e a (2)f′(x)=1- x, e ①当 a≤0 时,f′(x)>0,f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数 f(x)无极值. ②当 a>0 时,令 f′(x)=0,得 ex=a,即 x=ln a. x∈(-∞,ln a),f′(x)<0;x∈(ln a,+∞),f′(x)>0, 所以 f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增, 故 f(x)在 x=ln a 处取得极小值, 且极小值为 f(ln a)=ln a,无极大值. 综上,当 a ≤0 时,函数 f(x)无极值; 当 a>0 时,f(x)在 x=ln a 处取得极小值 ln a,无极大值.

若把本例中 f(x)变为“f(x)=x-aln x(a∈R)”,试求函数的极值.

a x-a 解:由 f′(x)=1- = ,x>0 知: x x (1)当 a≤0 时,f′(x)>0,函数 f(x)为(0,+∞)上的增函数,函数 f(x)无极值; (2)当 a>0 时,由 f′(x)=0,解得 x=a. 又当 x∈(0,a)时,f′(x)<0; 当 x∈(a,+∞)时,f′(x)>0, 从而函数 f(x)在 x=a 处取得极小值,且极小值为 f(a)=a-aln a,无极大值. 综上,当 a≤0 时,函数 f(x)无极值; 当 a>0 时,函数 f(x)在 x=a 处取得极小值 a-aln a,无极大值. [类题通法] 求函数 f(x)极值的步骤
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(1)确定函数的定义域; (2)求导数 f′(x); (3)解方程 f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根; (4)列表检验 f′(x)在 f′(x)=0 的根 x0 左右两侧值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在 x0 处取极大值,如果左负右正,那么 f(x)在 x0 处取极小值. [针对训练] 1 设 f(x)=2x3+ax2+bx+1 的导数为 f′(x), 若函数 y=f′(x)的图像关于直线 x=- 对称, 2 且 f′(1)=0. (1)求实数 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的极值. 解:(1)因为 f(x)=2x3+ax2+bx+1, 故 f′(x)=6x2+2ax+b, a a2 x+ ?2+b- , 从而 f′(x)=6? ? 6? 6 a 即 y=f′(x)关于直线 x=- 对称. 6 a 1 从而由题设条件知- =- ,即 a=3. 6 2 又由于 f′(1)=0,即 6+2a+b=0, 得 b=-12. (2)由(1)知 f(x)=2x3+3x2-12x+1, 所以 f′(x)=6x2+6x-12=6(x-1)(x+2), 令 f′(x)=0, 即 6(x-1)(x+2)=0, 解得 x=-2 或 x=1, 当 x∈(-∞,-2)时,f′(x)>0, 即 f(x)在(-∞,-2)上单调递增; 当 x∈(-2,1)时,f′(x)<0, 即 f(x)在(-2,1)上单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 即 f(x)在(1,+∞)上单调递增. 从而函数 f(x)在 x=-2 处取得极大值 f(-2)=21, 在 x=1 处取得极小值 f(1)=-6. 考点二 运用导数解决函数的最值问题

71

[典例] 已知函数 f(x)=ln x-ax(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a>0 时,求函数 f(x)在[1,2]上的最小值. [解] 1 (1)f′(x)= -a(x>0), x

