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定积分练习题及答案

时间:2014-01-01


第五章 定积分
(A 层次) 1. ? 2 sin x cos3 xdx ;
0

?

2. ? x 2 a 2 ? x 2 dx ;
0

a

3. ?

3

dx x
2

1

1? x2



4. ? 7. ?

1 ?1

xdx 5 ? 4x
dx



5. ? ;

4

dx x ?1



1

6. ? 3
4

1

dx 1? x ?1



e2

1

x 1 ? ln x
?
4

8. ?

dx ; ? 2 x ? 2x ? 2
0 2

9. ?

?

0

1 ? cos2 xdx ;

10. ? x sin xdx ;
??

11. ? ? 4 cos xdx ;
2 4 ? 2

?

x 3 sin 2 x dx ; 12. ? 4 ?5 x ? 2 x 2 ? 1
5

13. ??3
?

x dx ; sin 2 x 4

?

14. ? 17. ?

4

ln x x

1

dx ;

15. ? xarctgxdx;
0

1

16. ? 2 e 2 x cos xdx ;
0

?x sin x?2 dx ; 0
?
0

?

18. ? sin?ln x?dx ;
e 1

19. ?

?
2 ?

?
4

cos x ? cos x dx ; 20. ? 4
3

? sin x x sin x dx ; dx ; 21. ? 0 1 ? cos 2 x 1 ? sin x

22. ? 2 x ln
0

1

1? x dx ; 1? x

23. ?

1? x2 dx ; ?? 1 ? x 4
??

24. ? 2 ln sin xdx ;
0

?

25. ?

??

0

?

dx dx ?? ? 0? 。 1 ? x 1 ? x?
2

??

?

(B 层次) 1.求由 ? e t dt ? ? costdt ? 0 所决定的隐函数 y 对 x 的导数
0 0 y x

dy 。 dx

2.当 x 为何值时,函数 I ?x ? ? ? te ?t dt 有极值?
x
2

0

3.

d cos x 2 ?sin x cos ?t dt 。 dx

? ?

? x ? 1, x ? 1 2 ? 4.设 f ? x ? ? ? 1 2 ,求 ? f ?x?dx 。 0 ?2 x , x ? 1 ?

1

? ?arctgt? dt 。 5. lim
x 2 0 x ???

x2 ?1

?1 x ? sin x, 0 ? x ? ? 6.设 f ? x ? ? ? 2 ,求 ? ?x ? ? ? f ?t ?dt 。 0 ? 0, 其它 ?
? 1 ?1 ? x , 当x ? 0时 ? 7.设 f ? x ? ? ? ? 1 , 当x ? 0时 ?1 ? e x ?

,求 ? f ?x ? 1?dx 。
2 0

8. lim

1 n ?? n 2

? n?
n

2n ? ? ? n 2 。
k n 2k n

?

9.求 lim ?
n ?? k ?1

e



n ? ne

10.设 f ? x ? 是连续函数,且 f ?x ? ? x ? 2? f ?t ?dt ,求 f ? x ? 。
1 0

11.若 ?

2 ln 2 x

dt e ?1
t
? 1 2

?

?
6
1 ?

,求 x 。

12.证明: 2e

??

2 1 2

e ? x dx ? 2 。
2

?? ? x?a? 2 ?2 x 13.已知 lim ? ? ? ?a 4 x e dx ,求常数 a 。 x ??? x ? a ? ? x
2 ? 3 ?1 ? x , x ? 0 14.设 f ? x ? ? ? ? x ,求 ? f ?x ? 2?dx 。 1 ?e , x?0 ?

15.设 f ? x ? 有一个原函数为 1? sin 2 x ,求 ? 2 xf ??2 x ?dx 。
0

?

16.设 f ?x ? ? ax ? b ? ln x ,在 ?1,3? 上 f ?x ? ? 0 ,求出常数 a ,b 使 ? f ?x ?dx 最
3 1

小。 17.已知 f ?x? ? e ? x ,求 ? f ??x ? f ???x ?dx 。
2

1

0

18.设 f ?x? ? x 2 ? x? f ?x?dx ? 2? f ?x?dx ,求 f ? x ? 。
2 1 0 0

19. ?

?

0

? f ?cos x?cos x ? f ??cos x?sin x?dx。
2

2

20.设 x ? 0 时, F ?x ? ? ? x 2 ? t 2 f ???t ?dt 的导数与 x 2 是等价无穷小,试求
x 0

?

?

f ???0? 。

(C 层次) 1 . 设 f ?x ? 是 任 意 的 二 次 多 项 式 , g ?x ? 是 某 个 二 次 多 项 式 , 已 知

? 1? ?1? ? f ?x?dx ? 6 ? f ?0? ? 4 f ? 2 ? ? f ?1?? ,求 ? g ?x ?dx 。 ? ? ? ?
1

b

0

a

2.设函数 f ? x ? 在闭区间 ?a, b? 上具有连续的二阶导数,则在 ?a, b ? 内存在 ? ,
b ? a ?b? 1 3 使得 ? f ?x ?dx ? ?b ? a ? f ? ? ? ?b ? a ? f ???? ? 。 a ? 2 ? 24

3 . f ? x ? 在 ?a, b? 上 二 次 可 微 , 且 f ??x? ? 0 , f ???x ? ? 0 。 试 证
b ?b ? a ? f ?a ? ? ?a f ? x ?dx ? ?b ? a ? f ?b ? ? f ?a ? 。

2

4. 设函数 f ? x ? 在 ?a, b? 上连续, f ?? x ? 在 ?a, b? 上存在且可积, f ?a ? ? f ?b? ? 0 , 试证 f ? x ? ?
1 b f ?? x ?dx ( a ? x ? b )。 2 ?a
1 1 0 0

5.设 f ? x ? 在 ?0,1? 上连续, ? f ?x?dx ? 0 , ? xf ?x ?dx ? 1 ,求证存在一点 x ,
0 ? x ? 1 ,使 f ?x? ? 4 。

6.设 f ? x ? 可微, f ?0? ? 0 , f ??0? ? 1 , F ?x? ? ? tf x 2 ? t 2 d t ,求 lim
x 0
x? 0

?

?

F ?x ? 。 x4

7 . 设 f ?x ? 在
4
b

?a, b?

上 连 续 可 微 , 若 f ?a ? ? f ?b? ? 0 , 则

f ? x ?dx ? max f ?? x ? 。 ?b ? a ? ?
2 a a ? x ?b

8 . 设 f ? x ? 在 ?A, B? 上 连 续 , A ? a ? b ? B , 求 证 lim ?
k ?0

b a

f ?x ? k ? ? f ?x ? dx k

? f ?b? ? f ?a ? 。
9. f ? x ? 为奇函数, ?? ?,??? 内连续且单调增加,F ?x ? ? ? ?x ? 3t ? f ?t ?dt , 设 在
x 0

3

证明:(1) F ? x ? 为奇函数;(2) F ? x ? 在 ?0,??? 上单调减少。 10.设 f ? x ? 可微且积分 ? ? f ?x ? ? xf ?xt ??dt 的结果与 x 无关,试求 f ? x ? 。
1 0

11.若 f ???x? 在 ?0, ? ?连续, f ?0? ? 2 , f ?? ? ? 1 ,证明:

? ? f ?x? ? f ???x??sin xdx ? 3 。
?
0

12.求曲线 y ? ? ?t ? 1??t ? 2?dt 在点(0,0)处的切线方程。
x 0

13 . 设 f ? x ? 为 连 续 函 数 , 对 任 意 实 数 a 有

??

? ?a
?a

sin xf ?x ?dx ? 0 , 求 证

f ?2? ? x ? ? f ?x ? 。
14.设方程 2 x ? tg ?x ? y ? ? ?
x? y

0

sec 2 tdt ,求

d2y 。 dx 2

15.设 f ? x ? 在 ?a, b? 上连续,求证:
h ?0

lim ?

