nbhkdz.com冰点文库

2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件:第59讲(文)导数的应用

时间:2011-12-19


? 第五十九讲 导数的应用

回归课本 1.函数的单调性 (1)(函数单调性的充分条件)设函数 y=f(x)在某个区间内可导, 如果 f′(x)>0, f(x)为增函数; 则 如果 f′(x)<0, f(x)为减函数. 则 (2)(函数单调性的必要条件)设函数 y=f(x)在某个区间内可导, 如 果 f(x) 在 该 区 间 上 单 调 递 增 ( 或 递 减 ) , 则 在 该 区 间 内 f′(x)>0(f′(x)<0).

? 注意:当f′(x)在某个区间内个别点处为零,在其 余点处均为正(或负)时,f(x)在这个区间上仍旧 是单调递增(或递减)的,例如:在(-∞,+∞)上, f(x)=x3,当x=0时,f′(x)=0,当x≠0时,f′(x) >0,而f(x)=x3,显然在(-∞,+∞)上是单调 递增函数. ? 2.函数极值的定义 ? 设函数f(x)在点x0及其附近有定义,如果对x0附 近的所有点,都有f(x)<f(x0),我们说f(x0)是函 数f(x)的一个极大值,记作y极大值=f(x0);如果对 x0 附近的所有点,都有f(x)>f(x0),就说f(x0)是 f(x)的一个极小值,记作y极小值=f(x0).极大值与

? 3.判别f(x0)是极值的方法 ? 一般地,当函数f(x)在点x0处连续时 ? (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0, 那么f(x0)是极大值. ? (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0, 那么f(x0)是极小值. ? 4.函数的最大值与最小值 ? 在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必 有最大值与最小值,但在开区间(a,b)内连续 的函数f(x)不一定有最大值与最小值,例如f(x) =x,x∈(-1,1).

考点陪练 1? 2 3 ? ?a+ ? x2-2x+2012(a<-1)的递减区间为 1.函数 y=- x + 3 a? ? ( )
? 1? A.?-∞, ?,(a,+∞) a? ? ? 1? ?a, ? C. a? ? ?1 ? B.(-∞,a), ? ,+∞ ? ?a ? ?1 ? ? ,a? D. ?a ?

解析:y′=-2x -2x
2

2

? 1? +2?a+ ?x-2,令 a? ?

y′<0,即

? ? 1? 1? 2 +2?a+ ?x-2<0?x - ?a+ ?x+1>0, a? a? ? ?

1 由 a<-1,知 a< , a ∴不等式 x
2

? 1? - ?a+ ?x+1>0 a? ?

?1 ? 的解集为(-∞,a)∪ ? ,+∞?. ?a ?

1? 2 3 ? ?a+ ? x 2-2x+ 2012(a<- 1)的递减区间为(- ∴函数 y=- x + 3 a? ?
?1 ? ? ,+∞?.选 ∞,a), ?a ?

B.

? 答案:B

? 2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有 极值10,则f(2)等于( ) ? A.11或18 B.11 ? C.18 D.17或18

解析:∵函数 f(x)=x3+ax2+bx+a2 在 x=1 处有极值 10, ∴f(1)=10,且
?a=-3, ? 解得? ?b=3, ? ?a=-3 ? 而当? ? ?b=3 ?1+a+b+a2=10, ? f′(1)=0,即? ?3+2a+b=0. ? ?a=4, ? 或? ?b=-11. ?

时,函数在 x=1 处无极值,故舍去.

∴f(x)=x3+4x2-11x+16.

? ∴f(2)=18.选C. ? 答案:C

? 3.函数f(x)=2x3 -3x2 -12x+5在区间[0,3]上 的最大值和最小值依次是( ) ? A.12,-15 B.5,-15 ? C.5,-4 D.-4,-15 ? 解析:f′(x)=6x2-6x-12=0,解得x1=-1, x2 =2,因为在区间[0,3]上,f(0)=5,f(2)=- 15,f(3)=-4,所以函数f(x)在区间[0,3]上的最 大值和最小值依次是5,-15.选B. ? 答案:B

