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14.2(1)空间直线与直线的位置关系公理4、空间等角定理_图文

时间:2014-11-05

14.2(1)空间直线与直线的位置关系 —公理4、空间等角定理

平面的确定
公理3. 经过不在同一直线上的三点, 有且仅有一个平面.

推论1. 经过一条直线和直线外一点, 有且仅有一个平面.

推论2. 经过两条相交直线, 有且仅有一个平面.
推论3. 经过两条平行直线, 有且仅有一个平面.

回顾
平面几何中关于平行线的性质有哪些?

平行线间的距离处处相等. 平行于同一直线的两条直线互相平行.

空间中成立! ???

同一平面内, 垂直于同一直线的两条线互相平行. 一个角的两边分别平行于另一个角的两边, 则这两个角 相等或互补. ???

公理4
公理4. 平行于同一直线的两条直线互相平行. 集合语言: a / /b ? . ?? a / / c c / /b ? 公理4把平面上平行直线的传递性推广到空间. 公理4是判定两直线平行的重要手段!

例 1 如图, 已知 P 是正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1的面ABCD上 的一点, 经过点P如何作棱AB, AC的平行线?
D1 A1
P

C1 B1

D A B

C

【典型例题】

例2. 长方体ABCD ? A1B1C1D1 中, 已知E,F分别为 B1C1 , AD中点, 求证: A1F//EC. 证明: 取BC的中点G, 连结B1G,FG, A1 E是B1C1中点? F ? EB GC ? 1 A G是BC中点 ? 是平行四边形 ? EC // B1G // AB ? FG ? ? // A1B1 ? AF1 // B1G ? ? FG ? // A1B1 ? AB ? ?
D

D1 B1

E

C1

C
B

G

? ? ? ? A1F / / EC ? (公理4) ?

例3:已知E、F、G、H分别是空间四边形

四条边AB、BC、CD、DA的中点, 求证:四边形EFGH是平行边形 A
证明:连接 BD , 因 为 EH是?ABD的 中 位 线 , 1 所 以 EH // BD , 且EH ? BD . 2 1 同理, FG // BD , 且FG ? BD. 2 因 为 EH // FG , 且EH ? FG ,
E H D B F G C

所 以四 边 形 EFGH为 平 行 四 边 形 .

空间等角定理
定理1. 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行, 那么这两个角相等或互补. B1 a1 ? 已知: 直线 a, b 相交于点 A C1 A1 直线 a1 , b1相交于点 A1 , b1 且 a / / a1 , b / /b1 求证:

a, b 所成的锐角(或直角) ? 与 a1 , b1所成的锐角(或直角) ? 相等.

B?

a

?

A

? Cb

空间等角定理
定理1. 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行, 那么这两个角相等或互补. 推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 则 这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
B1 A1

a1 C1

?
b1

B

a
C b

?

A

【典型例题】

例2. 长方体ABCD ? A1B1C1D1 中, 已知E,F分别为 B1C1 , AD中点, 求证: ?CEC1 ? ?A1FA

D1 A1
D
F

B1

E

C1

C
B

A

G

课堂小结
? 1、公理4说明了平行的传递性 ? 2、空间等角定理


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