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2011年全国高中数学联赛试题及答案_图文

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2011 年全国高中数学联赛
一试

一、填空题(每小题 8 分,共 64 分)

1.设集合 A ? {a1 , a2 , a3 , a4} ,若 A 中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为

B ? {?1,3,5,8},则集合 A ?



2.函数 f (x) ? x2 ?1 的值域为



x ?1

3.设 a, b 为正实数, 1 ? 1 ? 2 ab

2 , (a ? b) 2 ? 4(ab)3 ,则 loga b ?



4.如果 cos5 ? ? sin 5 ? ? 7(sin 3 ? ? cos3 ? ) ,? ?[0,2? ) ,那么? 的取值范围是



5.现安排 7 名同学去参加 5 个运动项目,要求甲、乙两同学不能参加同一个项目,每

个项目都有人参加,每人只参加一个项目,则满足上述要求的不同安排方案数



.(用数字作答)

6.在四面体 ABCD中,已知 ?ADB? ?BDC ? ?CDA? 60?, AD ? BD ? 3, CD ? 2 ,则

四面体 ABCD的外接球的半径为



7.直线 x ? 2y ?1 ? 0 与抛物线 y2 ? 4x 交于 A, B 两点,C 为抛物线上的一点,?ACB ? 90? ,

则点 C 的坐标为



n

? ? 8.已知 an

C ? ? n 3 200

6

? 200? n ? ?? ?

1 2

????

(n ? 1,2,?,95) ,则数列{an } 中整数项的个数为



二、解答题(本大题共 3 小题,共 56 分)

9 .( 16 分 ) 设 函 数 f (x) ?| lg( x ?1) | , 实 数 a, b(a ? b) 满 足 f (a) ? f (? b ?1) , b?2

f (10a ? 6b ? 21) ? 4 lg 2 ,求 a, b 的值.

10.(20 分)已知数列{an } 满足: a1 ? 2t ? 3 (t ?R 且 t ? ?1) ,

a n ?1

?

(2t n?1

? 3)an ? 2(t ?1)t n an ? 2t n ?1

?1

(n ?N * ) .

(1)求数列{an } 的通项公式;

(2)若 t ? 0 ,试比较 an?1 与 an 的大小.

11.(本小题满分 20 分)作斜率为 1 的直线 l 与椭圆 C : x2 ? y2 ? 1 交于 A, B 两点(如

3

36 4

图所示),且 P(3 2, 2 ) 在直线 l 的左上方.
(1)证明:△ PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上; (2)若 ?APB ? 60? ,求△ PAB 的面积.

y P

x

O

B

A

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解答

1.{?3,0, 2,6}. 提示:显然,在 A 的所有三元子集中,每个元素均出现了 3 次,所以
3(a1 ? a2 ? a3 ? a4 ) ? (?1) ? 3 ? 5 ? 8 ? 15, 故 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 5 ,于是集合 A 的四个元素分别为 5-(-1)=6,5-3=2,5-5=0, 5-8=-3,因此,集合 A ? {?3, 0, 2, 6} .

2. (??, ? 2 ] (1, ??) . 提示:设 x ? tan? ,? ? ? ? ? ? ,且? ? ? ,则

2

2

2

4

1

f (x) ? cos? ?

1

?

tan? ?1 sin ? ? cos?

1



2 sin(? ? ? )

4

设 u ? 2 sin(? ? ? ) ,则 ? 2 ? u ? 1 ,且 u ? 0 ,所以 f (x) ? 1 ? (??,? 2 ]? (1,??) .

4

u

2

3.-1. 提示:由 1 ? 1 ? 2 2 ,得 a ? b ? 2 2ab .又 ab
(a ? b) 2 ? 4ab ? (a ? b) 2 ? 4ab ? 4(ab) 3 ? 4 ? 2 ab ? (ab) 3 ? 8(ab) 2 ,



a ? b ? 2 2ab .



于是

a ? b ? 2 2ab .



再由不等式①中等号成立的条件,得

ab

?

1

.与②联立解得

??a ???b

? ?

2 2

? ?

1, 1,



??a ???b

? ?

2 ? 1, 2 ?1,

故 loga b ? ?1 . 4. ?? ? , 5? ?? . 提示:不等式 ?4 4 ?

cos5 ? ? sin 5 ? ? 7(sin 3 ? ? cos3 ? )

等价于

sin 3 ? ? 1 sin 5 ? ? cos3 ? ? 1 cos5 ? .

7

7

又 f (x) ? x3 ? 1 x5 是 (??,??) 上的增函数,所以 sin? ? cos? ,故 7

2k? ? ? ? ? ? 2k? ? 5? (k ?Z).

