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南京盐城市2017届高三二模数学试卷

时间:2017-03-25

南京市、盐城市 2017 届高三年级第二次模拟考试

数学

2017.03

注意事项:

1.本试卷共 4 页,包括填空题(第 1 题~第 14 题)、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分.本

试卷满分为 160 分,考试时间为 120 分钟.

2.答题前,请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答.题.卡.上对应题目的 答案空格内.考试结束后,交回答题卡.

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答.题.卡.相.应.位.置.上.

1.函数 f(x)=ln1-1 x的定义域为





2.若复数 z 满足 z(1-i)=2i(i 是虚数单位),-z 是 z 的共轭复数,则 z·-z = ▲ .

3.某校有三个兴趣小组,甲、乙两名学生每人选择其中一个参加,且每人参加每个兴趣小组的可

能性相同,则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为 ▲ .

4.下表是关于青年观众的性别与是否喜欢戏剧的调查数据,人数如表所示:

不喜欢戏剧

喜欢戏剧

男性青年观众

40

10

女性青年观众

40

60

现要在所有参与调查的人中用分层抽样的方法抽取 n 个人做进一步的调研,若在“不喜欢戏

剧的男性青年观众”的人中抽取了 8 人,则 n 的值为 ▲ .

5.根据如图所示的伪代码,输出 S 的值为 ▲ .

6.记公比为正数的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a1=1,S4-5S2=0,

则 S5 的值为

▲.

7.将函数 f(x)=sinx 的图象向右平移π3个单位后得到函数 y=g(x)的图象,

则函数 y=f(x)+g(x)的最大值为 ▲ .

S←1 I←1 While I≤8
S←S+I I←I+2 End While Print S
(第 5 题图)

8.在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y2=6x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PA⊥l,A

为垂足.若直线 AF 的斜率 k=- 3,则线段 PF 的长为 ▲ .
数学试卷 第 1 页 共 16 页

9.若 sin(α-π6)=35,α∈(0,π2),则 cosα 的值为





10.α,β 为两个不同的平面,m,n 为两条不同的直线,下列命题中正确的是 ▲ (填上所

有正确命题的序号).

①若 α∥β,m?α,则 m∥β;

②若 m∥α,n?α,则 m∥n;

③若 α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥β;

④若 n⊥α,n⊥β,m⊥α,则 m⊥β.

11.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l1:kx-y+2=0 与直线 l2:x+ky-2=0 相交于点 P,则当实

数 k 变化时,点 P 到直线 x-y-4=0 的距离的最大值为 ▲ .

12.若函数 f(x)=x2-mcosx+m2+3m-8 有唯一零点,则满足条件的实数 m 组成的集合为 ▲ .
13.已知平面向量→ AC =(1,2),→ BD=(-2,2),则→ AB ?→ CD的最小值为 ▲ . 14.已知函数 f(x)=lnx+(e-a)x-b,其中 e 为自然对数的底数.若不等式 f(x)≤0 恒成立,则ba的最
小值为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答.题.卡.指.定.区.域.内.作答,解答时应写出文字说明、
证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分 14 分)

如图,在△ABC 中,D 为边 BC 上一点,AD=6,BD=3,DC=2.

(1)若 AD⊥BC,求∠BAC 的大小;

A

A

(2)若∠ABC=π4,求△ADC 的面积.

B

D

C

(第 15 题图 1)

B

D

C

(第 15 题图 2)

数学试卷 第 2 页 共 16 页

16.(本小题满分 14 分)

如图,四棱锥 P-ABCD 中,AD⊥平面 PAB,AP⊥AB.

(1)求证:CD⊥AP;

D

(2)若 CD⊥PD,求证:CD∥平面 PAB;
A

C B

P (第 16 题图)

17.(本小题满分 14 分) 在一张足够大的纸板上截取一个面积为 3600 平方厘米的矩形纸板 ABCD,然后在矩形纸板的
四个角上切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的长方体纸盒(如图).设 小正方形边长为 x 厘米,矩形纸板的两边 AB,BC 的长分别为 a 厘米和 b 厘米,其中 a≥b.
(1)当 a=90 时,求纸盒侧面积的最大值; (2)试确定 a,b,x 的值,使得纸盒的体积最大,并求出最大值.

