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2018年高考数学一轮复习专题2.12函数模型及其应用(练)

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专题 2.12 函数模型及其应用 一、填空题 1. 给出下列函数模型: ①一次函数模型; ②幂函数模型; ③指数函数模型; ④对数函数模型. 下 表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据,它最可能的函数模型是________(填序号). x y 【答案】① 4 15 5 17 6 19 7 21 8 23 9 25 10 27 【解析】根据已知数据可知,自变量每增加 1 函数值增加 2,因此函数值的增量是均匀的,故 为一次函数模型. 2.某工厂 6 年来生产某种产品的情况是:前 3 年年产量的增长速度越来越快,后 3 年年产量 保持不变,则该厂 6 年来这种产品的总产量 C 与时间 t( 年 ) 的函数关系图象正确的是 ________(填序号). 【答案】① 3.某电信公司推出两种手机收费方式:A 种方式是月租 20 元,B 种方式是月租 0 元.一个月 的本地网内打出电话时间 t(分钟)与打出电话费 s(元)的函数关系如图,当打出电话 150 分钟 时,这两种方式电话费相差________元. 【答案】10 【解析】设 A 种方式对应的函数解析式为 s=k1t+20, B 种方式对应的函数解析式为 s=k2t, 1 当 t=100 时,100k1+20=100k2,∴k2-k1= , 5 t=150 时,150k2-150k1-20=150× -20=10. 4.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边 长 x 为________m. 1 5 【答案】20 x 40-y 【解析】设内接矩形另一边长为 y,则由相似三角形性质可得 = ,解得 y=40-x,所 40 40 以面积 S=x(40-x)=-x +40x=-(x-20) +400(0<x<40),当 x=20 时,Smax=400. 5.(2017·长春模拟)一个容器装有细沙 a cm ,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速 漏出,t min 后剩余的细沙量为 y=ae -bt 3 2 2 (cm ),经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子, 3 则再经过________min,容器中的沙子只有开始时的八分之一. 【答案】16 6.A,B 两只船分别从在东西方向上相距 145 km 的甲乙两地开出.A 从甲地自东向西行驶.B 从乙地自北向南行驶,A 的速度是 的距离最短. ,B 的速度是 ,经过________h,AB 间 25 【答案】 8 【 解 析 】 设 经 过 x h , A , B 相 距 为 y km , 则 y = -40x 2 + x 2 = 29 25 2 2 1 856t -11 600t+145 (0≤x≤ ),求得函数的最小值时 x 的值为 . 8 8 7.某企业投入 100 万元购入一套设备,该设备每年的运转费用是 0.5 万元,此外每年都要花 费一定的维护费,第一年的维护费为 2 万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年 增加 2 万元.为使该设备年平均费用最低,该企业需要更新设备的年数为________. 【答案】10 【解析】设该企业需要更新设备的年数为 x,设备年平均费用为 y,则 x 年后的设备维护费用 100+0.5x+x x+ 为 2+4+…+2x=x(x+1),所以 x 年的平均费用为 y= x 100 =x+ + x 100 1.5,由基本不等式得 y=x+ +1.5≥2 x x· 100 100 +1.5=21.5,当且仅当 x= ,即 x x x =10 时取等号. 8.某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入.若该公司 2015 年全年投入研发奖金 130 万元.在此基础上,每年投入的研发奖金比上一年增长 12%,则该公司全年投入的研发奖金开 始超过 200 万元的年份是________(参考数据:lg 1.12=0.05,lg 1.3=0.11,lg 2=0.30). 【答案】2019 二、解答题 9.现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部分的形状是正四棱锥 P-A1B1C1D1,下部 分的形状是正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1(如图所示),并要求正四棱柱的高 OO1 是正四棱锥的高 PO1 的 4 倍. (1)若 AB=6 m,PO1=2 m,则仓库的容积是多少? (2)若正四棱锥的侧棱长为 6 m,则当 PO1 为多少时,仓库的容积最大? 1 2 2 3 解 (1)V= ×6 ×2+6 ×2×4=312(m ). 3 (2)设 PO1=x, 则 O1B1= 6 -x ,B1C1= 2· 6 -x , ∴SA1B1C1D1=2(6 -x ), 又由题意可得下面正四棱柱的高为 4x. 1 2 2 2 2 则仓库容积 V= x·2(6 -x )+2(6 -x )·4x= 3 26 x(36-x2). 3 2 2 2 2 2 2 由 V′=0 得 x=2 3或 x=-2 3(舍去). 由实际意义知 V 在 x=2 3(m)时取到最大值, 故当 PO1=2 3 m 时,仓库容积最大. 10. (2017·南通模拟)某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品, 其生产的总成本 y(万 元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y= -48x+8 000,已知此生产线年 5 产量最大为 210 吨. (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成本最低,并求最低成本; (2)若每吨产品平均出厂价为 40 万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大 利润是多少? x2 能力提升题组 11.(2017·南京调研)某市对城市路网进行改造,拟在原有 a 个标段(注:一个标段是指一定 长度的机动车道)的基础上,新建 x 个标段和 n 个道路交叉口,其中 n 与 x 满足 n=ax+5.已 知新建一个标段的造价为 m 万元,新建一个

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