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数列求和的基本方法归纳

时间:2017-01-04


数列求和的基本方法归纳
知识点 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 1、等差数列求和公式: S n ? 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法, 这种方法主要用于求数列{an· bn} 的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. 三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) , 再把它与原数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) . 四、分组法求和 有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、 等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. 五、裂项法求和 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项 (通项) 分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n)
1 1 1 ? ? (3) a n ? n(n ? 1) n n ? 1

(2)

sin 1? ? tan(n ? 1)? ? tann? cosn? cos(n ? 1)?

(2n) 2 1 1 1 (4) an ? ? 1? ( ? ) (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1

(5) an ? (6) an ?

1 1 1 1 ? [ ? ] n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)

n ? 2 1 2(n ? 1) ? n 1 1 1 1 ? n ? ? n ? ? , 则S n ? 1 ? n ?1 n n(n ? 1) 2 n(n ? 1) 2 n?2 (n ? 1)2 (n ? 1)2 n

练习题 1、已知 log3 x ?
?1 ,求 x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3

1

2 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x 2 ? 7 x 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n?1

2 4 6 2n 3、求数列 , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和. 2 2 2 2

4、求 sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? 的值

2

5、求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

6、求数列

1 1? 2

,

1 2? 3

,? ? ?,

1 n ? n ?1

,? ? ? 的前 n 项和.

7、在数列{an}中, an ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的和. n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

3

1、解:由 log3 x ?

?1 1 ? log3 x ? ? log3 2 ? x ? log2 3 2

由等比数列求和公式得

Sn ? x ? x 2 ? x3 ? ? ? ? ? x n
n

(利用常用公式)

1 1 (1 ? n ) x (1 ? x ) 2 =1- 1 = =2 1 2n 1? x 1? 2
2、解:由题可知,{ (2n ? 1) x n?1 }的通项是等差数列{2n-1}的通项与等比数列{ x n ?1 }的通项之 积 设 xSn ? 1x ? 3x 2 ? 5x 3 ? 7 x 4 ? ? ? ? ? (2n ? 1) x n ………………………. ② (设制错位) ①-②得 (1 ? x)S n ? 1 ? 2x ? 2x 2 ? 2x 3 ? 2x 4 ? ? ? ? ? 2x n?1 ? (2n ? 1) x n 再利用等比数列的求和公式得: (1 ? x) S n ? 1 ? 2 x ?
1 ? x n ?1 ? (2n ? 1) x n 1? x

(错位相减)

∴ 3、解:由题可知,{

Sn ?

(2n ? 1) x n?1 ? (2n ? 1) x n ? (1 ? x) (1 ? x) 2

2n 1 }的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{ n }的通项之积 n 2 2 2 4 6 2n 设 S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n …………………………………① 2 2 2 2 1 2 4 6 2n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ?1 ………………………………② 2 2 2 2 2 ①-②得 1 2 2 2 2 2 2n (1 ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 1 2n n?2 ? 2 ? n ?1 ? n ?1 ∴ S n ? 4 ? n ?1 2 2 2

4、解:设 S ? sin 2 1? ? sin 2 2? ? sin 2 3? ? ? ? ? ? sin 2 88? ? sin 2 89? …………. ① 将①式右边反序得
S ? sin 2 89? ? sin 2 88? ? ? ? ? ? sin 2 3? ? sin 2 2? ? sin 2 1? ………..②

又因为 sin x ? cos(90? ? x),sin 2 x ? cos2 x ? 1 ①+②得

2S ? (sin 2 1? ? cos2 1? ) ? (sin 2 2? ? cos2 2? ) ? ? ? ? ? (sin 2 89? ? cos2 89? ) =89
∴ S=44.5

4

1 1 1 5、解:设 S n ? (1 ? 1) ? ( ? 4) ? ( 2 ? 7) ? ? ? ? ? ( n ?1 ? 3n ? 2) 将其每一项拆开再重新组合得 a a a 1 1 1 S n ? (1 ? ? 2 ? ? ? ? ? n ?1 ) ? (1 ? 4 ? 7 ? ? ? ? ? 3n ? 2) a a a (3n ? 1)n (3n ? 1)n 当 a=1 时, S n ? n ? = 2 2 1 1? n (3n ? 1)n a ? a1?n (3n ? 1)n a ? 当 a ? 1 时, S n ? = ? 1 a ?1 2 2 1? a

6、解:设 a n ?

1 n ? n ?1 1 1? 2 ?

? n ?1 ? n 1 2? 3 1 n ? n ?1

则 Sn ?

? ??? ?

= ( 2 ? 1) ? ( 3 ? 2 ) ? ? ? ? ? ( n ? 1 ? n ) = n ? 1 ?1 7、解:
1 2 n n 2 1 1 ? ? ??? ? ? ∴ bn ? ? 8( ? ) n n ?1 n ?1 n ?1 n ?1 2 n n ? 1 ? 2 2 ∴ 数列{bn}的前 n 项和 8n 1 1 1 1 1 1 1 1 S n ? 8[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ( ? )] = 8(1 ? ) = n ?1 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?1

∵ an ?