1 x ? f ?t ? h ? ? f ?t ??dt ? f ?x ? ? f ?a ? ( a ? x ? b ) h ?a
x 2 ?1? x ? 0

16.当 x ? 0 时, f ? x ? 连续,且满足 ? 17.设 f ? x ? 在 ?0,1? 连续且递减,证明

f ?t ?dt ? x ,求 f ?2? 。

? ? f ?x?dx ? ? f ?x?dx ,其中 ? ? ?0,1? 。
1 0 0

?

18.设 f ?? x ? 连续, F ?x? ? ? f ?t ? f ??2a ? t ?dt , f ?0? ? 0 , f ?a ? ? 1 ,试证:
x 0

F ?2a? ? 2F ?a? ? 1 。
19.设 g ? x ? 是 ?a, b? 上的连续函数, f ?x ? ? ? g ?t ?dt ,试证在 ?a, b ? 内方程
x a

g ?x ? ?

f ?b ? ? 0 至少有一个根。 b?a

20.设 f ? x ? 在 ?a, b? 连续,且 f ?x ? ? 0 ,又 F ? x ? ? ? f ?t ?dt ? ?
x a

x

b

1 dt ,证明: f ?t ?

(1) F ??x ? ? 2

(2) F ? x ? ? 0 在 ?a, b ? 内有且仅有一个根。
2a 0

21.设 f ? x ? 在 ?0,2a? 上连续,则 ?

f ?x ?dx ? ? ? f ?x ? ? f ?2a ? x ??dx 。
a 0

22.设 f ? x ? 是以 ? 为周期的连续函数,证明:

4

? ? ? ?sin x ? x? f ?x?dx ? ? ?2x ? ? ? f ?x?dx 。
2 0 0

23.设 f ? x ? 在 ?a, b? 上正值,连续,则在 ?a, b ? 内至少存在一点 ? ,使
? 1 ? f ?x ?dx ? ?? f ?x ?dx ? 2 ? f ?x ?dx 。
b b a a

24.证明 ? ln f ? x ? t ?dt ? ? ln
1 x 0 0

1 f ?u ? 1? du ? ? ln f ?u ?du 。 0 f ?u ?

25.设 f ? x ? 在 ?a, b? 上连续且严格单调增加,则 ?a ? b?? f ?x ?dx ? 2? xf ?x ?dx 。
b b a a

26. f ? x ? 在 ?a, b? 上可导, f ??x ? ? M ,f ?a ? ? 0 , ? f ? x ?dx ? 设 且 则
b a

M ?b ? a ?2 。 2

27 . 设 f ? x ? 处 处 二 阶 可 导 , 且 f ???x? ? 0 , 又 u?t ? 为 任 一 连 续 函 数 , 则
1 a ?1 a ? f ?u ?t ??dt ? f ? ? u ?t ?dt ? , ?a ? 0? 。 ?0 0 a ?a ?
b ?a ?b? 28. f ? x ? 在 ?a, b? 上二阶可导,且 f ???x? ? 0 , ? f ? x ?dx ? ?b ? a ? f ? 设 则 ?。 a ? 2 ?

29.设 f ? x ? 在 ?a, b? 上连续,且 f ?x ? ? 0 , ? f ?x ?dx ? 0 ,证明在 ?a, b? 上必有
b a

f ?x ? ? 0 。
30 . f ? x ? 在 ?a, b? 上 连 续 , 且 对 任 何 区 间 ?? , ? ? ? ?a, b? 有 不 等 式
? ?? f ?x ?dx ? M ? ? ?
1??

( M , ? 为正常数),试证在 ?a, b? 上 f ?x ? ? 0 。

第五章 定积分
(A) 1. ? 2 sin x cos3 xdx
0

?

2 1 1 解:原式 ? ? ? 2 cos3 xdx ? ? cos4 x ? 0 4 4 0

?

?

2. ? x 2 a 2 ? x 2 dx
0

a

5

解:令 x ? a sin t ,则 dx ? a cos tdt 当 x ? 0 时 t ? 0 ,当 x ? a 时 t ?
?

?
2

原式 ? ? 2 a 2 sin 2 t ? a cost ? a costdt
0

a4 ? 4

?

?
2 0

a4 s i n 2tdt ? 8
2

s ? ?1 ? c o 4t ?dt
2 0

?

2 a4 ? a4 1 ? ? ? sin 4t ? a 4 8 2 8 4 16 0

?

3. ?

3

dx x
2

1

1? x2

解:令 x ? tg? ,则 dx ? sec 2 ?d? 当 x ? 1 , 3 时 ? 分别为 原式 ? ? ?3
?

? ? , 4 3

sec2 ? d? tg 2? sec? 4
?2

?

? ? ?3 ?s i n ? d s i n ? ?
4

? 2?

2 3 3

4. ?

1 ?1

xdx 5 ? 4x
1 5 1 2 ? u , dx ? ? udu 4 4 2

解:令 5 ? 4 x ? u ,则 x ?

当 x ? ?1 ,1 时, u ? 3,1 原式 ? ? 5. ?
4
1 3

1 1 5 ? u 2 du ? 8 6

?

?

dx x ?1

1

解:令 x ? t , dx ? 2tdt 当 x ? 1 时, t ? 1 ;当 x ? 4 时, t ? 2

6

原式 ? ?

2 1

2 dt ? 2tdt ? 2 ? 2?? dt ? ? 1 1? t ? 1? t ? 1 ?
2 2

? 2 t 1 ? ln?1 ? t ? 1 ? 2 ? 2 ln

?

?

2 3

6. ? 3
4

1

dx 1? x ?1

解:令 1 ? x ? u ,则 x ? 1 ? u 2 , dx ? ?2udu 当x ?
3 1 ,1 时 u ? ,0 4 2

原式 ? ? 1 7. ?
e2

? 2u u ?1?1 du ? 2? 2 du ? 1 ? 2 ln 2 0 u ?1 2 u ?1
0 1

dx x 1 ? ln x
e2 1

1

解:原式 ? ?

1 1 ? ln x
e2 1

d ln x ? ?

e2 1

1 1 ? ln x

d ?1 ? ln x ?

? 2 1 ? ln x
8. ?
dx ? 2 x ? 2x ? 2
0 2

? 2 3?2

解:原式 ? ?

0 ?2

1 ? ? x ? 1?

dx

2

? arctg? x ? 1? ?2
0

? a r c t1g a r c t?? 1? ? ? g

?
4

?

?
4

?

?
2

9. ?

?

0

1 ? cos2 xdx
?
0

解:原式 ? ?

2 cos2 xdx ? 2 ? cos x dx
0

?

? 2 ? 2 c o xdx ? 2 ? ? ?? c o x ?dx s s
0 2

?

?

? ? ? ? ? 2 ?s i n 0 ? s i n ? ? ? 2 2 x2 x 2 ? ?

10. ? x 4 sin xdx
??

?

解:∵ x 4 sin x 为奇函数

7

∴ ? x 4 sin xdx ? 0
??

?

11. ? 2? 4 cos4 xdx
? 2

?

解:原式 ? 4 ? 2? 2 cos4 xdx ? 2?
0

?

?
2 0

?2 cos x? dx
2 2

? 2?

?
2 0

?1 ? cos2 x ?
?

2

dx ? 2? 2 ?1 ? 2 cos 2 x ? cos2 2 x ?dx
0

?

2 ? 2 x 0 ? 2? 2 cos 2 xdx ? ? 0

?

?
2 0

?1 ? cos4 x ?dx

2 ? ? ? 2 sin 2 x 0 ?

?

?
2

?

1 2 cos4 xd 4 x 4 ?0

?

?
2 3 1 3 ? ? ? sin 4 x ? ? 2 4 2 0

12. ?

x 3 sin 2 x dx ?5 x 4 ? 2 x 2 ? 1
5

解:∵

x 3 sin 2 x 为奇函数 x 4 ? 2x 2 ? 1 x 3 sin 2 x dx ? 0 ?5 x 4 ? 2 x 2 ? 1
5

∴? 13. ??3
?

x dx sin 2 x 4
?

