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2018版高中数学(人教A版)必修2同步练习题: 第2章 学业分层测评11

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学业分层测评(十一) (建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.直线 a∥平面 α,α 内有 n 条直线交于一点,那么这 n 条直线中与直线 a 平行的( ) B.至多有一条 D.没有 A.至少有一条 C.有且只有一条 【解析】 过 a 和平面内 n 条直线的交点只有一个平面 β,所以平面 α 与平 面 β 只有一条交线,且与直线 a 平行,这条交线可能不是这 n 条直线中的一条, 也可能是.故选 B. 【答案】 B 2.设 a,b 是两条直线,α,β 是两个平面,若 a∥α,a?β,α∩β=b,则 α 内与 b 相交的直线与 a 的位置关系是( A.平行 C.异面 【解析】 ) B.相交 D.平行或异面 条件即为线面平行的性质定理,所以 a∥b, 又 a 与 α 无公共点,故选 C. 【答案】 C ) 3.下列命题中不正确的是( A.两个平面 α∥β,一条直线 a 平行于平面 α,则 a 一定平行于平面 β B.平面 α∥平面 β,则 α 内的任意一条直线都平行于平面 β C.一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面,那么三角形所在平面 与这个平面平行 D.分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线 【解析】 选项 A 中直线 a 可能与 β 平行,也可能在 β 内,故选项 A 不正 确;三角形两边必相交,这两条相交直线平行于一个平面,那么三角形所在的平 面与这个平面平行,所以选项 C 正确;依据平面与平面平行的性质定理可知, 选项 B,D 也正确,故选 A. 【答案】 A 4.如图 2224,在长方体 ABCDA1B1C1D1 中,E,F 分别是棱 AA1 和 BB1 的中点,过 EF 的平面 EFGH 分别交 BC 和 AD 于 G,H,则 GH 与 AB 的位置关 系是( ) 图 2224 A.平行 C.异面 【解析】 B.相交 D.平行或异面 由长方体性质知:EF∥平面 ABCD, ∵EF?平面 EFGH,平面 EFGH∩平面 ABCD=GH, ∴EF∥GH,又∵EF∥AB,∴GH∥AB,∴选 A. 【答案】 A 5.设平面 α∥平面 β,A∈α,B∈β,C 是 AB 的中点,当点 A、B 分别在平 面 α,β 内运动时,动点 C( A.不共面 B.当且仅当点 A、B 分别在两条直线上移动时才共面 C.当且仅当点 A、B 分别在两条给定的异面直线上移动时才共面 D.无论点 A,B 如何移动都共面 【解析】 无论点 A、B 如何移动,其中点 C 到 α、β 的距离始终相等,故 ) 点 C 在到 α、β 距离相等且与两平面都平行的平面上. 【答案】 二、填空题 6.如图 2225,正方体 ABCDA1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点, 点 F 在 CD 上,若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于________. D 图 2225 【解析】 因为 EF∥平面 AB1C,EF?平面 ABCD, 平面 AB1C∩平面 ABCD=AC, 所以 EF∥AC.又点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上, 1 所以点 F 是 CD 的中点,所以 EF=2AC= 2. 【答案】 2 7.如图 2226 所示,直线 a∥平面 α,A?α,并且 a 和 A 位于平面 α 两侧, 点 B,C∈a,AB、AC 分别交平面 α 于点 E,F,若 BC=4,CF=5,AF=3,则 EF=________. 图 2226 【解析】 EF 可看成直线 a 与点 A 确定的平面与平面 α 的交线,∵a∥α, 由线面平行的性质定理知,BC∥EF,由条件知 AC=AF+CF=3+5=8. AF×BC 3×4 3 EF AF 又BC=AC,∴EF= AC = 8 =2. 【答案】 三、解答题 8.如图 2227 所示,四边形 ABCD 是矩形,P?平面 ABCD,过 BC 作平面 BCFE 交 AP 于点 E,交 DP 于点 F,求证:四边形 BCFE 为梯形. 3 2 图 2227 【证明】 ∵四边形 ABCD 是矩形,∴BC∥AD. ∵AD?平面 APD,BC?平面 APD, ∴BC∥平面 APD. 又平面 BCFE∩平面 APD=EF, ∴BC∥EF,∴AD∥EF. 又 E,F 是△APD 边上的点, ∴EF≠AD,∴EF≠BC. ∴四边形 BCFE 是梯形. 9.如图 2228,S 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点,M,N 分别是 SA, AM DN BD 上的点,且 SM = NB ,求证:MN∥平面 SBC. 图 2228 AP AM 【证明】 在 AB 上取一点 P,使BP= SM ,连接 MP, NP,则 MP∥SB. ∵SB?平面 SBC,MP?平面 SBC,∴MP∥平面 SBC. AM DN AP DN 又 SM = NB ,∴BP= NB ,∴NP∥AD. ∵AD∥BC,∴NP∥BC. 又 BC?平面 SBC,NP?平面 SBC, ∴NP∥平面 SBC. 又 MP∩NP=P, ∴平面 MNP∥平面 SBC,而 MN?平面 MNP, ∴MN∥平面 SBC. [能力提升] 10.对于直线 m、n 和平面 α,下列命题中正确的是( A.如果 m?α,n?α,m、n 是异面直线,那么 n∥α B.如果 m?α,n?α,m、n 是异面直线,那么 n 与 α 相交 C.如果 m?α,n∥α,m、n 共面,那么 m∥n D.如果 m∥α,n∥α,m、n 共面,那么 m∥n 【解析】 对于 A,如图(1)所示,此时 n 与 α 相交,故 A 不正确;对于 B, 如图(2)所示,此时 m,n 是异面直线,而 n 与 α 平行,故 B 不正确;对于 D,如 ) 图(3)所示,m 与 n 相交,故 D 不正确.故选 C. 图(1) 【答案】 C 图(2) 图(3) 11.如图 2229,三棱柱 ABC

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