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河北省衡水中学2013届高三第六次模拟考试数学(理)试题

时间:2013-05-05


2012—2013 学年度下学期第六次模拟考试高三数学 (理科试卷)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 A ? {x | ?5 ? 2 x ? 1 ? 3, x ? R} , B ? {x | x( x ? 8) ? 0, x ? Z} ,则 A ? B ? ( A. ? 0, 2 ? 2.如果复数 A. ? 1 B.? 0, 2? C.?0, 2? ) D. 2 ) D.?0,1, 2? )

m2 ? i 是实数,则实数 m ? ( 1? mi
B. 1 C. ?

2

3.焦点为(0,6)且与双曲线

x2 ? y 2 ? 1 有相同渐近线的双曲线方程是( 2 2 2 2 x y y x2 y2 x2 x2 y2 ? ?1 B . ? ? 1 C. ? ? 1 D. ? ?1 A. 12 24 12 24 24 12 24 12

4. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 a ? ( )
0

2 ,b ? 2 ,sin B ? cos B ? 2 ,则角 A 的大小为

A. 60

B. 30

0

C. 150

0

D. 45

0

5. 如图, D 是图中边长为 4 的正方形区域,E 是 D 内函数 y ? x 图象下方的点构成的区域。 D 中随机取一点, 设 在
2

则该点在 E 中的概率为(



A.

1 5

B.

1 4

C.

1 3

D.

1 2


6. 利用如图所示的程序框图在直角坐标平面上打印一系列的点,则打印的点落在坐标轴上的个数是(

1页

A.0

B. 1

C. 2

D. 3

7. ?ABC 中, AB ? AC ? 2 AM , AM ? 1 ,点 P 在 AM 上且满足 AP ? 2PM ,则 PA ? ( PB ? PC) 等于 在 ( ) A.

???? ?

??? ??? ??? ? ? ?

4 9

B.

4 3

C. ?

4 3

D. ?

4 9

8. 函数

? ? ? f ( x) ? sin( ?x ? ? ) ( x ? R ) (? ? 0, ? ? ) 的部分图像如图所示,如果 x1 , x2 ? (? , ) ,且 6 3 2


f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 f ( x1 ? x2 ) ? (
y 1
?

? O
6

?
3

x

A.

1 2

B.

2 2

C.

3 2

D.1 )

9. 如图,正方体 AC1 的棱长为 1,过点 A 作平面 A1 BD 的垂线,垂足为 H .则以下命题中,错误的命题是( ..

A.点 H 是 ?A1 BD 的垂心 C. AH 的延长线经过点C1

B. AH 垂直平面CB1 D1 D.直线 AH 和 BB1 所成角为 45
2页
0

10. 已知椭圆

x2 y 2 ( ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 ? c,0), F2 (c,0) ,若椭圆上存在点 P 使 a 2 b2


a c ,则该椭圆的离心率的取值范围为( ? sin ?PF F2 sin ?PF2 F1 1
A.(0, 2 ? 1 ) B.(

2 ,) 1 2

C.(0,

2 ) 2

D.( 2 ? 1 ,1)

11.函数 y ? f (x) 为定义在 R 上的减函数,函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于点(1,0)对称, x, y 满 足不等式 f ( x 2 ? 2x) ? f (2 y ? y 2 ) ? 0 , M (1, 2), N ( x, y) , O 为坐标原点,则当1 ? x ? 4 时,

???? ???? ? OM ? ON 的取值范围为 (
A.? ,??? 12 B.?0,3?

) C.?3,12? D.?0,12?

?2 x ?1( x ?0) ? 12.已知函数 f ( x) ? ? ,把函数 g ?x ? ? f ?x ? ? 的零点按从小到大的顺序排 x ? f ? x ? 1? ? 1? x ? 0 ? ?
列成一个数列,则该数列的前 n 项的和 S n ,则 S10 =( A.15 B.22 C.45 D. 50 )

二.填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分。 ) 13.直线 y ? kx ?b 与曲线 ?x ?ax ? 1相切于点(2,3) b 的值为 ,则 y
3



14.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是等腰直角三角形,则该三棱锥的外接球的体积为 _______________.

15.某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言,要求甲、乙两名同学至少有一人参加,且若甲、乙同时参 加,则他们发言时不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为 .

