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集合的含义与表示学案

时间:2016-05-30

暑假作业

高一数学

知识回顾 1.考察下列各组对象的特征,分别指出它们的组成 (1) 1,2,3,4,5; 它是由一些 (2) 与一个角的两边距离相等的所有的点; 它是由一些 (3) 所有的直角三角形; 它是由一些 2 3 2 2 (4) x ,3x+2,5y -x,x +y ; 它是由一些 (5) 某农场所有的拖拉机; 它是由一些 (6) 我校高一年级的全体学生. 它是由一些 2.判断正误 ①“所有相当大的负数”组成一个集合; ( ) ②“2,4,6,8”与“8,6,4,2”组成的集合是相同的; ( ③由“x,x,y,z,z”组成的集合共有五个元素.( )
3 3.由实数 x,-x,|x|, x 2 , x 3 组成的集合最多含有元素的个数是

组成的. 组成的. 组成的. 组成的. 组成的. 组成的.

5.大于 1 且小于 2 的有理数的集合是 限集. 6.小于 10 的整数的集合是 限集. 7.写出由 1,2,3 这三个数字中抽出一部分或全部数字(没有重复)所排成的 一切自然数,并用列举法表示它们的集合.
?x ? y ? 3 ? 8.解方程组 ? y ? z ? 4 ,并把它的解集写出来. ?z ? x ? 5 ?



.

4. 指出下列集合的元素的个数并用列举法加以表示. (1)12 的所有的正约数组成的集合; . 2 (2)方程的 x +x-1=0 所有解组成的集合; . (3)从 1 到 100 的所有奇数的集合; . (4)由 数 字 1 , 2 中 的 一 个 或 两 个 组 成 的 全 部 自 然 数 ( 没 有 重 复 数 字 ) 的 集 合; .

?x ? y ? 5 (5) 由方程组 ? 的解组成的集合. ?x ? y ? ?7
小结:(1)一般地,用列举法表示的集合常常是 (2)注意 :a 与{a}是不同的—— .. 集.

.

练习: 1.有下列几类对象:①数轴上的全体;②一切很小的数;③一切奇数;④一 些三角形,它们中不能构成集合的是( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 3.所有满足“一条边为 1,一个角为 40”的等腰三角形组成的集合的元素个数 为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 4.小于 10 亿的自然数的集合是 限集.

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暑假作业

高一数学

集合 同步练习(1)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确 答案的代号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分). 1.方程组
? y ?2 {x x ? y ?0

2 D. {x ? R | x ? 2 ? 0} = ?

5.已知集合 A 中有 10 个元素,B 中有 6 个元素,全集 U 有 18 个元素, A ? B ? ? 。 设集合 CU ( A ? B) 有 x 个元素,则 x 的取值范围是 ( )

的解构成的集合是 B. {1,1}



) A. 3 ? x ? 8 ,且 x ? N B. 2 ? x ? 8 ,且 x ? N D. 10 ? x ? 15 ,且 x ? N D. {1}

A. {(1,1)}

C. (1,1) ( )

2.下面关于集合的表示正确的个数是 ① {2,3} ? {3,2}; ② {( x, y) | x ? y ? 1} ? { y | x ? y ? 1} ; ③ {x | x ? 1} = { y | y ? 1} ; ④ {x | x ? y ? 1} ? { y | x ? y ? 1} ; A.0 B.1 C.2 D.3

C. 8 ? x ? 12 ,且 x ? N

1 n 1 M ? {x | x ? m ? , m ? Z } N ? {x | x ? ? , n ? Z } 6 2 3 6.已知集合 , ,

P ? {x | x

?

p 1 ? , p ? Z} 2 6 ,则 M , N , P 的关系
P B. M


N
P D. N


P M

A. M ? N

N ? P C. M

y ?3 M ? {( x, y ) | ? 1} x?2 3.设全集 U ? {( x, y) | x, y ? R} , , N ? {( x, y) | y ? x ? 1} ,那

7.设全集 U ? {1,2,3,4,5,6,7} ,集合 A ? {1,3,5} ,集合 B ? {3,5} ,则 A. U ? A ? B C. U ? A ? (CU B) B. U ? (CU A) ? B D. U ? (CU A) ? (CU B)





么 (CU M ) ∩ (CU N ) = A. ?



