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2010-2013年全国高中数学联赛广东省预赛试题及答案

时间:2014-05-23


2010 年全国高中数学联赛广东省赛区预赛试题
(考试时间:2010 年 9 月 4 日上午 10:00—11:20) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上. 1.方程 log ? x ? sin x ? 2 在区间 (0,
2

?
2

] 上的实根个数为_________________.

2. 设数列 ?8 ? (? ) n ?1 ? 的前 n 项和为 Sn ,则满足不等式 | S n ? 6 |? _________________. 3.已知 n ( n ? N , n ? 2 )是常数,且 x1 , x2 , ? , xn 是区间 ? 0, 数

? ?

1 3

? ?

1 的最小整数 n 是 125

? ?? 内任意实数,则函 ? 2? ?

f ( x1, x2 ,?, xn ) ? sin x1 cos x2 ? sin x2 cos x3 ? ?? sin xn cos x1 的 最 大 值 等 于

_________________. 4.圆周上给定 10 个点,每两点连一条弦,如果没有三条弦交于圆内一点,那么,这些弦在 圆内一共有_________________个交点. 5.一只虫子沿三角形铁圈爬行,在每个顶点,它都等机会地爬向另外两个顶点之一,则它在 n 次爬行后恰好回到起始点的概率为_________________. 6. 设 O 是 平 面 上 一 个 定 点 , A , B , C 是 平 面 上 不 共 线 的 三 个 点 , 动 点 P 满 足

??? ? ??? ? ? A C ??? ? ? OA OP ? ? ??? ?? | AC |

??? ? AB ??? ? ,其中 ? ?[0, ??) ,则点 P 的轨迹为_________________. | AB |

7. 对给定的整数 m ,符号 ? ( m) 表示 ?1, 2, 3 ? 中使 m ? ? (m) 能被 3 整除的唯一值,那么

? (22010 ?1) ? ? (22010 ? 2) ? ? (22010 ? 3) ? _________________.
8.分别以直角三角形的两条直角边 a , b 和斜边 c 为轴将直角三角形旋转一周,所得旋转体 的体积依次为 Va , Vb , Vc ,则 Va 2 ? Vb 2 与 (2Vc )2 的大小关系是_________________. 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1.(本小题满分 16 分)是否存在实数 a ,使直线 y ? ax ? 1 和双曲线 3x ? y ? 1 相交于两
2 2

点 A 、 B ,且以 AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点? 2. (本小题满分 20 分) 求证: 不存在这样的函数 f : Z ? ?1, 2,3? , 满足对任意的整数 x ,y , 若 | x ? y |??2,3,5? ,则 f ( x) ? f ( y ) . 3.(本小题满分 20 分)设非负实数 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 1 , 求证: 9abc ? ab ? bc ? ca ?

1 (1 ? 9abc) 4

1

2011 年全国高中数学联赛广东省预赛试题
(考试时间:2011 年 9 月 3 日上午 10∶00—11∶20) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上.

1. 设数列 {an } 满足 a1 ? 1, a2 ? 4, a3 ? 9, an ? an?1 ? an?2 ? an?3 , n ? 4,5,... ,则

a2011 ?

.

2. 不等式 sin 2 x ? a cos x ? a 2 ? 1 ? cos x 对一切 x ? R 成立,则实数 a 的取值范围 为 .

3. 已知定义在正整数集上的函数 f (n) 满足以下条件: (1) f (m ? n) ? f (m) ? f (n) ? mn ,其中 m, n 为正整数; (2) f (3) ? 6 .则 f (2011) ? . 个解.

4. 方程 ? x ? 1 ? 2 ? ? 2011 ? 2011 一共有

5. 设半径为 10 厘米的球中有一个棱长为整数(厘米)的正方体, 则该正方体的 棱长最大等于 .
2

6. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线 y ? x ?? 2 ? x ? 2? 绕 y 轴旋转而构成的.请问能 接触到杯底的球的半径最大是 . 1 1 1 ? ? ... ? ? _____ . 7. 计算: sin 45? sin 46? sin 46? sin 47? sin 89? sin 90? 8. 10 名学生站成一排,要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子,要求 每种颜色的帽子都要有,且相邻的两名学生帽子的颜色不同. 则满足要求的发帽 子的方法共有 种.
二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

1. (本小题满分 16 分)若 n 是大于 2 的正整数,求 1 1 1 ? ? ... ? 的最小值. n ?1 n ? 2 2n 2. (本小题满分 20 分)在一条线段上随机独立地取两点,然后从这两点处把 线段分成三段.请问得到的三条新线段能构成三角形的概率是多少? 3. (本小题满分 20 分)数列 a0 , a1 ,..., an ,... 满足 a0 ? 0, a1 ? 1, a2 ? 0 ,当 n ? 3 时 有 an ?
2 n (a0 ? a1 ? ... ? an ? 2 ) . 证明:对所有整数 n ? 3 ,有 an ? . n ?1 10