解:原式 ? ???3 xdctgx
4

? ? x c t g ?x ? ??3 c t g x d x
3 4 4

?

?

? ?1 3? ?? ? ln s i n ? ?? ? x3 ?4 9 ? 4 ? ?

?1 3? 3 2 ? ?? ? ? 4 9 ?? ? ln 2 ? ln 2 ? ?

8

?1 3? 1 3 ? ?? ? ? 4 9 ?? ? 2 ln 2 ? ?

14. ?

4

ln x x

1

dx
4

解:原式 ? 2? ln xd x
1

? 2? x ln x ? ? ? 1 1 ?
4

4

x d ln x ? ? ?

4 1 ? ? ? 2?4 ln 2 ? ? x dx? 1 x ? ?
1

? 8 ln 2 ? 2? x 2 dx
1

4

?

? 8 ln 2 ? 4

15. ? xarctgxdx
0

1

解:原式 ?

1 1 arctgxdx 2 2 ?0
2 1 x 1 ? 1? 2 x arctgx ? ? dx? ? 2 0 01? x 2? ?

?
?

?
8

?

1 1 1 1 dx dx ? ? 2 ?0 2 01? x2
1 1

1 1 ? ? x ? a rctg x 8 2 0 2 0
?
?

?
?

4

?

1 2

16. ? 2 e 2 x cos xdx
0

解:原式 ? ? 2 e 2 x d sin x
0

?

?e sin x
2x

?
2 0

? ? 2 s i n ? 2e 2 x dx x
0

?

? e ? 2? 2 e 2 x d c o s x
?
0

?

9

? e ? 2e c o s x
2x

?

?
2 0

? 2 ? 2 c o s ? 2e 2 x dx x
0

?

? e? ? 2 ? 4? 2 e 2 x c o s d x x
0

?

故 ? 2 e 2 x cos xdx ?
0

?

1 ? e ?2 5

?

?
1 ? cos 2 x dx 2

17. ?

?

0

?x sin x?2 dx
?x sin x ?2 dx ? ? 0 0
? ?

解:原式 ? ?
?

x2

1 ? 2 1 ? 2 ? 0 x dx ? 2 ? 0 x c o s2 x d x 2
?

1 ? x3 6
?

?
0

1 ? 2 x dsinx 2 4 ?0

?3
?3
6

? ? 1 ? ?x 2 s i n x ? ? s i n x ? 2x d ? 2 2 x 0 ? ? 0 ? 6 4?

?

?

1 ? xd cos 2 x 4 ?0
? 1? ?3 ? ? x c o 2x 0 ? ? c o 2x d ? ? s s x ? ? 6 4 0 ? ? 4?

?
e

?3
6

?

18. ? sin?ln x?dx
1
e 1 e 解:原式 ? x sin ?ln x ? 1 ? ? x cos ?ln x ? ? dx 1 x

? e sin 1 ? ? cos?ln x?dx
e 1
e 1 ? e ? ? e sin 1 ? ? x cos?ln x ? 1 ? ? x sin ?ln x ? ? dx? 1 x ? ?

? e sin 1 ? e cos1 ? 1 ? ? sin?ln x?dx
e 1

故 ? sin ?ln x ?dx ?
e 1

e ?sin 1 ? cos 1 ? 1? 2

19. ? 2? cos x ? cos3 x dx
? 4

?

解:原式 ? ? 2? cos x 1 ? cos2 x dx
? 4

?

?

?

10

??

0 ?

?
4

c o x ?? s i n ?dx ? ? 2 c o x s i n d x s x s x
0
0

?

?

3 3 ?2 ? ? 2 ?2 ? ? ?c o x ? 2 ? ? ?? ?c o x ? 2 ? s s ?3 ? ?? ? 3 ?0 4

?

4 42 ? 3 3

20. ? 4
0

?

sin x dx 1 ? sin x
?

解:原式 ? ? 4
0

sin x?1 ? sin x ? dx 1 ? sin 2 x

x ? sin ? ? ?4? ? tg 2 x ?dx 2 0 ? c o sx ?
? ??
?
4 0

?

dco x s 2 ? ? 4 s e c x ? 1 dx 2 0 c o sx
?

?

?

?

? 1 4 ? ? ? ?t g x x ? 0 ? 2 ? ? 2 ? 4 cox0 s 4

21. ?

?
0

x sin x dx 1 ? cos 2 x

解:令 x ?

?

2

? t ,则

?? ? ?? ? ? ? t ? sin ? ? t ? ? 2 ? ?2 ? 原式 ? ? ? ? 2 ? dt ? 2?? 2 1 ? cos ? ? t ? ?2 ?
?
?

? ?? ?

?
2

2

c o ts t c o ts 2 ? dt 2 2 1? s i n t 1? s i n t

?

???

?
2 0

? c o ts ?2 2 ? ? t dt ? ?a r c tsgi n? 0 2 4 1? s i n t

22. ? 2 x ln
0

1

1? x dx 1? x

11

解:原式 ? ? 2 ln
0

1

1? x ? x2 d? 1? x ? 2 ?
1 2

? ? ? ?
1

x 1? x x 2 1 ? x 1 ? x ? ?1 ? x ??? 1? 2 ? ln ? ? ? dx 2 1 ? x 0 ?0 2 1 ? x ?1 ? x?2
2

1 x2 ? l n3 ? ? 2 l n 2 dx 0 8 x ?1 1 dx ? ln 3 ? ? 2 dx ? ? 2 2 0 0 x ?1 8
1 1

1

1 1 1 x ?1 ? ln 3 ? ? ln 8 2 2 x ?1
? 1 3 ? ln 3 2 8

1 2 0

23. ?

1? x2 dx ?? 1 ? x 4
??

解:原式 ? ?

??

0

1 ?1 ?? 1? x2 x2 dx ? 2? dx 0 1 1? x4 2 ?x x2
1 1? ? ?x ? ? ? 2 x? ?
??

? 2?

?? 0

2

1? ? d? x ? ? x? ?

1 x? 2 x ? arctg 2 2
?

? 2?
0?

24. ? 2 ln sin xdx
0

解:原式 ? ?

?

2 0

x x? ? ln? 2 sin ? cos ?dx 令x?2t 2? 4 ?ln 2 ? ln sin t ? ln cost ?dt 0 2 2? ?

?

?

?

? ? ? ? ln 2 ? 2?? 4 ln sin tdt ? ? 4 ln c o tdt? s 0 0 2 ? ?

12

t ? ?u 2

?

?

? ? ? ? ln 2 ? 2? ? 4 ln sin tdt ? ? ?2 ln s i n ? udu 0 2 4 ? ?

?

?
2
?

ln 2 ? 2? 2 ln s i n tdt
0

?

故 ? 2 ln sin xdx ? ?
0

?
2

ln 2

25. ?

??

0

?

dx 1 ? x 1 ? x?
2

??

?

?? ? 0?

1 1 解:令 x ? ,则 dx ? ? 2 dt t t

1 dt ?? t ? dt t2 原式 ? ? ?? ?? 1 ? t 2 1 ? t ? 0 1 ? t 2 1 ? t? ? ? t2 t
0

?

?

??

?

∴ 2?

??

0

?

?? ?? dx dx x? dx ?? ?? 0 0 1 ? x 2 1 ? x? 1 ? x 2 1 ? x? 1 ? x 2 1 ? x?

??

?

?

??

?

?

??

?

??

?? 0

1 ? ?? dx ? a r c t g x ? 2 0 2 1? x
2

故?

??

0

?

dx ? ? ? 4 1? x 1? x

??

?