) D. {( x, y) | y ? x ? 1}

B.{(2,3)} C . (2,3) ( )

2 2 8.已知 M ? {2, a ? 3a ? 5,5} , N ? {1, a ? 6a ? 10,3} ,且 M ? N ? {2,3} ,则 a 的值

4.下列关系正确的是
2 A. 3 ?{ y | y ? x ? ? , x ? R}

( ) A.1 或 2

B.2 或 4

C.2

D.1 ( ) )

B. {(a, b)} = {(b, a)}
2 2 2 2 2 C. {( x, y) | x ? y ? 1} {( x, y) | ( x ? y ) ? 1}

9.满足 M ? N ? {a, b} 的集合 M , N 共有 A.7 组 B.8 组 C.9 组 10.下列命题之中,U 为全集时,不正确的是 A.若 A ? B = ? ,则 (CU A) ? (CU B) ? U

D.10 组 (

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B.若 A ? B = ? ,则 A = ? 或 B = ? C.若 A ? B = U ,则 (CU A) ? (CU B) ? ? D.若 A ? B = ? ,则 A ? B ? ? 二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分).
2 11.若 A ? {?2,2,3,4} , B ? {x | x ? t , t ? A} ,用列举法表示 B 2 2 12.设集合 M ? { y | y ? 3 ? x } , N ? { y | y ? 2x ? 1} ,则 M ? N ?

16 .( 12

2 2 2 分 ) 设 A ? {x | x ? ax ? a ? 19 ? 0} , B ? {x | x ? 5x ? 6 ? 0} ,

C ? {x | x 2 ? 2x ? 8 ? 0} .
. . ① A ? B = A ? B ,求 a 的值; ②?
A ? B ,且 A ? C = ? ,求 a 的值;

b {a, ,1} 2 a , 又 可 表 示 成 {a , a ? b,0} , 则 13 . 含 有 三 个 实 数 的 集 合 既 可 表 示 成

③ A ? B = A ? C ? ? ,求 a 的值;

a 2 0 0 3? b 2 0 0 4?

.

14.已知集合 U ? {x | ?3 ? x ? 3} , M ? {x | ?1 ? x ? 1}, CU N ? {x | 0 ? x ? 2} 那么集 合N ? , M ? (CU N ) ? ,M ? N ? .

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分).
1 ?A 15. (12 分)数集 A 满足条件:若 a ? A, a ? 1 ,则 1 ? a .

①若 2 ? A ,则在 A 中还有两个元素是什么; ②若 A 为单元集,求出 A 和 a .

2 17. (12 分)设集合 U ? {2,3, a ? 2a ? 3} , A ? {| 2a ? 1 |,2} , CU A ? {5} ,求实数 a

的值.

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高一数学

18. (12 分) 已知全集 U ? {1,2,3,4,5} , 若 A ? B ? U ,A ? B ? ? , A ? (CU B) ? {1,2} , 试写出满足条件的 A、B 集合.

19. (14 分)在某次数学竞赛中共有甲、乙、丙三题,共 25 人参加竞赛,每个同学 至少选作一题。在所有没解出甲题的同学中,解出乙题的人数是解出丙题的人数的 2 倍;解出甲题的人数比余下的人数多 1 人;只解出一题的同学中,有一半没解出 甲题,问共有多少同学解出乙题?

20. (14 分)集合 A1 , A2 满足 A1 ? A2 =A,则称( A1 , A2 )为集合 A 的一种分拆,并规 定:当且仅当 A1 ? A2 时, ( A1 , A2 )与( A2 , A1 )为集合 A 的同一种分拆,则集合 A={ a, b, c }的不同分拆种数为多少?

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高一数学

集合 同步练习(2)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正确 答案的代号填在题后的括号内(每小题 5 分,共 50 分). 1.下列各项中,不可以组成集合的是 ( ) A.所有的正数 B.约等于 2 的数 C.接近于 0 的数 D.不等于 0 的偶数 2.已知集合 A ? {?1,1} , B ? {x | m x ? 1} ,且 A ? B ? A ,则 m 的值为 ( A.1 B.—1 C.1 或—1 D.1 或—1 或 0 )

7.下列四个集合中,是空集的是 A. {x | x ? 3 ? 3}
2 C. {x | x ? 0}





2 2 B. {( x, y) | y ? ? x , x, y ? R} 2 D. {x | x ? x ? 1 ? 0}

8.设集合 A. M ? N

M ? {x | x ?

k 1 k 1 ? , k ? Z } N ? {x | x ? ? , k ? Z } 4 2 2 4 , ,则





B. M

N

C. N )

M

D. M ? N ? ?

Q ? {x | x ? 3k ? 1, k ? Z} , 3. 设集合 M ? {x | x ? 3k , k ? Z } ,P ? {x | x ? 3k ? 1, k ? Z} ,

9.表示图形中的阴影部分( A. ( A ? C ) ? ( B ? C ) B. ( A ? B) ? ( A ? C ) C. ( A ? B) ? ( B ? C ) D. ( A ? B) ? C

A

B

若 a ? M , b ? P, c ? Q ,则 a ? b ? c ? A. M B.
P C . Q D. M ? P





C

4.设 U ={1,2,3,4} ,若 A ? B ={2},(CU A) ? B ? {4} ,(CU A) ? (CU B) ? {1,5} , 则下列结论正确的是 A. 3 ? A 且 3 ? B C. 3 ? A 且 3 ? B ( )

B. 3 ? A 且 3 ? B D. 3 ? A 且 3 ? B
{0} , 其中正确的个数 是

10.已知集合 A、B、C 为非空集合,M=A∩C,N=B∩C,P=M∪N,则 A.C∩P=C B.C∩P=P C.C∩P=C∪P D.C∩P= ?