? 4.若函数f(x)=x3 +3ax2 +3(a+2)x+1既有极 大值又有极小值,则实数a的取值范围为( ) ? A.-1<a<2 B.-1≤a≤2 ? C.a≤-1或a≥2 D.a<-1或a>2 ? 解析:f′(x)=3x2+6ax+3(a+2),若f(x)既有极 大值又有极小值,则函数f′(x)=3x2 +6ax+3(a +2)必与x轴有两个不同的交点,则有Δ=(6a)2 -36(a+2)>0,解得a<-1或a>2.选D. ? 答案:D

? 5.已知对任意实数x,有f(-x)=-f(x),g(-x) =g(x),且x>0时,f′(x)>0,g′(x)>0,则x<0时 ( ) ? A.f′(x)>0,g′(x)>0 B . f′(x)>0 , g′(x)<0 ? C.f′(x)<0,g′(x)>0 D . f′(x)<0 , g′(x)<0 ? 解析:依题意得f(x)是奇函数,在(0,+∞)上是 增函数,故在(-∞,0)上是增函数,即当x<0时, f′(x)>0;g(x)是偶函数,在(0,+∞)上是增函数, 故在(-∞,0)上是减函数,即当x<0时,g′(x)<0, 故选B.

? 类型一 函数的单调性问题 ? 解题准备:求函数单调区间的基本步骤是:① 确定函数f(x)的定义域;②求导数f′(x);③由 f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的x的取值范围.当 f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是单调递增函数; 当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间上是单调递减函 数. ? 【典例1】 已知函数f(x)=x3-ax-1. ? (1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取 值范围; ? (2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减? 若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理

? [解析] 本题主要考查导数的概念和计算,应用 导数研究函数单调性的基本方法,考查综合运 用数学知识解决问题的能力. ? (1)由已知f′(x)=3x2-a, ? ∵f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数, ? ∴f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立, ? 即a≤3x2对x∈R恒成立. ? ∵3x2≥0,∴只需a≤0, ? 又a=0时,f′(x)=3x2≥0,f(x)=x3 -1在R上是 增函数, ? ∴a≤0.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(2)由f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立, 得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立. ∵-1<x<1, ∴3x2<3, ∴只需a≥3. 当a=3时,f′(x)=3(x2-1), 在x∈(-1,1)上,f′(x)<0, 即f(x)在(-1,1)上为减函数, ∴a≥3. 故存在实数a≥3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.

? (3)证明:∵f(-1)=a-2<a, ? ∴f(x)的图象不可能总在直线y=a上方. ? [点评] 利用导数研究函数的单调性比用函数单 调性的定义方便,但应注意f′(x)>0(或f′(x) <0)仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数) 的充分条件,在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b) 上 递 增 ( 或 递 减 ) 的 充 要 条 件 应 是 f′(x)≥0( 或 f′(x)≤0),x∈(a,b)恒成立,且f′(x)在(a,b) 的任意子区间内都不恒等于0,这就是说,函数 f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点 处有f′(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f(x0) =0,

? 只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子 区间,因此,在已知函数f(x)是增函数(或减函 数)求参数的取值范围时,应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0) 恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式 恒成立理论求解),然后检验参数的取值能否使 f′(x)恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应 舍去,若f′(x)不恒为0,则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒 成立解出的参数的取值范围确定.

? 探究1:(全国Ⅰ高考)设a为实数,函数f(x)=x3 -ax2 +(a2 -1)x在(-∞,0)和(1,+∞)上都是 增函数,求a的取值范围. ? 分析:函数f(x)在(-∞,0)和(1,+∞)上都是增 解析:f′(x)=3x2-2ax+(a2-1),令 f′(x)=0, 函数,则f′(x)在(-∞,0)和(1,+∞)内大于零.
则 Δ=4a2-12a2+12=12-8a2. 6 ①若 Δ=12-8a =0,即 a=± . 2
2



? a? x∈?-∞, ?或 3? ?

?a ? x∈? ,+∞?时, ?3 ?

f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,+∞)为增函数. 6 所以 a=± . 2

②若 Δ=12-8a2<0,恒有 f′(x)>0, f(x)在(-∞,+∞)上为增函数,
? ? 3 6? ? 6 所以 a > ,即 a∈?-∞,- ?∪? ,+∞?. 2 2? ?2 ? ?
2

③若 Δ=12-8a2>0, 6 6 即- <a< , 2 2 令 f′(x)=0, a- 3-2a2 a+ 3-2a2 解得 x1= ,x2= . 3 3

当 x∈(-∞,x1)或(x2,+∞)时, f′(x)>0,f(x)为增函数; 当 x∈(x1,x2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数. 依题意 x1≥0 且 x 2≤1. 6 由 x1≥0 得 a≥ 3-2a ,解得 1≤a< . 2
2

6 6 由 x2≤1 得 3-2a ≤3-a,解得- <a< . 2 2
2

从而

? a∈?1, ?

