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高中数学二轮专题辅导十 转化与化归思想

时间:2016-03-05


数学

专题十

转化与化归思想

【考试要求】 1. 化归思想方法:就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段或方法将问题通过变换使之转化,进而达 到使问题解决的一种方法,在解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解较为困难,需将原问题转化为一 个新问题(相对来说,对自己较为熟悉)通过对新问题的求解,达到解决原问题的目的. 2.转化思想方法:是实现问题的规范化、模式化以便应用已知的理论、方法和技巧,达到问题的解决,其思维 过程的形式如图.解题的过程就是“转化”的过程,“转化”是解数学题的重要思想方法之一.

3.转化具有多样性、层次性和重复性的特点,为了实施有效的转化,既可以变更问题的条件,也可以变更问题 的结论;既可以变换问题的内部结构,又可以变换问题的外部形式,这就是多样性.转化原则既可以应用 于沟通数学与各分支学科的联系,从宏观上实现学科间的转化,又能调动各种方法与技术,从微观上解决 多种具体问题,这是转化的层次.而解决问题时可以多次的使用转化,使问题逐次达到规范化,这是转化 原则应用的重复性. 4.化归与转化思想的核心是将生疏的问题转化为熟知的问题,解题的过程就是一个缩小已知与求解 之 间差异的过程,是未知向已知转化的过程,也是目标向问题靠拢的过程. 5.化归思想有着客观的基础,它着眼于揭示内在本质联系,实现转化与化归,通过矛盾的转化,达到解 决问题的目的. 6.化归转化思想方法要遵循以下原则: (1)目标简单化原则,即越转化,问题越简单,越利于解决问题; (2)和谐统一原则,即转化和化归应满足目标问题与待解决问题在量、形、关系上趋于统一使问题的 条件和结论更均匀和恰当,使待解决问题在表现形式上,越发趋于和谐; (3)具体化原则,化归方向越具体,越有利于问题的解决; (4)回归原则,无论怎么转化,无论转化为什么新的问题,都是手段,不是目的,最终的目的是解决 原始问题.因而,最后要回归到原始问题上来,否则,劳而无功. 7.数形结合思想体现了数与形的相互转化,函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化; 分类讨论思想体现了局部与整体的相互转化,这三种思想方法都是转化与化归思想的具体体现.各种 变换方法,分析法、反证法、待定系数法、构造法等都是转化的手段.可以说,转化与化归是数学思 想方法的灵魂. 【精练精析】 题型一 等与不等的转化与化归 例 1、若直线
2

x y ? ? 1 通过点 M (cos ?, sin ? ) ,则 a b
2


2 2



A. a ? b C.

≤1

B. a ? b D.

≥1

1 1 ? 2 ≤1 2 a b

1 1 ? 2 ≥1 2 a b

1

数学
分析:点 M (cos ?, ,则可以通过直线与单位圆的位置关系来转化。 ,当然也可以把 sin ? ) 是单位圆上的点, 直线

x y ? ? 1 看作等式或看作向量的数量积来解答。 a b x y ? ? 1 与圆 x2 ? y 2 ? 1有交点,则 a b 1 1 a b

解法一:由题意知直线

1 1 1 ? a 2 b2

≤ 1,

1 1 ? ≥1 . a 2 b2

解法二:设向量 m = (cos ? ,sin ? ), n = ( , ) ,由题意知 由 m ? n ≤ m n 可得 1 ?

cos ? sin ? ? ?1 a b

cos ? sin ? 1 1 ? ≤ ? a b a 2 b2

答案: D 【探究拓展】将一个等式转化成不等式,是求变量取值范围的重要方法,通常利用函数的单调性解答此类 问题,或者利用基本不等式解答这类问题. 变式训练 1 已知三实数 a,b,c 成等比数列,且 a+b+c=m(m 是正常数) ,求 b 的取值范围.