4

4

因为? ?[0,2? ) ,所以? 的取值范围是 ?? ? , 5? ?? . ?4 4 ?

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5.15000. 提示:由题设条件可知,满足条件的方案有两种情形:

(1)有一个项目有

3

人参加,共有

C3 7

?

5!?C

1 5

? 5! ?

3600种方案;

(2)有两个项目各有

2

人参加,共有

1 2

(C

2 7

?

C

2 5

)

?

5!?C

2 5

? 5!?

11400 种方案;

所以满足题设要求的方案数为 3600?11400?15000.

6. 3 . 提示:设四面体 ABCD的外接球球心为 O ,则 O 在过△ ABD 的外心 N 且垂直
于平面 ABD 的垂线上.由题设知,△ ABD 是正三角形,则点 N 为△ ABD 的中心.设 P, M 分 别为 AB,CD 的中点,则 N 在 DP 上,且 ON ? DP, OM ? CD.
因 为 ?CDA? ?CDB? ?ADB? 60? , 设 CD 与 平 面 ABD 所 成 角 为 ? , 可 求 得

c o ?s ? 1 , s i n? ? 2 .

3

3

在△ DMN中, DM ? 1 CD ? 1, DN ? 2 ? DP ? 2 ? 3 ?3 ? 3 .

2

3

32

由余弦定理得

MN 2 ? 12 ? ( 3) 2 ? 2 ?1? 3 ? 1 ? 2 ,

M

3

D 故 MN ? 2 .四边形 DMON的外接圆的直径

OD ? MN ? sin ?

2 ? 3. 2
3

C

O

B

N

P

A

故球 O 的半径 R ? 3 .

7 . (1,?2) 或 (9,?6) . 提 示 :



A(x1 , y1 ), B(x2 , y2 ), C(t 2 ,2t)

,由

?x ? 2y ?1 ? 0,

? ?

y

2

?

4x,



y 2 ? 8y ? 4 ? 0 ,则 y1 ? y2 ? 8 , y1 ? y2 ? ?4 .

又 x1 ? 2y1 ?1, x2 ? 2y2 ?1,所以 x1 ? x2 ? 2( y1 ? y2 ) ? 2 ? 18 ,
x1 ? x2 ? 4y1 ? y2 ? 2( y1 ? y2 ) ?1 ? 1.

因为 ?ACB ? 90? ,所以 CA ?CB ? 0 ,即有

(t 2 ? x1 )(t 2 ? x2 ) ? (2t ? y1 )(2t ? y2 ) ? 0 , 即
t 4 ? (x1 ? x2 )t 2 ? x1 ? x2 ? 4t 2 ? 2( y1 ? y2 )t ? y1 ? y2 ? 0 , 即
t 4 ?14t 2 ?16t ? 3 ? 0 ,

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即 (t 2 ? 4t ? 3)(t 2 ? 4t ?1) ? 0 .
显然 t 2 ? 4t ?1 ? 0 ,否则 t 2 ? 2? 2t ?1 ? 0 ,则点 C 在直线 x ? 2y ?1 ? 0 上,从而点 C 与点 A
或点 B 重合.所以 t 2 ? 4t ? 3 ? 0 ,解得 t1 ? ?1, t2 ? ?3 . 故所求点 C 的坐标为 (1,?2) 或 (9,?6) .

200? n

400?5n

8.15.

提示: an

?

C

n 200

?3

3

?2 6



要使 an (1 ? n ? 95)

为整数,必有 200? n , 400? 5n 均为整数,从而 6 | n ? 4 .

3

6

当 n ? 2,8,14,20,26,32,38,44,50,56,62,68,74,80 时, 200? n 和 400? 5n 均为非负整数,所

3

6

以 a n 为整数,共有 14 个.

当 n ? 86 时, a86

C ? ?3 86 38 200

? 2 ?5 ,在

C ? 86 200

200! 中, 200!中因数 86!?114!

2

的个数为

? ??

200? 2 ??

?

? ??

200? 22 ??

?

? ??

200? 23 ??

?

? ??

200? 24 ??

?

? ??

200? 25 ??

?

? ??

200? 26 ??

?

? ??

200? 27 ??

?

197



同理可计算得

86!中因数

2

的个数为

82,114!中因数

2

的个数为

110,所以

C

86 200

中因数

2



个数为197?82?110? 5 ,故 a86 是整数.

当 n ? 92时, a92

C ? ?3 92 36 200

? 2 ?10 ,在

C ? 92 200

200! 中,同样可求得 92!中因数 92!?108!