1 ①当 a≤0 时,f′(x)= -a>0, x 即函数 f(x)的单调增区间为(0,+∞). 1 1 ②当 a>0 时,令 f′(x)= -a=0,可得 x= , x a 1-ax 1 当 0<x< 时,f′(x)= >0; a x 1-ax 1 当 x> 时,f′(x)= <0, a x 1? 故函数 f(x)的单调递增区间为? ?0,a?, 1 ? 单调递减区间为? ?a,+∞?. 1 (2)①当 ≤1,即 a≥1 时,函数 f(x)在区间[1,2]上是减函数,∴f(x)的最小值是 f(2)=ln 2 a -2a. 1 1 ②当 ≥2,即 0<a≤ 时,函数 f(x)在区间[1,2]上是增函数,∴f(x)的最小值是 f(1)=-a. a 2 1? 1 1 ?1 ? ③当 1< <2,即 <a<1 时,函数 f(x)在? ?1,a?上是增函数,在?a,2?上是减函数.又 f(2) a 2 1 -f(1)=ln 2-a,∴当 <a<ln 2 时,最小值是 f(1)=-a; 2 当 ln 2≤a<1 时,最小值为 f(2)=ln 2-2a. 综上可知, 当 0<a<ln 2 时,函数 f(x)的最小值是-a; 当 a≥ln 2 时,函数 f(x)的最小值是 ln 2-2a. [类题通法] 求函数 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值; (2)求函数在区间端点的函数值 f(a),f(b); (3)将函数 f(x)的各极值与 f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小 值.

72

[针对训练] 1 设函数 f(x)=aln x-bx2(x>0),若函数 f(x)在 x=1 处与直线 y=- 相切, 2 (1)求实数 a,b 的值; 1 ? (2)求函数 f(x)在? ?e,e?上的最大值. a 解:(1)f′(x)= -2bx, x 1 ∵函数 f(x)在 x=1 处与直线 y=- 相切, 2 f′?1?=a-2b=0, a=1, ? ? ? ? ∴? 解得? 1 1 f?1?=-b=- , ? ? 2 ? ?b=2. 1-x2 1 1 (2)f(x)=ln x- x2,f′(x)= -x= , 2 x x 1 1 ∵当 ≤x≤e 时,令 f′(x)>0 得 ≤x<1; e e 1 ? 令 f′(x)<0,得 1<x≤e,∴f(x)在? ?e,1?上单调递增,在[1,e]上单调递减,∴f(x)max=f(1) 1 =- . 2

考点三

函数极值和最值的综合问题

ax2+bx+c [典例] (2013· 北京丰台高三期末)已知函数 f(x)= (a>0)的导函数 y=f′(x)的两 ex 个零点为-3 和 0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)的极小值为-e3,求 f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值. [解] ?2ax+b?ex-?ax2+bx+c?ex (1)f′(x)= ?ex?2

-ax2+?2a-b?x+b-c = , ex 令 g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c, 因为 ex>0,所以 y=f′(x)的零点就是 g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c 的零点,且 f′(x)与 g(x)符号相同. 又因为 a>0,所以-3<x<0 时,g(x)>0,即 f′(x)>0, 当 x<-3 或 x>0 时,g(x)<0,即 f′(x)<0,所以 f(x)的单调增区间是(-3,0),单调减区间

73

是(-∞,-3),(0,+∞). (2)由(1)知,x=-3 是 f(x)的极小值点,所以有 9a-3b+c ? ? e =-e , ?g?0?=b-c=0, ? ?g?-3?=-9a-3?2a-b?+b-c=0,
-3

3

解得 a=1,b=5,c=5, x2+5x+5 所以 f(x)= . ex 因为 f(x)的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-∞,-3),(0,+∞), 所以 f(0)=5 为函数 f(x)的极大值, 故 f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值取 f(-5)和 f(0)中的最大者. 5 5 5 - =5e >5=f(0),所以函数 f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值是 5e . e 5

而 f(-5)= [类题通法]

求一个函数在闭区间上的最值和在无穷区间(或开区间)上的最值时,方法是不同的.求 函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过 单调性和极值情况,画出函数的大致图像,然后借助图像观察得到函数的最值. [针对训练] 已知函数 f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线为 l:3x-y+1=0,若 x 2 = 时,y=f(x)有极值. 3 (1)求 a,b,c 的值; (2)求 y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值. 解:(1)由 f(x)=x3+ax2+bx+c,得 f′(x)=3x2+2ax+b.当 x=1 时,切线 l 的斜率为 3, 可得 2a+b=0,① 2? 2 当 x= 时,y=f(x)有极值,则 f′? ?3?=0,可得 4a+3b+4=0,② 3 由①②,解得 a=2,b=-4.由于切点的横坐标为 1, 所以 f(1)=4. 所以 1+a+b+c=4.所以 c=5. (2)由(1), 可得 f(x)=x3+2x2-4x+5, f′(x)=3x2+4x-4.令 f′(x)=0, 解之, 得 x1=-2, 2 x2= . 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)的取值及变化情况如下表所示:

74

x f′(x) f(x)

-3 + 8

(-3,-2) + ?