解 : 方法一 设三个实数为 由 a+b+c=m,得

b , b, bx x

1 m b(1 ? x ? ) ? m , 从而b ? . 1 x 1? x ? x 1 1 当x ? 0时, x ? ? 2;当x ? 0时, x ? ? ?2 , x x 1 1 从而1 ? x ? ? 3或1 ? x ? ? ?1 , x x m 又m ? 0, 所以0 ? b ? 或 ? m ? b ? 0 , 3 ? m? 即b ? ?? m,0? ? ? 0, ? . ? 3?
方法二 因为 a,b,c 成等比数列,所以 b2=ac,

又 a+b+c=m,所以 ?

?a ? c ? m ? b
2 ?ac ? b

,

则 a、c 是关于 x 的方程 x2-(m-b)x+b2=0 的两个实数根, 所以Δ =[-(m-b) ]2-4b2≥0,

m (m ? 0), 又b ? 0 , 3 ? m? 所以b ? ?? m,0 ? ? ? 0, ? ? 3? 解之得,? m ? b ?

2

数学
题型二 正与反的转化与化归 例 2、在由数字 0,1,2,3,4,5 所组成的没有重复数字的四位数中,不能被 5 整除的数共有____个。 分析:不能被 5 整除的数要分类讨论,情况较多,这时我们不妨换一个角度,从反面入手考虑。注意 到不能被 5 整除实质上是末位数字不是 0,也不是 5。用间接法。
3 所有四位数有 A1 5 ? A 5 =300 个,

末位为 0 时有 A 3 5 =60 个,
2 末位为 5 时有 A1 4 ? A 4 =48 个,

∴满足题意的数共有 300-60-48=192 个。 点评:一些数学问题,如果从条件出发,正面考虑较难较繁,不妨调整思考方向,从问题的结论入手, 或从问题的条件与结论的反面入手进行思考,迂回地得到解题思路,这叫做“正难则反”。“正难则反” 是一种重要的解题策略,灵活用之,能使许多难题、趣题和生活中的问题获得巧解。 变式训练 2 试求常数 m 的范围,使曲线 y=x2 的所有弦都不 能被直线 y=m(x-3)垂直平分. 解 由题意可知,m≠0, 2 2 所以设抛物线上两点 ( x1 , x1 ) , ( x2 , x2 ) 关于直线 y=m(x-3) 对称,于是有:

?1 2 ?1 ? 2 ? 2 ( x1 ? x2 ) ? m ? 2 ( x1 ? x2 ) ? 3? ? ? ? ? 2 2 ? x1 ? x2 ? ? 1 ? m ? x1 ? x2
2 ? x12 ? x2 ? m?x1 ? x2 ? 6 ? ? 所以? , 消去x2得 : 1 ? x1 ? x2 ? ? m ? 2 1 2 2 x1 ? x1 ? 2 ? 6m ? 1 ? 0 . m m

因为存在 x1∈R 使上式恒成立,

2 1 ? ? ( ) 2 ? 4 ? 2 ? ( 2 ? 6m ? 1) ? 0 m m
即 12m3+2m2+1<0, 也即(2m+1) (6m2-2m+1)<0. 因为 6m2-2m+1>0 恒成立, 1 所以 2m+1<0,所以 m ? ? .

2

1 时,抛物线上存在两点关于直线 y=m(x-3)对称. 2 1 所以当 m ? ? 时,曲线 y=x2 的所有弦都不能被直线 y=m(x-3)垂直平分. 2
即当 m??

3

数学
题型三 以换元为手段的转化与化归 例 3、已知函数 f(x)=1-2a-2acos x-2sin2x 的最小值为 g(a) . (1)求 g(a)的表达式; (2)若 g(a)=

1 2

,求实数 a 的值,并求此时 f(x)的最大值.