2

2012 年全国高中数学联赛广东省预赛试题
(考试时间:2012 年 9 月 8 日上午 10∶00—11∶20) 一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上 1. 已知 20122 ? 2010? 2011? 2013? 2014? k 2 ?k ? 0? ,则 k ? . ? ? 2. 函数 f ( x) ? sin( x ? ) ? sin( x ? ) ? cos x ? 3 的最小值等于 . 6 6 bx ? 1 1 3. 已知 f ( x ) ? ,其中 a , b 为常数,且 ab ? 2 . 若 f ( x) ? f ( ) ? k 为常数, 2x ? a x 则 k 的值为 . 4. 已 知 方 程 32 x ? 3x?1 ? p 有 两 个 相 异 的 正 实 数 解 , 则 实 数 p 的 取 值 范 围 是 . 5. 将 25 个数排成五行五列:

a11

a12

a13 a23 a33 a43 a53

a14 a24 a34 a44 a54

a15 a25 a35 a45 a55

a21 a22 a31 a32 a41 a42 a51 a52

已知第一行 a11 , a12 , a13 , a14 , a15 成等差数列,而每一列 a1 j , a2 j , a3 j ,

a4 j , a5 j ( 1? j ? 5 )都成等比数列,且五个公比全相等.
若 a24 ? 4 , a41 ? ?2 , a43 ? 10 ,则 a11 ? a55 的值为______. 1 6.设点 P 在曲线 y ? e x 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 的最小值为______. 2 7.将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在 4×4 方格表的 16 个小方格内,每个小方格 内至多填一个字母,若使相同字母既不同行也不同列,则不同的填法种数共 有 . 8.一个直角梯形的上底比下底短,该梯形绕它的上底旋转一周所得旋转体的体积 为 112? ,该梯形绕它的下底旋转一周所得旋转体的体积为 80? ,该梯形绕它的 直角腰旋转一周所得旋转体的体积为 156? ,则该梯形的周长为 . 二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. x2 y 2 1. (16 分)设椭圆 2 + 2 =1 (a >b>0) 的左、右顶点分别为 A, B ,点 P 在椭圆上 a b 且异于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若 |AP|=|OA| , 证明:直线 OP 的斜率 k 满足 | k |? 3 . 2. (本小题满分 20 分) 设非负实数 a , b , c 满足 a ? b ? c ? 3 . 求

S ? (a ? ab ? b )(b ? bc ? c )(c ? ca ? a )
2 2 2 2 2 2

的最大值. 3. (本小题满分 20 分)求出所有的函数 f : N ? N 使得对于所有 x , y ? N ,
* *
*

2 2 ( f ( x)) ? y 都能被 f ( y) ? x 整除.

3

2013 年广东省高中数学联赛预赛试题及答案
一、填空题(每小题 8 分,满分 64 分) 1、已知 sin ? ? cos ? ,cos ? ? sin 2? ,则 sin 2 ? ? cos2 ? ? _______. 2、不等式 x6 ? ( x ? 2) ? ( x ? 2)3 ? x2 的解集为_________. 3、已知 ( 表示不超 过 x 的最大整数),设方程
2

1 ? 2012 x ? { x} 的两 2013

个不同实数解为 x1 , x2 ,则 2013 ? ( x1 ? x2 ) ? __________. 4、在平面直角坐标系中,设点 A( x, y)( x, y ? N * ) ,一只虫子从原点 O 出发,沿 x 轴 正方向或 y 轴正方向爬行(该虫子只能在整点处改变爬行方向) ,到达终点 A 的不同路线数 目记为 f ( x, y) . 则 f (n, 2) ? _______. 5、将一只小球放入一个长方体容器内,且与共点的三个面相接触.若小球上一点 P 到 这三个面的距离分别为 4、5、5,则这只小球的半径为___________. 6、将

2013 n ?1 (n ? N * ) 型分数的乘积的不同方法数是________.(其中 表示成两个 2012 n

ab 与 ba 是同一种表示方法)
7、设 E 为正方形 ABCD 边 AB 的中点,分别在边 AD、BC 上任取两点 P、Q,则∠PEQ 为锐角的概率为__________. 8、已知实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 有实根,则使得
2

(a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (c ? a)2 ? ra2
成立的正实数 r 的最大值为____________. 二、解答题(第一道小题满分 16 分,后两道小题每题满分 20 分) 9 、 已 知 数 列 {an } 的 各 项 均 为 正 数 , a1 ? 1, a2 ? 3 , 且 对 任 意 n ? N * , 都 有
2 ? ,使得 an ? an?2 ? ? an?1 对任意 n ? N * 都成立? an ?1 ? an an ? 2 ? 2 .问:是否存在常数

10、已知两点 C (?

x 6 6 ,0), D( ,0) ,设 A,B,M 是椭圆 ? y 2 ? 1上三点,满足 4 2 2

2

???? ? 3 ??? ? 4 ??? ? OM ? OA ? OB ,点 N 为线段 AB 的中点,求 | NC | ? | ND | 的值. 5 5
11、 已知 m ? n(m, n ? N * ) , 两个有限正整数集合 A, B 满足: | A |?| B |? n,| A ? B |? m ( 这 里 用 | X | 表 示 集 合 X 的 元 素 个 数 ) . 平 面 向 量 集 {uk , k ? A ? B} 满 足

?

?u
i? A

?
i

?

?u
j?B

?
j

? 1 . 证明:

k ? A? B

?

