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2015高中数学 第一章 1.1.2余弦定理(一)课时作业 新人教A版必修5

时间:2015-10-16


1.1.2

余弦定理(一)

课时目标 1.熟记余弦定理及其推论; 2.能够初步运用余弦定理解斜三角形. 1.余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的 2 2 2 2 2 2 2 2 2 积的两倍.即 a =b +c -2bccos_A,b =c +a -2cacos_B,c =a +b -2abcos_C. 2.余弦定理的推论 b2+c2-a2 c2+a2-b2 a2+b2-c2 cos A= ;cos B= ;cos C= . 2bc 2ca 2ab 3.在△ABC 中: 2 2 2 (1)若 a +b -c =0,则 C=90°; 2 2 2 (2)若 c =a +b -ab,则 C=60°; 2 2 2 (3)若 c =a +b + 2ab,则 C=135°.

一、选择题 1.在△ABC 中,已知 a=1,b=2,C=60°,则 c 等于( ) A. 3 B.3 C. 5 D.5 答案 A 2.在△ABC 中,a=7,b=4 3,c= 13,则△ABC 的最小角为( π π A. B. 3 6 π π C. D. 4 12 答案 B 解析 ∵a>b>c,∴C 为最小角, a2+b2-c2 由余弦定理 cos C= 2ab = 7 +?4 3? -? 13?
2 2 2

)

2?7?4 3 3.在△ABC 中,已知 a=2,则 bcos C+ccos B 等于( ) A.1 B. 2 C.2 D.4 答案 C a2+b2-c2 c2+a2-b2 2a2 解析 bcos C+ccos B=b? +c? = =a=2. 2ab 2ac 2a 2 4.在△ABC 中,已知 b =ac 且 c=2a,则 cos B 等于( ) 1 3 2 2 A. B. C. D. 4 4 4 3 答案 B 2 2 2 解析 ∵b =ac,c=2a,∴b =2a ,b= 2a, a2+c2-b2 a2+4a2-2a2 3 ∴cos B= = = . 2ac 2a?2a 4



3 π .∴C= . 2 6

1

c-b 2A 5.在△ABC 中,sin = (a,b,c 分别为角 A,B,C 的对应边),则△ABC 的形状 2 2c 为( ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 答案 B 1-cos A c-b 2A 解析 ∵sin = = , 2 2 2c 2 2 2 b b +c -a 2 2 2 ∴cos A= = ? a +b =c ,符合勾股定理. c 2bc 故△ABC 为直角三角形. 1 2 2 2 6.在△ABC 中,已知面积 S= (a +b -c ),则角 C 的度数为( ) 4 A.135° B.45° C.60° D.120° 答案 B 1 2 1 2 2 解析 ∵S= (a +b -c )= absin C, 4 2 2 2 2 2 2 2 ∴a +b -c =2absin C,∴c =a +b -2absin C. 2 2 2 由余弦定理得:c =a +b -2abcos C, ∴sin C=cos C, ∴C=45° . 二、填空题 2 2 2 7.在△ABC 中,若 a -b -c =bc,则 A=________. 答案 120° 8.△ABC 中,已知 a=2,b=4,C=60°,则 A=________. 答案 30° 2 2 2 解析 c =a +b -2abcos C 2 2 =2 +4 -2?2?4?cos 60° =12 ∴c=2 3. a c 1 由正弦定理: = 得 sin A= . sin A sin C 2 ∵a<c,∴A<60°,A=30°. 2 2 9.三角形三边长为 a,b, a +ab+b (a>0,b>0),则最大角为________. 答案 120° 2 2 2 2 解析 易知: a +ab+b >a, a +ab+b >b,设最大角为 θ , a2+b2-? a2+ab+b2?2 1 则 cos θ = =- , 2ab 2 ∴θ =120°. π 10.在△ABC 中,BC=1,B= ,当△ABC 的面积等于 3时,tan C=________. 3
答案 解析 -2 3

S△ABC= acsin B= 3,∴c=4.由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B=13, a2+b2-c2 1 12 =- ,sin C= , 2ab 13 13

1 2

∴cos C=

∴tan C=- 12=-2 3. 三、解答题 11.在△ABC 中,已知 CB=7,AC=8,AB=9,试求 AC 边上的中线长.
2



由条件知:cos A=

AB2+AC2-BC2 92+82-72 2 = = ,设中线长为 x,由余弦定理知: 2?AB?AC 2?9?8 3

AC 2 ?AC? x2=? ?2+AB2-2? ?ABcos A=42+92-2?4?9? =49 2

2 3 ? x=7. 所以,所求中线长为 7. 2 12.在△ABC 中,BC=a,AC=b,且 a,b 是方程 x -2 3x+2=0 的两根,2cos(A+B) =1. (1)求角 C 的度数; (2)求 AB 的长; (3)求△ABC 的面积. 解 (1)cos C=cos[π -(A+B)] 1 =-cos(A+B)=- , 2 又∵C∈(0°,180°),∴C=120°. 2 (2)∵a,b 是方程 x -2 3x+2=0 的两根, ∴?

? ?

?a+b=2 3, ?ab=2.
2 2 2 2

∴AB =b +a -2abcos 120°=(a+b) -ab=10, ∴AB= 10. 1 3 (3)S△ABC= absin C= . 2 2 能力提升 13.(2010?潍坊一模)在△ABC 中,AB=2,AC= 6,BC=1+ 3,AD 为边 BC 上的高, 则 AD 的长是________. 答案 3 BC2+AC2-AB2 2 解析 ∵cos C= = , 2?BC?AC 2 ∴sin C= 2 . 2

∴AD=AC?sin C= 3. 14.在△ABC 中,acos A+bcos B=ccos C,试判断三角形的形状. 解 由余弦定理知 b2+c2-a2 a2+c2-b2 cos A= ,cos B= , 2bc 2ac a2+b2-c2 cos C= , 2ab 代入已知条件得 b2+c2-a2 a2+c2-b2 c2-a2-b2 a? +b? +c? = 0, 2bc 2ac 2ab 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 通分得 a (b +c -a )+b (a +c -b )+c (c -a -b )=0, 2 2 2 4 展开整理得(a -b ) =c . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴a -b =±c ,即 a =b +c 或 b =a +c . 根据勾股定理知△ABC 是直角三角形. 1.利用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题: (1)已知两边和夹角,解三角形. (2)已知三边求三角形的任意一角.
3

2.余弦定理与勾股定理 余弦定理可以看作是勾股定理的推广,勾股定理可以看作是余弦定理的特例.

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