D

C

A

B

(第 17 题图)

数学试卷 第 3 页 共 16 页

18.(本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,焦点在 x 轴上的椭圆 C:x82+by22=1 经过点(b,2e),其中 e
为椭圆 C 的离心率.过点 T(1,0)作斜率为 k(k>0)的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两点(A 在 x 轴下方).

(1)求椭圆 C 的标准方程;

(2)过点 O 且平行于 l 的直线交椭圆 C 于点 M,N,求

AT·BT MN 2

的值;

(3)记直线 l 与 y 轴的交点为 P.若 A→P =25 T→B ,求直线 l 的斜率 k. y

M B

19.(本小题满分 16 分)

O

T

x

P

NA

(第 18 题图)

已知函数 f (x)=ex-ax-1,其中 e 为自然对数的底数,a∈R.

(1)若 a=e,函数 g (x)=(2-e)x.

①求函数 h(x)=f (x)-g (x)的单调区间; ②若函数 F(x)=???fg((xx)),,xx≤>mm,的值域为 R,求实数 m 的取值范围; (2)若存在实数 x1,x2∈[0,2],使得 f(x1)=f(x2),且|x1-x2|≥1,
求证:e-1≤a≤e2-e.

20.(本小题满分 16 分)

已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,数列{bn},{cn}满足 (n+1) bn=an+1-Snn,

(n+2) cn=

an+1+an+2-Sn,其中

2

n

n∈N*.

(1)若数列{an}是公差为 2 的等差数列,求数列{cn}的通项公式;

(2)若存在实数 λ,使得对一切 n∈N*,有 bn≤λ≤cn,求证:数列{an}是等差数列.

数学试卷 第 4 页 共 16 页

南京市、盐城市 2017 届高三年级第二次模拟考试

数学附加题

2017.03

注意事项:

1.附加题供选修物理的考生使用.

2.本试卷共 40 分,考试时间 30 分钟. 3.答题前,请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上.试题的答案写在答.题.卡.上对应题目的答案

空格内.考试结束后,交回答题卡. 21.【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答.卷.卡.指.
定.区.域.内.作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.选修 4—1:几何证明选讲

如图,△ABC 的顶点 A,C 在圆 O 上,B 在圆外,线段 AB 与圆 O 交于点 M.

(1)若 BC 是圆 O 的切线,且 AB=8,BC=4,求线段 AM 的长度;

(2)若线段 BC 与圆 O 交于另一点 N,且 AB=2AC,求证:BN=2MN.

C

C

N

O

O

A

MB

A

M

B

(第 21(A)图)
B.选修 4—2:矩阵与变换
设 a,b∈R.若直线 l:ax+y-7=0 在矩阵 A= ???-13 b0??? 对应的变换作用下,得到的直线为
l′:9x+y-91=0.求实数 a,b 的值.

C.选修 4—4:坐标系与参数方程

??? 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l:

x=1+53t,

y=45t

(t

为参数),与曲线

C:???xy= =44kk2,(k

为参数)交

于 A,B 两点,求线段 AB 的长.

数学试卷 第 5 页 共 16 页

D.选修 4—5:不等式选讲 设 a≠b,求证:a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答.卷.卡.指.定.区.域.内.作答.解答应写出

文字说明、证明过程或演算步骤.

22.(本小题满分 10 分)

如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面四边形 ABCD 为菱形,A1A=AB=2,

∠ABC=π3,E,F 分别是 BC,A1C 的中点.

(1)求异面直线 EF,AD 所成角的余弦值;

(2)点 M 在线段 A1D 上,AA11MD=λ .若 CM∥平面 AEF,求实数 λ 的值.

A1

D1

B1

C1

F

M

A

D

B

E

C

(第 22 题图)

23.(本小题满分 10 分)

现有n(n2+1)(n≥2,n∈N*)个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵:

*

………………… 第 1 行

**

………………… 第 2 行

***

………………… 第 3 行

……………

…………………

* * ………… * * ………………… 第 n 行

设 Mk 是第 k 行中的最大数,其中 1≤k≤n,k∈N*.记 M1<M2<…<Mn 的概率为 pn.

(1)求 p2 的值; (2)证明:pn>(nC+n2+11)!.

数学试卷 第 6 页 共 16 页

南京市、盐城市 2017 届高三年级第二次模拟考试

数学参考答案及评分标准

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分.)

1.(-∞,1) 2.2

7. 3 13.-94

8. 6 14.-1e

3.23

9.4

3-3 10

4.30 10.①④

5.17 11.3 2

6.31 12.{2}

二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分 14 分)

解:(1)设∠BAD=α,∠DAC=β.