(B) 1.求由 ? e t dt ? ? costdt ? 0 所决定的隐函数 y 对 x 的导数
0 0 y x

dy 。 dx

解:将两边对 x 求导得
dy ?cos ? 0 x dx dy cos x ?? y ∴ dx e ey

2.当 x 为何值时,函数 I ?x ? ? ? te ?t dt 有极值?
x
2

0

解: I ??x? ? xe? x ,令 I ?? x ? ? 0 得 x ? 0
2

当 x ? 0 时, I ?? x ? ? 0

13

当 x ? 0 时, I ?? x ? ? 0 ∴当 x ? 0 时,函数 I ?x ? 有极小值。
d cos x cos ?t 2 dt 。 dx ?sin x cos t d ? a cos ?t 2 dt ? ? cos ?t 2 dt ? 解:原式 ? ? ? sin x ? a ? dx ? sin x cos x d ? ? ? cos ?t 2 dt ? ? cos ?t 2 dt ? ? ?a ? a ? dx ?

3.

? ?

? ?
?

?

?

? ?

? ?
?

? ? 2 2 ? ? c o s s i n x ?s i n ? ? c o sc o s x ?c o s ? ? x x
2 ? ? c o ? s i n c o x ? c o ? c o 2s x ?? s i n ? s s s x 2 2 ? ?c o ? s i n x c o x ? s i n c o ? ?? s i n x s s x s

?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?s i n ? c o x?c o s s i n x x s ? 2

?

?

? x ? 1, x ? 1 2 ? 4.设 f ? x ? ? ? 1 2 ,求 ? f ?x?dx 。 0 ?2 x , x ? 1 ?

解: ? f ? x ?dx ? ? ? x ? 1?dx ? ?
2 1 0 0

2 1

1 2 x dx 2
2

1 8 ?1 ? ? ? x2 ? x? ? x3 ? ?2 ?0 6 1 3

1

? ?arctgt? dt 。 5. lim
x 2 0 x ???

x2 ?1

? ?arctgt? 解: lim
x 0 x ? ??

2

dt

? 型 ?

x2 ?1

x ? ??

lim

?arctgx?2
1 ? 1 2 x ? 1 2 2x 2

?

?

? lim

x ? ??

x ? 1?a r c t ? x g ? lim x ? ?? x
2 2

x 1?

1 a rc t2 x g x2 x

?

?

1 ?2 2 ? l i m 1 ? 2 ?arctgx? ? x ??? 4 x
?1 x ? sin x, 0 ? x ? ? 6.设 f ? x ? ? ? 2 ,求 ? ?x ? ? ? f ?t ?dt 。 0 ? 0, 其它 ?
14

解:当 x ? 0 时, ? ?x ? ? ? f ?t ?dt ? ? 0dt ? 0
x x 0 0

当 0 ? x ? ? 时, ? ? x ? ? ?

1 1 ? cos x sin tdt ? 02 2
x

x ? x ? x 当 x ? ? 时, ? ? x ? ? ? f ?t ?dt ? ? f ?t ?dt ? ? f ?t ?dt ? ? 1 sin tdt ? ? 0dt ? 1 0 0 ? 0 ?

2

当 ? 0时 ?0, ? ?1 故 ? ? x ? ? ? ?1 ? cos x ?, 当0 ? x ? ?时 。 ?2 当x ? ?时 ?1, ?
? 1 ?1 ? x , 当x ? 0时 ? 7.设 f ? x ? ? ? ? 1 , 当x ? 0时 ?1 ? e x ? ?1 当x ? 1时 ?x , ? 解: f ? x ? 1? ? ? ? 1 , 当x ? 1时 ?1 ? e x ?1 ?

,求 ? f ?x ? 1?dx 。
2 0

? f ?x ? 1?dx ? ?
2 0

1 0

2 dx 1 ?? dx x ?1 1 1 ? ? x ? 1? 1? e

??

2 dx 1 ? e x ?1 ? e x ?1 d ? x ? 1? ? ? x ?1 0 1 x 1? e 1

? 1 ? ln 1 ? e x ?1
? ln?1 ? e?
8. lim
1 n ?? n 2

?

?

1 0

? ln 2

? n?

2n ? ? ? n 2 。

?

? 1 2 n?1 ? ? ?? ? 解:原式 ? lim? n ??? n n n?n ? ?

? lim ?
n?? i ?1

n

1 i 1 2 ? ? ? xdx ? 0 n n 3

k

9.求 lim ?
n ?? k ?1

n

en n ? ne
2k n



15

k

解:原式 ? lim ?
n ?? k ?1

n

en 1? e
2k n

1 n

??

1 ex ? dx ? a r c t x e? a r c t g e g ? 2x 0 01? e 4 1

10.设 f ? x ? 是连续函数,且 f ?x ? ? x ? 2? f ?t ?dt ,求 f ? x ? 。
1 0

解:令 ? f ?t ?dt ? A ,则 f ?x ? ? x ? 2 A ,
1 0

从而 ? f ? x ?dx ? ? ? x ? 2 A?dx ?
1 1 0 0

1 ? 2A 2

即A?

1 1 ? 2A , A ? ? 2 2

∴ f ?x ? ? x ? 1 11.若 ?
2 ln 2 x

dt et ? 1

?

?
6

,求 x 。

解:令 et ?1 ? u ,则 t ? ln 1 ? u 2 , dt ? 当 t ? 2 ln 2 时, u ? 3 当 t ? x 时, u ? e x ? 1 ∴?
2 ln 2 x

?

?

2u du 1? u2

dt et ? 1

??

3 e ?1
x

?

2udu ? 2arctgu 1? u2 u

?

3 e x ?1

?? ? ? ? 2? ? a r c t g x ? 1 ? ? e ?3 ? 6

从而 x ? ln 2 12.证明: 2e
? 1 2

??

1 ? 2 1 2

e ? x dx ? 2 。
2

2 ? 1 1 ? 证:考虑 ?? 上的函数 y ? e ? x ,则 , ? 2 2? ?

y? ? ?2xe? x ,令 y ? ? 0 得 x ? 0
2

? 1 ? 当 x ??? ,0 ? 时, y ? ? 0 2 ? ?
16

? 1 ? 当 x ? ? 0, ? 时, y ? ? 0 2? ?
∴ y ? e ? x 在 x ? 0 处取最大值 y ? 1 , y ? e ? x 在 x ? ? 且
2 2

1 2

处取最小值 e

?

1 2

故?

1 ? 2 1 2

e 2 dx ? ?
? 1 2

?

1

1 ? 2 1 2

e ? x dx ? ?
2

1 ? 2 1 2

1dx

即 2e

??

1 ? 2 1 2

e ? x dx ? 2 。
2

?? ? x?a? 2 ?2 x 13.已知 lim ? ? ? ?a 4 x e dx ,求常数 a 。 x ??? x ? a ? ? x

2a ? ? ?2 a 解:左端 ? lim ?1 ? ? ?e x??? x?a? ?
右端 ? ?
?? a

x

?? 2x e ?d ?? 2x? ? ?
2 ?2 x
?? a

??

a

? 2 x 2 de?2 x

? ?2? x 2 e ? 2 x ? ?

??
??

?? a

2 xe ? 2 x dx ? ? ?

? 2a 2 e ?2a ? 2?

a

x d ?2 x e
?? a

? 2a 2 e ? 2 a ? 2? xe ? 2 x ? ?

??

?? a

e ? 2 x dx ? ? ?

? 2a 2 ? 2a ? 1 e ?2a
∴ 2a 2 ? 2a ? 1 e ?2a ? e ?2a 解之 a ? 0 或 a ? ?1 。
2 ? ?1 ? x , 14.设 f ? x ? ? ? ? x ?e , ?

?

?

?

?

x?0 x?0

,求 ? f ?x ? 2?dx 。
3 1

解:令 x ? 2 ? t ,则

?

3

1

f ? x ? 2?dx ? ? f ?t ?dt ? ? 1 ? t 2 dt ? ? e ?t dt ?
1 0 1 ?1 ?1 0

?

?

7 1 ? 3 e

15.设 f ? x ? 有一个原函数为 1? sin x ,求 ? 2 xf ??2 x ?dx 。
2

?