? | uk |2 ?

2 . m?n

4

2010 年全国高中数学联赛广东省预赛参考答案
一、填空题 1.设 f ( x) ? log ? x ? sin x ? 2 ,则 f ?( x) ?
2

1 x ln

?
2

?cos x ,∵ 0 ? x ?

?
2

1 , ,∴ 0 ? cos x ?

又 0 ? ln

?

? 1 ,∴ f ?( x) ?0 ,即在区间 (0, ] 上单调递增,故方程 log ? x ? sin x ? 2 在区 2 2 2

?

间 (0,

?
2

] 上有且只有一个实根.

2. 易 知 数 列 ?8 ? (? )

? ?

1 3

n ?1

1 ? ? 是 首项 是 8 ,公比 是 ? 的等 比数列, ∴ 3 ?

1 8[1 ? (? ) n ] 1 2 1 3 ? 6 ? 6(? 1 ) n , 于 是 | S ? 6 ? | ? n ?1 ? ? 3n ?1 ? 250 , ∵ Sn ? n 1 125 3 125 3 1 ? (? ) 3
35 ? 243 ? 250 , 36 ? 729 ? 250 ,故最小整数 n 是 7.
3.∵ ab ?

a 2 ? b2 , 2

∴ f ( x1 , x2 ,?, xn ) ? sin x1 cos x2 ? sin x2 cos x3 ? ? ? sin xn cos x1

?

sin 2 xn ? cos 2 x1 sin 2 x1 ? cos 2 x2 sin 2 x2 ? cos 2 x3 ? ??? 2 2 2

(sin 2 x1 ? cos 2 x1 ) ? (sin 2 x2 ? cos 2 x2 ) ? ? ? (sin 2 xn ? cos 2 xn ) ? 2
? n n ,故所求函数的最大值等于 . 2 2
4

4. 圆周上任意四点构成一个四边形,四边形的两条对角线的交点必在圆内,所以四边形的 个数与每两条弦的交点数相等,故有 C10 ?

10 ? 9 ? 8 ? 7 ? 210 个交点. 1? 2 ? 3 ? 4

5.

2n ? 2(?1) n 3 ? 2n

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? AC ??? AB AB AC ? ? OA ? ? ??? ? ,∴ OP ? OA ? ?? ( ??? ? ? ??? ? ), 6. ∵ OP ? ? ??? | AC | | AB | | AB | | AC | ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? AB AC AB AC ? ? ??? ? ) ,又 ??? ? , ???? 为单位向量,由向量加法的平行四边形法则, 即 AP ? ? ( ??? | AB | | AC | | AB | | AC |
5

知点 P 的轨迹为 ?BAC 的平分线. 7.由二项式定理知, 22010 ? 41005 ? (3 ? 1)1005 ? 3 p ? 1 ,即 2 ∴ ? (22010 ? 1) ? 3, ? (22010 ? 2) ? 1 ? (22010 ? 3) ? 2 , 故 ? (22010 ?1) ? ? (22010 ? 2) ? ? (22010 ? 3) ? 6 . 8. ∵ Va ? Vb ? (
2 2
2010

被 3 除余 1,

?

b 2 a ) 2 ? ( a 2 b) 2 ? a 2b 2 ( a 2 ? b 2 ) ? a 2b 2 c 2 , 3 3 9 9 4? 2 ab 4 2 4? 2 a 4b4 ( ) c ? ? 2 , 9 c 9 c

?

?2

?2

(2Vc )2 ? (2 ?

?
3

h2 (a? ? b?)) 2 ?

∴作商,有 二、解答题

Va 2 ? Vb 2 c4 (a 2 ? b2 )2 (2ab)2 ? ? ? ? 1 ,故 Va 2 ? Vb2 ? (2Vc )2 . (2Vc )2 4a 2b2 4a 2b2 4a 2b2

1.解:设交点 A 、 B 的坐标为 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ,由 ?

? y ? ax ? 1
2 2 ?3x ? y ? 1

消去 y ,得

(3 ? a2 ) x2 ? 2ax ? 2 ? 0 ,
由韦达定理,得 x1 ? x2 ?

x1 x2 ?

?2 , ② 3 ? a2

2a , ① 3 ? a2

∵以 AB 为直径的圆恰好过坐标系的原点,∴ OA ? OB , ∴ x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , 即 x1 x2 ? (ax1 ? 1)(ax2 ? 1) ? 0 ,整理,得 (a2 ? 1) x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0 将①②代入③,并化简得 ③

??? ?

??? ?

1 ? a2 ? 0 ,∴ a ? ?1 , 3 ? a2

经检验, a ? ?1 确实满足题目条件,故存在实数 a 满足题目条件. 2.证明:假设存在这样的函数 f ,则对任意的整数 n ,设 f (n) ? a , f (n ? 5) ? b ,其中

a, b ??1, 2,3? ,由条件知 a ? b .
( ? 2) ?| , 3 | n ? (n ? 2) |? 2 , ∴ f (n ? 2) ? a 且 f (n ? 2) ? b , 即 由 于 | (n ? 5)? n

f (n ? 2)是 ?1, 2,3? 除去 a , b 后剩下的那个数,不妨设 f (n ? 2) ? c

6

又由于 | (n ? 5) ? (n ? 3) |? 2 , | n ? (n ? 3) |? 3 ,∴ f (n ? 3) ? f (n ? 2) .

n ?4 ) ? f(n ? 3 ) ?( fn2 ? ) 以 n ? 1 代替 n , 得 f(
因此假设不成立,即不存在这样的函数 f . 3.证明:先证左边的不等式. ∵ a ? b ? c ? 1,

, 但这与 | (n ? 4) ? (n ? 2) |? 2 矛盾!