16.设 a1 , a2 ,?, an 是各项不为零的 n ( n ? 4 )项等差数列,且公差 d ? 0 .若将此数列删去某一项后,得到

3页

的数列(按原来顺序)是等比数列,则所有数对? n,

? ?

a1 ? ? 所组成的集合为________. d?
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三、解答题: (解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17.(本小题满分 12 分)

在 ?ABC 中, a , b , c 分别是三内角 A,B,C 所对的三边,已知b 2 ? c 2 ? a 2 ? bc . (1)求角 A 的大小; (2)若 2 sin
2

B C ? 2 sin 2 ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状. 2 2

18.(本小题满分 12 分) 现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了 50 人,他们月收入的频数分布及对 “楼市 限购令”赞成人数如下表. 月收入(单位百元) 频数 赞成人数 [15,25 ) 5 4 [25,35 ) 10 8 [35,45 ) 15 12 [45,55 ) 10 5 [55,65 ) 5 2 [65,75 ) 5 1

(Ⅰ) 由以上统计数据填下面2 乘2 列联表并问是否有99%的把握认为“月收入以5500 为分界点对“楼市限购令” 的 态度有差异; 月收入不低于 55 百元的人数 赞成 不赞成 合计 (Ⅱ)若对月收入在[15,25) ,[25,35)的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的 4 人中不赞成“楼 市限购令”人数为 ? ,求随机变量? 的分布列及数学期望. 参考数据: 月收入低于 55 百元的人数 合计

a?
b?

c?
d?

P(K 2 ? k)
k

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

n(ad ? bc) 2 K ? (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

4页

(19)(本小题满分 12 分) 如图,几何体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,四边形 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 , AB ? a ,面 BC1D1 ∥面 1
?

ABCD , BB1 、 CC1 、 DD1 都垂直于面 ABCD ,且 BB1 ? 2a , E 为CC1 的中点, F 为 AB 的中点.
(Ⅰ)求证: ?DBE 为等腰直角三角形; (Ⅱ)求二面角 B1 ? DE ? F 的余弦值. 1
D1

C1
B1
E

D A

C
B

F

20.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系中,已知点 A( ,0) ,向量 e ? (0,1) ,点 B 为直线 x ? ?

1 2

?

1 上的动点,点 C 满足 2

???? ? ? ???? ??? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? 2OC ? OA ? OB ,点 M 满足 BM ?e ? 0,CM ?AB ? 0 .
(1)试求动点 M 的轨迹 E 的方程;

来: x§. m [ 源§x k o ] Z C

(2)设点 P 是轨迹 E 上的动点,点 R、N 在 y 轴上,圆 ? x ? 1? ? y 2 ? 1 内切于 ?PRN ,求 ?PRN 的面积的最小
2

值.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f (x) ?ax ? ln x(a ? ) . R
2

5页

(1)当 a ?

1 时,求 f ( x ) 在区间?1,e? 上的最大值和最小值; 2

(2)如果函数 g ( x) , f 1( x ) , f 2( x) ,在公共定义域 D 上,满足 f 1( x) ? g ( x) ? f 2( x) ,那么就称为 g ( x) 为

1 2 1 2 2 .已知函数 f 1( x) ? ( a ? ) x ? 2ax ? (1 ? a ) ln x , f 2( x) ? x ? 2ax .若 f1 ( x), f 2 ( x) 的“活动函数” 2 2
在区间?1, ?? ? 上,函数 f ( x ) 是 f 1( x ) , f 2( x) 的“活动函数” a 的取值范围。 ,求

22.如图,已知⊙O 和⊙M 相交于 A、B 两点,AD 为⊙M 的直径,直线 BD 交⊙O 于点 C,点 G 为弧 BD 中点,连结 AG 分别 交⊙O、BD 于点 E、F 连结 CE. (1)求证: AG ? EF ? CE ? GD ; (2)求证:

GF EF 2 ? . AG CE 2

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A O · C E B M · F G D

23.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

?x ? 2 ? t ,曲线 P 在以该直角坐标系的原点 O 的为极点, (t 为参数) ? y ? t ?1
2

x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为 p ? 4 p cos? ? 3 ? 0 . (Ⅰ)求曲线 C 的普通方程和曲线 P 的直角坐标方程; (Ⅱ)设曲线 C 和曲线 P 的交点为 A、B,求|AB|.

6页

24.设函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? x ? 2 . (Ⅰ)求不等式 f ( x) ? 2 的解集;
2 (Ⅱ)?x ? R ,使 f ( x ) ? t ?