-2 0 13

?-2,2? 3? ?
- ?

2 3 0 95 27

?2,1? ?3 ?
+ ?

1 + 4

95 所以 y=f(x)在[-3,1]上的最大值为 13,最小值为 . 27 第三课时 导数与函数的综合问题

考点一

利用导数研究生活中的优化问题

[典例] (2013· 重庆高考)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度). 设该蓄水池 的底面半径为 r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建 造成本为 100 元/平方米, 底面的建造成本为 160 元/平方米, 该蓄水池的总建造成本为 12 000π 元(π 为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大. [解] (1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2πrh=200πrh(元),底面的总成本为 160πr2 元,

所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元. 又根据题意 200πrh+160πr2=12 000π, 1 所以 h= (300-4r2), 5r π 从而 V(r)=πr2h= (300r-4r3). 5 因为 r>0,又由 h>0 可得 r<5 3, 故函数 V(r)的定义域为(0,5 3). π (2)因为 V(r)= (300r-4r3), 5 π 所以 V′(r)= (300-12r2). 5 令 V′(r)=0,解得 r1=5,r2=-5(因为 r2=-5 不在定义域内,舍去). 当 r∈(0,5)时,V′(r)>0,故 V(r)在(0,5)上为增函数; 当 r∈(5,5 3)时,V′(r)<0,故 V(r)在(5,5 3)上为减函数.
75

由此可知,V(r)在 r=5 处取得最大值,此时 h=8. 即当 r=5,h=8 时,该蓄水池的体积最大. [类题通法] 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之 间的函数关系式 y=f(x); (2)求函数的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0; (3)比较函数在区间端点和 f′(x)=0 的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值; (4)回归实际问题作答. [针对训练] 某城市在发展过程中,交通状况逐渐受到有关部门的关注,据有关统计数据显示,从上 午 6 点到中午 12 点,车辆通过该市某一路段的用时 y(分钟)与车辆进入该路段的时刻 t 之间 关系可近似地用如下函数给出: - t - t +36t- ,6≤t<9, ? 4 ? 8 4 y=?1 59 t+ ,9≤t≤10, 8 4 ? ?-3t +66t-345,10<t≤12,
2

13

32

629

求从上午 6 点到中午 12 点,通过该路段用时最多的时刻. 解:①当 6≤t<9 时, 3 3 y′=- t2- t+36 8 2 3 =- (t+12)(t-8). 8 令 y′=0,得 t=-12(舍去)或 t=8. 当 6≤t<8 时,y′>0, 当 8<t<9 时,y′<0, 故 t=8 时,y 有最大值,ymax=18.75. 1 59 ②当 9≤t≤10 时,y= t+ 是增函数, 8 4 故 t=10 时,ymax=16. ③当 10<t≤12 时,y=-3(t-11)2+18, 故 t=11 时,ymax=18. 综上可知,通过该路段用时最多的时刻为上午 8 点.

76

考点二

利用导数研究恒成立问题及参数求解

[典例] (2013· 全国卷Ⅰ)设函数 f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2. (1)求 a,b,c,d 的值; (2)若 x≥-2 时,f(x)≤kg(x),求 k 的取值范围. [解] (1)由已知得 f(0)=2,g(0)=2,

