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3.1空间向量及其运算

时间:2013-03-04

3.1 空间向量及其运算(一)

⒈向量的加法:

⒉向量的减法: ⒊实数与向量的积:

实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λa,其长度和方向规定如下: (1)|λa|=|λ||a| (2)当 λ>0 时,λa 与 a 同向; 当 λ<0 时,λa 与 a 反向; 当 λ=0 时,λa=0.

OB ? OA ? AB =a+b,
, AB ? OB ? OA (指向被减向量)

OP ? λa (? ? R)
⑴加法交换律:a + b = b + a; ⑵加法结合律:(a + b) + c =a + (b + c); (课件验证) ⑶数乘分配律:λ(a + b) =λa +λb.
⑴首尾相接的若干向量之和, 等于由起始向量的起点指向末尾向量的终 点的向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An
因此,求空间若干向量之和时,可通过平移使它们转化为首尾相接的向量. ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为零向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? An A1 ? 0 .
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立. 因此,求始点相同的两个向量之和时,可以考虑用平行四边形法则.

例1已知平行六面体 ABCD ? A' B' C ' D' (如图) ,化简下列向量表 达式,并标出化简结果的向量:

⑴AB ? BC;

⑶ ⑵AB ? AD ? AA'; AB ? AD ?

1 CC ' 2

1

1 ⑷ ( AB ? AD ? AA' ). 3

空间向量及其运算(2)
1.共线(平行)向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, 则这些向量叫做共线向量或 平行向量。读作: a 平行于 b ,记作: a // b . 2.共线向量定理: 对空间任意两个向量 a, b (b ? 0), a // b 的充要条件是存在实数 ? , a ? ?b ? 唯一) 使 ( . 推论:如果 l 为经过已知点 A ,且平行于已知向量 a 的直线,那么对任一点 O ,点 P 在直线

?

?

?

?

? ? ?

? ? ?

?

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?

??? ??? ??? ? ? ? ? l 上的充要条件是存在实数 t ,满足等式 OP ? OA ? t AB ①,其中向量 a 叫做直线 l 的方向
向量。在 l 上取 AB ? a ,则① 式可化为 OP ? OA ? t AB 或 OP ? (1 ? t )OA ? tOB ②

??? ?

?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? 1 ??? ??? ? ? ? 1 时,点 P 是线段 AB 的中点,此时 OP ? (OA ? OB) ③ 2 2 AB 的中点公式. ①和②都叫空间直线的向量参数方程,③是线段
当t ? 3.向量与平面平行:

l P B

a

A

??? ? ? ? 已知平面 ? 和向量 a ,作 OA ? a ,如果直线 OA 平行于 ? 或在 ? 内,那么我们说向 ? ? ? a 量 a 平行于平面 ? ,记作: a // ? .
通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 说明:空间任意的两向量都是共面的. 4.共面向量定理:

O

? a

?

如 果 两 个 向 量 a, b 不 共 线 , p 与 向 量 a, b 共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 x , y 使

? ?

?

? ?

? ? ? p ? xa ? yb .
推论:空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x, y ,使

???? ???? ???? ??? ???? ? ? ???? ???? 或对空间任一点 O ,有 OP ? OM ? xMA ? yMB ① MP ? xMA? yMB
上面①式叫做平面 MAB 的向量表达式. 练习 1 对空间任一点 O 和不共线的三点 A, B, C ,问满足向量式 OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中 x ? y ? z ? 1 )的四点 P, A, B, C 是否共面? 解:∵ OP ? (1 ? z ? y)OA ? yOB ? zOC , ∴ OP ? OA ? y(OB ? OA) ? z(OC ? OA) ,
2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ? ??? ? ??? ? ∴ AP ? y AB ? z AC ,∴点 P 与点 A, B, C 共面.
例 2.已知

O
D

??? ? ??? ??? ? ? ??? ???? ???? ???? ???? ? ? OE ? kOA, OF ? KOB, OG ? kOC, OH ? kOD ,
(1)求证:四点 E , F , G, H 共面; (2)平面 AC // 平面 EG . 解: (1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AC ? AB ? AD , ∵ EG ? OG ? OE ,

? ABCD ,从平面 AC 外一点 O 引向量

C
B

A

H
E

G
F

??? ?

??? ???? ?

??? ?

???? ??? ?

