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2017-2018学年高中数学(苏教版)选修1-1+课时跟踪训练(十四) 圆锥曲线的共同性质

时间:2017-12-06


课时跟踪训练(十四) 圆锥曲线的共同性质 x2 y2 1.若双曲线 - 2=1 的一条准线与抛物线 y2=8x 的准线重合,则双曲线的离心率为 8 b ________. x2 y2 x2 2.设 F1,F2 为曲线 C1: + =1 的焦点,P 是曲线 C2: -y2=1 与 C1 的一个交点, 6 2 3 则 cos∠F1PF2 的值是________. x2 y2 3.设 P 是椭圆 + =1 上一点,M,N 分别是两圆:(x+4)2+y2=1 和(x-4)2+y2=1 上 25 9 的点,则 PM+PN 的最小值、最大值分别为________________. x2 y2 4.(福建高考)椭圆 Γ: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2,焦距为 2c.若直线 y a b = 3(x + c) 与椭圆 Γ 的一个交点 M 满足∠ MF1F2 = 2 ∠ MF2F1 ,则该椭圆的离心率等于 ________. 1? x2 y2 5.已知椭圆 + =1 内部的一点为 A? ?1,3?,F 为右焦点,M 为椭圆上一动点,则 MA 4 2 + 2MF 的最小值为________. x2 y2 6.已知双曲线 2- 2=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线的右支上,且 PF1 a b =4PF2,求此双曲线离心率 e 的最大值.

7.已知平面内的动点 P 到定直线 l:x=2 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程;

2的距离与点 P 到定点 F( 2,0)之比为 2.

(2)若点 N 为轨迹 C 上任意一点(不在 x 轴上), 过原点 O 作直线 AB, 交(1)中轨迹 C 于点 A、 B,且直线 AN、BN 的斜率都存在,分别为 k1、k2,问 k1· k2 是否为定值?

x2 y2 8.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的右准线 l2 与一条渐近线 l 交于点 P,F 是双曲线的右 a b 焦点. (1)求证:PF⊥l; 5 (2)若 PF=3,且双曲线的离心率 e= ,求该双曲线的方程. 4





课时跟踪训练(十四) a ? ? c =2, ?c=4, 1.解析:根据题意和已知可得方程组? ?? ?e= 2. a=2 2, ? 2 ? ?a =8, 答案: 2 x2 y2 x2 2.解析:曲线 C1: + =1 与曲线 C2: -y2=1 的焦点重合,两曲线共有四个交点, 6 2 3 不妨设 P 为第一象限的交点.则 PF1+PF2=2 6,PF1-PF2=2 3,解得 PF1= 6+ 3,PF2 = 6- 3.又 F1F2=4,在△F1PF2 中,由余弦定理可求得 ? 6+ 3?2+? 6- 3?2-42 1 cos∠F1PF2= = . 3 2×? 6+ 3?×? 6- 3? 1 答案: 3 3.解析:PM+PN 最大值为 PF1+1+PF2+1=12,最小值为 PF1-1+PF2-1=8. 答案:8,12 4.解析:直线 y= 3(x+c)过点 F1(-c,0),且倾斜角为 60° ,所以∠MF1F2=60° ,从而∠ MF2F1=30° ,所以 MF1⊥MF2. 在 Rt△MF1F2 中,MF1=c,MF2= 3c,
2

2c 2c 所以该椭圆的离心率 e= = = 3-1. 2a c+ 3c 答案: 3-1 5. 解析: 设 M 到右准线的距离为 d, 由圆锥曲线定义知 MF 2 = , ∴d= 2MF.∴MA+ 2 d 2 2-1.

MF=MA+d.由 A 向右准线作垂线,垂线段长即为 MA+d 的最小值.MA+d≥2 答案:2 2-1

6.解:设 P 点坐标为 P(x0,y0),由圆锥曲线的统一定义得: PF1 PF2 e= = ,把 PF1=4PF2. a2 a2 x0+ x0- c c a2 a2 x0- ?. 代入则有:x0+ =4? c? ? c 5a2 整理得 =3x0≥3a(∵x0≥a). c c 5 5 ∴e= ≤ .∴离心率 e 的最大值为 . a 3 3 7.解:(1)设点 P(x,y),依题意,有 ?x- 2?2+y2 2 = . 2 |x-2 2|

x2 y2 整理,得 + =1.所以动点 P 的轨迹 C 的方程为 4 2 x2 y2 + =1. 4 2 (2)由题意,设 N(x1,y1),A(x2,y2),则 B(-x2,-y2),
2 x2 y1 x2 y2 1 2 2 + =1, + =1. 4 2 4 2

k1· k2=

2 y1-y2 y1+y2 y2 1-y2 · = 2 2 x1-x2 x1+x2 x1-x2

1 2 1 2- x1 -2+ x2 2 2 2 1 = =- ,为定值. 2 2 x1 -x2 2 a2 ab? a2 b 8.解:(1)证明:右准线为 l2:x= ,由对称性不妨设渐近线 l 为 y= x,则 P? ? c , c ?, c a ab -0 c a 又 F(c,0),∴kPF= 2 =- . a b -c c b ab 又∵kl= ,∴kPF· kl=- · =-1.∴PF⊥l. a ba (2)∵PF 的长即 F(c,0)到 l:bx-ay=0 的距离,



|bc| c 5 2 2=3,∴b=3.又 e=a=4, a +b a2+b2 25 = .∴a=4. a2 16



x2 y2 故双曲线方程为 - =1. 16 9


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