解: (1 )f(x)=2cos2x-2acos x-2a-1

a a2 ? 2(cosx ? ) 2 ? ? 2a ? 1 , 2 2
令 t=cos x,则-1≤t≤1,

a a2 且原函数为h(t ) ? 2(t ? ) 2 ? ? 2a ? 1(t ? [?1,1]) 2 2 ?1(a ? ?2) ? 2 ? a 则g (a ) ? ?? ? 2a ? 1(?2 ? a ? 2) . ? 2 ? ?1 ? 4a (a ? 2)

(2)由题意分析得:只有?

a2 1 a2 1 ? 2a ? 1 ? 一种情况,所以令? ? 2a ? 1 ? ,其中-2<a<2, 2 2 2 2 1 2 1 解得 a=-1,此时 f ( x) ? 2(cos x ? ) ,? 2 2

所以当 cos x=1,即 x=2kπ (k∈Z)时, 函数 f(x)的最大值为 5. 【探究拓展】 通过换元将三角问题转化成较为熟悉的二次函数问题,应特别注意换元后 t∈[-1,1],应讨论二次 函数的对称轴与区间[-1,1]的位置关系,才能快速、准确解答此题.

f ( x) ? 变式训练 3 求函数 的最大值和最小值. 1 ? sin x ? cos x 解: 设 t=sin x+cos x

sin x cos x

? 2 sin(x ? ) ? ? 2 , 2 , 4 t 2 ?1 则 sin x cos x ? , 2 t 2 ?1 t ?1 则原函数可化为 g (t ) ? 2 ? 1? t 2 (t ? ? 2 , 2 且t ? ?1) .

?

?

?

?

?

解得, 当x ? 2k? ? 当x ? 2k? ?

?
4

(k ?

)时, f ( x) max ?

3? (k ? 4

)时, f ( x) min

2 ?1 ; 2 2 ?1 ?? . 2
4

数学
题型四 三视图转化为立体图 例 4.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积是
2 1

cm 3 .

2

正视图

左视图

1 1 俯视图 10题图

几何体如图所示,正面为 2 ? 2 的正方形,侧面为直角梯形,两个底边长分别为 1 和 2 ,因此不难算出 体积为

1? 2 ? 2 ? 2 ? 6cm3 . 2

评注: 高考题注重对立体几何中的三视图的考查, 一般是给出几何体的三视图, 让我们还原为立体图, 然后求出一些几何量。 变式训练 4 一个几何体的三视图如下图所示,其中正视图中△ ABC 是边长为 2 的正三角形,俯视图为正 六边形,那么该几何体的侧视图的面积为 ( )

P
正视图 A. 侧视图 B. 俯视图 C. 12 D. 6 D E
5

3 2

2 3

分析:先把三视图还原为立体图,再由立体图进行解答。 解:有三视图可知,此几何体为正六棱锥,如图,其中正视图

N O

C B

F

M

A

数学
为 ?PBE ,是正三角形,则 BE ? 2 ,∴底面边长为 1,侧棱长为 2, 则高为 3 ,设 M , N 分别为 AF , CD 的中点,则 ? PMN 为侧视图,

1 3 MN ? 3 ,∴侧视图的面积为 ? 3 ? 3 ? ,故选 A 。 2 2 答案: A 评注:正确对待三视图,要会还原为立体图,找出相应的量解出,注意对应的量不能出错。 题型五 恒成立问题 p 例 5、已知函数 f ( x) ? px ? ? 2ln x . x ⑴若 p ? 2 ,求曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; ⑵若函数 f ( x) 在其定义域内为增函数,求正实数 p 的取值范围;
⑶设函数 g ( x) ?

2e ,若在 ?1, e? 上至少存在一点 x0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立,求实数 p 的取值范围. x 2 ? 2ln x , f (1) ? 2 ? 2 ? 2ln1 ? 0 . x

解:⑴当 p ? 2 时,函数 f ( x) ? 2 x ?

2 2 ? , x2 x 曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率为 f ?(1) ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 . 从而曲线 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 0 ? 2( x ? 1) , 即 y ? 2x ? 2 . f ?( x) ? 2 ?
⑵ f ?( x) ? p ?

p 2 px2 ? 2x ? p . ? ? x2 x x2

令 h( x) ? px2 ? 2 x ? p ,要使 f ( x) 在定义域 (0 , ? ?) 内是增函数,只需 h( x) ≥ 0 在 (0 , ? ?) 内恒成立. 由题意 p ? 0 , h( x) ? px2 ? 2 x ? p 的图象为开口向上的抛物线,对称轴方程为 x ?
h( x ) mi n ? p ? 1 , p

1 ? (0 , ? ? ) ,∴ p

只需 p ?