11 t ,求实数的取值范围. 2

7页

2012—2013 学年度下学期第六次模拟考试高三数学 (理科答案)
一、选择题 1.【答案】D 试题分析: A ? [?2,2] , B ? {0,1,2,3,4,5,6,7,8} ,所以 A ? B ? ?0,1,2 ? ,选 D。 2. 【答案】A
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m 2 ? i (m 2 ? i)(1 ? m i) m 2 ? m ? (1 ? m 3 )i 3 ? ? 试题分析: 是实数,则虚部1 ? m 为 0,所以 2 2 1? mi 1? m 1? m
m ? ?1 ,选A
3. 【答案】B 试题分析:设双曲线方程为 4.【答案】B
? ? 试题分析:由sin B ? cos B ? 2 得1 ? 2sin B cos B ? 2 ,即sin2B 1 ,因为 0<B<? ,所以 B=45 ,又因为

x2 ? y 2 ? ? ,又因为焦点为(0,6) 3? ? 36 ? ? ?12 ,选 B。 ,则 , 2

1 2 2 ? b a ? 2, ? 2, 所以在 ?ABC 中, 由正弦定理得: , 解得sin A ? , a <b , 又 所以 A<B=45 , = ? 2 sin A sin 45
所以 A=30 。 5.【答案】C
?

试题分析:

?

2

?1

x 2 dx ?

1 3 x 3

2 ?2

16 16 1 ? ,所以 P ? 3 ? ,选 C。 3 16 3

6.【答案】B 7. 【答案】D 试题分析:由题意易知:M 是 BC 的中点,P 是三角形 ABC 的重心,因为 AM ? 1 ,所以 PA ?

???? ?

2 1 , PM ? ,所 3 3

??? ??? ??? ? ? ? 2 2 4 PA ? (PB ? PC) = PA ? 2 PM ? ? ? cos ? ? - 。故选 D. 以 3 3 9
8.【答案】C 试题分析:由图像可知T ? ? ?? ? 2? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? 代入 ? ?

? ? ? ,0? 得 ? 6 ?

8页

??

?

? ?? 2? 3 ? ? f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ? ? f ( x1 ? x2 ) ? ? 3 6 3? 3 2 ?

9.【答案】D 10.【答案】D 试题分析: 根据正弦定理得

PF2 sin ?PF1F2

?

PF1 sin ?PF2 F1

, 所以由

a c a c ? 可得 , ? PF2 PF1 sin ?PF F2 sin ?PF2 F1 1



PF1 PF2

?

c ? e ,所以 ,又 PF1 ? e PF2 a
,即 PF ? 2a ,因为 2

PF1 ? PF2 ? e PF2 ? PF2 ? PF2 (e ?1) ? 2a

e ?1

a ?c ? PF 2 ?a ?c



(不等式两边不能取等号,否则分式中的分母为 0,无意义)所以 a ? c ? 2a ? a ? c ,

e ?1

2 ? ) 2 ?(1 ? e)(1 ? e ? ?1 ? e ? 2 c 2 c ,所以 2 即1 ? ? ,所以 ? , ? 1? 1? e ? ? 1 ? e ,即 ? )2 a e ?1 a e ?1 ? 2 ? 1? e ?2 ? (1 ? e ?

解得 2 ?1 ? e? 1 ,即 ( 2 ?1 ) ,选 D. ,1 11. 【答案】D

试题分析:因为函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于点(1,0)对称,所以

y ? f ( x) 的图象关于原点对称,即函数 y ? f ( x) 为奇函数,
2 2 由 f ( x ? 2x) ? f (2 y ? y ) ? 0 得

f ( x2 ? 2x) ? ? f (2 y ? y 2 ) ? f ( y 2 ? 2 y) ,
2 2 所以 x ? 2 x ? y ? 2 y ,

? x2 ? 2x ? y 2 ? 2 y 0 ?( x ? y)( x ? y ?2) ? ? ? 1? x ? 4 1? x ? 4 所以 ? ,即 ? ,
画出可行域如图,可得 =x+2y∈[0,12].故选 D.
9页

12. 【答案】C 试题分析:根据函数的解析式,画出图像,由图像易知这 10 个零点为 0,1,2,3,??,9,所以 S10 =45.

二.填空题: 13.【答案】—15 14. 【答案】 4 3? 15.【答案】600
1 3 4 2 2 2 试题分析:甲、乙两名同学只有一人参加时,有C2 C5 A4 =480;甲、乙两人均参加时,有C5 A2 A3 =120。

共有 600 种。 16. 【答案】{( 4,?4), (4,1)} 满足题意的数列只能有 4 项, 若删掉 a2 , a3 ? a1 ? a4 ,ad ? ?4d , 则 若删掉 a3 , a2 ? a1 ? a4 ,ad ? d , 则
2
2

2

2

所以所有数对? n,

? ?

a1 ? ? 所组成的集合为{(4,?4), (4,1)} d?