0

? 解:令 2 x ? t ,且 f ? x ? ? ?1 ? sin 2 x ? ? sin 2 x

17

?

?

2 0

xf ??2 x ?dx ? ?
?

?
0

t 1 1 ? f ??t ? dt ? ? tf ??t ?dt 2 2 4 0

? 1 ? 1 ? ? 0 tdf ?t ? ? 4 ?tf ?t ? 0 ? ? 0 f ?t ?dt ? ? ? ? ? 4 ? 1 ? 2 ? ?t s i n t 0 ? 1 ? s i n t ? ? 0 2 ? 0 ? ? 4?

?

?

16.设 f ?x ? ? ax ? b ? ln x ,在 ?1,3? 上 f ?x ? ? 0 ,求出常数 a ,b 使 ? f ?x ?dx 最
3 1

小。 解: ? f ?x ?dx 最小, ? ?ax ? b ? ln x ?dx 最小, f ?x? ? ax ? b ? ln x ? 0 知, 当 即 由
3 3 1 1

y ? ax ? b 在 y ? ln x 的上方, 其间所夹面积最小,则 y ? ax ? b 是 y ? ln x 的切线,

而 y? ?

1 1 1 , 设 切 点 为 ?x0 , ln x0 ? , 则 切 线 y ? ? x ? x0 ? ? ln x0 , 故 a ? , x x0 x0

b ? ln x0 ? 1 。
于是 I ? ?
3 1 3 ?ax ? b ? ln x ?dx ? ? a x 2 ? bx? ? ?1 ln xdx ? ? ?2 ?1 3

? 4a ? 2?1 ? ln a ? ? ? ln xdx
3 1

? 令 Ia ? 4 ?

2 1 ? 0得a ? a 2

从而 x0 ? 2 , b ? ln 2 ? 1
? 又 I a? ?
3 2 ? 0 ,此时 ? f ?x ?dx 最小。 2 1 a
2

17.已知 f ?x? ? e ? x ,求 ? f ??x ? f ???x ?dx 。
1 0

解: f ??x? ? ?2xe? x
1

2

? f ??x ? f ???x ?dx ? ?
0

1 0

1 2 f ?? x ?df ?? x ? ? ? f ?? x ?? 2
1

1

0

2 2 1? ?x ? ? ? ? 2 xe ? ? 2?

? 2e ? 2
0

18.设 f ?x? ? x 2 ? x? f ?x?dx ? 2? f ?x?dx ,求 f ? x ? 。
2 1 0 0

解:设 ? f ?x ?dx ? A , ? f ?x ?dx ? B ,则 f ?x? ? x 2 ? Bx ? 2 A
1 2 0 0

18

∴ A ? ? f ? x ?dx ? ? ?x 2 ? Bx ? 2 A?dx ?
1 1

1 1 ? B ? 2A 0 0 3 2 2 2 8 ∴ B ? ? f ? x ?dx ? ? x 2 ? Bx ? 2 A dx ? ? 2 B ? 4 A 0 0 3 1 4 解得: A ? , B ? ,于是 3 3 4 2 f ?x ? ? x 2 ? x ? 3 3

?

?

19. ?

?

0

? f ?cos x?cos x ? f ??cos x?sin x?dx。
2

解:原式 ? ? f ?cos x ? cos xdx ? ? sin xf ??cos x ?d cos x
0 0

?

?

? ? f ?c o x? c o xdx ? s i n ?c o x? 0 ? ? f ?c o x ? c o x d x s s xf s s s
?
0 0

?

?

?0

20.设 x ? 0 时, F ?x ? ? ? x 2 ? t 2 f ???t ?dt 的导数与 x 2 是等价无穷小,试求
x 0

?

?

f ???0? 。

? ?x 解: lim
x 0 x ?0

2

? t 2 f ???t ?dt x3 3

?

? ? lim
x ?0

x 0

2 xf ???t ?dt x2

? lim
x ?0

2? f ???t ?dt
x 0

x

? lim

2 xf ???? ? x ?0 x

?? ? ?0, x ??

? 2 f ???0? ? 1
故 f ???0 ? ?
1 2

(C) 1 . 设 f ?x ? 是 任 意 的 二 次 多 项 式 , g ?x ? 是 某 个 二 次 多 项 式 , 已 知

?

1

0

f ?x ?dx ?

b ? 1? ?1? f ?0? ? 4 f ? ? ? f ?1?? ,求 ? g ? x ?dx 。 a 6? ? 2? ? ?

解:设 x ? ?b ? a ?t ? a ,则

I ? ? g ?x?dx ? ? g ??b ? a ?t ? a ??b ? a ?dt
b 1 a 0

? ?b ? a ?? g ??b ? a ?t ? a ?dt
1 0

19

令 g ??b ? a ?t ? a ? ? f ?t ?
?1? ?b?a? 于是 f ?0? ? g ?a ? , f ? ? ? g ? ? , f ?1? ? g ?b? ? 2? ? 2 ?

由已知得 I ?

? b?a ? ?b?a? ? g ?a ? ? 4 g ? 2 ? ? g ?b?? 6 ? ? ? ?

2.设函数 f ? x ? 在闭区间 ?a, b? 上具有连续的二阶导数,则在 ?a, b ? 内存在 ? ,
b ? a ?b? 1 3 使得 ? f ?x ?dx ? ?b ? a ? f ? ? ? ?b ? a ? f ???? ? 。 a 2 ? 24 ?

证:由泰勒公式
f ? x ? ? f ? x0 ? ? f ?? x0 ?? x ? x0 ? ? f ???? ? ? x ? x 0 ?2 2!

其中 x0 , x ? ?a, b?, ? 位于 x0 与 x 之间。 两边积分得:
f ???? ? ?x ? x0 ?2 dx a 2! f ???? ? 3
b

? f ?x ?dx ? ? f ?x ?dx ? ? f ??x ??x ? x ?dx ? ?
b b b a a 0 a 0 0

? ?b ? a ? f ? x0 ? ?

f ?? x0 ? ?b ? x0 ?2 ? ?a ? x0 ?2 ? 2

?

?

6

??b ? x ?
0

? ?a ? x0 ?

3

?

令 x0 ?
b

a?b ,则 2

a ?b? ?a ?b? ?a ?b?1 ? ? ? f ?? ? ?? b ? ? ? a f ?x ?dx ? ?b ? a ? f ? ? 2 ?
3

?

? 2 ? 2 ?? ?
3

2 a ?b? ? ? ? ?a ? ? ? 2 ? ? 2 ? ? ? 2

?

f ???? ? ?? a ?b? ? a ?b? ? ? ?a ? ? ?? b ? 6 ?? 2 ? ? 2 ? ?

? ? ? ?

?a ?b? 1 3 ? ?b ? a ? f ? ? ? ?b ? a ? f ???? ? , ? ? ?a, b ? 。 ? 2 ? 24

3 . f ? x ? 在 ?a, b? 上 二 次 可 微 , 且 f ??x? ? 0 , f ???x ? ? 0 。 试 证
b ?b ? a ? f ?a ? ? ?a f ? x ?dx ? ?b ? a ? f ?b ? ? f ?a ? 。

2

证明:当 x ? ?a, b ? 时,由 f ??x? ? 0 , f ???x ? ? 0 知 f ? x ? 是严格增及严格凹的, 从而 f ?x ? ? f ?a ? 及 f ? x ? ? f ?a ? ?
f ?b ? ? f ?a ? ?x ? a ? b?a

20

故 ? f ?x ?dx ? ? f ?a ?dx ? ?b ? a ? f ?a ?
b b a a

? f ?x?dx ? ?
b a

f ?b ? ? f ?a ? ? ?x ? a ?? dx ? f ?a ? ? ? a b?a ? ?
b

f ?b ? ? f ?a ? 1 ?b ? a ?2 b?a 2 f ?b ? ? f ?a ? ? ?b ? a ? 2 ? ?b ? a ? f ?a ? ?