???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ???? ? ? k ? OC ? k ? OA ? k (OC ? OA) ? k AC ? k ( AB ? AD) ??? ??? ???? ??? ? ? ? ??? ??? ???? ??? ? ? ? ? ? k (OB ? OA ? OD ? OA) ? OF ? OE ? OH ? OE ??? ???? ? ? EF ? EH
∴ E , F , G, H 共面; (2)∵ EF ? OF ? OE ? k (OB ? OA) ? k ? AB ,又∵ EG ? k ? AC , ∴ EF // AB, EG // AC 所以,平面 AC // 平面 EG . 七、作业: 1.已知两个非零向量 e1 , e2 不共线,如果 AB ? e1 ? e2 , AC ? 2e1 ? 8e2 , AD ? 3e1 ? 3e2 , 求证: A, B, C , D 共面. 2.已知 a ? 3m ? 2n ? 4 p, b ? ( x ? 1)m ? 8n ? 2 yp , a ? 0 ,若 a // b ,求实数 x, y 的值。 3.如图, E , F , G, H 分别为正方体 AC1 的棱 A1B1 , A1D1 , B1C1 , D1C1 的中点, 求证: (1) E , F , D, B 四点共面; (2)平面 AEF // 平面 BDHG . 4.已知 E , F , G, H 分别是空间四边形 ABCD 边 AB, BC, CD, DA 的中点, (1)用向量法证明: E , F , G, H 四点共面;

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

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A
(2)用向量法证明: BD // 平面 EFGH .
F A1 E B1 D1 H G C1

E

H
D G

B
D A B C

F

C

3

3.1.3.空间向量的数量积(1)
1.空间向量的夹角及其表示:

??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 与 b 的夹角,记作 ? a, b ? ;且规定 0 ?? a, b ?? ? ,显然有 ? a, b ??? b , a ? ; ? ? ? ? ? ? ? 若 ? a , b ?? ,则称 a 与 b 互相垂直,记作: a ? b ; 2
2.向量的模: 设 OA ? a ,则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作: | a | ; 3.向量的数量积:

已知两非零向量 a, b ,在空间任取一点 O ,作 OA ?a OB ? ,则 ?AOB 叫做向量 a , b

?

??? ?

?

??? ?

?

?

已知向量 a, b ,则 | a | ? | b | ? cos ? a ,b ? 叫做 a, b 的数量积,记作 a ? b , 即 a ? b ? | a | ? | b | ? cos ? a, b ? .

? ?
?

?

?

? ?

? ?

? ?

? ?

?

? ?

??? ? ? ? e 已知向量 AB ? a 和轴 l , 是 l 上与 l 同方向的单位向量, 作点 A 在 l 上 ???? ? ??? ? ? 的射影 A? , 作点 B 在 l 上的射影 B? , A?B? 叫做向量 AB 在轴 l 上或在 e 上 则 ???? ? ???? ??? ? ? ? ? ? ? 的正射影;可以证明 A?B? 的长度 | A?B? |?| AB | cos ? a, e ??| a ? e | .
4.空间向量数量积的性质: ? ? ? ? ? (1) a ? e ?| a | cos ? a, e ? .

? e

B

A

A? B? C

? ? ? ? ? ? ? (3) | a |2 ? a ? a .

(2) a ? b ? a ? b ? 0 .

5.空间向量数量积运算律:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2) a ? b ? b ? a (交换律) . ? ? ? ? ? ? ? (3) a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律) .
(1) (?a) ? b ? ?(a ? b ) ? a ? (?b ) . 1.已知向量 a ? b ,向量 c 与 a, b 的夹角都是 60 ,且 | a |? 1,| b |? 2,| c |? 3 ,
?

?

?

?

? ?

?

?

?

试求: (1) (a ? b)2 ; (2) (a ? 2b ? c)2 ; (3) (3a ? 2b) ? (b ? 3c) .

? ?

?

? ?

?

?

?

?

向量的数量积(2)
(一) 、知识要点:

? ? ? ? 1)定义:① 设< a, b >= ? ,则 a ? ? b ? ? ? ? b ②设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) 则 a ? ?
? ? ?? ? ? 注:① a ?b 不能写成 ab ,或 a ? b

( ? 的范围为 。



? ? ② a ?b 的结果为一个数值。


? ? 2)投影: b 在 a 方向上的投影为
3)向量数量积运算律: ?? ?? ? ? ?? ? ? b a ① a? ? b? ② (? a)? ? ?(a? ) ? a? ?b) b b (

? ? ? ?? ?? ③ (a ? b)? ? a? ? b? c c c
4

?? ? ? ?? 注:①没有结合律 (a? )? ? a? b? ) b c ( c
二)例题讲练 ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? 1、 下列命题: ①若 a? ? 0 , a , 中至少一个为 0 ②若 a ? 0 且 a? ? a? , b ? c 则 b b c 则 b