∴ ab ? bc ? ca ? (ab ? bc ? ca)(a ? b ? c) ? a 2b ? ab2 ? b2c ? bc 2 ? a 2c ? ac 2 ? 3abc

? 6abc ? 3abc ? 9abc
再证右边的不等式. 不妨设 a ? b ? c ,注意到条件 a ? b ? c ? 1 ,得

1 ? 4(ab ? bc ? ca) ? 9abc ? (a ? b ? c)3 ? 4(a ? b ? c)(ab ? bc ? ca) ? 9abc
? a(a ? b)(a ? c) ? b(b ? a)(b ? c) ? c(c ? a)(c ? b) ? (a ? b)[a(a ? c) ? b(b ? c)] ? c(c ? a)(c ? b) ? 0 ,
1 (1 ? 9abc) , 4 1 综上, 9abc ? ab ? bc ? ca ? (1 ? 9abc) . 4
所以 ab ? bc ? ca ?

7

2011 年全国高中数学联赛广东省预赛试题参考答案
1.答案:8041. 由题意, a2 ? a1 ? 3 , a3 ? a2 ? 5 ,且 an ? an?1 ? an?2 ? an?3 (n ? 4). ∴ a2n ? a2n?1 ? 3, a2n?1 ? a2n ? 5 n ? N * . ∴ a2n?1 ? a2n?1 ? 8 ,∴ a2011 ? ? (a2 k ?1 ? a2 k ?1 ) ? a1 ? 1005 ? 8 ? 1 ? 8041
k ?1 1005

?

?

2.答案: a ? 1 或 a ? ?2 . 由题意,a cos x ? a2 ? cos2 x ? cos x ,即 cos 2 x ? ?1 ? a?cos x ? a 2 ? 0 对 ?x ? R 成立. 令 f ?t ? ? t 2 ? ?1? a ? t ? a2 (?1 ? t ? cos x ? 1).
2 ? ? ? f ?1? ? 0, ?1 ? ?1 ? a ? ? a ? 0, ?? ∴? 解得 a ? ?2或a ? 1 . 2 ?1 ? ?1 ? a ? ? a ? 0. ? f ? ?1? ? 0. ? ?

3.答案:2023066. 在(1)中,令 n ? 1 得, f ?m ? 1? ? f ?m? ? f ?1? ? m . 令 m ? n ? 1得, f ?2? ? 2 f ?1? ? 1 . ① ② ③

令 m ? 2, n ? 1 ,并利用(2)得, 6 ? f ?3? ? f ? 2? ? f ?1? ? 2 . 由③②得, f ?1? ? 1, f ? 2? ? 3 .代入①得, f ? m ?1? ? f ? m? ? m ?1. ∴ f (2011) ? ? [ f (k ? 1) ? f (k )] ? f (1) ? ? (k ? 1) ? 1
k ?1 k ?1 2010 2010

? 1 ? 2 ? ? ? ? ? 2011

?

2011 ? 2012 ? 2023066 . 2

4.答案:4. 方程 x ? 1 ? 1 的所有解为 x ? 0或 ? 2 ; 方程 x ? 1 ? 2 ? 2 的所有解为 x ? ?1或 ? 5 ; 方程 x ? 1 ? 2 ? 3 ? 3 的所有解为 x ? ?3或 ? 9 ; 方程 方程

x ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 4 的所有解为 x ? ?6或 ? 14 ;

x ? 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 5 的所有解为 x ? ?10或 ? 20 ;

8

一般地,方程 ? x ? 1 ? 2 ? ? n ? n( n ? 2) 的所有解为
x?? n(n ? 1) n(n ? 3) 或? . 2 2

5.答案:11 厘米. 设正方体的棱长为 a ,因为正方体的对角线长不大于球的直径, 所以, 3a ? 20(a ? N * ) ,即 a ? ∴ a ? 11 ,即 amax ? 11 .
20 3(a ? N * ) , 3

6.答案:

1 2

.

过抛物线顶点与球心作截面,设球的半径为 r ,
2 ? ? x2 ? ? y ? r ? ? r 2 ? x 2 ?1 ? 2r ? x 2 ? ? 0 . 由? 2 y?x ? ?

由题意,方程 x 2 ? 1 ? 2r ? 0 没有非零实数解.
1 ∴ x 2 ? 2r ? 1 ? 0 ? r ? . 2 1 7.答案: . sin1?