4. 设函数 f ? x ? 在 ?a, b? 上连续, f ?? x ? 在 ?a, b? 上存在且可积, f ?a ? ? f ?b? ? 0 , 试证 f ? x ? ?
1 b f ?? x ?dx 2 ?a

( a ? x ? b )。

证明:因为在 ?a, b? 上 f ?? x ? 可积,故有

?

b a

f ??x ?dx ? ? f ??t ?dt ? ? f ??t ?dt
x b a x x b a x

而 f ?x ? ? ? f ??t ?dt , ? f ?x? ? ? f ??t ?dt 于是 f ? x ? ?
b 1? x ? a f ??t ?dt ? ? x f ??t ?dt ? ? ? ? 2? b 1 x 1 b f ? x ? ? ? ? f ??t ? dt ? ? f ??t ? dt ? ? ? f ??t ? dt ? 2 a x ? ? 2? a

5.设 f ? x ? 在 ?0,1? 上连续, ? f ?x?dx ? 0 , ? xf ?x ?dx ? 1 ,求证存在一点 x ,
1 1 0 0

0 ? x ? 1 ,使 f ?x? ? 4 。

证:假设 f ?x? ? 4 , x ? ?0,1? 由已知 ? f ?x ?dx ? 0 , ? xf ?x ?dx ? 1 ,得
1 1 0 0

1 ? ? xf ? x ?dx ?
1 0

1? 1 1 1? ? 0 f ?x?dx ? ? 0 ? x ? 2 ? f ?x?dx 2 ? ?

? ? x?
0

1

1 1 1 f ? x ? dx ? 4? x ? dx 0 2 2

1? ? 1?1 1? ? ? ? 4?? 2 ? ? x ?dx ? ? 1 ? x ? ?dx? ? 1 0 2? ? ? 2? ? ?2

故? x?
0

1

1 1 1 f ? x ? dx ? 4? x ? dx 0 2 2

21

从而 ? x ?
0

1

1 ? f ?x? ? 4?dx ? 0 2

∴ f ?x ? ? 4 ? 0 因为 f ? x ? 在 ?0,1? 连续,则 f ?x ? ? 4 或 f ?x ? ? ?4 。从而 ? f ?x ?dx ? 4 或 ? 4 ,
1 0

这与 ? f ?x ?dx ? 0 矛盾。故 f ?x? ? 4 。
1 0

6.设 f ? x ? 可微, f ?0? ? 0 , f ??0? ? 1 , F ?x? ? ? tf x 2 ? t 2 d t ,求 lim
x 0
x? 0

?

?

解:令 x 2 ? t 2 ? u ,则 F ? x ? ? 于是 lim

1 x f ?u ?du ,显然 F ??x? ? xf x 2 2 ?0
2

? ?

F ?x ? 。 x4

F ?x ? F ??x ? f x2 f x 2 ? f ?0? 1 1 ? lim ? lim ? lim ? f ??0? ? 。 4 3 2 2 x ?0 x x ?0 4 x x ?0 4 x x ?0 4 4 4 x ?0

? ?

? ? ?

?

7 . 设 f ?x ? 在
4
b

?a, b?

上 连 续 可 微 , 若 f ?a ? ? f ?b? ? 0 , 则

f ? x ?dx ? max f ?? x ? 。 ?b ? a ? ?
2 a a ? x ?b

? a ? b? ?a ? b ? 证:因 f ? x ? 在 ?a, b? 上连续可微,则 f ? x ? 在 ?a, 和 , b? 上均满足拉 2 ? ? 2 ? ? ? ?

格朗日定理条件,设 M ? max f ?? x ? ,则有
a ? x ?b

?

b a

f ?x ? dx ? ? ?? ??
a ?b 2 a

a ?b 2

a

f ?x ? dx ? ? a ?b f ?x ? dx
b 2 b

f ?a ? ? f ???1 ??x ? a ? dx ? ? a ?b f ?b? ? f ??? 2 ??x ? b? dx
2

a ?b 2

a

f ???1 ??x ? a ? dx ? ? a ?b f ??? 2 ??x ? b? dx
b 2 a ?b 2 a

? M?

4

x ? a dx ? M ? a?b x ? b dx ?
2

b

M ?b ? a?2 4

f ? x ?dx ? M 。 ?b ? a ? ?
b 2 a
b a k ?0

8 . 设 f ? x ? 在 ?A, B? 上 连 续 , A ? a ? b ? B , 求 证 lim ?

f ?x ? k ? ? f ?x ? dx k

? f ?b? ? f ?a ? 。
22

证: ?

b a

f ?x ? k ? ? f ?x ? 1 b 1 b dx ? ? f ? x ? k ?dx ? ? f ? x ?dx k k a k a
b b?k a?k a

令 x ? k ? u ,则 ? f ?x ? k ?dx ? ? 于是 ?
b a

f ?u ?du

f ? x ? k ? ? f ?k ? 1 b?k 1 b dx ? ? f ? x ?dx ? ? f ? x ?dx a?k k k k a 1 b?k 1 a?k ? ? f ? x ?dx ? ? f ? x ?dx k b k a b f ?x ? k ? ? f ?x ? 1 b?k 1 a?k dx ? lim ? f ? x ?dx ? lim ? f ? x ?dx 故 lim ? k ?0 a k ?0 k b k ?0 k a k

? f ?b? ? f ?a ?
9. f ? x ? 为奇函数, ?? ?,??? 内连续且单调增加,F ?x ? ? ? ?x ? 3t ? f ?t ?dt , 设 在
x 0

证明:(1) F ? x ? 为奇函数;(2) F ? x ? 在 ?0,??? 上单调减少。 证:(1) F ?? x ? ? ?
f ? x ?为奇函数
?x 0

?? x ? 3t ? f ?t ?dt t ??u ? ? 0 ? ?? x ? 3u ? f ?? u ?du
x

? ?? x ? 3u ? f ?u?du ? ?? ?x ? 3u ? f ?u ?du ? ?F ?x?
x x 0 0

∴ F ? x ? 为奇函数。
x x (2) F ??x ? ? ? x ? f ?t ?dt ? 3? tf ?t ?dt? ? 0 ? 0 ? ?

?

? ? f ?t ?dt ? xf ?x? ? 3xf ?x?
x 0

? ? f ?t ?dt ? 2 xf ?x ?
x 0

? ? ? f ?t ? ? f ?x ??dt ? xf ?x ?
x 0

由 于 f ?x ? 是 奇 函 数 且 单 调 增 加 , 当 x ? 0 时 , f ?x ? ? 0 ,

? ? f ?t ? ? f ?x??dt ? 0 ?? 0 ? t ? x? ,故 F ??x? ? 0 , x ? ?0,???,即 F ?x ? 在 ?0,??? 上
x 0

单调减少。 10.设 f ? x ? 可微且积分 ? ? f ?x ? ? xf ?xt ??dt 的结果与 x 无关,试求 f ? x ? 。
1 0

解:记 ? ? f ?x? ? xf ?xt ??dt ? C ,则
1 0

? ? f ?x? ? xf ?xt ??dt ? f ?x? ? ? f ?u ?du ? C
1 x 0 0

由 f ? x ? 可微,于是
23

f ??x ? ? f ?x ? ? 0
解之 f ?x? ? ke? x ( k 为任意常数) 11.若 f ???x? 在 ?0, ? ?连续, f ?0? ? 2 , f ?? ? ? 1 ,证明:

? ? f ?x? ? f ???x??sin xdx ? 3 。
?
0

解:因 ? f ???x ?sin xdx ? ? sin xdf ??x ?
0 0

?

?

? s i n f ??x ? 0 ? ? f ??x? c o x d x x s
?
0

?

? ?? f ??x ? c o x d x s
0

?

? ?? c o x d ? x ? ? ? f ? x ? c o x 0 ? ? f ? x ? s i n d x s f s x
?
0 0

?

?