? ? ? ? ?2 ?2 ?? ? ? ?? ③ (a? )? ? a? b? ) ④ (3a ? 2b)? a ? 2b) ? 9 a ? 4 b (3 b c ( c
中正确有个数为 ( ) A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 2 、 已 知 ?ABC 中 , A , B , C 所 对 的 边 为 a,b,c , 且 a=3,b=1,C=30 ° , 则 ??? ??? ? ? 。 BC? = CA

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 3 、 若 a , b , c 满 足 a ? b ? c ? 0 , 且 a ? 3 , b ? 1 c ? , 4则
?? ?? ?? a? b ? b c = a c ? ? ?


? ? ? ? ? ? ? ? 4、已知 a ? b ?2 ,且 a 与 b 的夹角为 , 则 a?b 在 a 上 的 投 影 3 为 。 考点二:向量数量积性质应用 一) 、知识要点: ? ? ?? ① a ? b ? a? ? 0 (用于判定垂直问题) b

? ?2 ② a ? a (用于求模运算问题) ? ? a ?b ③ cos ? ? ? ? (用于求角运算问题) a b
二)例题讲练 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1、已知 a ? 2 , b ? 3 ,且 a 与 b 的夹角为 , c ? 3a ? 2b , d ? ma ? b ,求 2 ? ? ? 当 m 为何值时 c ? d
? ? ? ? ? ? 2、已知 a ? 1 , b ? 1 , 3a ? 2b ? 3 ,则 3a ? b ?



? ? ? ? ? ? ? ? ? 3、已知 a 和 b 是非零向量,且 a = b = a ? b ,求 a 与 a ? b 的夹角 ? ? ? ? ? ? ? ? 4、已知 a ? 4 , b ? 2 ,且 a 和 b 不共线,求使 a ? ? b 与 a ? ? b 的夹角是锐角
时 ? 的取值范围 巩固练习 ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? 1、已知 e1 和 e2 是两个单位向量,夹角为 ,则( e1 ? e2 ) ? ?3e1 ? 2e2 ) 等于( ( 3



5

A.-8

B.

?? ?? ? ?? ? ? ? ? 2、已知 e1 和 e2 是两个单位向量,夹角为 ,则下面向量中与 2e2 ? e1 垂直的是 3 ( ) ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? A. e1 ? e2 B. e1 ? e2 C. e1 D. e2
3、在 ?ABC 中,设 AB ? a , BC ? b , CA ? c ,若 a (a ? b) ? 0 ,则 ?ABC (
( A) 直角三角形 (B ) 锐角三角形 (C ) 钝角三角形 (D) 无法判定

9 2

C. ?

5 2

D.8



? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4、已知 a 和 b 是非零向量,且 a ? 3b 与 7a ? 5b 垂直, a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直,求 a ? 与 b 的夹角。
??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? 5、已知 OA 、 OB 、 OC 是非零的单位向量,且 OA + OB + OC = 0 ,求证:
?ABC

为正三角形。

3.1.5 空间向量运算的坐标表示
一、向量在轴上的投影 1.几个概念 (1) 轴 上有 向线 段的值 :设 有一 轴 u , AB 是 轴 u 上 的 有向 线段 ,如 果数 ? 满 足

? ? AB ,且当 AB 与轴 u 同向时 ? 是正的,当 AB 与轴 u 反向时 ? 是负的,那么数 ? 叫
做轴 u 上有向线段 AB 的值,记做 AB,即 ? ? AB 。设 e 是与 u 轴同方向的单位向量,则

AB ? ?e
(2) 设 A、B、C 是 u 轴上任意三点,不论三点的相互位置如何,总有 AC ? AB ? BC (3) 两向量夹角的概念:设有两个非零向量 a 和 b,任取空间一点 O,作 OA ? a ,

OB ? b ,规定不超过 ? 的 ?AOB 称为向量 a 和 b 的夹角,记为 (a,b)
(4) 空间一点 A 在轴 u 上的投影: 通过点 A 作轴 u 的垂直平面, 该平面与轴 u 的交点 A 叫做点 A 在轴 u 上的投影。 (5) 向量 AB 在轴 u 上的投影:设已知向量 AB 的起点 A 和终点 B 在轴 u 上的投影分别 为点 A 和 B ,那么轴 u 上的有向线段的值 A B 叫做向量 AB 在轴 u 上的投影,记做
' ' ' ' '

?

