nbhkdz.com冰点文库

福建省2013届新课标高考文科数学一轮总复习课件:第51讲 空间距离及计算、展开与折叠问题_图文

时间:2012-11-21

1.了解点到平面的距离,会求点到平面的距离.

2.会将棱柱、棱锥展开成平面图形,并能处理棱 柱、棱锥表面上两点之间的最短距离等有关问题.
3.掌握平面图形折叠的特点,弄清平面图形与折 叠后空间图形元素间发生变化的对应关系,会处理 有关折叠问题.

一、空间距离 1.两点间的距离:连接两点的①__________ 的长度. 2.点到直线的距离:从直线外一点向直线引 垂线,②__________________的长度. 3.点到平面的距离:自点向平面引垂线,③ ____________的长度.

4.求距离的基本步骤是: (ⅰ)找出或作出有关距离的图形; (ⅱ)证明它符合定义; (ⅲ)在平面图形内计算.

二、折叠问题 1.概念:将平面图形沿某直线翻折成立体图 形,再对折叠后的立体图形的线面位置关系和某 几何量进行论证和计算,就是折叠问题. 2.折叠问题分析求解原则: (1)折叠问题的探究须充分利用不变量和不变 关系; (2)折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和 位置关系④______________.

三、展开问题 将空间图形按一定要求展开就成为 平面问题, 当涉及几何体表面上两点间的 距离问题时, 通常需要将空间图形展开转 化为平面问题进行研究.

【要点指南】①线段;②点到垂足之 间线段;③点到垂足间线段;④保持不变

1.关于折叠问题,下列说法正确的是( A ) ①翻折前后同在一个平面内的几何元素的位置关系不变; ②翻折前后同在一个平面内的几何图形的度量结果不变; ③翻折前后不同在一个平面内的几何元素的位置关系可 能变化; ④翻折前后不同在一个平面内的几何元素的位置关系肯 定变化. A.①②③ C.①②③④ B.①②④ D.②③④

2.正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱长为 a,从顶点 A 经过 正方体表面到顶点 C1 的最短距离是( A.2 2a C.( 2+1)a B. 5a D. 3a )

【解析】 利用立体几何的侧面展开图,将空间问 题转化为平面问题:以为 BB1 为轴,将平面 ABA1B1 折 到与 BCB1C1 共面的 A′BA′1B1 位置. 如图 A′C1 的长 即为所求最短距离,计算得 A′C1= 5a. 所以选 B.

3.在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 AB=2,AA1=1, 则点 A 到平面 A1BC 的距离为( 3 A. 4 3 3 C. 4 3 B. 2 D. 3 )

【解析】 取 BC 的中点 M,连接 AM、A1M, 可证平面 A1AM⊥平面 A1BC. 作 AH⊥A1M,垂足为 H,则 AH⊥平面 A1BC. 在 Rt△A1AM 中,AA1=1,AM= 3,A1M=2, 3 故 AH= 2 .

4.如图所示,在正三角形 ABC 中,D、E、F 分别为 各边的中点,G、H、I、J 分别为 AF、AD、BE、DE 的中点, 将△ABC 沿 DE、EF、DF 折成三棱锥以后,GH 与 IJ 所成 角的度数为 60° .

5.设 M、N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点, DE⊥AB 于 E(如图).现将△ADE 沿 DE 折起,使 二面角 A-DE-B 为 45° 此时点 A 在平面 BCDE , 内的射影恰为点 B,则 M、N 的连线与 AE 所成角 的大小等于 90° .

【解析】折叠后图形如图所示: 易知∠AEB=45° ,∠ABE=90° ,所以 AB=BE. 取 AE 的中点 Q,连接 MQ、BQ, 1 因为 MQ∥DE,MQ=2DE,

DE∥BC,DE=BC,N 是 BC 的中点 所以 MQ=BN,MQ∥BN,所以 BQ∥MN. 因为 BQ⊥AE, 所以 MN⊥AE,即 M、N 连线与 AE 成 90° 角.



