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2018年高考数学(人教理科)总复习配套:第三章 导数及其应用 3.3 _图文

时间:

3.3 定积分与微积分基本定理

-2-
知识梳理 考点自测

1.定积分的定义

如果函数 f(x)的图象在区间[a,b]上连续,用分点

a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b 将区间[a,b]等分成 n 个小区间,在每个

小区间[xi-1,xi]上任取一点



n

ξi(i=1,2,…,n),作和式 ∑ f(ξi)Δx= ∑

=1

i=1

-

f(ξi),

当 n→+∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数 f(x)在

区间[a,b]上的定积分,记作



f(x)dx.

-3-

知识梳理 考点自测

2.定积分的几何意义

(1)当函数f(x)的图象在区间[a,b]上连续且恒有f(x)≥0时,定积分



f(x)dx

的几何意义是由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围

成的曲边梯形(图①中阴影部分)的面积.

图①

图②

-4-
知识梳理 考点自测

(2)一般情况下,定积分



f(x)dx

的几何意义是介于x轴、曲线

y=f(x)以及直线x=a,x=b之间的曲边梯形(图②中阴影部分)面积的

代数和,其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值,在x轴下方的

面积等于该区间上积分值的相反数.

3.定积分的性质

(1)



kf(x)dx=

k



f(x)dx

(k 为常数);

(2)



[f(x)±g(x)]dx=



f(x)dx±



g(x)dx

(3)



f(x)dx=



f(x)dx+



f(x)dx

; (其中 a<c<b).

-5-

知识梳理 考点自测

4.微积分基本定理

一般地,如果f(x)是图象在区间[a,b]上连续的函数,并且F'(x)=f(x),

那么



f(x)dx=

F(b)-F(a)

.

这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿—莱布尼茨公式,其

中F(x)叫做f(x)的一个原函数. 为了方便,我们常把F(b)-F(a)记作

F(x)|

,即



f(x)dx=F(x)|

=F(b)-F(a).

5.定积分在物理中的两个应用:

(1)变速直线运动的路程:如果变速直线运动物体的速度为v=v(t),

那么从时刻t=a到t=b所经过的路程

s=



v(t)dt.

(2)变力做功:某物体在变力F(x)的作用下,沿着与F(x)相同的方向

从x=a移动到x=b时,力F(x)所做的功是 W= F(x)dx.


-6-
知识梳理 考点自测
定积分与曲边梯形的面积的关系:

设图中阴影部分的面积为 S,则

(1)如图①,S=

b a

f(x)dx;

(2)如图②,S=-

b a

f(x)dx;

(3)如图③,S=

c a

f(x)dx-

b c

f(x)dx;

(4)如图④,S=

b a

[f(x)-g(x)]dx.

-7-

知识梳理 考点自测

12345

1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.

(1)若函数 y=f(x)的图象在区间[a,b]上连续,则



f(x)dx=



f(t)dt.

()

(2)若 f(x)是图象连续的偶函数,则

-

f(x)dx=2

0

f(x)dx;若 f(x)是

图象连续的奇函数,则

-

f(x)dx=0.(

)

(3)在区间[a,b]上连续的曲线 y=f(x)和直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 所

围成的曲边梯形的面积

S=



|f(x)|dx.

()

(4)若



f(x)dx<0,则由

y=f(x),x=a,x=b

以及

x

轴所围成的图形一

定在 x 轴下方.

( 关) 闭

(1)√(5)(已2)√知质(3)点√ 移(4动)×的速(5度)√ v=10t,则质点从 t=0 到 t=t0 所经过的路

程是

0 0

10tdt=502.

()
答案

知识梳理 考点自测

12345

2.(2017

北京丰台一模,理

3)定积分

3 1

A.10-ln 3 B.8-ln 3

C.232

2-

1

dx=

D.694

-8-
()

3 1

2-

1

dx=(x2-ln |x|)|13=8-ln 3,故选 B.

B

关闭 关闭
解析 答案

-9-

知识梳理 考点自测

12345

3.定积分

1 0

(2x+ex)dx

的值为(

)

A.e+2

B.e+1

C.e

D.e-1

1 0

(2x+ex)dx=(x2+ex)|10 =(1+e)-(0+e0)=e,因此选

C.

C

关闭 关闭
解析 答案

-10-

知识梳理 考点自测

12345

4.若

1

2

+

1

dx=3+ln 2(a>1),则 a 的值是(

)

A.2

B.3

C.4

D.6

1

2 + 1


dx=(x2+ln |x|)|1 =a2+ln a-1=3+ln 2,即 a=2.