1 1 sin ? ? n ? 1? ? ? n? ? ? ? sin n? sin ? n ? 1? ? sin1? sin n? sin ? n ? 1? ? ? ? 1 sin ? n ? 1? ? cos n? ? cos ? n ? 1? ? sin n? ? sin1? sin n? sin ? n ? 1? ? 1 ? ?cot n? ? cot ? n ? 1? ?? ?. sin1? ?
1 1

原式 ?

k ? 45

? sin1? ? cot k ? ? cot(k ? 1)?? ? sin1? ? cot 45? ? cot 90?? ? sin1? .

89

1

8.答案:1530. 推广到一般情形,设 n 个学生按题设方式排列的方法数为 an , 则 a3 ? 6 , a4 ? 18 , an?1 ? 2an ? 6?n ? 3? . 从而, an?1 ? 6 ? 2?an ? 6? ? an ? ?a3 ? 6?? 2n?3 ? 6 .

9

∴ a10 ? 12? 27 ? 6 ? 1530.
1 1 1 37 二.1.解:当 n ? 3 时, ? ? ? . 4 5 6 60 1 1 1 37 ? ? ... ? ? . 假设 n ? k ?k ? 3? 时, k ?1 k ? 2 2k 60 1 1 1 1 1 ? ? ... ? ? ? 则当 n ? k ? 1 时, k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2 k ? 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? ? ? k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ... ? ? ? k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 37 1 1 1 ? . ? ? ? ... ? k ?1 k ? 2 2k 60 37 因此,所求最小值为 . 60 2.解:令 a, b 和 c 为一个三角形的三边,则 a+b>c, b+c>a 和 c+a>b.不妨设

开始时的线段为区间[0, 1],并且随机选取的两点为 x 和 y ,其中 0<x<y<1.

? x ? ( y ? x) ? 1 ? y ? ? ? x ? (1 ? y ) ? y ? x ? ? ? ? y ? x ? ? ?1 ? y ? ? x ? ?

?y?

1 2

, 1 2 ,

?y?x? ?x ? 1 2 .

如下图所示, “成功”的区域是由不等式 y ?

1 2

,y?x?

1 2

和 x?

1 2

围成的

1 1 三角形,面积为 ,而整个区域的面积为 (因为 y>x). 2 8

10

1? ? ? ? 1 2 2 2? ∴ P(成功) ? ? ? . 1 2

1?1

?1 ? 1?

4

答:得到的三条新线段能构成三角形的概率是 3.证法 1:

1 . 4

证明:由已知得 (n ? 1)an ? 2(a0 ? a1 ? ...? an? 2 ) ,在上式中以 n ? 1 代替 n 得到

nan?1 ? 2(a0 ? a1 ? ...? an?1 ),
两式相减得 nan?1 ? (n ?1)an ? 2an?1 ,此式对所有整数 n ? 3 均成立. 设 bn ?
an ,则 n?2

n(n ? 3)bn?1 ? (n ?1)(n ? 2)bn ? 2(n ? 1)bn?1.
n ? 1 )n(? 由 于 n( n? 3 )? (
a3 ? 1, a4 ?

2 ?) n 2? (,故 1 ) bn ?1 应 在 bn 与 bn ?1 之 间 . 由 于

2 1 1 1 1 , 故 b3 ? , b4 ? . 因 此 当 n ? 3 时 , 均 有 bn ? [ , ] , 故 3 5 9 9 5 n?2 n an ? (n ? 2b) ? ,证毕. n ? 9 10
证法 2: 证明:用归纳法证明加强命题:an ≥ 1? 当 n = 3, 4 时, a3 = 1 ≥ 5 2 6 ,a = ≥ . 10 4 3 10 n+2 ?n ≥ 3?. 10

结论成立. 2? 假设当 n-1 时结论成立,当 n + 1 时, an + 1 = > = 2 2 ?a + a1 + ? + an-1? = ?1 + a3 + a4 + ? + an-1? n 0 n ?n + 6??n-3? 2 5 6 n+1 2 ?1 + + + ? + ? = ?1 + ? n 10 10 10 n 20 2 n 2 + 3n + 2 n+3 > . n 20 10 n+2 n+2 n ?n ≥ 3? 成立.因此 an ≥ > ?n ≥ 10 10 10

所以结论对 n + 1 时亦成立. 由归纳法原理及 1?, 2? 可知 an ≥ 3? 成立.从而本题得证.
11

2012 年全国高中数学联赛广东省预赛试题参考答案
一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上 1.答案: 20122 ? 2 (或 4048142 ) 解: n2 ? (n ? 2)(n ?1)(n ? 1)(n ? 2) ? n2 ? (n2 ? 4)(n2 ?1)

? n2 ? (n4 ? 5n2 ? 4) ? (n2 ? 2)2 .
2. 答案:1 解:因为

6 ? 3 sin x ? cos x ? 3 ? 2sin( x ? ) ? 3, 6

f ( x) ? sin x cos

?

? cos x sin

?
6

? sin x cos

?
6

? cos x sin

?
6

? cos x ? 3

?