17.(本小题满分 12 分)

? b2 ? c2 ? a2 bc 1 ? ? ,得到 A ? 解析: (1)b ? c ? a ? bc ,所以 cos A ? ?4 分 3 2bc 2bc 2 C 2 B ? 2 sin 2 ? 1 (2)∵ 2 sin ∵1 ? cos B ? 1 ? cos C ? 1 ∴ cos B ? cos C ? 1 ,??6 分 2 2 2? ? ? B) ? 1 ,得到sin( B ? ) ? 1 , 即 cos B ? cos( ?????8 分 3 6 2? ? ? 5? ? ? ? ?0 ? B ? ? ? B? ? ?B ? ? ?B ? 3 6 6 6 6 2 3
2 2 2

? ?ABC 为等边三角形
18.(本小题满分 12 分) 【解析】(I)先列出 2 ? 2 列联表

????12 分

10页

然后利用公式 K ?
2

n(ad ? bc) 2 ,计算出 k 2 值,再根据 k 值是否大于 6.635,来确定 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

是不是有没有 99%的把握认为月收入以 5500 为分界点对“楼市限购令”的态度有差异. (II)先确定? 所有可能取值有 0,1,2,3,然后求出每个值对应的概率,列出分布列,求出期望值. (Ⅰ)2 乘 2 列联表 月收入不低于 55 百元人数 赞成 a?3 不赞成 b?7 合计 10 月收入低于 55 百元人数 合计 32 18 50

c ? 29 d ? 11
40

K2 ?

50 ? (3 ?11 ? 7 ? 29)2 6.47 ? 6.635 ? 6.27 ? 6.635 (3 ? 7)(29 ? 11)(3 ? 29)(7 ? 11)

所以没有 99%的把握认为月收入以 5500 为分界点对“楼市限购令”的态度有差异. ??(6 分)
2 C4 C82 6 28 84 (Ⅱ)? 所有可能取值有 0,1,2,3, P ?? ? 0 ? ? 2 ? 2 ? , ? ? C5 C10 10 45 225

P ?? ? 1? ?

1 1 1 2 C4 C82 C4 C8C2 4 28 6 16 104 ? 2 ? 2? 2 ? ? ? ? ? C52 C10 C5 C10 10 45 10 45 225

1 1 1 2 2 C4 C8C2 C4 C2 4 16 6 1 35 P ?? ? 2 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? C5 C10 C5 C10 10 45 10 45 225

P ? ? ? 3? ?

1 2 C4 C2 4 1 2 ? 2 ? ? ? 2 C5 C10 10 45 225

所以? 的分布列是

?
P

0

1

2

3

35 2 225 225 104 70 6 4 ? ? ? . 所以? 的期望值是 E? ? 0 ? 225 225 225 5
19.(本小题满分 12 分)

84 225

104 225

????????????(12 分)

? 解: (I)连接 BD ,交 AC 于 O ,因为四边形 ABCD 为菱形, ?BAD ? 60 ,所以 BD ? a

因为 BB1 、CC1 都垂直于面 ABCD ,? BB1 // CC1 ,又面 BC1D1 ∥面 ABCD ,? BC // B1C1 1 所以四边形 BCC1B1 为平行四边形 ,则 B1C1 ? BC ? a ???????????????2 分 因为 BB1 、CC1 、 DD1 都垂直于面 ABCD ,则 DB1 ?

DB 2 ? BB12 ? a 2 ? 2a 2 ? 3a

DE ? DC 2 ? CE 2 ? a 2 ?

a2 6a ? 2 2
11页

B1E ? B1C12 ? C1E 2 ? a 2 ?
所以 DE ? B1E ?
2 2

a2 6a ?4 分 ? 2 2

6a 2 ? 6a 2 ? 3a 2 ? DB12 4
?????????????????????5 分

所以 ?DBE 为等腰直角三角形 1

(II)取 DB1 的中点 H ,因为O, H 分别为 DB ,DB 1 的中点,所以OH ∥ BB1 以OA, OB, OH 分别为 x, y, z 轴 建立坐标系,
z
D1
B1
E

C1

H
D

C

O

x A

F

B

y

则 D(0, ?

a 3 2 a 3 a , 0), E (? a, 0, a), B1 (0, , 2a), F ( a, , 0) 2 2 2 2 4 4 ??? ? ? 3 a 2 ??? 3 3 a, , a DF ( ), ? a a , ,0) 2 2 2 4 4
????????7 分

所以 DB1 ? (0, a, 2 a), DE ? ? (

???? ?