A
解析

关闭 关闭
答案

知识梳理 考点自测

1
5. -1

1-2dx=

12345
.

-11-

关闭

根据定积分的几何意义,所求的定积分是曲线 y= 1-2和直线

x=-1,x=1 及 y=0 所围成的图形的面积,图形显然是半个单位圆,其面

积是π2,

关闭

故π 1
2 -1

1-2dx=π.
2

解析 答案

考点1 考点2 考点3

-12-

考点 1 定积分的计算

例 1 计算下列定积分:

(1)

3 -1

(3x2-2x+1)dx;

2
(2) 1

-

1

dx;

2
(3) 0 |1-x|dx.

-13-

考点1 考点2 考点3

解:

(1)

3 -1

(3x2-2x+1)dx

=(x3-x2+x)|-31

=24.

(2)

2 1

-

1

dx

=

1 2



2-ln

|12

=32-ln 2.

(3)

2 0

|1-x|dx

=

1 0

(1-x)dx+

2 1

(x-1)dx

=

-

1 2

2

|10 +

1 2



2-

|12

=

1-

1 2

-0+

1 2

×

22-2

?

1 2

×

12-1

=1.

考点1 考点2 考点3

-14-

思考计算定积分有哪些步骤? 解题心得计算定积分的步骤: (1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数 与常数的积的和或差. (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分. (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数. (4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值,然后求其代数和.

考点1 考点2 考点3

-15-

对点训练 1 求下列定积分:

(1)

1 0

(-x2+2x)dx;

π

(2) 0(sin x-cos x)dx;

2
(3) 1

e2

+

1

dx.

考点1 考点2 考点3

-16-

解:

(1)

1 0

(-x2+2x)dx=

1 0

(-x2)dx+

1 0

2xdx=-13x3|10 +x2|10 =-13+1=23.

(2) π 0(sin x-cos x)dx= π 0sin xdx- π 0cos xdx=(-cos x)|π 0-sin x|π 0=2.

(3)

2 1

e2 + 1


dx=

2 1

e2xdx+

2 1

1dx=12e2x|12+ln x|12 = 12e4-12e2+ln 2-ln

1

=12e4-12e2+ln 2.

-17-

考点1 考点2 考点3

考点 2 利用定积分求图形面积(多考向)

考向 1 求曲线围成的平面图形的面积

易两知曲线例 A思y=.在1考s2-iπ4n第怎曲x一样线与象求yy=限=曲sπ2Bi的线nx.2x均交围-π2与为点成y奇的坐=2π函平标x 数面为围C,图成当.π2π2形的,x1=的封π,2面时闭积,图sinD?形π2.=2的+1面π2,π2 积× 为π2=(1,故已) 知的关闭

根据对称性,已知的两曲线在第三象限的交点坐标为

-

π 2

,-1

,

π

故两曲线所围成的封闭图形的面积为

2

2
0

sin-

2 π



dx

=2 -cos- 2
π

π
|02

=2 - π -(-1) =2-π.

关闭

B4

2

解析 答案

-18-

考点1 考点2 考点3

考向2 已知曲线围成的面积求参数
例3已知函数y=x2与y=kx(k>0)的图象所围成的封闭图形的面积 为 9 ,则k等于( )
2
A.2 B.1 C.3 D.4
思考应用怎样的数学思想解决已知曲线围成的面积求参数问题?
关闭





= =

2,消去

y,得

x2-kx=0,所以

x=0



x=k,则围成的封闭图形的

面积为

0

(kx-x2)dx=

1 2



2

-

1 3



3

0

=

29,即12k3-13k3=29,解得

k=3.

关闭
C

解析 答案

-19-

考点1 考点2 考点3

考向3 与概率的交汇问题 1
例4(2017贵州贵阳模拟)若任取x,y∈[0,1],则点P(x,y)满足 y≤2 的 概率为( )

A.√22

B.13

C.12

D.23

如图思,考∵怎满足样题求意定的积图分形与的概面率积的交S=汇01问题12d?x=23



3 2

|10

=

23,∴所求概率

关闭


1×1

=

23.

关闭
D
解析 答案

考点1 考点2 考点3

-20-

解题心得1.对于求平面图形的面积问题,应首先画出平面图形的 大致形状,然后根据图形特点,选择相应的积分变量及被积函数,并 确定被积区间,最后用定积分求解.
2.已知图形的面积求参数,一般是先画出它的草图;再确定积分的 上、下限,确定被积函数,由定积分求出其面积,然后应用方程的思 想建立关于参数的方程,从而求出参数的值.
3.与概率相交汇的问题.解决此类问题应先利用定积分求出相应 平面图形的面积,再用相应的概率公式进行计算.