f′(0)=4,g′(0)=4. 而 f′(x)=2x+a,g′(x)=ex(cx+d+c),故 b=2,d=2,a=4,d+c=4. 从而 a=4,b=2,c=2,d=2. (2)由(1)知,f(x)=x2+4x+2,g(x)=2ex(x+1). 设函数 F(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2, 则 F′(x)=2kex(x+2)-2x-4=2(x+2)(kex-1). 由题设可得 F(0)≥0,即 k≥1. 令 F′(x)=0 得 x1=-ln k,x2=-2. (ⅰ)若 1≤k<e2,则-2<x1≤0.从而当 x∈(-2,x1)时,F′(x)<0;当 x∈(x1,+∞)时, F′(x)>0,即 F(x)在(-2,x1)上单调递减,在(x1,+∞)上单调递增,故 F(x)在[-2,+∞) 上的最小值为 F(x1).而 F(x1)=2x1+2-x2 1-4x1-2=-x1(x1+2)≥0. 故当 x≥-2 时,F(x)≥0,即 f(x)≤kg(x)恒成立. (ⅱ)若 k=e2,则 F′(x)=2e2(x+2)(ex-e 2).从而当 x>-2 时,F′(x)>0,即 F(x)在(-


2,+∞)上单调递增, 而 F(-2)=0,故当 x≥-2 时,F(x)≥0,即 f(x)≤kg(x)恒成立. (ⅲ)若 k>e2,则 F(-2)=-2ke 2+2=-2e 2·(k-e2)<0.从而当 x≥-2 时,f(x)≤kg(x)
- -

不可能恒成立. 综上,k 的取值范围是[1,e2]. [类题通法] 利用导数解决参数问题主要涉及以下方面 (1)已知不等式在某一区间上恒成立,求参数的取值范围:一般先分离参数,再转化为求 函数在给定区间上的最值问题求解. (2)已知函数的单调性求参数的取值范围:转化为 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立的问题. (3)已知函数的零点个数求参数的取值范围:利用函数的单调性、极值画出函数的大致图 像,数形结合求解. [针对训练]

77

1 设函数 f(x)= x2+ex-xex. 2 (1)求 f(x)的单调区间; (2)若当 x∈[-2,2]时,不等式 f(x)>m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 解:(1)函数 f(x)的定义域为(-∞,+∞), ∵f′(x)=x+ex-(ex+xex)=x(1-ex), 若 x=0,则 f′(x)=0; 若 x<0,则 1-ex>0,所以 f′(x)<0; 若 x>0,则 1-ex<0,所以 f′(x)<0. ∴f(x)在(-∞,+∞)上为减函数, 即 f(x)的单调减区间为(-∞,+∞). (2)由(1)知,f(x)在[-2,2]上单调递减. 故[f(x)]min=f(2)=2-e2, ∴m<2-e2 时,不等式 f(x)>m 恒成立. 故 m 的取值范围为(-∞,2-e2).

考点三

利用导数证明不等式问题

[典例] (2013· 河南省三市调研)已知函数 f(x)=ax-ex(a>0). 1 (1)若 a= ,求函数 f(x)的单调区间; 2 (2)当 1≤a≤1+e 时,求证:f(x)≤x. [解] 1 1 (1)当 a= 时,f(x)= x-ex. 2 2

1 f′(x)= -ex,令 f′(x)=0,得 x=-ln 2. 2 当 x<-ln 2 时,f′(x)>0; 当 x>-ln 2 时,f′(x)<0, ∴函数 f(x)的单调递增区间为(-∞,-ln 2),单调递减区间为(-ln 2,+∞). (2)证明:法一:令 F(x)=x-f(x)=ex-(a-1)x, (ⅰ)当 a=1 时,F(x)=ex>0, ∴f(x)≤x 成立. (ⅱ)当 1<a≤1+e 时,F′(x)=ex-(a-1)=ex-eln(a ∴当 x<ln(a-1)时,F′(x)<0; 当 x>ln(a-1)时,F′(x)>0,
-1)