1 ≥ 0 ,即 p ≥ 1 时, h( x) ≥ 0, f ?( x) ≥ 0 p

∴ f ( x) 在 (0 , ? ?) 内为增函数,正实数 p 的取值范围是 [1, ? ?) . ⑶∵ g ( x) ?

2e 在 ?1, e? 上是减函数, x

∴ x ? e 时, g ( x)min ? 2 ; x ? 1 时, g ( x)max ? 2e ,即 g ( x) ? ? 2, 2e? , ①当 p ? 0 时, h( x) ? px2 ? 2 x ? p,其图象为开口向下的抛物线,对称轴 x ?
h(0) ? 0 ,所以 f ( x) 在 x ? ?1, e? 内是减函数.
1 在 y 轴的左侧,且 p

当 p ? 0 时, h( x) ? ?2 x ,因为 x ? ?1, e? ,所以 h( x) ? 0 , f ?( x) ? ?

2x ?0, x2

6

数学
此时, f ( x) 在 x ? ?1, e? 内是减函数. 故当 p ≤ 0 时, f ( x) 在 ?1, e? 上单调递减 ? f ( x)max ? f (1) ? 0 ? 2 ,不合题意;

1 ②当 0 ? p ? 1 时,由 x ? ?1, e? ? x ? ≥ 0 , x 1? 1 ? 所以 f ( x) ? p ? x ? ? ? 2 ln x ≤ x ? ? 2 ln x . x? x ?
又由⑵知当 p ? 1 时, f ( x) 在 ?1, e? 上是增函数, ∴x?

1 1 1 ? 2ln x ≤ e ? ? 2ln e ? e ? ? 2 ? 2 ,不合题意; x e e

③当 p ≥ 1 时,由⑵知 f ( x) 在 ?1, e? 上是增函数, f (1) ? 0 ? 2 , 又 g ( x) 在 ?1, e? 上是减函数, 故只需 f ( x)max ? g ( x)min , x ? ?1, e? ,
1? ? 而 f ( x) max ? f (e) ? p ? e ? ? ? 2 ln e , g ( x)min ? 2 , e? ? 1? 4e ? 即 p ? e ? ? ? 2ln e ? 2 ,解得 p ? 2 , e e ?1 ? ? ? 4e ? ,? ?? . 所以实数 p 的取值范围是 ? 2 e ? 1 ? ?

变式训练 5

设函数 f ( x) ?

a 3 3 2 x ? x ? (a ? 1) x ? 1, 其中a 为实数。 3 2

(Ⅰ)已知函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值,求 a 的值; (Ⅱ)已知不等式 f ' ( x) ? x2 ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立,求实数 x 的取值范围。 分析: ( Ⅱ ) 中 不 等 式 f ' ( x) ? x2 ? x ? a ? 1 对 任 意 a ? (0, ??) 都 成 立 , 可 以 转 化 为 a 的 不 等 式 在

a ? (0, ??) 都成立,从而变为 a 的一次函数由单调性来解答;也可以将 a 分化出来,转化为 a 的不等
式在 a ? (0, ??) 恒成立,研究右边函数的最值。
' 2 ' 解: (1) f ( x) ? ax ? 3x ? (a ? 1) ,由于函数 f ( x ) 在 x ? 1 时取得极值,所以 f (1) ? 0

即 a ? 3 ? a ? 1 ? 0,∴ a ? 1 (2) 方法一: 由题设知: ax ? 3x ? (a ? 1) ? x ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立
2 2

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数学
即 a( x2 ? 2) ? x2 ? 2x ? 0 对任意 a ? (0, ??) 都成立 设 g (a) ? a( x2 ? 2) ? x2 ? 2x(a ? R) , 则对任意 x ? R , g (a ) 为单调递增函数 (a ? R) 所以对任意 a ? (0, ??) , g (a) ? 0 恒成立的充分必要条件是 g (0) ? 0
2 即 ? x ? 2 x ? 0 ,∴ ?2 ? x ? 0 , 于是 x 的取值范围是 x | ?2 ? x ? 0?