5 .以下四个关系: ? ? {0} , 0 ? ? , { ? } ? {0} , ? ( A.1 ) B.2 C.3 D.4
Q

二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题 6 分,共 24 分). 11.若集合 {( x, y) | x ? y ? 2 ? 0且x ? 2 y ? 4 ? 0} ? {( x, y) | y ? 3x ? b} ,则 b ? _____.

6 . 设 U 为 全 集 , P, Q 为 非 空 集 合 , 且 P ( ) B. (CU P) ? Q ? ? D. (CU Q) ? P ? ?

U ,下面结论中不正确的是

12 . 设 集 合 A ? {( x, y) | a1 x ? b1 x ? c1 ? 0} , B ? {( x, y) | a2 x ? b2 x ? c2 ? 0} , 则 方 程

A. (CU P) ? Q ? U C. P ? Q ? Q

(a1 x ? b1 x ? c1 ) (a2 x ? b2 x ? c2 ) ? 0 的解集为

. .

2 13. 已知集合 A ? {x | ax ? 3x ? 2 ? 0} 至多有一个元素, 则 a 的取值范围

5

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高一数学

14.已知 A ? {?2,?1,0,1} ,

B ? {y | y ? x x ? A}

,则 B=

. 19. (14 分)用描述法表示图中的阴影部分(包括边界) y 1 —1 o
1 2

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分). 15. (12 分)已知集合 A={x|x=m2-n2,m∈Z,n∈Z} 求证: (1)3∈A; (2)偶数 4k—2 (k∈Z)不属于 A.

16. (12 分) (1)P={x|x2-2x-3=0},S={x|ax+2=0},S ? P,求 a 取值? (2)A={-2≤x≤5} ,B={x|m+1≤x≤2m-1},B ? A,求 m?

3 2

x
?

2 20. (14 分)设 a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,a5 为自然数, A={ a1 ,a2 ,a3 ,a4 ,a5 }, B={ a1 ,

a 2 , a3 , a 4 , a5 },且 a1 < a2 < a3 < a4 < a5 ,并满足 A∩B={ a1 , a4 }, a1 + a4 =10,
A∪B 中各元素之和为 256,求集合 A? 17. (12 分)在 1 到 100 的自然数中有多少个能被 2 或 3 整除的数?

2

2

2

2

2 18. (12 分)已知方程 x ? px ? q ? 0 的两个不相等实根为 ? , ? 。集合 A ? {? , ? } ,

B ? {2,4,5,6}, C ? {1,2,3,4},A∩C=A,A∩B= ? ,求 p, q 的值?

6

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高一数学

集合 同步练习(1) 参考答案 一、ACBCA BCCCB 二、 11. {4, 9, 16}; 12. { x | ?1 ? x ? 3 }; 13. -1; 14.N ? {x | ?3 ? x ? 0

1 ? B,2 ? B; 但 A ? B ? ? ,故{1,2} A,于是{1,2} A ? {1,2,3,4,5}。 19.分析:利用文氏图,见右图; 可得如下等式
a ? b ? c ? d ? e ? f ? g ? 25 ;
B

或 2 ? x ? 3} ; M ? (CU N ) ? {x | 0 ? x ? 1} ; M ? N ? {x | ?3 ? x ? 1 或 2 ? x ? 3}
? 1 1 2和3;

bf

d g

A

e
c

a

b ? f ? 2(c ? f ) ; a ? d ? e ? g ? 1 ;
a ? b ? c ;联立可得 b ? 6 。

C

三、15. 解:①
A ?{



?1? 5 ?1? 5 ?1? 5 ?1? 5 } a? A ?{ } a? 2 2 2 2 (此时 )或 (此时 ) 。
2

20.解:当 A1 = ? 时, A2 =A,此时只有 1 种分拆; 当 A1 为单元素集时, A2 = C A A1 或 A,此时 A1 有三种情况,故拆法为 6 种; 当 A1 为双元素集时,如 A1 ={ a , b },B= {c} 、 {a, c} 、 {b, c} 、 {a, b, c} ,此时 A1 有三种 情况,故拆法为 12 种; 当 A1 为 A 时, A2 可取 A 的任何子集,此时 A2 有 8 种情况,故拆法为 8 种; 总之,共 27 种拆法。

