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数学4-1《几何证明选讲》知识点总结

时间:2018-06-30


高中数学选修 4-1《几何证明选讲》 ----知识点总结
1、平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,
那么在其他直线上截得的线段也相等。

推理 1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理 2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰。平分线分线
段成比例定理

2、平分线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成
比例。

推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线
段成比例。

3、相似三角形的判定: 定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形
对应边的比值叫做相似比(或相似系数) 。 由于从定义出发判断两个三角形是否相似, 需考虑 6 个元素, 即三组对应角是否 分别相等,三组对应边是否分别成比例,显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如 下几个判定两个三角形:

4、相似的简单方法:
(1)两角对应相等,两三角形相似; (2)两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似; (3)三边对应成比例,两三角形相似。

1

5、预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,
所构成的三角形与三角形相似。

6、判定定理 1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三
角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。简述为:两角对应相等,两三 角形相似。

7、判定定理 2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角
形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。简述为:两边对 应成比例且夹角相等,两三角形相似。

8、判定定理 3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三
角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。简述为:三边对应成比例, 两三角形相似。

9、引理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段
成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。

10、定理: (1)如果两个直角三角形有一个锐角对应相等,那么它们相似;
(2)如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例,那么它们相似。

11、定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和
直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。

12、相似三角形的性质:
(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比;

(2)相似三角形周长的比等于相似比; (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方。 相似三角形外接圆的直径比、 周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的

2

平方。

13、直角三角形的射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上
射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。

14、圆周定理 圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。 圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数。 推论 1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的
弧相等。

推论 2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。
圆内接四边形的性质与判定定理

16、定理 1:圆的内接四边形的对角互补。 17、定理 2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。 18、圆内接四边形判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边
形的四个顶点共圆。

推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶
点共圆。圆的切线的性质及判定定理。

19、切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论 1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论 2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 20、切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切
线。弦切角的性质

21、弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。与圆有关的比例线
3



22、相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 23、割线定理:从园外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点
的两条线段长的积相等。

24、切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆
交点的两条线段长的比例中项。

25、切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和
这一点的连线平分两条切线的夹角。

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