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数学破题36计 第1计 芝麻开门 点到成功

时间:2015-11-07


数学破题 36 计

第 1 计 芝麻开门 点到成功

●计名释义 七品芝麻官,说的是这个官很小,就是芝麻那么小的一点. 《阿里巴巴》用"芝麻开 门" ,讲的是"以小见大". 就是那点芝麻,竟把那个庞然大门给"点"开了. 数学中,以点成线,以点带面,两线交点,三线共点,还有顶点,焦点,极限点等等, 这些足以说明"点"的重要性. 因此,以点破题,点到成功就成了自然之中,情理之中的 事了. ●典例示范 [例题] (2006 年鄂卷第 15 题)将杨辉三角中的每一 例题] 2006 个数 C n 都换成分数
r

1 ,就得到一个如下图所示的分 r (n + 1)C n

数三角形, 称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出

1 1 1 + = ,其中 x = r x r (n + 1)C n (n + 1)C n nC n 1
令 an =

.

1 1 1 1 1 1 + + + ++ + , 则 2 2 3 12 30 60 nC n 1 (n + 1)C n
.

n→∞

lim an =

[分析] 一看此题,图文并举,篇幅很大,还有省略号省去的有无穷之多,真乃是 分析] 个庞然大物. 从何处破门呢?我们仍然在"点"上打主意. 莱布三角形,它虽然没有底边,但有个顶点,我们就打这个顶点 的主意.
1 1

[ 解Ⅰ ]

将等式

1 1 1 + = 与右边的顶点三角形对 r x r (n + 1)C n (n + 1)C n nC n 1
1 = 1 2

应(图右) ,自然有

1
x (n + 1)Cn

r (n + 1)Cn

=

1 2

1
r nC n 1

=

1 1

对此,心算可以得到:n =1,r =0,x=1 对一般情况讲,就是 x = r+1 这就是本题第 1 空的答案.

1

插语] 只要结果, 不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析, [插语] 本题是填空题, 而是以点带面,点到成功. 要点明的是,这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三角 形中任一个数,都等于对应的"脚下"两数之和,所以选择任何一个"一头两脚"式的小 三角形,都能解出 x = r+1. 第 2 道填空,仍考虑以点带面,先抓无穷数列的首项 .
1 3

[解Ⅱ] 在三角形中先找到了数列首项
an =

1 ,并将和数列 3

1 1 1 1 + + + + 中的各项依次"以点连线" (图右实线) , 3 12 30 60
1 3 1 . 2

实线所串各数之和就是 an . 这个 an,就等于首项 左上角的那个 因为

1 在向下一分为二进行依次列项时,我们总是"取右舍左" ,而舍 2

去的各项(虚线所串)所成数列的极限是 0. 因此得到 lim an = 2 这就是本题第 2 空的答案. n→∞

1

[点评] 解题的关键是"以点破门" ,这里的点是一个具体的数 ,采用的方法是以 点串线——三角形中的实线,实线上端折线所对的那个数
1 就是问题的答案. 2 1 这个数开始,向左下 20

1 3

事实上,三角形中的任何一个数(点)都有这个性质. 例如从 连线(无穷射线) ,所连各数之和(的极限)就是 表示就是
1 1 1 1 + + +…= 20 60 140 12

1 1 这个数的左上角的那个数 . 用等式 20 12

[链接] 本题型为填空题,若改编成解答题,那就不是只有 4 分的小题,而是一个 链接] 10 分以上的大题. 有关解答附录如下. [法 1] 由 ] 步合项.