78

∴F(x)在(-∞,ln (a-1))上单调递减,在(ln(a-1),+∞)上单调递增. ∴F(x)≥F(ln(a-1))=eln(a ∵1<a≤1+e, ∴a-1>0,1-ln(a-1)≥1-ln[(1+e)-1]=0, ∴F(x)≥0,即 f(x)≤x 成立. 综上,当 1≤a≤1+e 时,有 f(x)≤x. 法二:令 g(a)=x-f(x)=-xa+x+ex, 只要证明 g(a)≥0 在 1≤a≤1+e 时恒成立即可. g(1)=-x+x+ex=ex>0,① g(1+e)=-x· (1+e)+x+ex=ex-ex, 设 h(x)=ex-ex,则 h′(x)=ex-e, 当 x<1 时,h′(x)<0;当 x>1 时,h′(x)>0, ∴h(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴h(x)≥h(1)=e1-e· 1=0, 即 g(1+e)≥0.② 由①②知,g(a)≥0 在 1≤a≤1+e 时恒成立. ∴当 1≤a≤1+e 时,有 f(x)≤x. [类题通法] 利用导数方法证明不等式 f(x)>g(x)在区间 D 上恒成立的基本方法是构造函数 h(x)=f(x) -g(x),然后根据函数的单调性,或者函数的最值证明函数 h(x)>0,其中一个重要技巧就是 找到函数 h(x)在什么地方可以等于零,这往往就是解决问题的一个突破口. [针对训练] 1 1 (2014· 东北三校联考)已知函数 f(x)= x2- ax3(a>0), 函数 g(x)=f(x)+ex(x-1), 函数 g(x) 2 3 的导函数为 g′(x). (1)求函数 f(x)的极值; (2)若 a=e, (ⅰ)求函数 g(x)的单调区间; (ⅱ)求证:x>0 时,不等式 g′(x)≥1+ln x 恒成立. 1? 解:(1)f′(x)=x-ax2=-ax? ?x-a?, 1 ∴当 f′(x)=0 时,x=0 或 x= ,又 a>0, a 1? ∴当 x∈(-∞,0)时,f′(x)<0;当 x∈? ?0,a?时,
-1)

-(a-1)· ln(a-1)=(a-1)[1-ln(a-1)],

79

1 ? f′(x)>0;当 x∈? ?a,+∞?时,f′(x)<0, ∴f(x)的极小值为 f(0)=0, 1? 1 f(x)的极大值为 f? ?a?=6a2. 1 1 (2)∵a=e,∴g(x)= x2- ex3+ex(x-1), 2 3 g′(x)=x(ex-ex+1). (ⅰ)记 h(x)=ex-ex+1,则 h′(x)=ex-e, 当 x∈(-∞,1)时,h′(x)<0,h(x)是减函数; x∈(1,+∞)时,h′(x)>0,h(x)是增函数, ∴h(x)≥h(1)=1>0, 则在(0,+∞)上,g′(x)>0; 在(-∞,0)上,g′(x)<0, ∴函数 g(x)的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,0). 1+ln x (ⅱ)证明:x>0 时,g′(x)=x(ex-ex+1)≥1+ln x?ex-ex+1≥ , x 由(ⅰ)知,h(x)=ex-ex+1≥1, 1-x 记 φ(x)=1+ln x-x(x>0),则 φ′(x)= , x 在区间(0,1)上,φ′(x)>0,φ(x)是增函数; 在区间(1,+∞)上,φ′(x)<0,φ(x)是减函数, 1+ln x ∴φ(x)≤φ(1)=0,即 1+ln x-x≤0, ≤ 1, x 1+ln x ∴ex-ex+1≥1≥ ,即 g′(x)≥1+ln x 恒成立. x

第十二节

定积分与微积分基本定理

1.定积分的概念 在? ?af(x)dx 中,a,b 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,f(x)叫做 被积函数,x 叫做积分变量,f(x)dx 叫做被积式. 2.定积分的性质
80
b