2

的个数为

88,108!中因数

2

的个数为

105,故

C

86 200

中因数

2

的个数为 197? 88 ?105 ?

4

,故

a92

不是整数.

因此,整数项的个数为14?1 ?15.

9.因为 f (a) ? f (? b ?1) ,所以 b?2

| lg(a ?1) |?| lg(? b ?1 ?1) |?| lg( 1 ) |?| lg(b ? 2) | ,

b?2

b?2

所以 a ?1 ? b ? 2 或 (a ?1)(b ? 2) ? 1,又因为 a ? b ,所以 a ?1 ? b ? 2 ,所以 (a ?1)(b ? 2) ? 1.

又由 f (a) ?| lg(a ?1) | 有意义知 0 ? a ?1,从而

0 ? a ?1? b ?1? b ? 2 ,

于是

0 ? a ?1?1? b ? 2 .

所以

从而

(10a ? 6b ? 21) ?1 ? 10(a ?1) ? 6(b ? 2) ? 6(b ? 2) ? 10 ? 1. b?2

f (10a ? 6b ? 21) ?| lg[6(b ? 2) ? 10 ] |? lg[6(b ? 2) ? 10 ] .

b?2

b?2

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又 所以

f (10a ? 6b ? 21) ? 4 lg 2 ,

lg[6(b ? 2) ? 10 ] ? 4 lg 2 , b?2

故 6(b ? 2) ? 10 ? 16 .解得 b ? ? 1 或 b ? ?1(舍去).

b?2

3

把 b ? ? 1 代入 (a ?1)(b ? 2) ? 1解得 a ? ? 2 .

3

5

所以 a ? ? 2 , b ? ? 1 .

5

3

10.(1)由原式变形得 则

a n ?1

?

2(t n?1 ?1)(an ?1) an ? 2t n ?1

?1,

2(an ?1) an?1 ?1 ? 2(an ?1) ? t n ?1 . t n?1 ?1 an ? 2t n ?1 an ?1 ? 2
t n ?1



an tn

?1 ?1

?

bn

,则 bn?1

?

2bn bn ? 2

, b1

?

a1 ?1 t ?1

?

2t ? 2 t ?1

?

2



又 1 ? 1 ? 1 , 1 ? 1 ,从而有 bn?1 bn 2 b1 2

1 ? 1 ? (n ?1) ? 1 ? n ,

bn b1

22



an ?1 ? 2 ,于是有 t n ?1 n

an

?

2(t n ?1) n

?1 .

(2) an?1

? an

?

2(t n?1 ?1) n ?1

?

2(t n ?1) n

? ? ? 2(t ?1) n(1? t ??? t n?1 ? t n ) ? (n ?1)(1? t ??? t n?1 ) n(n ?1)

? ? ? ? ? 2(t ?1) nt n ? (1? t ??? t ) n?1 ? 2(t ?1) (t n ?1) ? (t n ? t) ??? (t n ? t ) n?1

n(n ?1)

n(n ?1)

? ? 2(t ?1)2
?

(t n?1 ? t n?2 ???1) ? t(t n?2 ? t n?3 ? ??1) ? ?? t n?1



n(n ?1)

显然在 t ? 0 (t ? 1) 时恒有 an?1 ? an ? 0 ,故 an?1 ? an .

11.(1)设直线

l



y

?

1 3

x

?

m



A(x1

,

y1

),

B(x2

,

y2

)



将 y ? 1 x ? m 代入 x2 ? y2 ? 1 中,化简整理得

3

36 4

2x2 ? 6mx? 9m2 ? 36 ? 0 .

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于是有 x1 ? x2 ? ?3m,

x1 x2

?

9m 2 ? 36 2



k PA

?

y1 ? x1 ? 3

2 , kPB ?
2

y2 ? x2 ?3

2 2





上式中,

kPA ? kPB

?

y1 ? x1 ? 3

2 2

?

y2 ? x2 ? 3

2 2



? ( y1 ? 2)(x2 ? 3 2) ? ( y2 ? 2)(x1 ? 3 2) (x1 ? 3 2)(x2 ? 3 2)

分子

?

(1 3

x1

?

m

?

1

2)(x2 ? 3

2)

?

( 3

x2

?

m

?

2)(x1 ? 3 2)

?

2 3

x1 x2

?

(m

?

2

2)(x1 ? x2 ) ? 6

2(m ?

2)

2 9m2 ? 36

??

? (m ? 2 2)(?3m) ? 6 2(m ? 2)

32

? 3m2 ?12 ? 3m2 ? 6 2m ? 6 2m ?12 ? 0 ,
从而, kPA ? kPB ? 0 . 又 P 在直线 l 的左上方,因此, ?APB 的角平分线是平行于 y 轴的直线,所以△ PAB 的

内切圆的圆心在直线 x ? 3 2 上.