16.解:①此时当且仅当 A ? B ,有韦达定理可得 a ? 5 和 a ? 19 ? 6 同时成立,即
a ? 5;

2} ,故只可能 3 ? A 。 ②由于 B ? {2,3} , C ? {?4,
2 此时 a ? 3a ? 10 ? 0 ,也即 a ? 5 或 a ? 2 ,由①可得 a ? 2 。

2 ③此时只可能 2 ? A ,有 a ? 2a ? 15 ? 0 ,也即 a ? 5 或 a ? ?3 ,由①可得 a ? ?3 。
2 17.解:此时只可能 a ? 2a ? 3 ? 5 ,易得 a ? 2 或 ? 4 。

当 a ? 2 时, A ? {2,3} 符合题意。 当 a ? ?4 时, A ? {9,3} 不符合题意,舍去。 故a ? 2。 18.分析: A ? B ? U 且 A ? (CU B) ? {1,2} ,所以{1,2} ? A,3∈B,4∈B,5∈B 且

7

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集合 同步练习(2)参考答案 一、DDCBA BDBAB 二、11.2; 12.A∪B; 13.a =0 或
a? 9 8;

数为 16,可得集合 A ? B 中元素的个数为 50+33-16=67. 18. 解: 由 A∩C=A 知 A ? C。 又 A ? {? , ? } , 则 ? ? C ,? ? C . 而 A∩B= ? , 故? ? B , 14.{0,1,2}

三、15.证明: (1)3=22-12 ∴3 ? A (2)设 4k-2 ? A,得存在 m,n ? Z,使 4k-2=m2-n2 成立. (m-n)(m+n)=4k- 2 当 m,n 同奇或同偶时,m-n,m+n 均为偶数 ∴(m-n)(m+n)为 4 的倍数,与 4k-2 不是 4 倍数矛盾. 当 m,n 同分别为奇,偶数时,m-n,m+n 均为奇数 (m-n)(m+n)为奇数,与 4k-2 是偶数矛盾.∴4k-2 ? A 16.解: (1)a=0,S= ? , ? ? P 成立
2 得 3a+2=0,a=- 3 或-a+2=0,a=2;

? ?B。
显然即属于 C 又不属于 B 的元素只有 1 和 3. 不仿设 ? =1 , ? =3. 对于方程

x 2 ? px ? q ? 0 的两根 ? , ? 应用韦达定理可得 p ? ?4, q ? 3 .
{( x, y ) | ?1 ? x ? 3 1 ,? ? y ? 1, xy ? 0} 2 2

a ? 0,S ? ? ,由 S ? P,P={3,-1}
2 ∴a 值为 0 或- 3 或 2.

19.解:

20.由 A∩B={ a1 , a4 },且 a1 < a2 < a3 < a4 < a5 . 所以只可能 a1 = a1 ,即 a1 =1.
2
2

由 a1 + a4 =10,得 a4 =9.

(2)B= ? ,即 m+1>2m-1,m<2

? A 成立.

且 a4 =9= ai ( 2 ? i ? 3 ) , a2 =3 或 a3 =3. Ⅰ. a3 =3 时, a2 =2,此时 A={1,2,3,9, a5 },B={1,4,9,81, a5 }.
2

B≠ ? ,由题意得 ∴m<2 或 2≤m≤3 注: (1)特殊集合 ? 作用,常易漏掉

得 2≤m≤3

即 m≤3 为取值范围.

因 a5 ? a5 ,故 1+2+3+9+4+ a5 +81+ a5 =256,从而 a5 + a5 -156=0,解得

2

2

2

a5 =12.略
Ⅱ. a2 =3 时,此时 A={1,3, a3 ,9, a5 },B={1, 9, a3 , 81, a5 }. 因 1+3+9+ a3 + a5 +81+ a3 + a5 =256,从而 a5 + a5 + a3 + a3 -162=0. 因为 a2 < a3 < a4 ,则 3< a3 <9. 当 a3 =5 时, a5 =11. 略. 当 a3 =4、6、7、8 时, a5 无整数解.
2 2 2 2

(2)运用分类讨论思想,等价转化思想,数形结合思想常使集合问题 简捷比. 17.解:设集合 A 为能被 2 整除的数组成的集合,集合 B 为能被 3 整除的数组成的 集合,则 A ? B 为能被 2 或 3 整除的数组成的集合, A ? B 为能被 2 和 3(也即 6) 整除的数组成的集合. 显然集合 A 中元素的个数为 50,集合 B 中元素的个数为 33,集合 A ? B 中元素的个

2

2

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