6? ?. 2?

综上,a 的取值范围为

? ?-∞,- ?

? 6? ? 6? ? 6 ? ∪?1, ? ∪ ? ,+∞? , 2? ? 2? ?2 ?



? a∈?-∞,- ?

6? ? ∪[1,+∞). 2?

? 点评:分类讨论是重要的数学解题思想方 法.要把数学问题转化为若干个局部问题,在 每一个局部问题中,原先的“不确定因素”不 再影响问题的解决,当这些局部问题都解决完 时,整个问题也就解决了.

? ? ? ? ?

类型二 函数的极值问题 解题准备:求可导函数f(x)极值的一般步骤: ①求导数f′(x). ②求方程f′(x)=0的根. ③检验f′(x)在方程f′(x)=0的根的左右两侧的符 号,如果在根的左侧附近为正,右侧附近为负, 那么函数y=f(x)在这个根处取得极大值;如果 在根的左侧附近为负,右侧附近为正,那么, 函数y=f(x)在这个根处取得极小值.

? 【典例2】 设函数f(x)=ax3+bx2+cx,在x= 1和x=-1处有极值,且f(1)=-1,求a,b,c 的值并求f(x)的单调区间及极值. [解析] f′(x)=3ax2+2bx+c.
∵x=1, x=-1 为函数的极值点, 则-1,1 为 f′(x)=0 即 3ax2 +2bx+c=0 的两根

?- 2b=0, ? 3a ∴? ? c =-1 ?3a

① ②

又 f(1)=-1,∴a+b+c=-1.③ 1 3 由①②③解得 a= ,b=0,c=- , 2 2

1 3 3 3 2 3 此时 f(x)= x - x,f′(x)= x - 2 2 2 2

? 列表如下.
(-∞, x -1 -1) (- 1,1) - 1 0 极小 值- 1 (1, +∞) +

y′



0

y

?

极大 值1

?

?

? 由上可知函数的单调增区间为(-∞,-1),(1, +∞),单调减区间为(-1,1).有极大值1,极小 值-1. ? [点评] 按照求极值的基本方法,首先从方程 f′(x)=0求出在函数f(x)定义域内所有可能的极值 点,然后按照函数极值的定义判断在这些点处 是否取得极值.

1 探究 2:已知函数 f(x)=ax3+(a-2)x2+ x 在(0,2)内有两个不同 3 的极值点,求实数 a 的取值范围.

解析:先求函数 f(x)的导函数,讨论方程 f′(x)=0 根的存在 性. 1 f′(x)=3ax +2(a-2)x+ . 3
2

设 f(x)在(0,2)内的极值点为 x1,x2(x1<x 2),则方程 f′(x)=0 在 (0,2)上有两个不相等的根 x1,x2,

? ∴二次函数f′(x)=3ax2+2(a-2)x+与x轴相交 于不同的两点,且位于(0,2)之间,
?a>0 ? ?f′?0?>0 ?f′?2?>0 ? ?Δ>0 ? 2-a ?0< 3a <2 ? ?a<0 ? ?f′?0?<0 ?f′?2?<0 或? ?Δ>0 ? 2-a ?0< 3a <2 ?

(舍去),

?1>0 ?3 ? 1 ?12a+4?a-2?+ 3>0 ? 2 即?4?a-2? -4a>0 ?a-2 ? 3a <0 ? ? 7a-2>0 ? 3a



23 解得 <a<1,即为所求实数 a 的取值范围. 48

? 点评:本题定性研究函数的极值点.极值点即 导数为零时方程的根,因为三次函数的导数为 二次函数,所以问题转化为二次方程根的分布 问题,进而利用二次函数通过数形结合法确定 结论成立的充要条件.三次函数与“三个二次” 紧密联系,是高考的热点之一.