因为 AD⊥BC,AD=6,BD=3,DC=2,

所以 tanα=12,tanβ=13,

………………… 2 分

所以 tan∠BAC=tan(α+β)=1t-anαta+nαttaannββ=1-12+21×13 13=1.

………………… 4 分

又∠BAC∈(0,π),所以∠BAC=π4. (2)设∠BAD=α.

………………… 6 分

在△ABD 中,∠ABC=4π,AD=6,BD=3.

由正弦定理得 ADπ=sBinDα, 解得 sinα= 42. sin4

………………… 8 分

因为 AD>BD,所以 α 为锐角,从而 cosα= 1-sin2α= 414. ………………… 10 分

因此 sin∠ADC=sin(α+π4)=sinαcos4π+cosαsinπ4



2 2(

42+

414)=1+4

7.

………………… 12 分

△ADC 的面积 S=12×AD×DC·sin∠ADC

=12×6×2×1+4 7=32(1+ 7).

………………… 14 分

数学试卷 第 7 页 共 16 页

16.(本小题满分 14 分)

证明:(1)因为 AD⊥平面 PAB,AP?平面 PAB,

所以 AD⊥AP.

………………… 2 分

又因为 AP⊥AB ,AB∩AD=A,AB?平面 ABCD,AD?平面 ABCD,

所以 AP⊥平面 ABCD.

………………… 4 分

因为 CD?平面 ABCD,

所以 CD⊥AP.

………………… 6 分

(2)因为 CD⊥AP,CD⊥PD,且 PD∩AP=P,PD?平面 PAD,AP?平面 PAD,

所以 CD⊥平面 PAD. ①

………………… 8 分

因为 AD⊥平面 PAB,AB?平面 PAB,

所以 AB⊥AD.

又因为 AP⊥AB,AP∩AD=A,AP?平面 PAD,AD?平面 PAD,

所以 AB⊥平面 PAD. ②

………………… 10 分

由①②得 CD∥AB,

………………… 12 分

因为 CD ?/ 平面 PAB,AB?平面 PAB,

所以 CD∥平面 PAB.

………………… 14 分

17.(本小题满分 14 分)

解:(1)因为矩形纸板 ABCD 的面积为 3600,故当 a=90 时,b=40,

从而包装盒子的侧面积

S=2×x(90-2x)+2×x(40-2x)

=-8x2+260x,x∈(0,20) .

………………… 3 分

因为 S=-8x2+260x=-8(x-645)2+42225,

故当 x=645

时,侧面积最大,最大值为

4225 2

平方厘米.

答:当 x=645 时,纸盒的侧面积的最大值为42225平方厘米.

(2)包装盒子的体积

………………… 6 分

V=(a-2x)(b-2x) x=x[ab-2(a+b)x+4x2],x∈(0,b2),b≤60.…………… 8 分 V=x[ab-2(a+b)x+4x2]≤x(ab-4 abx+4x2)
=x(3600-240x+4x2)

数学试卷 第 8 页 共 16 页

=4x3-240x2+3600x.

………………… 10 分

当且仅当 a=b=60 时等号成立.

设 f (x)=4x3-240x2+3600x,x∈(0,30).

则 f ′ (x)=12(x-10)(x-30).

于是当 0<x<10 时,f ′ (x)>0,所以 f (x)在(0,10)上单调递增;

当 10<x<30 时,f ′ (x)<0,所以 f (x)在(10,30)上单调递减.

因此当 x=10 时,f (x)有最大值 f (10)=16000,

……………… 12 分

此时 a=b=60,x=10.

答:当 a=b=60,x=10 时纸盒的体积最大,最大值为 16000 立方厘米.

……………… 14 分

18.(本小题满分 16 分)

解:(1)因为椭圆 x82+by22=1 经过点(b,2e),所以b82+4be22=1.

因为 e2=ac22=c82,所以b82+2cb22=1.

因为 a2=b2+c2,所以 b82+82-b2b2=1.

…………………… 2 分

整理得 b4-12b2+32=0,解得 b2=4 或 b2=8(舍) .

所以椭圆 C 的方程为x82+y42=1.

…………………… 4 分

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2).因为 T(1,0),则直线 l 的方程为 y=k(x-1).