1 1 1 + = 知,可用合项的办法,将 a n 的和式逐 r r +1 r (n + 1)C n (n + 1)C n nC n 1

an =

1 1 1 1 1 + + ++ + 2 2 3 12 30 nC n 1 (n + 1)C n
2

=

1 1 1 1 1 1 1 + + ++ + + 2 2 2 2 2 1 1 3C 2 4C 3 5C 4 nC n 1 (n + 1)C n (n + 1)C n (n + 1)C n

=

1 1 1 1 1 1 + + ++ 2 2 2 nC 2 + nC 1 (n + 1)C 1 3C 2 4C 3 5C 4 n 1 n n 1


1 1 1 1 1 1 1 = 2 + 1 3C (n + 1)C 1 = 2C 1 (n + 1)C 1 = 2 (n + 1)n 2 3C 2 n 1 n

1 2

[ 法 2] 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和,即 ]

an =

1 1 1 1 1 + + ++ + 根据第一问所推出的结论只需在原 0 1 2 n 3 n 3C 2 4C 3 5C 4 nC n 1 (n + 1)C n 2 1 ,则由每一行中的任一数都等于其"脚下"两数的和,结 n (n + 1)C n 1 1 1 1 , 故 an = , 从 而 n 2 (n 1)C n 1 2

式基础上增加一项

合 给 出 的 数 表 可 逐 次 向 上 求 和 为

1 1 1 = lim an = lim n n →∞ n → ∞ 2 ( n + 1)C n 1 2

[法 3] (2)将 x = r + 1 代入条件式,并变形得 ] 取 r = 1, 令 n = 2,3,, n, 得
1 1 1 1 = = 1 3 ( 2 + 1)C 2 2C1 3C 1 2 2

1 1 1 = r +1 r r (n + 1)C n nC n 1 (n + 1)C n

1 1 1 1 = = 2 1 12 (3 + 1)C3 3C1 4C3 2

,

1 1 1 1 = = 1 2 1 30 (4 + 1)C 4 4C 3 5C 4 1 1 1 = 2 1 1 nC n 1 (n 1)C n 1 nC n 1







1 1 1 = 2 1 1 (n + 1)C n nC n 1 (n + 1)C n

3

以上诸式两边分别相加,得

an =

1 1 1 → 2 n( n + 1) 2

[说明] 以上三法,都是对解答题而言. 如果用在以上填空题中,则是杀鸡动用了牛 说明] 刀. 为此我们认识到"芝麻开门,点到成功"在使用对象上的真正意义. ●对应训练
x2 y2 + = 1 的长轴 AB 分成 8 份,过每 1.如图把椭圆 25 16

个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1,P2,…,P7 七 个 点 , F 是 椭 圆 的 一 个 焦 点 , 则 |P1F|+|P2F|+ … … +|P7F|=_______. 2.如图所示,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,P,Q 分别是 侧棱 AA1,CC1 上的点,且 A1P=CQ,则四棱锥 B1—A1PQC1 的体积与多面体 ABC—PB1Q 的体积比值为 . ●参考解答 1.找"点"——椭圆的另一个焦点 F2. 连接 P1F2 ,P2F2 ,…,P7F2,由椭圆的定义 FP5+P5 F2 = 2a =10 如此类推 FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = … =FP7 + P7F2 = 7×10 = 70 由椭圆的对称性可知,本题的答案是 70 的一半即 35. 2.找"点"——动点 P,Q 的极限点. 如图所示,令 A1P = CQ = 0. 即动点 P 与 A1 重合,动点 Q 与 C 重合. 则多面体蜕变为四棱锥 C—AA1B1B, 四棱锥蜕化为三棱锥 C—A1B1C1 . 显然 VC — A 1B 1C 1 =

1 V . 3 棱柱
1 2

∴ VC — A 1 B 1C 1 : VC — AA 1 B 1B = 于是奇兵天降——答案为
1 . 2

[点评] "点到成功"的点,都是非一般的特殊点,它能以点带面,揭示整体,制 点评] 约全局. 这些特殊点,在没被认识之前,往往是人们的盲点,只是在经过点示之后成为亮 点的. 这个"点"字,既是名词,又是动词,是"点亮"和"亮点"的合一.

4


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