(2)若 ?APB ? 60? 时,结合(1)的结论可知 k PA ? 3, k PB ? ? 3 . 直线 PA 的方程为: y ? 2 ? 3(x ? 3 2) ,代入 x2 ? y2 ? 1 中,消去 y 得
36 4 14x 2 ? 9 6(1? 3 3)x ?18(13? 3 3) ? 0 .

它的两根分别是 x1 和 3

2 ,所以 x1 ?3

2 ? 18(13? 3 14

3) ,即 x1 ? 3

2(13? 3 14

3) .所以

| PA |?

1? (

3) 2 ? | x1 ? 3

2 |? 3

2(3 3 ?1) . 7

同理可求得 | PB |? 3 2(3 3 ?1) . 7
所以

S?PAB

?

1?| 2

PA | ? |

PB

| ?sin 60?

? 1 ? 3 2(3 3 ?1) ? 3 2(3 3 ?1) ? 3 .

2

7

7

2

? 117 3 . 49

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本文档选自华东师范大学出版社的《高中数学联 赛备考手册(2012)(预赛试题集锦)》,该书收录 了 2011 年各省市预赛试题和优秀解答。预赛命题人 员大多为各省市数学会成员,试题在遵循现行教学 大纲,体现新课标精神的同时,在方法的要求上有 所提高。命题人员大多同时兼任各省市高考命题工 作,试题对高考有一定的指导作用,本书架起了联 赛与高考的桥梁,是一本不可或缺的备考手册。
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加试
1. (40 分)如图, P, Q 分别是圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC, BD 的中点.若 ?BPA ? ?DPA ,证明: ?AQB ? ?CQB .

2. (40 分)证明:对任意整数 n ? 4 ,存在一个 n 次多项式

f (x) ? x n ? an?1 x n?1 ??? a1 x ? a0

具有如下性质:

(1) a0 , a1,?, an?1 均为正整数;

(2)对任意正整数 m ,及任意 k (k ? 2) 个互不相同的正整数 r1, r2 ,?, rk ,均有

f (m) ? f (r1 ) f (r2 )? f (rk ) . 3.(50 分)设 a1, a2 ,?, an (n ? 4) 是给定的正实数, a1 ? a2 ? ?? an .对任意正实数 r ,

满足 a j ? ai ak ? a j

?r

(1 ? i ?

j ? k ? n) 的三元数组 (i, j, k) 的个数记为

fn (r) .

证明:

f n (r) ?

n2 4



4.(50 分)设 A 是一个 3?9 的方格表,在每一个小方格内各填一个正整数.称 A 中的 一个 m? n (1 ? m ? 3, 1 ? n ? 9) 方格表为“好矩形”,若它的所有数的和为 10 的倍数.称 A 中 的一个1?1 的小方格为“坏格”,若它不包含于任何一个“好矩形”.求 A 中“坏格”个数的 最大值.

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解答

1. 延长线段 DP 与圆交于另一点 E ,则 ?CPE ? ?DPA? ?BPA ,又 P 是线段 AC 的中

?

?

点,故 AB ? CE ,从而 ?CDP? ?BDA.

又 ?ABD ? ?PCD,所以△ ABD ∽△ PCD,于是 AB ? PC ,即

D

BD CD

从而有

AB?CD ? PC? BD .

Q A

AB ? CD ? 1 AC ? BD ? AC ? ( 1 BD) ? AC ? BQ ,

2

2

即 AB ? BQ . AC CD

P

B

E

又 ?ABQ ? ?ACD ,所以△ABQ∽△ACD,所以 ?QAB ? ?DAC .

?

?

延长线段 AQ 与圆交于另一点 F ,则 ?CAB ? ?DAF ,故 BC ? DF .

又因为 Q 为 BD 的中点,所以 ?CQB ? ?DQF . 又 ?AQB ? ?DQF ,所以 ?AQB ? ?CQB .

F C

2. 令

f (x) ? (x ?1)(x ? 2)?(x ? n) ? 2 ,



将①的右边展开即知 f (x) 是一个首项系数为 1 的正整数系数的 n 次多项式.

下面证明 f (x) 满足性质(2).

对任意整数 t ,由于 n ? 4 ,故连续的 n 个整数 t ?1, t ? 2,?, t ? n中必有一个为 4 的倍数, 从而由①知 f (t) ? 2(mod4) .

因此,对任意 k (k ? 2) 个正整数 r1, r2 ,?, rk ,有

f (r1 ) f (r2 )? f (rk ) ? 2k ? 0(mod4) .