联立直线 l 与椭圆方程 ?????yx8= 2+ky(4x2=-11,),

消去 y,得 (2k2+1)x2-4k2x+2k2-8=0,

??? 所以

x1+x2= 24k2k+2 1, x1x2= 22kk22-+81.

……………… 6 分

因为 MN∥l,所以直线 MN 方程为 y=kx,

联立直线 MN 与椭圆方程?????yx8=2+kyx42,=1,

消去 y 得 (2k2+1)x2=8,解得 x2= 2k82+1. 因为 MN∥l,所以 ATM·NB2T=(1-(xxM1)-·x(Nx)22-1).

…………………… 8 分

数学试卷 第 9 页 共 16 页

因为

(1-x1)·(x2-1)=-[x1x2-(x1+x2)+1]=

7 2k2+1



(xM-xN)2=4x2= 2k322+1, 所以 ATM·NB2T=(1-(xx1M)-·x(xN2)- 2 1)=2k27+1·2k32+2 1=372.

………………… 10 分

(3)在 y=k(x-1)中,令 x=0,则 y=-k,所以 P(0,-k),

从而 A→P =(-x1,-k-y1), T→B =(x2-1,y2).

因为 A→P =25 T→B ,所以-x1=25(x2-1),即 x1+25x2=25.…………………… 12 分

??? 由(2)知,

x1+x2= 24k2k+2 1, x1x2= 22kk22-+81.

??? 由

x1+x2= 24k2k+2 1,解得 x1+52x2=25,

x1=3-(24kk22++12),x2=31(62kk22- +21).

………………

14 分

因为 x1x2= 22kk22-+81, 所以 3-(24kk22++12)×31(62kk22- +21)= 22kk22-+81,

整理得 50k4-83k2-34=0,解得 k2=2 或 k2=-1570 (舍) .

又因为 k>0,所以 k= 2.

…………………… 16 分

19.(本小题满分 16 分)

解:(1)当 a=e 时,f (x)=ex-ex-1.

① h (x)=f (x)-g (x)=ex-2x-1,h′ (x)=ex-2.

由 h′ (x)>0 得 x>ln2,由 h′ (x)<0 得 x<ln2.

所以函数 h(x)的单调增区间为 (ln2,+∞),单调减区间为 (-∞,ln2).

………………… 3 分

② f ′ (x)=ex-e.

当 x<1 时,f′ (x)<0,所以 f (x)在区间(-∞,1)上单调递减;

当 x>1 时,f′ (x)>0,所以 f(x)在区间(1,+∞)上单调递增.

1° 当 m≤1 时,f (x)在(-∞,m]上单调递减,值域为[em-em-1,+∞),

g(x)=(2-e)x 在(m,+∞)上单调递减,值域为(-∞,(2-e)m),

因为 F(x)的值域为 R,所以 em-em-1≤(2-e)m,

即 em-2m-1≤0. (*)

数学试卷 第 10 页 共 16 页

由①可知当 m<0 时,h(m)=em-2m-1>h(0)=0,故(*)不成立.

因为 h(m)在(0,ln2)上单调递减,在(ln2,1)上单调递增,且 h(0)=0,h(1)=e-3<0,

所以当 0≤m≤1 时,h(m)≤0 恒成立,因此 0≤m≤1. ………………… 6 分

2° 当 m>1 时,f (x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,m]上单调递增,

所以函数 f (x)=ex-ex-1 在(-∞,m]上的值域为[f (1),+∞),即[-1,+∞).

g(x)=(2-e)x 在(m,+∞)上单调递减,值域为(-∞,(2-e)m).

因为 F(x)的值域为 R,所以-1≤(2-e)m,即 1<m≤e-1 2.

综合 1°,2°可知,实数 m 的取值范围是[0,e-1 2].

………………… 9 分

(2)f ′ (x)=ex-a.

若 a≤0 时,f ′ (x)>0,此时 f(x)在 R 上单调递增.

由 f(x1)=f(x2)可得 x1=x2,与|x1-x2|≥1 相矛盾, 所以 a>0,且 f(x)在(-∞,lna]单调递减,在[lna,+∞)上单调递增.

…………………… 11 分

若 x1,x2∈(-∞,lna],则由 f (x1)=f (x2)可得 x1=x2,与|x1-x2|≥1 相矛盾,

同样不能有 x1,x2∈[lna,+∞).

不妨设 0≤x1<x2≤2,则有 0≤x1<lna<x2≤2.