(1)? ?akf(x)dx=k? ?af(x)dx(k 为常数); (2)? ?a[f1(x)± f2(x)]dx=? ?af1(x)dx±? ?af2(x)dx; (3)? ?af(x)dx=? ?af(x)dx+? ?c f(x)dx(其中 a<c<b). 3.微积分基本定理 一般地,如果 f(x)是在区间[a,b]上的连续函数,且 F′(x)=f(x),那么? ?af(x)dx=F(b)- F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式. 其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数.
b ? 为了方便,常把 F(b)-F(a)记作 F(x)|b a,即?af(x)dx=F(x) |a=F(b)-F(a). b b b c b b b b

b

b

1.若积分式子中有几个不同的参数,则必须先分清谁是被积变量. 2.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限. 3.定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面积非负,而定积分的结果可以为 负. [试一试] 1.(2013· 湖南高考)若? ?0 x2dx=9,则常数 T 的值为________.
T 1 解析:∵? ?0x2dx=3T3=9,T>0,∴T=3. T

答案:3 2.求曲线 y=x2 与 y=x 所围成图形的面积,其中正确的是( A.S= C.S= )

? ?

1 0 1 0

(x2-x)dx (y2-y)dy

B.S= D.S=

? ?

1 0 1 0

(x-x2)dx (y- y)dy

答案:B

求定积分的两种基本方法 (1)利用微积分基本定理求定积分,其步骤如下: ①求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x); ②计算 F(b)-F(a). (2)利用定积分的几何意义求定积分: 当曲边梯形面积易求时,可通过求曲边梯形的面积求定积分.
1 1 1 π 如:定积分? ?0 1-x2dx 的几何意义是求单位圆面积的4,所以? ?0 1-x2dx=4.

81

[练一练] 若

? ?

1 0

2 f(x)dx=1,∫0 f(x)dx=-1,则

?

2 1

f(x)dx=________.

解析:∵ ∴
2 1

?

2 0

f(x)dx=

?

1 0

f(x)dx+

?

2 1

f(x)dx,

f(x)dx=

?

2 0

f(x)dx-

?

1 0

f(x)dx=-1-1=-2.

答案:-2

考点一

定积分的计算

1.设函数 f(x)=ax2+b(a≠0),若 A.± 1 C.± 3 解析:选 C

?

3 0

f(x)dx=3f(x0),则 x0 等于( B. 2 D.2

)

?

3 0

f(x)dx=

?

3 0

1 3 ? (ax2+b)dx=? ?3ax +bx?

3 0

=9a+3b,

2 ∴9a+3b=3(ax 0 +b),

即 x2 0=3,x0=± 3,故选 C. 2.计算下列定积分:
2 (1)∫3 -1(3x -2x+1)dx;(2)

? ?

2 1

?x-1?dx; ? x?
|1-x|dx.

(3)∫π 0(sin x-cos x)dx;(4)
2 解:(1)∫3 -1(3x -2x+1)dx

2 0

=(x3-x2+x)|3 -1=24. (2)

?
π

2 1

?x-1?dx=?1x2-ln x? ? x? ?2 ?
π

2 1

3 = -ln 2. 2
π

(3)? ?0(sin x-cos x)dx=? ?0sin xdx-? ?0cos xdx= (-cos x)
2
? 0

-sin x
1

? 0

=2.
2

(4)? ?0|1-x|dx=? ?0(1-x)dx+? ?1(x-1)dx 1 2? =? ?x-2x ?
1 0

1 2 ? +? ?2x -x?

2 1

1? ?1 2 ? ?1 2 ? =? ?1-2?-0+?2×2 -2?-?2×1 -1?=1.
82

[类题通法] 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 (1)对被积函数要先化简,再求积分; (2)求被积函数为分段函数的定积分, 依据定积分“对区间的可加性”, 分段积分再求和; (3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值号再求积分; (4)注意用“F′(x)=f(x)”检验积分的对错.

考点二

定积分几何意义的应用

[典例] (1)(2012· 山东高考)由曲线 y= x,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为 ( ) 10 A. 3 B. 16 4C. 3 D.6

2 (2)∫1 0 -x +2xdx=________.