5

等比数列

知识点: 1、 定义: 如果一个数列从第二项起, 每一项与前一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列;这个常数叫做等比数列的公比,通常用字 母 q 表示,表达式为:
an ?q a n ?1
( n ? 2) ;

2、如果 a , G , b 成等比数列,那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项,且
G ? ? ab ;

3、等比数列 {a n } 的通项: 4、等比数列 {a n } 的前 n 项和: 5、等比数列的性质:
⑴ 若 m ? n ? p ? q ,则 am ? an ? a p ? aq 特别的,当 m ? n ? 2k 时,得 an ? am ? ak 2 注: a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3an?2 ???

⑵ 等比数列 {an } 中连续项的和构成等比数列, Sn , S2n ? Sn , S3n ? S2n …… ⑶ 等比数列 {an } 中 ① 三个数 ② 四个数
q , a , aq a

q q3 , , aq , aq3 a a

练习题
1. 已知等比数列 {an } 中 an?1 ? an ,且 a3 ? a7 ? 3, a2 ? a8 ? 2 ,则

a11 ?( a7



A.

1 2

B.

2 3

C.

3 2

D. 2
2

2.已知等比数列 {an } 的公比为正数,且 a3 · a9 =2 a5 a2 =1,则 a1 = ( A.

)

1 2

B.

2 2

C.

2

D.2

3. 在等比数列 {an } 中, a5 ? ?16, a8 ? 8, 则 a11 ? (

)

6

A. ? 4

B. ? 4 ,若

C. ? 2

D .? 2

4.设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn

S6 =3 ,则 S3
8 3

S9 = ( S6

)

(A) 2

(B)

7 3

(C)

(D)3

5. 已知等比数列的首项为 8,Sn 是其前 n 项的和,某同学计算得到 S2=20,S3=36,S4=65,后来该同学 发现了其中一个数算错了,则该数为( A.S1 B.S2 ) C. S3 D.S4 )

2 2 2 2 6. 若 ?an ? 是等比数列,前 n 项和 Sn ? 2n ? 1 ,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ?(

A. (2n ?1)2

B. (2 ? 1)
n

1 3

2

C. 4 ? 1
n

D. (4 ? 1)
n

1 3

7. 已知数列 1, a1, a2, 4 成等差数列,1, b1, b2, b3, 4 成等比数列,则 8. 已知等差数列{an},公差 d ? 0, a1,a3,a4 成等比数列,则

a1 ? a 2 ? _______. b2

a1 ? a5 ? a17 = a2 ? a6 ? a18

9. 等比数列{ an }的公比 q ? 0 , 已知 a2 =1, an?2 ? an?1 ? 6an ,则{ an }的前 4 项和 S4 = 10. 在等比数列 {an } 中,a1 ? a2 ? 6, a2 ? a3 ? 12, S n 为数列 {an } 的前 n 项和, 则 log 2 (S2010 ? 2) ? 11. 已知等比数列 {a n }满足 a3 ? 12, a8 ? (1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)若 S n ? 93, 求n. 12. 已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 1 , 4 2 是 a1 和 a 4 的一个等比中项,a 2 和 a3 的等差中项为 6 ,若数列 . ?bn ? 满足 bn ? log2 an ( n ? N* ) (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求数列 ?anbn ? 的前 n 项和 Sn . .

3 , 记其前 n 项和为 S n . 8

7

答案

1. D2. B3. A4. B5. C6. D 7.

5 2

8.

8 15 9. 10. 2011 11 2

三、解答题 11. 解析: (1)设等比数列 {an } 的公比为 q,则

?a3 ? a1q 2 ? 12, ?a1 ? 48, ? ? ? 1 3 解得 ? 7 q? , ? ?a8 ? a1q ? , 2 ? 8 ?
所以 a n ? a1 q
n ?1

…………4 分

1 ? 48 ? ( ) n ?1 . 2
n

…………5 分

1 48[1 ? ( ) n ] a (1 ? q ) 1 2 (2) S n ? 1 ? ? 96[1 ? ( ) n ] 1 1? q 2 1? 2 1 n 由 S n ? 93, 得96[1 ? ( ) ] ? 93, 解得 n ? 5. 2

…………8 分

12. 解: (Ⅰ)因为 4 2 是 a1 和 a 4 的一个等比中项, 所以 a1 ? a4 ? (4 2) ? 32 .由题意可得 ?
2

?a2 ? a3 ? 32, ?a2 ? 4, 因为 q ? 1 ,所以 a3 ? a2 .解得 ? ?a3 ? 8. ?a2 ? a3 ? 12.

所以 q ?

a3 ? 2 .故数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2n . a2
*

(Ⅱ)由于 bn ? log2 an ( n ? N ) ,所以 anbn ? n ? 2n .

Sn ? 1? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ?? (n ?1) ? 2n?1 ? n ? 2n .
2Sn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? ?? (n ?1) ? 2n ? n ? 2n?1 .
①-②得 ?Sn ? 1? 2 ? 2 ? 2 ? ?? 2 ? n ? 2
2 3 n n?1

① ②

2(1 ? 2n ) ? ? n ? 2n ?1 . 1? 2

所以 Sn ? 2 ? 2n?1 ? n ? 2n?1

8

9


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