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【优化指导】2016-2017学年高中数学 第三章 函数的应用 3.2.2 函数模型的应用实例练习 新人教A版必修1

时间:2016-06-30


3.2.2

函数模型的应用实例
一、A 组

1.甲、乙两人在一次赛跑中,路程 s 与时间 t 的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( A.甲比乙先出发 B.乙比甲跑的路程多 C.甲、乙两人的速度相同 D.甲先到达终点 解析:由题图知甲所用时间短,则甲先到达终点. 答案:D

)

2.用长度为 24 m 的材料围成一个矩形场地,并且中间加两道隔墙,要使矩形的面积最大,则隔墙的 长度为( A.3 m
2

) B.4 m C.5 m D.6 m
2

解析:设隔墙长为 x m,则矩形场地长为=(12-2x)m.所以矩形面积为 S=x(12-2x)=-2x +12x=-2(x3) +18,即当 x=3 m 时,矩形面积最大. 答案:A 3.已知镭经过 100 年剩留原来质量的 95.76%,设质量为 1 的镭经过 x 年后的剩留量为 y,则 x,y 之 间的函数关系式为( A.y=0.957 C.y= 答案:A 4.某商品价格前两年每年递增 20%,后两年每年递减 20%,则四年后的价格与原来价格相比,变化情 况是( ) B.降低 7.84% D.不增不减 A.升高 7.84% C.降低 9.5% ) B.y=0.957 6 D.y=1-0.04
100x

解析:特殊值法,取 x=100 代入选项,只有 A 正确.

解析:设该商品原价为 a, 四年后的价格为

a(1+0.2)2·(1-0.2)2=0.921 6a.
所以(1-0.921 6)a=0.078 4a=7.84%a, 即比原来降低 7.84%. 答案:B

1

5.衣柜里的樟脑丸随着时间挥发而体积缩小,刚放进的新丸的体积为 a,经过 t 天后体积 V 与天数 t 的关系式为 V=a·e .已知新丸经过 50 天后,体积变为 a.若一个新丸体积变为 a,则需经过的天数 为( A.125
-50k -kt

) B.100
-50k

C.75
-50k

D.50

解析:由已知得 a=a·e

,即 e

=.

∴a=·a=(e ·a=e ·a, ∴t=75.
答案:C 6.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度,假设函数 t=-144lg 中,t 表示达到某一英文打 字水平所需的学习时间,N 表示每分钟打出的字数.若 N=40,则 t≈ 2≈0.301,lg 3≈0.477). 解析:当 N=40 时, 则 t=-144lg=-144lg

-75k

.(已知 lg

=-144(lg 5-2lg 3) =-144(1-lg 2-2lg 3)≈36.72.
答案:36.72 7.某汽车在同一时间内速度 v(单位:km/h)与耗油量 Q(单位:L)之间有近似的函数关系 Q=0.002 5v -0.175v+4.27,则车速为 解析:Q=0.002 5v -0.175v+4.27
2 2

km/h 时,汽车的耗油量最少.

=0.002 5(v2-70v)+4.27 =0.002 5[(v-35)2-352]+4.27 =0.002 5(v-35)2+1.207 5.
故 v=35 km/h 时,耗油量最少. 答案:35 8. 导学号 29900137 一个水池有 2 个进水口,1 个出水口.2 个进水口的进水速度分别如图甲、乙所 示,出水口的排水速度如图丙所示.某天 0 时到 6 时,该水池的蓄水量如图丁所示.

给出以下 3 个论断:①0 时到 3 时只进水不出水;②3 时到 4 时不进水只出水;③4 时到 6 时不进水不 出水.其中,一定正确的论断序号是

.

2

解析:从 0 时到 3 时,2 个进水口的进水量为 9,故①正确;由排水速度知②正确;4 时到 6 时可以是不 进水,不出水,也可以是开 1 个进水口(速度快的)、1 个排水口,故③不正确. 答案:①②

9.如图所示,已知边长为 8 m 的正方形钢板有一个角被锈蚀,其中 AE=4 m,CD=6 m.为了合理利用这 块钢板,将在五边形 ABCDE 内截取一个矩形块 BNPM,使点 P 在边 DE 上. (1)设 MP=x m,PN=y m,将 y 表示成 x 的函数,求该函数的解析式及定义域; (2)求矩形 BNPM 面积的最大值. 解:(1)如图所示,延长 NP 交 AF 于点 Q,

所以 PQ=8-y,EQ=x-4. 在△EDF 中,,所以. 所以 y=-x+10,定义域为[4,8]. (2)设矩形 BNPM 的面积为 S, 则 S=xy=x=-(x-10) +50. 又 x∈[4,8],所以当 x=8 时,S 取最大值 48. 所以当 MP=8 m 时,矩形 BNPM 的面积取得最大值,且为 48 m . 10. 导学号 29900138 (2016·河北正定中学高一月考)经市场调查,某门市部的一种小商品在过去的 20 天内的日销售量(单位:件)与价格(单位:元)均为时间 t(单位:天)的函数,且日销售量近似满足 函数 g(t)=80-2t,而且销售价格近似满足于 f(t)= (1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20)的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值. 解:(1)由已知得 y=f(t)·g(t)
2 2

= =
(2)由(1)知,①当 0≤t≤10 时,

y=-t2+10t+1 200=-(t-5)2+1 225.
该函数在区间[0,5]上递增,在区间(5,10]上递减, 则 ymax=1 225(当 t=5 时取得),ymin=1 200(当 t=0 或 t=10 时取得).

②当 10<t≤20 时,y=t2-90t+2 000=(t-45)2-25.

