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二分法求近似解

时间:2012-12-29



二、实验学时:4







一、实验名称:二分法求近似解

三、实验器材和环境:PC 机一台 四、实验内容和目的:
1、实验目的:加深对分治算法原理及实现过程的理解。 2、实验任务:实现用分治算法解决问题。 3、实验内容: 二分法求方程近似解:求方程 f(x) = x^3 + x^2 - 1 = 0 在[0,1]上的近似解,精 确度为 0.01。

五、实验原理:
二分法的基本原理是连续函数的零点定理,表述及证明如下: 设函数 f(x)在闭区间[a,b]上连续,且 f(a)与 f(b)异号(即 f(a)× f(b)<0) ,那么在开 区间(a,b)内至少有函数 f(x)的一个零点,即至少有一点 ξ(a<ξ<b)使 f(ξ)=0。 证明: 不妨设 f(a)<0,f(b)>0.令 E={x|f(x)<0,x∈[a,b]}.由 f(a)<0 知 E≠Φ,且 b 为 E 的 一个上界,于是根据确界存在原理,存在 ξ=supE∈[a,b].下证 f(ξ)=0(注意到 f(a)≠0,f(b)≠0,故此时必有 ξ∈(a,b).).事实上,(i)若 f(ξ)>0,则 ξ∈[a,b).由函数连续 的局部保号性知存在 x1∈(ξ,b):f(x1)<0→存在 x1∈E:x1>supE,这与 supE 为 E 的上 界矛盾; (ii)若 f(ξ)<0,则 ξ∈(a,b].仍由函数连续的局部保号性知存在 δ>0,对任意 x ∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在 δ>0,对任意 x∈E:x<ξ-δ,这又与 supE 为 E 的最小上界矛盾。 综合(i)(ii),即推得 f(ξ)=0。

六、实验步骤:
1、将方程根的问题转化为函数零点的问题; 2、确定区间[a,b],验证 f(a)f(b)<0,给点精确度 ξ 3、求区间(a,b)的中点 c; 4、计算 f(c);

①若 f(c)=0,则 c 就是函数的零点; ②若 f(a) f(c)<0,则令 b=c(此时零点 x0∈(a,c)) ; ③若 f(c) f(b)<0,则令 a=c(此时零点 x0∈(c,b)). 5、判断是否达到精确度 ξ:即若|a-b|<ξ,则得到零点近似值 a(或 b) ;否则重复 2~4.

七、实验数据及结果分析:
二分法求近似解代码:
#include<stdio.h> double F(double x) { return (x*x*x+x*x-1); } double Figure(double low, double high, double e) { double mid = (low + high) / 2; if (F(mid) == 0) return mid; while ((high-low) >= e) { mid = (low + high) / 2; if (F(mid) == 0) return mid; if (F(low)*F(mid) < 0) high = mid; else low = mid; } return low; } int main() { double fig; fig=Figure(0, 1, 0.01); printf("the answer is: %f\n",fig); return 0; }

实验结果:


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