点到平面的距离

【例 1】 如图, AEC 是半径为 a 的半圆, 为直径, 弧 AC 点 E 为弧 AC 的中点,点 B 和点 C 为线段 AD 的三等分点, 平面 AEC 外一点 F 满足 FC⊥平面 BED,FB= 5a.

(1)证明:EB⊥FD; (2)求点 B 到平面 FED 的距离.

【解析】(1)证明:因为点 E 为弧 AC 的中点 π 所以∠ABE=2,即 BE⊥AC. 又因为 FC⊥平面 BED,BE?平面 BED,所以 FC⊥BE, 又因为 FC、AC?平面 FBD,FC∩AC=C, 所以 BE⊥平面 FBD, 因为 FD?平面 FBD,所以 EB⊥FD.

(2)FC= BF2-BC2= 5a2-a2=2a, 1 1 S△EBD=2BE· BD=2a· 2a=a2, 在 Rt△FBE 中,FE= BE2+BF2= 6a, 取 EF 的中点 H,连接 DH, 由于 FD=ED= 5a,

1 1 所以 S△FDE=2FE· DH=2× 6a× 21 2 = 2 a, 由等体积法可知: 1 1 FC=3S△FDE· h, 3S△EBD· 21 2 4 21 即a· 2a= 2 a · h?h= 21 a.
2

6a 2 5a -? 2 ?
2

4 21 即点 B 到平面 FED 的距离为 21 a.

素材1

π 如图,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=2,

1 AB=BC=3AD=a,PA⊥平面 ABCD,且 PA=a,点 F 在 AD 上,且 CF⊥PC. (1)求点 A 到平面 PCF 的距离; (2)求 AD 与平面 PBC 间的距离.

【分析】 (1)通过论证平面 PAC⊥平面 PCF,找到 点 A 在平面 PCF 上的射影 H 位于 PC 上, 然后解三角形 求 AH 的长. (2)由于 AD∥平面 PBC, 可考虑依据问题情境在 AD 上选择具备特殊位置的点 A,然后推理过 A 点的平面 PAD⊥平面 PBC,找到过点 A 的垂线.

【解析】 (1)连接 AC.因为 PA⊥平面 ABCD,所以 PA⊥CF. 又 CF⊥PC,PA∩PC=P,所以 CF⊥平面 PAC,所 以平面 PFC⊥平面 PAC. 过点 A 作 AH⊥PC 于 H,所以 AH⊥平面 PCF, 即 AH 为点 A 到平面 PCF 的距离. 由已知 AB=BC=a,所以 AC= 2a,PC= 3a. 6 在 Rt△PAC 中,得 AH= 3 a.

(2)因为 BC∥AD,BC?平面 PBC,AD?平面 PBC, 所以 AD∥平面 PBC.过 A 作 AE⊥PB 于 E, π 因为 PA⊥BC,∠ABC=2,即 AB⊥BC, 又 PA∩AB=A,所以 BC⊥平面 PAB. 所以 AE⊥BC,又 PB∩BC=B,所以 AE⊥平面 PBC, 所以 AE 的长度即为所求的距离. 2 在等腰直角三角形 PAB 中,PA=AB=a,所以 AE= 2 a.



图形的展开问题

【例 2】如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB= BC= 2,BB1=2,∠ABC=90° ,E、F 分别为 AA1、C1B1 的中点, 沿棱柱的表面从 E 到 F 两点的最短路径的长度 为__________.

【分析】 分类讨论, ①若把面 ABB1A1 和面 B1C1CB 展开在同一个平面内, 构造直角三角形,由勾股定理得 EF 的长度. ②若把面 ABB1A1 和面 A1B1C1 展开在同一个平面内, 构造直角三角形,由勾股定理得 EF 的长度.