? f ?? ? ? f ?0? ? ? f ?x?s i n d x x
0

?

? 1 ? 2 ? ? f ?x ?s i n d x 3 ? ? f ?x ?s i n d x x ? x
0 0

?

?

所以 ?

?

0

? f ?x? ? f ???x??sin xdx ? 3 。
x 0

12.求曲线 y ? ? ?t ? 1??t ? 2?dt 在点(0,0)处的切线方程。 解: y ? ? ?x ? 1??x ? 2? ,则 y ??0? ? 2 ,故切线方程为: y ? 0 ? 2?x ? 0? , 即 y ? 2x 。 13 . 设 f ? x ? 为 连 续 函 数 , 对 任 意 实 数 a 有

??

? ?a
?a

sin xf ?x ?dx ? 0 , 求 证

f ?2? ? x ? ? f ?x ? 。
证:两边对 a 求导

?? ?? s i n ? a ? f ?? ? a ? ? ?? 1?s i n ? a? f ?? ? a ? ? 0
即 f ?? ? a ? ? f ?? ? a ? 令 a ? ? ? x ,即得 f ?2? ? x ? ? f ?x ? 。 14.设方程 2 x ? tg ?x ? y ? ? ? 解:方程两边对 x 求导,得
x? y

0

d2y sec tdt ,求 2 。 dx
2

24

2 2 ? s e c?x ? y ??1 ? y?? ? s e 2 ?x ? y ??1 ? y?? c

从而 y? ? 1 ? cos2 ?x ? y ? ? sin 2 ?x ? y ?

? y ?? ? 2 s i nx ? y ? c o ?s ? y ??1 ? y?? x

? ? 2 s i nx ? y ?c o 3s?x ? y ?
15.设 f ? x ? 在 ?a, b? 上连续,求证:
h ?0

lim ?

1 x ? f ?t ? h ? ? f ?t ??dt ? f ?x ? ? f ?a ? h ?a

(a ? x ? b)

证:设 F ? x ? 为 f ? x ? 的原函数,则 左边 ? lim ?
h ?0

1 ?F ?x ? h ? ? F ?a ? h? ? F ?x ? ? F ?a ?? h

? F ? x ? h ? ? F ? x ? F ?a ? h ? ? F ?a ? ? ? lim ? ? h ?0 ? ? h h ? ?

? f ?x ? ? f ?a ? ? 右边。
16.当 x ? 0 时, f ? x ? 连续,且满足 ? 解:等式两边对 x 求导,得
x 2 ?1? x ? 0

f ?t ?dt ? x ,求 f ?2? 。

f x 2 ?1 ? x? 2x ? 3x 2 ? 1
令 x 2 ?1 ? x ? ? 2 得 x ? 1 将 x ? 1 代入得: f ?2? ? 5 ? 1 故 f ?2 ? ?
1 。 5

?

??

?

17.设 f ? x ? 在 ?0,1? 连续且递减,证明

? ? f ?x?dx ? ? f ?x?dx ,其中 ? ? ?0,1? 。
1 0 0
1 ? 1 证: ? ? f ? x ?dx ? ? ? ? f ? x ?dx ? ? f ? x ?dx ? ? 0 ? 0 ? ? ?

?

则 ? ? f ?x?dx ? ? f ?x?dx
1 0 0

?

? ? ? f ?x ?dx ? ?? ? 1?? f ?x ?dx
1

?

?

0

? ? ?1 ? ? ? f ??1 ? ? ? ?? ? 1? f ?? 2 ? , ?1 ? ??,1? , ? 2 ? ?0, ? ?
25

? ? ?? ? 1?? f ??1 ? ? f ?? 2 ??
由于 f ? x ? 递减, f ??1 ? ? f ?? 2 ? 故 ? ? f ?x?dx ? ? f ?x?dx ? 0
1 0 0

?

即 ? ? f ?x?dx ? ? f ?x?dx 。
1 0 0

?

18.设 f ?? x ? 连续, F ?x? ? ? f ?t ? f ??2a ? t ?dt , f ?0? ? 0 , f ?a ? ? 1 ,试证:
x 0

F ?2a? ? 2F ?a? ? 1 。
证: F ?2a ? ? 2F ?a ? ? ?
2a 0

f ?t ? f ??2a ? t ?dt ? 2? f ?t ? f ??2a ? t ?dt
a 0 a 0

??

2a 0

f ?t ? f ??2a ? t ?dt ? ? f ?t ? f ??2a ? t ?dt f ?t ? f ??2a ? t ?d ?2a ? t ? ? ? f ?t ? f ??2a ? t ?dt
a 0 2a 2a a

? ??

2a a

? ? f ?t ? f ?2a ? t ? a ? ?

f ??t ? f ??2a ? t ? ? ? f ?t ? f ??2a ? t ?dt
a 0

在第一个积分中,令 2a ? t ? u ,则

?

2a a

f ??t ? f ?2a ? t ?dt ? ? f ?u ? f ??2a ? u ?du
a 0
2a 2

而 ? f ?t ? f ?2a ? t ? a ? ? f ?2a ? f ?0? ? f 故 F ?2a? ? 2F ?a? ? 1

?a ? ? 1

19.设 g ? x ? 是 ?a, b? 上的连续函数, f ?x ? ? ? g ?t ?dt ,试证在 ?a, b ? 内方程
x

g ?x ? ?

f ?b ? ? 0 至少有一个根。 b?a

a

证:由积分中值定理,存在 ? ? ?a, b ? 使

f ?b? ? ? g ?t ?dt ? g ?? ??b ? a?
b

即 g ?? ? ?

f ?b ? ?0 b?a

a

故 ? 是方程 g ? x ? ?

f ?b ? ? 0 的一个根。 b?a
x x a b

20.设 f ? x ? 在 ?a, b? 连续,且 f ?x ? ? 0 ,又 F ? x ? ? ? f ?t ?dt ? ? (1) F ??x ? ? 2 (2) F ? x ? ? 0 在 ?a, b ? 内有且仅有一个根。
26

1 dt ,证明: f ?t ?

证:(1) F ?? x ? ? f ? x ? ? (2) F ?a ? ? ?
a b

1 ?2 f ?x ?

b 1 dt ? 0 , F ?b? ? ? f ?t ?dt ? 0 a f ?t ?

又 F ? x ? 在 ?a, b? 连续,由介值定理知 F ? x ? ? 0 在 ?a, b ? 内至少有一根。 又 F ??x ? ? 0 ,则 F ? x ? 单增,从而 F ? x ? ? 0 在 ?a, b ? 内至多有一根。 故 F ? x ? ? 0 在 ?a, b ? 内有且仅有一个根。 21.设 f ? x ? 在 ?0,2a? 上连续,则 ? 证: ?
2a 0 2a 0

f ?x ?dx ? ? ? f ?x ? ? f ?2a ? x ??dx 。
a 0

f ?x ?dx ? ? f ?x ?dx ? ?
a 0

2a

a

f ?x ?dx

令 x ? 2a ? u , dx ? ?du ,则

?
故?

2a

a

f ?x?dx ? ? f ?2a ? u ?du ? ? f ?2a ? x?dx
a a 0 0

2a 0

f ?x?dx ? ? ? f ?x? ? f ?2a ? x??dx
a 0

22.设 f ? x ? 是以 ? 为周期的连续函数,证明:
? ? ? ?sin x ? x? f ?x?dx ? ? ?2x ? ? ? f ?x?dx 。
2 0 0

证: ?

2?

0

?sin x ? x? f ?x?dx
?
2? 0

? ? ?s i n ? x? f ?x?dx ? ? x
令 x ? ? ? u ,则

?

?s i n ? x? f ?x?dx x

? ? ? ?? ?s i nx ? x? f ?x?dx ? ? ?s i n? ? u ? ? ? ? u? f ?? ? u ?du
2 0

? ? ?u ? ? ? s i n ? f ?u ?du (∵ f ? x ? 以 ? 为周期) u
0

?