所以 f ( x) 的最小值为 1.
1 3.答案: . 4

1 bx ? 1 b ? x bx 2 ? (b2 ? 1) x ? b 解:由于 k ? f ( x) ? f ( ) ? ? ? x 2 x ? a 2 ? ax 2ax 2 ? (a 2 ? 4) x ? 2a
是常数,故 2a ? k ? b ,且 (a2 ? 4)k ? b2 ? 1 . 将 b ? 2ak 代入 (a2 ? 4)k ? b2 ? 1 整理得
2 (4k 2 ? k )a2 ? (1 ? 4k ) ? 0 , 分 解 因 式 得 ( 4 k ? 1 )k(a ? 1? ) . 0若 4k ? 1 ? 0 , 则

ka 2 ? 1 ? 0 ,因此 ab ? 2ka 2 ? 2 ,与条件相矛盾. 故 4k ? 1 ? 0 ,即 k ?
9 4. 答案: (? , ?2). 4

1 . 4

解法一:令 t ? 3x ,则原方程化为 t 2 ? 3t ? p ? 0 . 根据题意,方程 t 2 ? 3t ? p ? 0 有两个大于 1 的相异实根.
? ?? ? (?3) 2 ? 4 p ? 0, ? 9 令 f (t ) ? t 2 ? 3t ? p ,则 ? f (1) ? 12 ? 3 ?1 ? p ? 0, ? ? ? p ? ?2. 4 ?3 ? ? 1. ?2

解法二:令 y ? 3x ,则原方程化为 y 2 ? 3 y ? p ? 0 . 注意到这个关于 y 的方程

12

最多有两个解, 而由 y ? 3x 严格单调递增知每个 y 最多对应一个 x , 因此所求的 p 应当使 y 2 ? 3 y ? p ? 0 有两个相异的实数解 y1 , y2 , 且满足 3x1 ? y1 ,3x2 ? y2 的两个实 数 x1 , x2 都是正的. 由于 x1 , x2 都是正的,故 y1 , y2 都应大于 1. 由于 y1 ? y2 ? 3 ,故

y2 ? 3 ? y1 ,因此 y1 必须满足 y1 ? 1 ,3 ? y1 ? 1及 y1 ? 3 ? y1 . 因此 y1 的取值范围为
3 3 9 (1, ) ? ( , 2) . 因此 p ? ? y1 y2 ? ? y1 (3 ? y1 ) 的取值范围为 ( ? , ?2) . 2 2 4

5. 答案: ?11 解: 可知每一行上的数都成等差数列, 但这五个等差数列的公差不一定相等. 由 a41 ? ?2 , a43 ? 10 知 a42 ?

由 a24 ? 4 , a44 ? 16 知公比 q ? ?2 . 若 q ? 2 ,则 a11 ?

10 ? (?2) ? 4 且公差为 6,故 a44 ? 16 , a45 ? 22 . 2

?2 1 ? ? , a55 ? 22 ? 2 ? 4 ?11,故 a11 ? a55 ? ?11; 3 s 4 ?2 1 若 q ? ?2 ,则 a11 ? 3 ? , a55 ? 22 ? (?2) ? 4 ? (?11) ,故 a11 ? a55 ? ?11. s 4
6.解: 2(1 ? ln 2) . 函数 y ?
1 x e 与函数 y ? ln(2 x) 互为反函数,图象关于 y ? x 对称. 2

1 x e ?x 1 x 1 x 2 函数 y ? e 上的点 P ( x, e ) 到直线 y ? x 的距离为 d ? . 2 2 2
1 1 1 ? ln 2 设函数 g ( x) ? e x ? x ? g ?( x) ? e x ? 1 ? g ( x) min ? 1 ? ln 2 ? d min ? . 2 2 2

由图象关于 y ? x 对称得: PQ 最小值为 2dmin ? 2(1 ? ln 2) . 7.答案:3960
2 2 解: 使得 2 个 a 既不同行也不同列的填法有 C4 使得 2 个 b 既不同 A4 ? 72 种, 2 2 行也不同列的填法有 C4 A4 ? 72 种,故由乘法原理,这样的填法共有 72 2 种.

其中不合要求的有两种情况:2 个 a 所在的方格内都填有 b 的情况有 72 种;
1 2 2 个 a 所在的方格内恰有 1 个方格填有 b 的情况有 C16 A9 ? 16 ? 72 种.

所以,符合条件的填法共有 722 ? 72 ? 16 ? 72 ? 3960 种.
13

8.答案: 16 ? 2 13 . 解:设梯形的上底长为 a ,下底长为 b ,高为 h ,则梯形绕上底旋转所得旋
1 1 1 转体的体积为 ? h 2b ? ? h 2 (a ? b) ? ? h 2 (a ? 2b) ,因此 ? h 2 ( a ? 2b) ? 112? ,即 3 3 3 a ? 2b 336 7 ? ? ,去分母 h2 (a ? 2b) ? 336. 同理有 h2 (2a ? b) ? 240 ,两式相除得 2a ? b 240 5

化简得 b ? 3a ,代入 h2 (a ? 2b) ? 336 得 ah 2 ? 48 . 注意到直角腰长等于高 h , 梯形绕它的直角腰旋转一周所得旋转体为圆台,
1 其体积为 h(a 2 ? ab ? b 2 ) ? 156 . 将 b ? 3a 代入化简得 a 2 h ? 36 . 结合 ah 2 ? 48 可 3

h ? 4, 因 此 b ? 9 , 由 勾 股 定 理 知 另 一 条 腰 的 长 度 为 解 得 a?3 ,
42 ? (9 ? 3) 2 ? 2 13 ,因此梯形的周长为 3 ? 9 ? 4 ? 2 13 ? 16 ? 2 13 .