设面 DBE 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 1 则 n1 ? DB1 ? 0, n1 ? DE ? 0 ,即 ay1 ? 2az1 ? 0 且 ? 令 z1 ? 1,则 n1 ? (0, ? 2,1 )

??

?? ???? ?

?? ??? ?

3 a 2 ax1 ? y1 ? az1 ? 0 2 2 2

??

??????????????????????????9 分

设面 DFE 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) , 则 n2 ? DF ? 0, n2 ? DE ? 0 即 令 x2 ? 1 ,则 n2 ? (1, ?

?? ?

?? ???? ?

?? ??? ? ?

3 3 3 a 2 ax2 ? ay2 ? 0 且 ? ax2 ? y2 ? az2 ? 0 4 4 2 2 2
??????????????????????11 分

?? ?

3 2 6 , ) 3 3

?? ?? ? 则 cos n1 , n2 ?

6 2 6 ? 2 2 3 3 ? ,则二面角 B1 ? DE ?F 的余弦值为 ????12 分 2 2 1 8 3 ? 1? ? 3 3
12页

20.(本小题满分 12 分) 解:(1)设 M ( x, y), B(? , m) ,则 BM ? ( x ? , y ? m e ? ), CM (?, x y ?), ), (0,1

1 2

???? ?

1 2

?

???? ?

? m ??? AB ?, ? m , ( 1 ) 2

?y ? m ???? ? ? ???? ??? ? ? ? 2 由 BM ? e ? 0, CM ? AB ? 0 得 ? m 2 ,所以动点 M 的轨迹 E 的方程为 y ? 2 x ;?????4 分 x? ? 2 ? y ?b x?b , (2)设 P( x0 , y0 ), R(0, b), N (0, c) ,且b ? c ,? lPR : y ? 0 x0
即 lPR : ( y0 ? b) x ? x0 y ? x0b ? 0 ,由相切得

y0 ? b ? x0b ( y0 ? b)2 ? x02

? 1 ,注意到 x0 ? 2 ,化简得

( x0 ? 2)b2 ? 2 y0b ? x0 ? 0 ,
同理得 ( x0 ? 2) c 2 ?2 y 0c ?x 0 ? 0 , 所以 b, c 是方程 ( x0 ? 2) x 2 ?2 y 0x ?x 0 ? 0 的两根,??????????????????8 分

所以 b ? c ? 有 S?PRN ?

4 y0 2 ? 4 x0 ( x ? 2) 0 x0 ? 2

?

2 x0 , x0 ? 2

1 2 x0 4 ? ? x0 ? ( x0 ? 2) ? ? 4 ? 8 ,当 x0 ? 4 时 ?PRN 的面积的最小值为 8. ?12 分 2 x0 ? 2 x0 ? 2

21.(本小题满分 12 分) 解: (1)当 a ?

1 1 2 1 x2 ?1 时, f (x ) ? x ? ln x , f ?(x) ? x ? ? ; 2 2 x x

对于 x ?[1, e],有 f ?( x ) ? 0 ,∴ f ( x ) 在区间[1, e]上为增函数

e2 1 ∴ f max (x) ? f (e) ? 1 ? , f min ( x ) ? f (1) ? .???????????????? 3 分 2 2
(2)在区间(1,+∞)上,函数 f ( x ) 是 f1 (x ), f 2 (x ) 的“活动函数”,则 f 1 ( x ) ? f ( x ) ? f 2 ( x )
2 令 p ( x) ? f ( x) ? f 2 ( x) ? (a ? ) x ? 2ax ? ln x ? 0 ,对 x ? (1,??) 恒成立,

1 2

且 h( x) ? f1 ( x) ? f ( x) = ?

1 2 x ? 2ax ? a 2 ln x ? 0 对 x ? (1,??) 恒成立,?????? 5 分 2

?(x ∵ p`(x) ? (2a ? 1) x ? 2a ?
1) 若 a

1 (2a ? 1) x 2 ? 2ax ? 1 ( x ? 1)[(2a ? 1) x ? 1] ? ? (*) x x x

?