[解析] (1)由 y= x及 y=x-2 可得,x=4,即两曲线交于点(4,2).由定积分的几何意义 可知,由 y= x及 y=x-2 及 y 轴所围成的封闭图形面积为

?

4 0

?2 3 1 ? ( x-x+2)dx=? x 2 - x2+2x? 2 ?3 ?

4 0

16 = . 3

2 2 (2)∫1 0 -x +2xdx 表示 y= -x +2x与 x=0,x=1 及 y=0 所围成的图形的面积.

由 y= -x2+2x得(x-1)2+y2=1(y≥0), 又∵0≤x≤1, 1 π ∴y= -x2+2x与 x=0,x=1 及 y=0 所围成的图形为 个圆,其面积为 . 4 4 ∴

?

1 0

π -x2+2xdx= . 4

π [答案] (1)C (2) 4

若将(1)中“y=x-2”改为“y=-x+2”,将“y 轴”改为“x 轴”,如何求解?

解:如图所示,由 y= x及 y=-x+2 可得 x=1.由定积分的几何意义 可知,由 y= x,y=-x+2 及 x 轴所围成的封闭图形的面积为

?

2 0

f(x)dx=

?

1 0

xdx+

?

2 1

2 (-x+2)dx= x 2 3

3
1 0

x2 2x- ? +? 2? ?

2 1

83

7 = . 6 [类题通法] 利用定积分求平面图形面积的四个步骤 (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像; (2)借助图形确定出被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限; (3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和; (4)计算定积分,写出答案. 提醒:利用定积分求平面图形的面积,一定要找准积分上限、下限及被积函数,当图形 的边界不同时,要分情况讨论. [针对训练] 1 求曲线 y= x,y=2-x,y=- x 所围成图形的面积. 3

?y= x, 解:由? 得交点 A(1,1). ?y=2-x
y=2-x, ? ? 由? 得交点 B(3,-1). 1 ?y=-3x ? 故所求面积 S=

?

1 0

? x+1x?dx+ 3 ?2-x+1x?dx ?1 ? 3 ? 3 ? ?
1 0

?2 1 ? =? x 2 + x2? 6 ? ?3
3

1 2? +? ?2x-3x ?

3 1

2 1 4 13 = + + = . 3 6 3 6

考点三

定积分在物理中的应用

[典例]

(2013· 湖北高考)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速

25 度 v(t)=7-3t+ (t 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距 1+t 离(单位:m)是( A.1+25ln 5 C.4+25ln 5 ) 11 B.8+25ln 3 D.4+50ln 2

8 25 ? [解析] 由 v(t)=7-3t+ =0,可得 t=4? ?t=-3舍去?,因此汽车从刹车到停止一共 1+t
4 4 25 32 ? 行驶了 4 s,此期间行驶的距离为? ?0v(t)dt=? ?0?7-3t+1+t?dt=? ?7t-2t +25ln?1+t??

?

?

4 0

=4+

84

25ln 5. [答案] C [类题通法] 定积分在物理中的两个应用 (1)求变速直线运动的位移:如果变速直线运动物体的速度为 v=v(t),那么从时刻 t=a 到 t=b 所经过的路程 s=

?
b a

b a

v(t)dt.

(2)变力做功: 一物体在变力 F(x)的作用下, 沿着与 F(x)相同方向从 x=a 移动到 x=b 时, 力 F(x)所做的功是 W= [针对训练] 设变力 F(x)作用在质点 M 上,使 M 沿 x 轴正向从 x=1 运动到 x=10,已知 F(x)=x2+1 且方向和 x 轴正向相同,则变力 F(x)对质点 M 所做的功为______ J(x 的单位:m,力的单位: N). 解析:变力 F(x)=x2+1 使质点 M 沿 x 轴正向从 x=1 运动到 x=10 所做的功为 W=

?

F(x)dx.

?

10 1

F(x)dx=
10 1

?

10 1

(x2+1)dx

1 3 ? =? ?3x +x? 答案:342

=342(J).

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