因为 f(x)在(x1,lna)上单调递减,在(lna,x2)上单调递增,且 f (x1)=f (x2),

所以当 x1≤x≤x2 时,f (x)≤f (x1)=f (x2).

由 0≤x1<x2≤2,且|x1-x2|≥1,可得 1∈[x1,x2],

故 f (1)≤f (x1)=f (x2).

…………………… 14 分

又 f (x)在(-∞,lna]单调递减,且 0≤x1<lna,所以 f (x1)≤f (0),

所以 f (1)≤f (0),同理 f (1)≤f (2).

即???ee--aa- -11≤ ≤0e2,-2a-2,解得 e-1≤a≤e2-e-1, 所以 e-1≤a≤e2-e.

…………………… 16 分

20.(本小题满分 16 分)

解:(1)因为{an}是公差为 2 的等差数列,

所以 an=a1+2(n-1),Snn=a1+n-1,

…………………… 2 分

从而 (n+2) cn=a1+2n+a21+2(n+1)-(a1+n-1)=n+2,即 cn=1. ……… 4 分

数学试卷 第 11 页 共 16 页

(2)由(n+1)bn=an+1-Snn,

得 n(n+1) bn=nan+1-Sn,

(n+1)(n+2) bn+1=(n+1)an+2-Sn+1,

两式相减,并化简得 an+2-an+1=(n+2) bn+1-nbn. ……………………… 6 分 从而 (n+2) cn= an+1+ 2 an+2-Snn= an+1+ 2 an+2-[an+1-(n+1) bn]
=an+2-2 an+1+(n+1) bn =(n+2) b2n+1-nbn+(n+1) bn

=12(n+2)( bn+bn+1).

因此 cn=12( bn+bn+1).

……………………… 9 分

因为对一切 n∈N*,有 bn≤λ≤cn,所以 λ≤cn=12(bn+bn+1)≤λ,

故 bn=λ,cn=λ.

……………………… 11 分

所以 (n+1)λ=an+1-Snn,



(n+2)λ=12(an+1+an+2)-Snn,



②-①,得12(an+2-an+1)=λ,即 an+2-an+1=2λ.

故 an+1-an=2λ (n≥2).

……………………… 14 分

又 2λ=a2-S11=a2-a1,则 an+1-an=2λ (n≥1).

所以数列{an}是等差数列.

……………………… 16 分

数学试卷 第 12 页 共 16 页

南京市、盐城市 2017 届高三年级第一次模拟考试

数学附加参考答案及评分标准

21.【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答卷卡指

定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.选修 4—1:几何证明选讲

解:(1)因为 BC 是圆 O 的切线,故由切割线定理得 BC2=BM·BA. …………… 2 分

设 AM=t,因为 AB=8,BC=4,

所以 42=8(8-t),解得 t=6 ,即线段 AM 的长度为 6. ………………………… 4 分

(2)因为四边形 AMNC 为圆内接四边形,所以∠A=∠MNB. …………………… 6 分

又∠B=∠B,所以△BMN∽△BCA, 所以BBNA=MCAN. 因为 AB=2AC,所以 BN=2MN.

……………………… 8 分 ……………………… 10 分

B.选修 4—2:矩阵与变换

解:(方法一)在直线 l:ax+y-7=0 取点 A(0,7),B(1,7-a).

因为

???-3 1

0b ???

? ?

07??=??

07b??,???-310b???

? ?

71-a??=??

b(7-3 a)-1??,

所以 A(0,7),B(1,7-a)在矩阵 A 对应的变换作用下

…………… 4 分

分别得到点 A′(0,7b),B′(3,b(7-a)-1).

由题意,知 A′,B′在直线 l′:9x+y-91=0 上,

所以

?7b-91=0, ??27+b(7-a)-1-91=0.

解得 a=2,b=13.

…………… 8 分 …………… 10 分

(方法二)设直线 l 上任意一点 P(x,y),点 P 在矩阵 A 对应的变换作用下得到点 Q(x′,y′).

因为

???-310b???

? ?

yx??=??

xy′′??,所以???xy′′==3-x,x+by.

…………… 4 分

又因为点 Q(x′,y′)在直线 l′上,所以 9x′+y′-91=0.