? 类型三 函数的最值问题 ? 解题准备:函数的最大值与最小值的求法 ? 1.设y=f(x)是定义在区间[a,b]上的函数,y= f(x)在(a,b)内有导数,求函数y=f(x)在[a,b] 上的最大值与最小值,可分两步进行. ? (1)求f(x)在开区间(a,b)内所有使f′(x)=0的点. ? (2)计算函数f(x)在区间内使f′(x)=0的所有点和 端点处的函数值,其中最大的一个为最大值, 最小的一个为最小值. ? 2.若函数y=f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为 函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数y

? 【典例3】 (2011·阳泉模拟)已知函数f(x)=x3 +ax2 +bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线 为l:3x-y+1=0,若x= 时,y=f(x)有极 值. ? (1)求a,b,c的值; ? (2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.

[解析]

(1)由 f(x)=x3+ax2+bx+c,得

f′(x)=3x2+2ax+b, 当 x=1 时,切线 l 的斜率为 3,可得 2a+b=0①
?2? 2 当 x= 时,y=f(x)有极值,则 f′? ?=0, 3 ? 3?

可得 4a+3b+4=0② 由①②解得 a=2,b=-4. 由于切点的横坐标为 x=1,∴f(1)=4. ∴1+a+b+c=4.∴c=5.

(2)由(1)可得 f(x)=x3+2x2-4x+5, ∴f′(x)=3x2+4x-4, 2 令 f′(x)=0,得 x=-2,x= . 3 当 当
?2 ? x 在[-3,-2)与? ,1?上取值时 ?3 ?

f′(x)>0,函数是增函数;

? 2? x 在?-2, ?上取值时,f′(x)<0,函数是减函数, 3? ?

∴f(x)在 x=-2 处取得极大值 f(-2)=13.
?2? 95 2 在 x= 处取得极小值 f? ?= . 3 ?3? 27

又 f(-3)=8,f(1)=4.

95 ∴y=f(x)在[-3,1]上的最大值为 13,最小值为 . 27

? 探究3:已知f(x)=ax3 -6ax2 +b在[-1,2]上的 最大值为3,最小值为-29,求a、b的值. ? 分析:在闭区间上连续函数一定有最大、最小 值,且最大、最小值只能在极值点或边界点取 得.

解析:f′(x)=3ax2-12ax=3a(x2-4x)=0, 又∵-1≤x≤2,∴x=0 为极值点. (1)当 a>0 时,-1≤x<0,f′(x)>0;0<x≤2,f′(x)<0. ∴f(0)=b 为极大值. 又 f(-1)=-a-6a+b=-7a+b, ∴f(-1)>f(2)=-16a+b, ∴f(0)为最大值,f(2)为最小值.
?f?0?=b=3, ? 则? ? ?f?2?=-16a+b=-29, ?a=2, ? 解得? ? ?b=3.

(2)当 a<0 时,-1≤x<0,f′(x)<0;0<x≤2,f′(x)>0, ∴f(0)=b 为极小值. 又 f(-1)=-7a+b,f(2)=-16a+b, ∴f(-1)<f(2), ∴f(0)为最小值,f(2)为最大值.
?f?0?=b=-29, ? ? ? f?2?=-16a+b=3, ? ?a=-2, ? 解得? ?b=-29. ?

(3)当 a=0 时,不合题意. ∴a=2,b=3 或 a=-2,b=-29.

? 点评:对含字母系数的函数判断单调性时,一 定要对字母的取值进行讨论.

? 类型四 利用导数解决实际问题中的最值问 题 ? 解题准备:在求实际问题中的最大值或最小值 时,一般先设自变量、因变量,建立函数关系 式,并确定其定义域,利用求函数最值的方法 求解,注意结果应与实际情况相符.用导数求 解实际问题中的最大(小)值时,如果函数在区间 内只有一个极值点,那么根据实际意义该极值 点也就是最值点.

? 【典例4】 (2011·东北师大附中第一次摸底) 某商品每件成本为9元,售价为30元,每星期卖 出432件.如果降低价格,销售量可以增加,且 每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值 x(单位:元,0≤x≤21)的平方成正比.已知商品 售价降低2元时,一星期多卖出24件. ? (1)将一个星期内该商品的销售利润表示成x的函 数; ? (2)如何定价才能使一个星期该商品的销售利润 最大?