?

方法二:由题设知: ax2 ? 3x ? (a ? 1) ? x2 ? x ? a ? 1 对任意 a ? (0, ??) 都成立 即 a( x2 ? 2) ? x2 ? 2x ? 0 对任意 a ? (0, ??) 都成立

x2 ? 2 x x2 ? 2 x ?0 于是 a ? 2 对任意 a ? (0, ??) 都成立,即 2 x ?2 x ?2
∴ ?2 ? x ? 0 , 于是 x 的取值范围是 ?x | ?2 ? x ? 0?
评注:对于不等式恒成立问题,一般来说是要分化出参数,转化为求右边函数的最值问题;但有的也不容 易分化, 我们也可以转换主变量, 把二次函数转化为一次函数, 根据一次函数的单调性即可容易完成。 【规律总结】 1.常用转化策略有:正与反的转化;数与形的转化;相等与不等的转化;整体与局部的转化;空间与平 面的转化;复数与实数的转化;常量与变量的转化;不同数学语言之间的转化等等. 2.转化与化归的本质是“有利于问题解决” ,基于这个“有利于” ,应充分发挥个人的聪明才智,大胆联 想、类比、假设,尽快探索出转化方案和方法,使问题顺利得以解决. 3.对于常见问题还是有章可循,有法可依的,通常可以从以下几方面入手: (1)通过变量替换、增量代换、等价代换等换元方法,将问题转化为变量个数少,次数低,结构简单, 形式熟悉的问题. (2)考虑到点集和有序实数对集合之间的映射关系,可将平面几何问题转化为解析几何问题解决,而 解析法,也可以将方程问题转化为曲线问题解决. (3)特殊化策略.即在解决一个一般性问题有困难时,先将问题特殊化(如取特殊值,取特殊位置, 考察极端化情形) ,从中获得解法、结论等,再将这些解法、结论推广到一般问题上去,获得一般问 题的解答. (4)一般化策略.这是与“特殊化策略”完全相反过程的一种策略,为了解决问题 A,先解决比 A 更 一般的问题 A′,然后再将其特殊化获得解答. (5)语言转化策略.数学符号表达一定的语义,可视作一种“语言” ,图形也是表达思想的一种“语 言” ,这两种“语言”与普通的文字语言之间相互转化,是一种常用的策略. (6)正反互化策略.当正面解决问题较困难或情形繁杂,而其对立面较易解决或情形较少时,可先解 决其对立面面临的问题,再回归到原问题上去. (7)升降维转化策略.在立体几何中,有时将视角放在一个特别的平面内,进行计算或证明之后,再 将结论放回原三维几何体中去.这种处理策略称之为降维策略;反之,则称为升维策略. (8)另外还有相等与不等的转化策略;整体与局部的转化策略;复数与实数的转化策略;常量与变量 的转化策略等.
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数学
4.不等式恒成立、能成立、恰成立等问题的转化.不等式恒成立、能成立、恰成立等问题是高考中的常 见题型,常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题,也可抓住所给不等式的特征,利用 数形结合法.其处理方法可以总结如下: (1)恒成立问题 若不等式 f(x)>A 在区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f(x)min>A;若不等式 f(x)<B 在 区间 D 上恒成立,则等价于在区间 D 上 f(x)max<B. (2)能成立问题 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)>A 成立,则等价于在区间 D 上 f(x)max>A;若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)<B 成立,则等价于在区间 D 上 f(x)min<B. (3)恰成立问题 若不等式 f(x)>A 在区间 D 上恰成立,则等价于不等式 f(x)>A 的解集为 D;若不等式 f(x)<B 在区间 D 上恰成立,则等价于不等式 f(x)<B 的解集为 D.

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