6

Pr ju AB 。
2.投影定理 性质 1:向量在轴 u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角 ? 的余弦:

Pr ju AB ? AB cos?
性质 2:两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和,即

Pr ju (a1 ? a 2 ) ? Pr ja1 ? Pr ja 2
性质 3:向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即

Pr ju (?a) ? ? Pr ja
二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 1.向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 通过坐标法,使平面上或空间的点与有序数组之间建立了一一对应 关系,同样地,为了沟通数与向量的研究,需要建立向量与 有序数之间的对应关系。 设 a = M 1 M 2 是以 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 为起点、 M 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) 为 终点的向量,i、j、k 分别表示 图 7-5 沿 x,y,z 轴正向的单位向量,并称它们为这一坐标系的基本单位向量,由图 7-5,并应用 向量的加法规则知:

M1M 2 ? ( x2 ? x1 ) i + ( y2 ? y1 ) j+ ( z 2 ? z1 ) k
或 a = ax i + ayj + azk

上式称为向量 a 按基本单位向量的分解式。 有序数组 ax、ay、az 与向量 a 一一对应,向量 a 在三条坐标轴上的投影 ax、ay、az 就 叫做向量 a 的坐标,并记为 a = {ax,ay,az}。 上式叫做向量 a 的坐标表示式。 于是,起点为 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 终点为 M 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) 的向量可以表示为

M1M 2 ? {x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1}
特别地,点 M ( x, y, z ) 对于原点 O 的向径

7

OM ? {x, y, z}
注意:向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。 向量 a 在坐标轴上的投影是三个数 ax、ay、az, 向量 a 在坐标轴上的分向量是三个向量 ax i 、 ayj 、 azk. 2.向量运算的坐标表示 设 a ? {a x , a y , a z } , b ? {bx , by , bz } 即 a ? a x i ? a y j ? a z k , b ? bx i ? by j ? bz k 则 (1) 加法: ◆ 减法: ◆ 乘数: ◆ 或

a ? b ? (ax ? bx )i ? (a y ? by ) j ? (az ? bz )k

a ? b ? (ax ? bx )i ? (a y ? by ) j ? (az ? bz )k

?a ? (?ax )i ? (?a y ) j ? (?az )k
a ? b ? {ax ? bx , a y ? by , az ? bz } a ? b ? {ax ? bx , a y ? by , az ? bz }

?a ? {?ax , ?a y , ?az }
◆ 平行:若 a≠0 时,向量 b // a 相当于 b ? ?a ,即

{bx , by , bz } ? ?{ax , a y , az }
也相当于向量的对应坐标成比例即

bx b y bz ? ? ax a y az
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 设 a ? {a x , a y , a z } ,可以用它与三个坐标轴的夹角 ?、?、? (均大于等于 0,小于等于 ? )来表示它的方向,称 ?、?、? 为非

cos cos 零向量 a 的方向角, 见图 7-6, 其余弦表示形式 cos?、 ?、 ?
称为方向余弦。 1. 模
2 2 a ? a x ? a y ? a z2

图 7-6

2. 方向余弦

8

? a ? M M cos? ? a cos? 1 2 ? x ? 2 2 2 由性质 1 知 ?a y ? M 1 M 2 cos ? ? a cos ? ,当 a ? a x ? a y ? a z ? 0 时,有 ? ? a z ? M 1 M 2 cos? ? a cos? ?

? a ax ? cos? ? x ? 2 2 a ? a x ? a y ? a z2 ? ay ay ? ? ?cos ? ? 2 2 a a x ? a y ? a z2 ? ? a az ? cos? ? z ? 2 2 a ? a x ? a y ? a z2 ?
◆ 任意向量的方向余弦有性质: cos2 ? ? cos2 ◆ 与非零向量 a 同方向的单位向量为:

? ? cos2 ? ? 1

a0 ?

a a

?

1 a

{a x , a y , a z } ? {cos? , cos ? , cos? }

3. 例子:已知两点 M1(2,2, 2 )、M2(1,3,0),计算向量 M 1 M 2 的模、方向余弦、方向角以 及与 M 1 M 2 同向的单位向量。 解: M 1 M 2 ={1-2,3-2,0- 2 }={-1,1,- 2 }

M 1 M 2 ? (?1) 2 ? 12 ? (? 2 ) 2 ? 2
1 1 2 cos ? ? ? , cos ? ? , cos? ? ? 2 2 2

??
0

2? ? 3? , ? ? ,? ? 3 3 4
0

设 a 为与 M 1 M 2 同向的单位向量,由于 a ? {cos? , cos ? , cos? } 即得

1 1 2 a 0 ? {? , ,? } 2 2 2

9


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