? [解析] (1)设商品降价x元,则每个星期多卖出 的商品件数为kx2,若记商品在一个星期内的获 利为f(x),则依题意有f(x)=(30-x-9)(432+ kx2)=(21-x)(432+kx2), ? 又由已知条件知24=k·22,于是有k=6, ? 所 以 f(x) = - 6x3 + 126x2 - 432x + 9072 , x∈[0,21]. ? (2)根据(1)可得f′(x)=-18x2 +252x-432=- 18(x-2)(x-12).

? 当x变化时,f′(x)与f(x)的变化如下表:

x
f′( x)

[0,2)


2
0

(2,1 2) +

12
0

(12,21]


极 极大 f(x) ? 小 ? ? 值 值 ? 故当x=12时,f(x)达到极大值,又因为f(0)= 9072,f(12)=11664,所以定价为18元时能使 一个星期的商品销售利润最大.

? 探究4:某造船公司年造船量是20艘,已知造船 x艘的产值函数为R(x)=3700x+45x2-10x3(单 位:万元),成本函数为C(x)=460x+5000(单 位:万元),又在经济学中,函数f(x)的边际函 数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x). ? (1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x)(提示: 利润=产值-成本); ? (2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的 年利润最大? ? (3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间,并 说明单调递减在本题中的实际意义是什么?

? 解析:(1)P(x)=R(x)-C(x)=-10x3 +45x2 + 3240x-5000(x∈N*,且1≤x≤20); ? MP(x) = P(x + 1) - P(x) = - 30x2 + 60x + 3275(x∈N*,且1≤x≤19). ? (2)P′(x)=-30x2 +90x+3240=-30(x-12)(x +9), ? ∵x>0,∴P′(x)=0时,x=12, ? ∴当0<x<12时,P′(x)>0,当x>12时,P′(x)<0, ? ∴x=12时,P(x)有最大值. ? 即年造船量安排12艘时,可使公司造船的年利 润最大.

? (3)MP(x)=-30x2 +60x+3275=-30(x-1)2 +3305. ? 所以,当x≥1时,MP(x)单调递减, ? 所以,单调减区间为[1,19],且x∈N*. ? MP(x)是减函数的实际意义是:随着产量的增加, 每艘船的利润与前一艘船的利润比较,利润在 减少.

? 快速解题 ? 技法 设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y =f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能 正确的是( )

? 快解:先来看A选项,当原函数的图象为抛物线 时,函数值先减后增,而对应的导函数也是先 负后正,并且导函数的图象与x轴相交于原点, 而在原点处原函数取到极小值,故A选项正 确.B选项中有一条曲线恒在x轴上方,若这条 曲线代表导函数的图象,则原函数应该是单调 递增的,观察发现,B选项是正确的.同样可知, C选项也是正确的,D选项是不正确的.


赞助商链接

2018届高考一轮复习人教版第42讲生命中的基础有机化学...

2018届高考一轮复习人教版第42讲生命中的基础有机化学物质合成有机高分子 学案59_高考_高中教育_教育专区。第 42 讲 生命中的基础有机化学物质 合成有机高分子...

高三一轮复习 第59讲 随机变量及其分布列(二) 学案 测案

高三一轮复习 第59讲 随机变量及其分布列(二) 学案 测案_高三数学_数学_高中...pi … pn (1)均值 μ=E(X)=___为随机变量 X 的均值或___, 它反 映...

2008年高考物理一轮复习资料 第59讲 动量 冲量 动量定理

2008 年高考物理一轮复习资料 第 59 讲 动量 冲量 动量定理考点目标定向: 内容 动量、动量守恒定律及其应用 知识点拨: 1.课标虽安排此章内容在选修 3-5 模块,...

...高考物理(人教版)一轮复习配套文档:第59讲 原子的核...

高考零距离】高考物理(人教版)一轮复习配套文档:第59讲 原子的核式结构模型 氢原子光谱 原子能级_理化生_高中教育_教育专区。高考物理(人教版)一轮复习配套第...

【赢在起点】2014高考生物第一轮复习学案 第59讲: 植物...

【赢在起点】2014高考生物第一轮复习学案 第59讲:...(2012· 广东梅州模拟)下列关于人工种子,不科学的...2.(2011`上海高考)下列关于植物组织培养的表述,错误...

版高考数学一轮复习第九章计数原理与概率课时达标59几...

高考数学一轮复习第九章计数原理与概率课时达标59几何概型05072132-含答案 第59 讲一、选择题 几何概型 [解密考纲]几何概型在高考中常以选择题或填空题的形式...