即 27x+(-x+by)-91=0,也即 26x+by-91=0,

又点 P(x,y)在直线 l 上,所以有 ax+y-7=0. 所以2a6=b1=--971,解得 a=2,b=13. C.选修 4—4:坐标系与参数方程

…………… 8 分 …………… 10 分

数学试卷 第 13 页 共 16 页

解:(方法一)直线 l 的参数方程化为普通方程得 4x-3y=4,

将曲线 C 的参数方程化为普通方程得 y2=4x.

……………… 4 分

联立方程组???4y2x=-43xy,=4,

解得 ???xy= =44,或?????xy==1-4,1.

所以 A(4,4),B(14,-1).

所以 AB= (4-41)2+(4+1)2=245.

(方法二)将曲线 C 的参数方程化为普通方程得 y2=4x.

……………… 8 分 ……………… 10 分 ……………… 2 分

直线 l 的参数方程代入抛物线 C 的方程得 (45t)2=4(1+35t),即 4t2-15t-25=0,

所以 t1+t2=145,t1t2=-245.

……………… 6 分

所以 AB=|t1-t2|= (t1+t2)2-4t1t2 = (145)2+25=245. ……………… 10 分

D.选修 4—5:不等式选讲

证明: a4+6a2b2+b4-4ab(a2+b2)=(a2+b2)2-4ab(a2+b2)+4a2b2

=(a2+b2-2ab)2=(a-b)4.

……………… 5 分

因为 a≠b,所以(a-b)4>0,

所以 a4+6a2b2+b4>4ab(a2+b2).

…………… 10 分

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答.卷.卡.指.定.区.域.内.作答.解答应写出

文字说明、证明过程或演算步骤.

22.(本小题满分 10 分)

解:因为四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 为直四棱柱,所以 A1A⊥平面 ABCD.

又 AE?平面 ABCD,AD?平面 ABCD,所以 A1A⊥AE,A1A⊥AD.

在菱形 ABCD 中∠ABC=π3,则△ABC 是等边三角形. 因为 E 是 BC 中点,所以 BC⊥AE.
B1
因为 BC∥AD,所以 AE⊥AD.
以{→ AE ,→ AD,A→A1}为正交基底建立空间直角坐标系.
则 A(0,0,0),C( 3,1,0),D(0,2,0),
B
A1(0,0,2),E( 3,0,0),F( 23,12,1).

z

A1

D1

C1

F

M

A

y

D

E

C

x
(第 22 题图)

数学试卷 第 14 页 共 16 页

(1)→ AD=(0,2,0),→ EF =(- 23,12,1),所以→ AD·→ EF =1. 从而 cos<→ AD,→ EF >=|→ → AADD|··→ E|→ EFF |= 42.

故异面直线 EF,AD 所成角的余弦值为 42. (2)设 M(x,y,z),由于点 M 在线段 A1D 上,且 AA11MD=λ,
则A→ 1M=λA→1D,即(x,y,z-2)=λ(0,2,-2).

……………… 4 分

则 M(0,2λ,2-2λ),C→M=(- 3,2λ-1,2-2λ).

……………… 6 分

设平面 AEF 的法向量为 n=(x0,y0,z0).

因为 → AE =( 3,0,0),→ AF =( 23,12,1), 由 n·→ AE =0,n·→ AF =0,得 x0=0,12y0+z0=0.

取 y0=2,则 z0=-1,

则平面 AEF 的一个法向量为 n=(0,2,-1).

……………… 8 分

由于 CM∥平面 AEF,则 n·→ CM=0,即 2(2λ-1)-(2-2λ)=0,解得 λ=23.

……………… 10 分

23.(本小题满分 10 分)

解:(1)由题意知 p2=2AA2233=23, 即 p2 的值为 23.

……………… 3 分

(2)先排第 n 行,则最大数在第 n 行的概率为n(nn+1)=n+2 1; 2

……………… 5 分

去掉第 n 行已经排好的 n 个数,
则余下的n(n2+1)-n=n(n2-1)个数中最大数在第 n-1 行的概率为n(nn-1)=2n; 2

…… 故 pn=n+2 1×2n×…×23=(n+1)×2nn-×1 …×3=(n+2n1)!.

……………… 7 分

由于 2n=(1+1)n=C0n+C1n+C2n+…+Cnn≥C0n+C1n+C2n>C1n+C2n=Cn2+1,

数学试卷 第 15 页 共 16 页

故(n+2n1)!>(nC+n2+11)!,即 pn>(nC+n2+11)!.

……………… 10 分

数学试卷 第 16 页 共 16 页


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