1 1 ,令 p?( x) ? 0 ,得极值点 x 1 ? 1 , x 2 ? , 2 2a ? 1
1 ? a ? 1 时,在( x2 ,+∞)上有 p?( x) ? 0 ,此时 p (x) 在区间( x 2 ,+∞)上是增函数, 2
13页

当 x 2 ? x 1 ? 1 ,即

并且在该区间上有 p (x) ∈( p( x2 ) ,+∞) ,不合题意; 当 x 2 ? x 1 ? 1 ,即 a ? 1 时,同理可知, p (x) 在区间(1,+∞)上,有 p (x) ∈( p(1) ,+∞) ,也不 合题意; 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 7 分 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

1 ,则有 2a ?1 ? 0 ,此时在区间(1,+∞)上恒有 p?( x) ? 0 ,从而 p (x) 在区间(1,+∞) 2 1 1 上是减函数;要使 p( x) ? 0 在此区间上恒成立,只须满足 p (1) ? ? a ? ? 0 ? a ? ? , 2 2
2) 若 a ? 所以 ?
1 1 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 ? a ? .。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 9 分 2 2
/

又因为 h (x)= –x+2a– h(x)<h(1)= ?

a2 ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? (x ? a ) 2 = <0, h(x)在(1, +∞)上为减函数, ? x x x

1 1 1 1 +2a ? 0, 所以 a ? 综合可知 a 的范围是[ ? , ]. 12 分 2 4 2 4

a2 ( x ? a) 2 ? 0, =? x x 1 1 h(x)在(1,+?)递减,只要 h(1) ? 0, 得 ? ? 2a ? 0 ,解得 a ? . 。。。。。。8 分 。。。。。 2 4 ( x ? 1)[( 2a ? 1) x ? 1] 1 而 p`(x)= 对 x?(1,+?) 且 a ? 有 p`(x) <0. x 4 1 1 1 1 只要 p(1) ? 0, a ? ? 2a ? 0 ,解得 a ? ? ,所以. ? ? a ? 。。。。。。 分 。。。。。。12 2 2 2 4 22.证明:(1)连结 AB , AC , 0 A ∵ AD 为圆 M 的直径,∴ ?ABD ? 90 , M ∴ AC 为圆 O 的直径, ∴ ?CEF ? ?AGD , · E ∵ ?DFG ? ?CFE ,∴ ?ECF ? ?GDF , D O · F ∵ G 为弧 BD 中点,∴ ?DAG ? ?GDF , B ∵ ?ECB ? ?BAG ,∴ ?DAG ? ?ECF , G C CE AG ? ∴ ?CEF ∽ ?AGD ,∴ , EF GD ? AG ? EF ? CE ? GD ????????????????????????5 分 (2)由(1)知 ?DAG ? ?GDF , ?G ? ?G , 2 GF , ∴ ?DFG ∽ ?AGD ,∴ DG ? AG ? 2 2 EF GD GF EF 2 ? ? 由(1)知 ,∴ . ?????????????????10 分 CE 2 AG 2 AG CE 2
另解: (接在(*)号后)先考虑 h(x), h`(x) = – x + 2a ? 23. 【解析】
2 2 ( Ⅰ ) 曲 线 C 的 普 通 方 程 为 x ? y ? 1 ? 0 , 曲 线 P 的 直 角 坐 标 方 程 为 x ? y ? 4x ? 3 ? 0 .

?????????????????????????????????????5 分 (Ⅱ)曲线 P 可化为 ( x ? 2) ? y ? 1 ,表示圆心在 ( 2,0) ,半径 r ? 1 的圆,
2 2

14页

则圆心到直线 C 的距离为 d ? 24. 【解析】

1 2

?

2 2 2 ,所以 AB ? 2 r ? d ? 2 .??????10 分 2

1 ? ?? x ? 3, x ? ? 2 ? 1 ? 解: (1) f ( x ) ? ?3 x ? 1,? ? x ? 2 ,??????????????????????2 分 2 ? ? x ? 3, x ? 2 ? ? 1 当 x ? ? ,? x ? 3 ? 2, x ? ?5,? x ? ?5 2 1 当 ? ? x ? 2,3 x ? 1 ? 2, x ? 1,?1 ? x ? 2 2 当 x ? 2, x ? 3 ? 2, x ? ?1,? x ? 2
综上所述 x | x ? 1或x ? ?5 ??????????????????????????5 分 (2)易得 f ( x ) min ? ? 则只需 f ( x) min

?

?

5 11 2 ,若 ?x ? R 都有 f ( x ) ? t ? t 恒成立, 2 2 5 11t 1 ? ? ? t2 ? 解得 ? t ? 5 ???????????????????10 分 2 2 2

15页


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