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山东青州一中高三一轮数学复习(人教B版)课件第十三章 算法初步、推理与证明、复数 13.4直接_图文

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第十三章 算法初步、推理与证明、复数 § 13.4 直接证明与间接证明 基础知识 自主学习 要点梳理 1.直接证明 (1)综合法 ①定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经 过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这 种证明方法叫做综合法. ②框图表示: P ?Q 1 → Q 1?Q 2 → Q 2?Q 3 →…→ Q n?Q (其中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示要证 的结论). (2)分析法 ①定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分 条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成 立的条件(已知条件、定理、定义、公理等 )为止.这种证 明方法叫做分析法. ②框图表示: Q ?P 1 → P 1?P 2 → P 2?P 3 →…→ 得到一个明显成立的条件 . 2.间接证明 一般地,由证明 p?q 转向证明:綈 q?r?…?t. t 与假设矛盾,或与某个真命题矛盾.从而判定綈 q 为假, 推出 q 为真的方法,叫做反证法. [难点正本 疑点清源] 证明数学问题的方法比较多,只是我们比较常用的方法有综 合法、分析法和反证法.在证明问题时,既可独立运用,又可 综合应用. (1)对于较复杂问题的解决,往往既使用综合法又使用分析法, 其结合使用的基本格式为:P ?P 1?P 2…?P n?Q m ?Q m -1?…?Q 1? Q (P 是已知的条件、公理、定义、公式,Q 则表示要证明的结 论.) (2)反证法是从反面的角度思考的证明方法,即肯定题设而否定 结论,从而导出矛盾推理而得.适合使用反证法证明的命题有: ①否定性命题;②唯一性命题;③至多、至少型命题;④明显 成立的命题;⑤直接证明有困难的问题. 基础自测 1. 用反证法证明命题“三角形的三个内角中至少 有 一 个 不 大 于 60° ”时,假设应该是 ______________________________________ . 三角形的三个内角都大于60° 解析 用反证法证明命题时,假设结论不成立, 即否定命题 2.要证明“ 3+ 7<2 5”可选择的方法有以下几种,其中最 ② 合理的是________ .(填序号) ①反证法,②分析法,③综合法. 3.下列条件:①ab>0,②ab<0,③a>0,b>0,④a<0,b<0, b a 其中能使 + ≥2 成立的条件的个数是________ . 3 a b 解析 b a b a 要使 + ≥2,只要 >0 且 >0,即 a,b 不为 0 且同 a b a b 号即可,故有 3 个. 4. 否定“自然数 a, b, c 中恰有一个偶数”时, 正确的反设为( D ) A.a,b,c 都是奇数 B.a,b,c 都是偶数 C.a,b,c 中至少有两个偶数 D.a,b,c 中至少有两个偶数或都是奇数 解析 ∵a,b,c 恰有一个偶数,即 a,b,c 中只有一个偶数, 其反面是有两个或两个以上偶数或没有一个偶数即全都是奇 数,故只有 D 正确. 5.设 a、b∈R ,若 a-|b|>0,则下列不等式中正确的 是( D ) A.b-a>0 B.a3+b3<0 C.a2-b2<0 解析 D.b+a>0 ∵a-|b|>0,∴|b|<a. ∴a>0.∴-a<b<a.∴b+a>0. 题型分类 题型一 例1 综合法 深度剖析 a2 b2 c2 设 a,b,c>0,证明: + + ≥a+b+c. b c a 思维启迪: 本题因为有三项分式, 不主张用分析法. 综 合法证明不等式,要特别注意均值不等式的运用和对 题设条件的运用.这里可从去分母的角度去运用均值 不等式. 证明 ∵a,b,c>0,根据基本不等式, a2 b2 c2 有 +b≥2a, +c≥2b, +a≥2c. b c a a2 b2 c2 三式相加: + + +a+b+c≥2(a+b+c). b c a a=b=c 时取等号. a2 b2 c2 即 + + ≥a+b+c. b c a 探究提高 综合法往往以分析法为基础,是分析法 的逆过程,但更要注意从有关不等式的定理、结论 或题设条件出发,根据不等式的性质推导证明. 变式训练 1 若 a、b、c 是不全相等的正数,求证: a+b b+c c+a lg +lg +lg > lg a+lg b+lg c. 2 2 2 证明 ∵a,b,c∈(0,+∞), b +c ab>0, ≥ 2 a +c bc>0, ≥ 2 ac>0. a +b ∴ ≥ 2 又上述三个不等式中等号不能同时成立. a+b b+c c+a ∴ · · >abc 成立. 2 2 2 上式两边同时取常用对数, ?a+b b+c c+a? 得 lg ? · · ?>lg abc, 2 2 ? ? 2 a+b b+c c+a ∴lg +lg +lg >l lg a+lg b+lg c. 2 2 2 题型二 例2 分析法 ? ? π? π? x,x∈?0, 2 ?,若 x1,x2∈?0, 2 ?,且 ? ? ? ? 已知函数 f (x)=tan x1≠x2, ?x +x ? 1 ? 1 2?. 求证: [f (x1)+f (x2)]>f 2 ? 2 ? 思维启迪:本题若使用综合法进行推演,三角函数式的 化简较难处理,因此,可考虑分析法. ?x +x ? 1 ? 1 2?, 证明 要证 [f (x1)+f (x2)]>f 2 ? 2 ? x1+x2 1 即证明 (tan x1+tan x2)>tan , 2 2 ? sin x sin x ? x1+x2 1 2? 1? + 只需证明 ? >tan , 2 cos x cos x ? 2 1 2? ? 只需证明 sin?x1+x2? 2cos x1cos x2 1+cos?x1+x2? ? π? 由于 x1、x2∈?0,2 ?,故 x1+x2∈(0,π). ?

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