二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 1.解法一:设 P(a cos? , b sin ? )(0 ? ? ? 2? ) , A(?a,0) . 由 | AP |?| OA | ,有 (a cos ? ? a ) 2 ? (b sin ? ) 2 ? a , 即 a 2 cos2 ? ? 2a 2 cos ? ? b2 sin 2 ? ? 0 . ??4 分

??1 ? cos ? ? 0, 从而 ? 2 2 2 2 2 2 2 ??a cos ? ? 2a cos ? ? b sin ? ? a sin ? .
1 b2 sin 2 ? 2 ? ?1 ? ? 3. 所以, ? ? cos ? ? 0 ,且 2 2 2 a cos ? cos ?

所以, | k |?

b sin ? 2 ? ?1 ? ? 3. a cos ? cos ?

??16 分

解法二:设 P(a cos? , b sin ? )(0 ? ? ? 2? ) .
a b 则线段 OP 的中点 Q( cos ? , sin ? ) . 2 2
|AP|=|OA| ? AQ ? OP ? kAQ ? k ? ?1 .

k AQ ?

b sin ? ? b sin ? ? ak AQ cos ? ? 2ak AQ . 2a ? a cos ?

??8 分

2 2 2 ? 2ak AQ ? (b 2 ? b 2 k AQ ) ? (sin 2 ? ? cos2 ? ) ? b 2 ? a 2 k AQ ? a 2 ? a 2 k AQ

14

?| k AQ |?

1 ?| k |? 3 . 3
2

??16 分
2 2 2 2 2

2.解:不妨设 a ? b ? c .显然有 b ? bc ? c ? b , c ? ca ? a ? a .?????5 分 根据 AM-GM 不等式可得
S ? a b ( a ? ab ? b ) ?
2 2 2 2

4 3ab 3ab 2 2 ? ? ? ( a ? ab ? b ) 9 2 2
3

所以 S 的最大值为 12,这时 ?a, b, c ? ? ?2,1,0?.

??15 分 3ab 3ab 6 6 2 2 ? 4? 4( a ? b) 4( a ? b ? c ) ? ? ( a ? ab ? b ) ? ? ? ? 2 ? ? 12. 2 5 5 9? 3 3 ? ? ? 3 ?????20 分
2

3.解:根据题目的条件,令 x ? y ? 1,则 ( f (1)) ? 1能被 f (1) ? 1 整除. 因此 ( f (1)) ? f (1) 能被 f (1) ? 1 整除, 也就是 f (1)( f (1) ? 1) 能被 f (1) ? 1 整除.
2

) 因 为 f ( 1 )与 f (1) ? 1 互 素 , 所 以 f (1) ? 1 能 被 f ( 1?
f ( 1? ) ?1f f (1) ? 1 .
2
2

1 除,且 整

? (1)

1







f (1) ? 1 ? 0



?????10 分
2 2

令 y ? 1 ,则 ( f ( x )) ? 1 能被 1 ? x 整除,因此 ( f ( x)) ? x .从而 f ( x ) ? x ,对 所有 x ? N .
*

令 x ? 1 ,则 1 ? y 能被 f ( y ) ? 1 整除.从而 y ? f ( y ) ,对所有 y ? N .
*

综上所述, f ( x ) ? x ,对所有 x ? N .
*

?????20 分

15

2013 年全国高中数学联赛广东省预赛试题参考答案
一、填空题(每小题 8 分,满分 64 分) 1、解:0 或 . 已知两式平方相加,得 sin 2 ? ? 0 或 cos 2 ? ?

3 2

1 . 4

3 sin 2 ? ? cos2 ? ? 2sin 2 ? ? 0 或 . 2 2、解: (??, ?1) ? (2, ??). 原不等式等价于 x6 ? x2 ? ( x ? 2)3 ? ( x ? 2). 设 f ( x) ? x3 ? x ,则 f ( x ) 在 R 上单调增. 所以,原不等式等价于 f ( x2 ) ? f ( x ? 2) ? x2 ? x ? 2 ? x ? ?1或x ? 2. 3、解: ?2011 . 1 1 1 ? (0,1) ,所以 2012 x ? (?1,1) ? ? ?x? . 由于 {x} ? [0,1), 2013 2012 2012 1 1 ? x ? 0 时,原方程即 ? 2012 x ? 1 ? x ? 20132 x1 ? ?2012 ; 当? 2012 2013 1 1 当0 ? x ? 时,原方程即 ? 2012 x ? x ? 20132 x2 ? 1 . 2012 2013 1 4、解: (n ? 1)( n ? 2). 2 1 1 1 f (1, 2) ? 3 ? ? 2 ? 3, f (2, 2) ? 6 ? ? 3 ? 4, f (3, 2) ? 10 ? ? 4 ? 5. 2 2 2
猜测 f (n, 2) ?