故?

2?

0

?sin x ? x? f ?x?dx ? ?0 ?2x ? ? ? f ?x?dx

?

23.设 f ? x ? 在 ?a, b? 上正值,连续,则在 ?a, b ? 内至少存在一点 ? ,使
? 1 ? f ?x ?dx ? ?? f ?x ?dx ? 2 ? f ?x ?dx 。
b b a a

证:令 F ?x? ? ? f ?t ?dt ? ? f ?t ?dt
x b a x

由于 x ? ?a, b?时, f ?x ? ? 0 ,故
27

F ?a? ? ?? f ?t ?dt ? 0
b a

F ?b? ? ? f ?t ?dt ? 0
b a

故由零点定理知,存在一点 ? ? ?a, b ? ,使得 F ?? ? ? 0 即 ? f ?t ?dt ? ? f ?t ?dt ? 0
b a

?

?

? ? f ?x?dx ? ?? f ?x?dx
b a

又 ? f ?x?dx ? ? f ?x?dx ? ? f ?x?dx ? 2? f ?x?dx
b b a a

?

?

?

a

故 ? f ? x ?dx ? ? f ? x ?dx ?
b a

?

?

1 b f ? x ?dx 。 2 ?a
1 f ?u ? 1? du ? ? ln f ?u ?du 。 0 f ?u ?

24.证明 ? ln f ? x ? t ?dt ? ? ln
1 x 0 0

证:设 x ? t ? u ? 1 ,则

?

1 0

ln f ?x ? t ?du ? ?
x 0

x x ?1

ln f ?u ? 1?du
0 x ?1

? ? ln f ?u ? 1?du ? ?
令 u ? 1 ? v ,则

ln f ?u ? 1?du

?

0 x ?1

ln f ?u ? 1?du ? ? ln f ?v?dv ? ? ln f ?u ?du
1 1 x x

? ?? ln f ?u ?du ? ? ln f ?u ?du
x 1 0 0

故 ? ln f ? x ? t ?dt ? ? ln
1 x 0 0

1 f ?u ? 1? du ? ? ln f ?u ?du 0 f ?u ?

25.设 f ? x ? 在 ?a, b? 上连续且严格单调增加,则 ?a ? b?? f ?x ?dx ? 2? xf ?x ?dx 。
b b a a

证:令 F ?x ? ? ?a ? x?? f ?t ?dt ? 2? tf ?t ?dt
x x a a

则 F ??x ? ? ? f ?t ?dt ? ?a ? x ? f ?x ? ? 2 xf ?x ?
x a

? ? f ?t ?dt ? ?x ? a ? f ?x ?
x a

? ? ? f ?t ? ? f ?x ??dt
x a

∵ a ? t ? x , f ? x ? 在 ?a, b? 严格单增 ∴ f ?t ? ? f ?x ? ? 0
28

则 F ??x ? ? 0 ,从而 F ?b? ? F ?a ? ? 0 即 ?a ? b?? f ?t ?dt ? 2? tf ?t ?dt ? 0
b b a a

故 ?a ? b?? f ?x ?dx ? 2? xf ?x ?dx
b b a a

26. f ? x ? 在 ?a, b? 上可导, f ??x ? ? M ,f ?a ? ? 0 , ? f ? x ?dx ? 设 且 则
b a

M ?b ? a ?2 。 2

证:由假设对 ?x ? ?a, b? ,可知 f ? x ? 在 ?a, x?上满足微分中值定理,则有

f ?x? ? f ?x ? ? f ?a ? ? f ??? ??x ? a ? , ? ? ?a, x ?
又因 f ?x ? ? M , x ? ?a, b ? 故 f ?x ? ? M ?x ? a ? 于是 ? f ? x ?dx ? ? M ? x ? a ?dx ?
b b a a

M ?b ? a ?2 。 2

27 . 设 f ? x ? 处 处 二 阶 可 导 , 且 f ???x? ? 0 , 又 u?t ? 为 任 一 连 续 函 数 , 则
1 a ?1 a ? ?0 f ?u?t ??dt ? f ? a ?0 u?t ?dt ? , ?a ? 0? 。 a ? ?

证:由泰勒公式,有
f ? x ? ? f ? x0 ? ? f ?? x0 ?? x ? x0 ? ? 1 2 f ???? ?? x ? x0 ? 2!

其中 ? 在 x 与 x0 之间 又因 f ???x? ? 0 ,故
f ? x ? ? f ? x0 ? ? f ?? x0 ?? x ? x0 ? ? 1 2 f ???? ?? x ? x0 ? ? 0 2!

即 f ?x? ? f ?x0 ? ? f ??x0 ??x ? x0 ? 令 x ? u?t ? , x0 ?
1 a u ?t ?dt a ?0

a a ?1 a a ? ? ?1 a ?? 则 ? f ?u?t ??dt ? ? f ? ? u?t ?dt ?dt ? ? ? f ?? ? u?t ?dt ? ? ? 0 0 0 0 ? 0 ?a ? ?? ? ?a

29

1 a ? ? ? u ?t ? ? ? 0 u ?t ?dt ?dt a ? ?
a ?1 a ? 即 ? f ?u?t ??dt ? af ? ? u?t ?dt ? 。 0 0 ?a ?
b ?a ?b? 28. f ? x ? 在 ?a, b? 上二阶可导,且 f ???x? ? 0 , ? f ? x ?dx ? ?b ? a ? f ? 设 则 ?。 a ? 2 ?

证:对 ?x ? ?a, b? ,将 f ? x ? 在 x 0 ?

a?b 处展开,得 2
2

a?b? 1 a?b? ? a?b? ? a ? b ?? ? f ?x ? ? f ? ? ? f ?? ?? x ? ? ? f ???? ?? x ? ? 2 ? 2! 2 ? ? 2 ? ? 2 ?? ?
其中 ? 在 x 与
a?b 之间。 2

由题设 f ???x? ? 0 ,则 f ???? ? ? 0 。
a ?b? ?a ?b? ? a ? b ?? 从而 f ? x ? ? f ? ? ? f ?? ?? x ? ? 2 ? ? 2 ? ? 2 ??
b a ?b? ?a ?b? ? a ? b ? b? 积分 ? f ? x ?dx ? ?b ? a ? f ? ? ? f ?? ?? a ? x ? ?dx a 2 ? ? 2 ? ? 2 ? ?
b ?a ?b? 即 ? f ? x ?dx ? ?b ? a ? f ? ? a ? 2 ?

29.设 f ? x ? 在 ?a, b? 上连续,且 f ?x ? ? 0 , ? f ?x ?dx ? 0 ,证明在 ?a, b? 上必有
b a

f ?x ? ? 0 。
证:由 f ?x ? ? 0 得 ? f ?x ?dx ? 0 ,再由题设 ? f ?x ?dx ? 0 ,知 ? f ?x ?dx ? 0
b b b a a a

又由于 f ?x ? ? 0 ,对 x ? ?a, b?得, 0 ? ? f ?t ?dt ? ? f ?t ?dt ? 0
b x a a

? x x 即 ? f ?t ?dt ? 0 ,从而 f ?x ? ? ? ? f ?t ?dt ? ? 0 ? a ? a ? ?
30 . f ? x ? 在 ?a, b? 上 连 续 , 且 对 任 何 区 间 ?? , ? ? ? ?a, b? 有 不 等 式
? ?? f ?x ?dx ? M ? ? ?
1??

( M , ? 为正常数),试证在 ?a, b? 上 f ?x ? ? 0 。

证:令 F ?x ? ? ? f ?t ?dt ,则 F ??x? ? f ?x?
x a

30



F ?? ? ? F ?? ? ? ? ??

??

?

f ?x ? ? dx ? M ? ? ? ? ??

令 ? ? ? ,则上式左端 ? F ??? ? ? f ?? ? ,右端 ? 0 。由此得 f ?? ? ? 0 , 由 ? 的任意性知 f ?x ? ? 0 。

31


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