③若把面 ACC1A1 和面 A1B1C1 展开在同一个面内, 构造直角三角形,由勾股定理得 EF 的长度. 以上求出的 EF 的长度的最小值即为所求.

【解析】直三棱柱底面为等腰直角三角形, ①若把面 ABB1A1 和面 B1C1CB 展开在同一个平 面内, 线段 EF 就在直角三角形 A1EF 中, 由勾股定理 得 EF= A1E +A1F =
2 2

3 22 22 1+? 2 ? = 2 .

②若把面 ABB1A1 和面 A1B1C1 展开在同一个平面内, 设 BB1 的中点为 G, 则线段 EF 就在直角三角形 EFG 中, 由勾股定理得 EF= EG +GF =
2 2

14+4 2 22 2+?1+ 2 ? = . 2

③若把面 ACC1A1 和面 A1B1C1 展开在同一个面内, 过 F 作与 CC1 平行的直线,过 E 作与 AC 平行的直线, 所作的两线交于点 H,则 EF 就在直角三角形 EFH 中, 由勾股定理得 EF= EH +FH =
2 2

3 1 3 2 2 2 ?4×2? +?2+1? = 2 ,

3 2 综上,从 E 到 F 两点的最短路径的长度为 2 .

【点评】图形的展开问题通常情况下是将空间问题转 化到平面问题来处理,本题中没有确说明是怎样展开的, 故需要分类讨论.

素材2

如图所示,在单位正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面对 )

角线 A1B 上存在一点 P,使得 AP+D1P 最短,则 AP+ D1P 的最小值为( A.2 2+ 6 B. 2 C.2+ 2 D. 2+ 2

【解析】 如图, 将△A1AB 所在平面翻折到平面 A1A′B, 使得平面 A1A′B 与平面 A1BCD1 重合.在△A′PD1 中, 因为 PA+PD1=PA′+PD1 ≥A′D1, 所以 A′D1 为 AP+D1P 的最小值.

而 A′D2=A1D2+A1A′2-2· 1D1· 1A′· A A cos∠ 1 1 A′A1D1, 故 A′D 2 =12 +12 -2×1×1×cos135° =2+ 1 2. 所以 A′D1= 2+ 2.

三 图形的折叠问题
【例 3】 (2011· 陕西卷)如图,在△ABC 中,∠ABC =45° ,∠BAC=90° ,AD 是 BC 上的高,沿 AD 把△ABD 折起,使∠BDC=90° .

(1)证明:平面 ADB⊥平面 BDC; (2)设 BD=1,求三棱锥 D-ABC 的表面积.

【分析】 (1)确定图形在折起前后的不变性质,如角 的大小不变,线段长度不变,线线关系不变,再由面面垂 直的判定定理进行推理证明;(2)充分利用垂直所得的直 角三角形,根据直角三角形的面积公式计算.

【解析】 (1)因为折起前 AD 是 BC 边上的高, 所以当△ABD 折起后,AD⊥DC,AD⊥DB, 又 DB∩DC=D, 所以 AD⊥平面 BDC,又因为 AD?平面 ADB. 所以平面 ABD⊥平面 BDC.

(2)由(1)知,DA⊥DB,DB⊥DC,DC⊥DA, 因为 DB=DA=DC=1,所以 AB=BC=CA= 2, 1 1 S△DAB=S△DBC=S△DCA=2×1×1=2,

1 3 S△ABC=2× 2× 2×sin60° 2 . = 1 3 3+ 3 所以三棱锥 D—ABC 的表面积是 S=2×3+ 2 = 2 .

【点评】处理图形的折叠问题的关键是要抓住平面图 形在折叠的过程中“变”与“不变”的关系.

素材3

如图,四边形 ABCD 为矩形,AB=3,BC=1,EF ∥BC,且 AE=2EB,G 为 BC 的中点,K 为△ADF 的外 心, EF 将矩形折成一个 120° 沿 的二面角 A-EF-B, 求 此时 KG 的长.