1 (n ? 1)(n ? 2) ,可归纳证明. 2

5、解:3 或 11. 分别以三个面两两的交线为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间直角坐标系. 设点 P 坐标为 (4,5,5) ,小球圆心 O 坐标为 (r, r, r ).
2 2 2 所以, (r ? 4) ? (r ? 5) ? (r ? 5) ? r ? r ? 3或11.

6、解:24. 设 p, q 是正整数,满足

2013 p ? 1 q ? 1 2012 ? 2013 ? ? ? p ? 2012 ? . 2012 p q q ? 2012

2012 ? 2013 ? 22 ? 3 ?11? 61? 503 的正因数的个数为 (1 ? 2) ? (1 ? 1)4 ? 48 . 注意到 ( p, q)( p ? q) 与 (q, p) 是相同的表示方法,故所求的方法数为 24 .
7、解:

设正方形边长为 1, AP ? x, BQ ? y . 则 EP ? EQ ? ( EA ? AP) ? ( EB ? BQ) ? EA ? EB ? AP ? BQ ? xy ?

3 ? ln 4 . 4

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

1 ? 0. 4

16

从而, xy ?

1 . 又 0 ? x ? 1,0 ? y ? 1 . 4
1 所围成图形的面积与边长为 1 的正方形 4

故所求概率为两直线 x ? 1, y ? 1 及曲线 xy ? 的面积之比,即 ? ?1 ? 8、解: rmax ?

?3 ?4

?

1

1 4

1 ? 2 3 ln 4 . ? :1 ? ? 4x ? 4 4

9 . 8
2

不妨设 a ? 1 ,方程 x ? bx ? c ? 0 的两实根为 x1 , x2 . 由韦达定理, b ? ? x1 ? x2 , c ? x1 x2 .

?(a ? b)2 ? (b ? c)2 ? (c ? a)2 ? (1 ? b)2 ? (b ? c)2 ? (c ?1)2

? (1 ? x1 ? x2 )2 ? ( x1 ? x2 ? x1x2 )2 ? ( x1x2 ?1)2
2 ? 2( x12 ? x1 ? 1)( x2 ? x2 ? 1)

1 3 1 3 9 ? 2[( x1 ? ) 2 ? ] ? [( x2 ? ) 2 ? ] ? . 2 4 2 4 8 9 1 从而, r ? ,当 x1 ? x2 ? ? 时等号成立. 2 8
二、解答题(第一道小题满分 16 分,后两道小题每题满分 20 分)
2 n ? 1 ,得 a3 ? 7. 9、解:在 an ?1 ? an an ? 2 ? 2 中,令

若存在常数 ? 使得 an ? an?2 ? ? an?1 ,则 a1 ? a3 ? ? a2 ? ? ?
2 * 2 ∵ an ?1 ? an an ? 2 ? 2 ,∴ an ? an?1an?1 ? 2(n ? 2, n ? N ) .

8 . 3

2 2 2 2 ∴ an ?1 ? an ? an an?2 ? an?1an?1 ? an?1 ? an?1an?1 ? an ? an an?2 .

由于 an ? 0 ,上式两边同除以 an an?1 ,得 所以,

an?1 ? an?1 an ? an? 2 ? (n ? 2). an an?1

an ? an?2 an?1 ? an?1 a ? a3 8 ? ??? 1 ? . an?1 an a2 3 8 即存在常数 ? ? ,使得 an ? an?2 ? ? an?1 对任意 n ? N * 都成立. 3 x2 x2 2 2 10、解:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 1 ? y1 ① ? 1, 2 ? y2 ? 1. 4 4 ???? ? 3 ??? ? 4 ??? ? 3 4 3 4 由 OM ? OA ? OB ,得 M ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . 5 5 5 5 5 5

3 4 ( x1 ? x2 )2 x2 2 3 4 ∵M在椭圆 ? y ? 1上, 5 5 ? ? ( y1 ? y2 )2 ? 1. 4 4 5 5
综合①②得,



x1 x2 ? y1 y2 ? 0. 4 x1 ? x2 y1 ? y2 , ), 2 2
17

又线段 AB 的中点为 N (

x1 ? x2 2 ) 2 y1 ? y2 2 1 x12 1 x2 1 xx ∴ 2 2 2 ?( ) ? ( ? y1 ) ? ( ? y2 ) ? ( 1 2 ? y1 y2 ) 4 2 4 4 4 4 2 4 (
? 1 1 1 ? ? . 4 4 2

上式表明,点N在椭圆 点.

x2 6 6 ? 2 y 2 ? 1 上,且该椭圆两焦点恰为 C (? ,0), D( ,0) 两 2 2 2

所以,由椭圆定义有 | NC | ? | ND |? 2 2. 11、证明:不妨设 A ? {1, 2,?, n}, B ? {n ? m ? 1, n ? m ? 2,?, 2n ? m}. 令 a1 ? a2 ? ? ? an?m ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2n?m ? 1,

an?m?1 ? an?m?2 ? ? ? an ? 4.
由柯西不等式,

2 n?m

注意到 从而,

?a
i ?1

i

? 2(n ? m) ? 4m ? 2(n ? m). 2 . m?n

k ? A? B

?

2 n?m ? ? | uk |2 ? ? | ui2 | ? i ?1

18


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