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人教A版高中数学必修1+2.1.1+指数与指数幂的运算+教学设计(第一课时)

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本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上, 类比出正数的 n 次方根的定义, 从 而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质 由整数指数幂推广到实数指数幂. 教材为了让学生在学习之外就感受到指数函数的实际背景, 先给出两个具体例子: GDP 的增 长问题和碳 14 的衰减问题.前一个问题,既让学生回顾了初中学过的整数指数幂,也让学 生感受到其中的函数模型, 并且还有思想教育价值. 后一个问题让学生体会其中的函数模型 的同时, 激发学生探究分数指数幂、 无理数指数幂的兴趣与欲望, 为新知识的学习作了铺垫. 本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法,如推广的思想(指数幂运算律的推广)、类 比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数函数的图 象研究指数函数的性质)等,同时,充分关注与实际问题的结合,体现数学的应用价值. 1.教学重点: n 次方根概念及性质、 根式与分数指数幂的互化与有理指数幂的运算性质. 2.教学难点:根式概念、n 次方根的性质、分数指数幂概念的理解及有理指数幂的运算. (一)复习引入 什么是平方根?什么是立方根?一个数的平方根有几个,立方根呢? 归纳:在初中的时候我们已经知道:若,则叫做 a 的平方根.同理,若,则叫做 a 的立方根. 根据平方根、立方根的定义,正实数的平方根有两个,它们互为相反数,如 4 的平方根为, 负数没有平方根,一个数的立方根只有一个,如―8 的立方根为―2;零的平方根、立方根 均为零. (二)形成概念 零的 n 次方根为零,记为 举例:16 的次方根为 , 等等,而 的 4 次方根不存在. 小结:一个数到底有没有 n 次方根,我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数,还 要分清 n 为奇数和偶数两种情况. 根据 n 次方根的意义,可得: 肯定成立, 定成立,那么 等于什么? 表示 an 的 n 次方根,等式 一定成立吗?如果不一 让学生注意讨论,n 为奇偶数和 a 的符号,充分让学生分组讨论. 通过探究得到:n 为奇数, n 为偶数, [ 如 小结:当 n 为偶数时, 就避免出现错误. 例 1:求下列各式的值 化简得到结果先取绝对值,再在绝对值算具体的值,这样 【分析】 :当 n 为偶数时,应先写 ,然后再去绝对值. 2.观察以下式子,并总结出规律: >0 ① ② ③ ④ 小结: 当根式的被开方数的指数能被根指数整除时, 根式可以写成分数作为指数的形式, (分数指数幂形式). 根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如: 即: 义为: 正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同. 即: 规定:0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂无意义. 说明:规定好分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的,分数指数幂只是根式的 一种新的写法,而不是 由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因此,有理数指数幂是有意义的,整数指数幂 的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即: 若 >0,P 是一个无理数,则 P 该如何理解?为了解决这个问题,引导学生先阅读课 本 P57——P58. 即: 方向逼近 的不足近似值,从由小于 . 不足近似值从小于 的方向逼近时, 的近似值从小于 的方向逼近 的方向逼近 , 的过剩近似值从大于 的 所以, 当 . 当 的过剩似值从大于 的方向逼近 时, 的近似值从大于 的方向逼近 ,(如课本图所示) 所以, 是一个确定的实数. 一般来说,无理数指数幂 是一个确定的实数,有理数指数幂的性质同样适用于无理数指 数幂.无理指数幂的意义,是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大 小. 思考: 的含义是什么? 由以上分析,可知道,有理数指数幂,无理数指数幂有意义,且它们运算性质相同,实 数指数幂有意义,也有相同的运算性质,即: 例 2(P56,例 2)求值 ; ; ; . 例 3(P56,例 3)用分数指数幂的形式表或下列各式( >0) ; ; . 分析:先把根式化为分数指数幂,再由运算性质来运算. 解: ; ; . 例 4.计算下列各式(式中字母都是正数) : ⑴ 解:⑴原式=[2× (-6)÷ (-3)] ;⑵ . ; ⑵原式= 说明: 该例是运用分数指数幂的定义和运算性质进行计算的题, 第⑴小题是仿照单项式 乘除法进行的,首先将系数相乘除,然后将同底数的幂相乘除;第⑵小题是先按积的乘方计 算,再按幂的乘方计算,在计算过程中要特别注意符号. 同学们在下面做题中,刚开始时, 要严格按照象例题一样的解题步骤进行,待熟练以后再简化计算步骤.[:] 例 5. 计算下列各式: (1) ; (2) (a>0). 说明:本例是利用分数指数幂来进行根式计算,其顺序是先把根式化为分数指数幂,再 根据幂的运算性质进行计算; 对于计算结果, 若没有特别要求, 就用分数指数幂的形式表示, 若有特殊要求,可根据要求给出结果,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分 母又含有负指数 (三)达标检测 1.下列运算结果中,正确的是( ) A.a2a3=a5 B.(-a2)3=(-a3)2 C.(-1)0=1 D.(-a2)3=a6 【解析】 a2a3=a2 3=a5; (-a2)3=-a6≠(-a3)2=a6; (-1)0=1, 若成立, 需要满足 a≠1; + (-a2)3=-a6,故选 A. 【答案】 A 2.下列各式中成立的一项是( ) A.m7=n7m7 n 1 B.(-34=-3 12 3 C.x3+y3=(x+y)4 4 3 n D.9=3 - 3 3 【解析】 A 中应为m7=n7m 7;B 中等式左侧为正数,右侧为负数;C 中 x=y=1 时不 成立;D 正确. 【答案】 D 3.a4(a>0)的值是( ) A. 1

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