但对任意正整数 m ,有 f (m) ? 2(mod4) ,故

f (m) ?? f (r1 ) f (r2 )? f (rk )(mod4) , 从而 f (m) ? f (r1 ) f (r2 )? f (rk ) .
所以 f (x) 符合题设要求. 3.对给定的 j (1 ? j ? n) ,满足1 ? i ? j ? k ? n ,且

a j ? ai ? r



ak ? a j

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的三元数组 (i, j, k) 的个数记为 g j (r) . 注意到,若 i, j 固定,则显然至多有一个 k 使得①成立.因 i ? j ,即 i 有 j ?1种选法,
故 g j (r) ? j ?1. 同样地,若 j, k 固定,则至多有一个 i 使得①成立.因 k ? j ,即 k 有 n ? j 种选法,故
g j (r) ? n ? j .从而
g j (r) ? min{j ?1, n ? j} . 因此,当 n 为偶数时,设 n ? 2m ,则有

n?1

m?1

2m?1

? ? ? f n (r) ? g j (r) ? g j (r) ? g j (r)

j?2

j?2

j?m

? ? m

2m?1

m(m ?1) m(m ?1)

? ( j ?1) ? (2m ? j) ?

?

j ?2

j ?m?1

2

2

? m2 ?m ? m2 ? n2 . 4
当 n 为奇数时,设 n ? 2m?1,则有

n ?1

m

2m

? ? ? f n (r) ? g j (r) ? g j (r) ? g j (r)

j?2

j?2

j ?m?1

m

2m

? ? ( j ?1) ? ? (2m ?1? j)

j?2

j ?m?1

? m2 ? n2 . 4

4. 首先证明 A 中“坏格”不多于 25 个.

用反证法.假设结论不成立,则方格表 A 中至多有 1 个小方格不是“坏格”.由表格的

对称性,不妨假设此时第 1 行都是“坏格”.

设方格表 A 第 i 列从上到下填的数依次为 ai , bi , ci , i ? 1,2,?,9 .记

k

k

? ? Sk ? ai ,Tk ? (bi ? ci ), k ? 0,1,2,?,9 ,

i ?1

i ?1

这里 S0 ? T0 ? 0 .

我们证明:三组数 S0 , S1,?, S9 ; T0 ,T1 ,?,T9 及 S0 ? T0 , S1 ? T1,?, S9 ? T9 都是模 10 的完

全剩余系.

事实上,假如存在 m, n, 0 ? m ? n ? 9 ,使 Sm ? Sn (mod10) ,则

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n
? ai ? Sn ? Sm ? 0(mod10) ,
i ? m ?1

即第 1 行的第 m?1至第 n 列组成一个“好矩形”,与第 1 行都是“坏格”矛盾.
又假如存在 m, n, 0 ? m ? n ? 9 ,使 Tm ? Tn (mod10) ,则
n
? (bi ? ci ) ? Tn ? Tm ? 0(mod10) ,
i ? m ?1

即第 2 行至第 3 行、第 m?1列至第 n 列组成一个“好矩形”,从而至少有 2 个小方格不是“坏

格”,矛盾.

类似地,也不存在 m, n, 0 ? m ? n ? 9 ,使

Sm ?Tm ? Sn ?Tn (mod10) .

因此上述断言得证.故

9

9

9

? ? ? Sk ? Tk ? (Sk ? Tk ) ? 0 ?1? 2 ??? 9 ? 5(mod10) ,

k ?0

k ?0

k ?0

所以

9

9

9

? ? ? (Sk ? Tk ) ? Sk ? Tk ? 5 ? 5 ? 0(mod10) ,

k ?0

k ?0

k ?0

矛盾!故假设不成立,即“坏格”不可能多于 25 个.

另一方面,构造如下一个 3?9 的方格表,可验证每个不填 10 的小方格都是“坏格”,此

时有 25 个“坏格”.

1 1 1 2 1 1 1 1 10 111111111 1 1 1 10 1 1 1 1 2

综上所述,“坏格”个数的最大值是 25.


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2011年全国高中数学联赛四川省预赛试题及答案_图文.doc

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2011年全国高中数学联赛安徽省预赛试题及答案_图文.doc

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2011年全国高中数学联赛加试题另解_图文.pdf

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2011年全国高中数学联赛一试(B卷)试题及标准答案.doc

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历年全国高中数学联赛试题及答案76套_图文.doc

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2011年全国高中数学联赛一试(A卷)试题及答案.doc

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2011年全国高中数学联赛加试试题参考答案与评分标准.pdf

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