【解析】K 为 Rt△ADF 的外心,所以 K 为 AF 的 中点,取 EF 的中点为 H,连接 KH、HG、KG,则 KH ⊥EF,HG⊥EF,

所以∠KHG 为二面角 A-EF-B 的平面角, 即∠KHG 1 =120° KH=2AE=1,HG=1, .又 所以 KG= 1+1-2×1×1×cos120° 3, = 所以 KG 的长为 3.

备选例题

如图所示,等腰△ABC 的底边 AB=6 6,高 CD=3, 点 E 是线段 BD 上异于点 B,D 的动点,点 F 在 BC 边上, 且 EF⊥AB,现沿 EF 将△BEF 折起到△PEF 的位置,使 PE⊥AE,记 BE=x,V(x)表示四棱锥 P-ACFE 的体积.

(1)求 V(x)的表达式; (2)当 x 为何值时,V(x)取得最大值? (3)当 V(x)取得最大值时,求异面直线 AC 与 PF 所成 角的余弦值.

【解析】 (1)因为 EF⊥AB,所以 EF⊥PE. 又因为 PE⊥AE,EF∩AE=E, 所以 PE⊥平面 ACFE. 因为 EF⊥AB,CD⊥AB,且 CD,EF 共面,所以 EF∥CD, EF x CD x 所以CD=BD?EF= BD x= . 6

所以四边形 ACFE 的面积 S 四边形 ACFE=S△ABC-S△BEF 1 1 1 2 =2×6 6×3-2× x 6 =9 6- x 2. 2 6 1

所以四棱锥 P-ACFE 的体积 1 1 3 VP-ACFE=3S 四边形 ACFE· PE=3 6x- x. 6 6 即 V(x)=3 6x- x3(0<x<3 6). 6 6 1

(2)由(1)知 V′(x)=3 6- 令 V′(x)=0?x=6.

x2 . 2 6

1

因为当 0<x<6 时,V′(x)>0, 当 6<x<3 6时,V′(x)<0. 所以当 BE=x=6 时,V(x)有最大值, 最大值为 V(6)=12 6.

(3)过点 F 作 FG∥AC,交 AE 于点 G,连接 PG, 则∠PFG 为异面直线 AC 与 PF 所成的角, 因为△ABC 是等腰三角形, 所以△GBF 也是等腰三角形. 于是 FG=BF=PF= BE2+EF2= 42,

从而 PG= PE2+GE2= BE2+BE2=6 2. 在△GPF 中,根据余弦定理得 PF2+FG2-PG2 1 cos∠PFG= =7. 2PF· FG 1 故异面直线 AC 与 PF 所成角的余弦值为7.

1. 对于空间中的距离, 我们主要研究点到平面的距离、 直线和平面的距离及两个平行平面之间的距离,其重点是 点到直线、点到平面的距离.点到平面的距离要注意其作 法,一般要利用面面垂直的性质来做.求点到平面的距离 也可以用等体积法. 2.求距离传统的方法和步骤是“一作、二证、三计 算”,即先作出表示距离的线段,再证明它是所求的距离, 然后再计算.其中第二步证明易被忽略,应当引起重视.

3.在求距离时,要注意各种距离的转化;在选择求距 离的方法时,也要灵活.一般来说,空间关系在不太复杂 的情况下使用传统方法,而在距离不好作、空间关系较复 杂的条件下可用等积法. 4.将平面图形折叠,使形成立体图形,通过对折叠问 题的研究进一步树立空间概念,提高空间想象能力.

5. 平面图形折叠成空间图形, 主要抓住变与不变的量, 所谓不变的量, 即是指“未折坏”的元素, 包括“未折坏” 的边和角,一般优先标出未折坏的直角(从而观察是否存在 线面垂直),然后标出其他特殊角,以及所有不变的线段.