考点1 考点2 考点3

-21-

对点训练 2(1)直线 y=4x 与曲线 y=x3 在第一象限内围成的封闭 图形的面积为( )

A.2√2

B.4√2

C.2

D.4

π

(2)若

2
0

(sin

x-acos

x)dx=2,则实数

a

等于(

)

A.-1

B.1

C.-√3

D.√3

-22-

考点1 考点2 考点3

(3)(2017 河北张家口月考)如图所示,在一个边长为 1 的正方形

AOBC 内,曲线 y=x2 和曲线 y=√围成一个叶形图(阴影部分),向正方 形 AOBC 内随机投一点(该点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可

能的),则所投的点落在叶形图内部的概率是( )

(1)由



= =

43,得

x=0



x=2



x=-2(舍).

关闭

∴S=

2 0

(4x-x3)dx=

2

2

-

1 4



4

|02 =4.

π

π

(2)

2
0

(sin x-acos x)dx=(-cos x-asin x)|02 =-a+1=2,a=-1.

(于3)依01A题(.12√意知-x2,)题dx中=13的,B因.正16此方所形投区的域点的落C面.在14积叶为形1图2=内1D,部.阴13 的影概区域率等的于面13积,故等选关闭 D(1.)D (2)A (3)D

解析 答案

-23-

考点1

考点2

考点3
考点 3 定积分在物理中的应用

例5(1)(2017湖北武汉调研)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇

(到1)令紧急v(t情)=况0,得而刹t=车4 或,以t速=-度83(舍v(t去)=)7,-3t+

25 1+



(t的单位:s,v的单位:m/s)

关闭

∴行汽驶车至行停驶止的.在距此离期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( )

s==7C(A024..-)41已32++722知2-553+ll变nn 2+5力551l2Fn+5D(B|1x..)4d8+作+t+52用|05ll在n04n132质1 点M上,使M沿x轴正向从x=1运动到

=x2=81-02,4若+F25(xln)=5x=2+4+1,2且5l方n 5向(m和).x轴正向相同,则变力F(x)对质点M所做

(的2)变功力为 F(x)=x2+1 使J(质x的点单M位沿:mx;力轴的正单向位从:Nx)=. 1 运动到 x=10 所做的

功为 W=

10 1

F(x)dx=

10 1

(x2+1)dx=

1 3 +
3

|110 =342(J).

关闭

(1)C (2)342

解析 答案

考点1 考点2 考点3

-24-

思考利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题的关键是什 么?
解题心得利用定积分解决变速运动问题和变力做功问题时,关键 是求出物体做变速运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系, 确定好积分区间,得到积分表达式,再利用微积分基本定理计算即 得所求.

-25-

考点1 考点2 考点3

对点训练3(1)一质点运动时速度与时间的关系为v(t)=t2-t+2,质点 做直线运动,则此质点在时间[1,2]内的位移为( )

((12))质由(A2.)点题1一67在意物时知体间,在力[力1F,B2(xF.]1)内3(所4x)的做=位的53,移0功+≤为为4,C12≤.1>(63t22-2,t+的2)d作t=D用.131下613沿- 12与2力+F2相 同12的=方167关. 闭

W向 位=,:从N04,xxF=的(0x单处)d位x运=:动m02)到.5dx=x+4处24,则(3x力+F4)(dxx)做=5的×2功+为32 2 + 4 |24 J(力的单

=10+ 3 × 42 + 4 × 4- 3×22+4×2

2

2

=36(J).

(1)A (2)36

关闭
解析 答案

考点1 考点2 考点3

-26-

1.求定积分的方法:

(1)利用定义求定积分,可操作性不强.

(2)利用微积分基本定理求定积分的步骤如下:

①求被积函数f(x)的一个原函数F(x);

②计算F(b)-F(a).

(3)利用定积分的几何意义求定积分.

2.定积分

b a

f(x)dx

的几何意义是

x

轴、曲线

f (x)以及直线

x=a,x=b



成的曲边梯形的面积的代数和.在区间[a,b]上连续的曲线 y=f(x)和

直线

x=a,x=b(a≠b),y=0

所围成的曲边梯形的面积

S=

b a

|f (x)|dx.

考点1 考点2 考点3

-27-

1.被积函数若含有绝对值号,应去掉绝对值号,再分段积分. 2.若积分式子中有几个不同的参数,则必须分清谁是被积变量. 3.定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限. 4.定积分的几何意义是曲边梯形的面积,但要注意:面积非负,而定 积分的结果可以为负.


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