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#高中数学必修三2.3.1变量之间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关_图文

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2.3 变量间的相关关系
2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关
第一课时

问题提出
1.函数是研究两个变量之间的依存关系 的一种数量形式.对于两个变量,如果 当一个变量的取值一定时,另一个变量 的取值被惟一确定,则这两个变量之间 的关系就是一个函数关系.

2.在中学校园里,有这样一种说法: “如果你的数学成绩好,那么你的物理 学习就不会有什么大问题.”按照这种说 法,似乎学生的物理成绩与数学成绩之 间存在着某种关系,我们把数学成绩和 物理成绩看成是两个变量,那么这两个 变量之间的关系是函数关系吗?

3.我们不能通过一个人的数学成绩是 多少就准确地断定其物理成绩能达到 多少,学习兴趣、学习时间、教学水 平等,也是影响物理成绩的一些因素, 但这两个变量是有一定关系的,它们 之间是一种不确定性的关系.类似于这 样的两个变量之间的关系,有必要从 理论上作些探讨,如果能通过数学成 绩对物理成绩进行合理估计,将有着 非常重要的现实意义.

知识探究(一):变量之间的相关关系
思考1:考察下列问题中两个变量之间的 关系: (1)商品销售收入与广告支出经费; (2)粮食产量与施肥量; (3)人体内的脂肪含量与年龄.
这些问题中两个变量之间的关系是函 数关系吗?

思考2:“名师出高徒”可以解释为教师 的水平越高,学生的水平就越高,那么 学生的学业成绩与教师的教学水平之间 的关系是函数关系吗?

思考3:上述两个变量之间的关系是一种 非确定性关系,称之为相关关系,那么 相关关系的含义如何?
自变量取值一定时,因变量的取值带有一定 随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关 系.

思考4:对于一个变量,可以控制其数 量大小的变量称为可控变量,否则称为 随机变量,那么相关关系中的两个变量 有哪几种类型?
(1)一个为可控变量,另一个为随机变量;
(2)两个都是随机变量.

知识探究(二):散点图 【问题】在一次对人体脂肪含量和年龄 关系的研究中,研究人员获得了一组样 本数据:
年龄 23 27 39 41 45 49 50
脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
年 53 54 56 57 58 60 61 龄 脂 29. 30. 31. 30. 33. 35. 34.
肪 其6中各2年龄4对应8的脂肪5 数据2 是这6 个年龄 人群脂肪含量的样本平均数.

年龄 23 27 39 41 45 49 50
脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
年 53 54 56 57 58 60 61 龄
脂 29. 30. 31. 30. 33. 35. 34.
思 肪 考61:对2 某一4 个8人来5说,2他的6体内脂 肪含量不一定随年龄增长而增加或减少, 但是如果把很多个体放在一起,就可能 表现出一定的规律性.观察上表中的数 据,大体上看,随着年龄的增加,人体 脂肪含量怎样变化?

年龄 23 27 39 41 45 49 50
脂肪 9.5 17.8 21.2 25.9 27.5 26.3 28.2
年 53 54 56 57 58 60 61 龄
脂 29. 30. 31. 30. 33. 35. 34.
思肪考26:为了2 确定4 年龄8 和人5 体脂2 肪含6 量之间的 更明确的关系,我们需要对数据进行分析, 通过作图可以对两个变量之间的关系有一个 直观的印象.以x轴表示年龄,y轴表示脂肪含 量,你能在直角坐标系中描出样本数据对应 的图形吗?

脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10 5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
思考3:上图叫做散点图,你能描述一 下散点图的含义吗?
在平面直角坐标系中,表示具有相关关系 的两个变量的一组数据图形,称为散点图.

脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
思考4:观察散点图的大致趋势,人的年 龄与人体脂肪含量具有什么相关关系?

脂肪含量

40 35 30 25 20 15 10
5 0
20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄
思考5:在上面的散点图中,这些点散布在 从左下角到右上角的区域,对于两个变量的 这种相关关系,我们将它称为正相关.一般 地,如果两个变量成正相关,那么这两个变 量的变化趋势如何?

思考6:如果两个变量成负相关,从整 体上看这两个变量的变化趋势如何?其 散点图有什么特点?
一个变量随另一个变量的变大而变小, 散点图中的点散布在从左上角到右下角 的区域.
思考7:你能列举一些生活中的变量 成正相关或负相关的实例吗?

理论迁移
例1 在下列两个变量的关系中,哪些是 相关关系? ①正方形边长与面积之间的关系;
②作文水平与课外阅读量之间的关系;
③人的身高与年龄之间的关系;
④降雪量与交通事故的发生率之间的关 系.

例2 以下是某地搜集到的新房屋的销 售价格和房屋的面积的数据:
房屋面积 61 70 115 110 80 135 105
(平方米)
销售价格 12.2 15.3 24.8 21.6 18.4 29.2 22
(万元)
画出数据对应的散点图,并指出销售 价格与房屋面积这两个变量是正相关 还是负相关.

售价

35

30

25

20

15

10

5

0

0

50

100

150

面积

小结作业
1.对于两个变量之间的关系,有函数关系 和相关关系两种,其中函数关系是一种确 定性关系,相关关系是一种非确定性关系.
2.散点图能直观反映两个相关变量之 间的大致变化趋势,利用计算机作散点 图是简单可行的办法.
3.一般情况下两个变量之间的相关关系 成正相关或负相关,类似于函数的单调 性.


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