3

该函数在区间(10,20]上递减,则 y<2 000-800=1 200,ymin=600(当 t=20 时取得). 由①②知,ymax=1 225(当 t=5 时取得),ymin=600(当 t=20 时取得). 二、B 组 1.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖,引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物,已知该动物的繁殖 数量 y(单位:只)与引入时间 x(单位:年)的关系为 y=alog2(x+1),若该动物在引入一年后的数量为 100 只,则第 7 年它们发展到( A.300 只 B.400 只 ) C.600 只 D.700 只

解析:将 x=1,y=100 代入 y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1),解得 a=100, 所以当 x=7 时,y=100log2(7+1)=300. 答案:A 2.某工厂生产某产品 x 吨所需费用为 P 元,而卖出 x 吨的价格为每吨 Q 元,已知 P=1 000+5x+x ,Q=a+,若生产出的产品能全部卖出,且当产量为 150 吨时利润最大,此时每吨的价格为 40 元,则有( A.a=45,b=-30 C.a=-30,b=45 ) B.a=30,b=-45 D.a=-45,b=-30
2

解析:设生产 x 吨产品全部卖出所获利润为 y 元,则

y=xQ-P=x =x2+(a-5)x-1 000,
其中 x∈(0,+∞). 由题意知当 x=150 时,y 取最大值,此时 Q=40.

∴整理得
解得 答案:A 3. 导学号 29900139 如图,点 P 在边长为 1 的正方形边上运动,设 M 是 CD 的中点,则当 P 沿 A-B-C-M 运动时,点 P 经过的路程 x 与△APM 的面积 y 之间的函数 y=f(x)的图象大致是( )

解析:依题意,当 0<x≤1 时,S△APM=×1×x=x; 当 1<x≤2 时,S△APM=S 梯形 ABCM-S△ABP-S△PCM

=×1-×1×(x-1)-×(2-x)=-x+;
当 2<x≤时,S△APM=S 梯形 ABCM-S 梯形 ABCP

=×1-×(1+x-2)×1 =x+=-x+. ∴y=f(x)=

4

再结合题图知应选 A. 答案:A 4.已测得(x,y)的两组值为(1,2),(2,5),现有两个拟合模型,甲:y=x +1,乙:y=3x-1.若又测得(x,y) 的一组对应值为(3,10.2),则选用
2 2

作为拟合模型较好.

解析:对于甲:当 x=3 时,y=3 +1=10,对于乙:当 x=3 时,y=8,因此用甲作为拟合模型较好. 答案:甲 5.用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使存留的污垢不超过 1%,则至少需要清洗的次数 是

.(lg 2≈0.301 0) ∴x≥≈3.322,所以至少需要洗 4 次.

解析:设至少要洗 x 次,则, 答案:4 6.某市出租车收费标准如下:起步价为 8 元,起步里程为 3 km(不超过 3 km 按起步价付费);超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费;超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.85 元收费, 另每次乘坐需付燃油附加费 1 元.现某人乘坐一次出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶的路程为 km. 解析:设乘客每次乘坐出租车需付费用为 f(x)元, 由题意可得,f(x)

=
令 f(x)=22.6,显然 9+5×2.15+(x-8)×2.85=22.6(x>8),解得 x=9. 答案:9 7.在固定压力差(压力差为常数)下,当气体通过圆形管道时,其流量速率 R 与管道半径 r 的四次方 成正比. (1)写出函数解析式; (2)假设气体在半径为 3 cm 的管道中,流量速率为 400 cm /s.求该气体通过半径为 r cm 的管道时, 其流量速率 R 的表达式; (3)已知(2)中的气体通过的管道半径为 5 cm,计算该气体的流量速率.(精确到 1) 解:(1)由题意,得 R=kr (k 是大于 0 的常数). (2)由 r=3 cm,R=400 cm /s, 得 k·3 =400,∴k=, 故速率 R 的表达式为 R=·r . (3)∵R=·r ,
4 4 4 3 4 3

∴当 r=5 cm 时,R=×54≈3 086(cm3/s).
8. 导学号 29900140 下表是某款车的车速与刹车后的停车距离,试分别就 y=a·e ,y=ax ,y=ax +bx+c 三种函数关系建立数学模型,并探讨最佳模拟,根据最佳模拟求车速为 120 km/h 时的刹车距离. 车速 1 1 3 4 /(km/h 50 0 5 0 0 ) 停车距 1 1 4 7 25 离/m 2 8
kx n
2

5

车速 /(km/h ) 停车距 离/m
kx

6 7 8 9 10 0 0 0 0 0 3 4 5 6 80 4 3 4 6

解:若以 y=a·e 为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式, 得解得

∴y=2.422 8e0.050 136x.
以此函数式计算车速度为 90 km/h,100 km/h 时,停车距离分别约为 220.8 m,364.5 m,与实际 数据相比,误差较大. 若以 y=a·x 为模拟函数,将(10,4),(40,18)代入函数关系式,得解得
n

∴y=0.328 9x1.085.
以此函数关系计算车速度为 90 km/h,100 km/h 时,停车距离分别约为 43.39 m,48.65 m,与实 际情况误差也较大. 若以 y=ax +bx+c 为模拟函数,将(10,4),(40,18),(60,34)代入函数式,得 解得∴y=x +x+2. 以此函数解析式计算车速为 90 km/h,100 km/h 时,停车距离分别为 68 m,82 m,与前两个相比, 它较符合实际情况. 当 x=120 时,y=114 m.故当车速为 120 km/h 时,停车距离为 114 m.
2 2

6


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