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2018版高中数学第一章常用逻辑用语1.1.2四种命题1.1.3四种命题间的相互关系学案

时间:2018-01-14


1.1.2
1.1.3

四种命题

四种命题间的相互关系

1.了解四种命题的概念,会写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题.(重点) 2.认识四种命题之间的关系以及真假性之间的关系.(难点) 3.利用命题真假的等价性解决简单问题.(难点、易错点)

[基础·初探] 教材整理 1 四种命题 阅读教材 P4~P6,完成下列问题. 1.四种命题的概念 一般地,对于两个命题,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件, 那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题.如果是另一个命题条件的否定和结论的否定,那 么把这样的两个命题叫做互否命题.如果是另一个命题结论的否定和条件的否定,那么把这 样的两个命题叫做互为逆否命题.把第一个叫做原命题时,另三个可分别称为原命题的逆命 题、否命题、逆否命题. 2.四种命题的形式 原命题:若 p,则 q. 逆命题:若 q,则 p. 否命题:若﹁p,则﹁q. 逆否命题:若﹁q,则﹁p.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)有的命题没有逆命题.( ) ) )

(2)四种命题中,原命题是固定的.(

(3)“对顶角相等”的否命题为“对顶角不相等”.(

【解析】 (1)只要原命题确定了,它的逆命题就确定了,故(1)错. (2)四种命题中原命题具有相对性,故(2)错. (3)“对顶角相等”的否命题为“若两个角不是对顶角,则这两个角不相等”,故(3) 错.

1

【答案】 (1)×

(2)× (3)×

教材整理 2 四种命题间的相互关系 阅读教材 P6~P8,完成下列问题. 1.四种命题之间的相互关系

2.四种命题的真假关系 (1)四种命题的真假性,有且仅有下面四种情况 原命题 真 真 假 假 逆命题 真 假 真 假 否命题 真 假 真 假 逆否命题 真 真 假 假

(2)四种命题的真假性之间的关系 ①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性. ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.

判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)对于一个命题的四种命题,可以一个真命题都没有.( (2)两个互逆命题的真假性相同.( ) )

(3)命题“若 a>-3,则 a>-6”以及它的逆命题,否命题,逆否命题中,真命题的个 数有 3 个.( )

【解析】 (1)若原命题为假命题,则其逆否命题为假命题,逆命题和否命题可都为假 命题,故(1)对. (2)两个互逆命题的真假性无关,故(2)错. (3)原命题和逆否命题正确,否命题和逆命题错误,故(3)错. 【答案】 (1)√ (2)× (3)×

[小组合作型]
2

四种命题的概念 写出以下命题的逆命题、否命题和逆否命题: (1)如果直线垂直于平面内的两条相交直线,那么这条直线垂直于平面; (2)如果 x>10,那么 x>0; (3)当 x=2 时,x +x-6=0. 【导学号:97792002】 【精彩点拨】 根据四种命题的结构写出所求命题. 【自主解答】 (1)逆命题:如果直线垂直于平面,那么直线垂直于平面内的两条相交 直线; 否命题:如果直线不垂直于平面内的两条相交直线,那么直线不垂直于平面; 逆否命题:如果直线不垂直于平面,那么直线不垂直于平面内的两条相交直线. (2)逆命题:如果 x>0,那么 x>10; 否命题:如果 x≤10,那么 x≤0; 逆否命题:如果 x≤0,那么 x≤10. (3)逆命题:如果 x +x-6=0,那么 x=2; 否命题:如果 x≠2,那么 x +x-6≠0; 逆否命题:如果 x +x-6≠0,那么 x≠2.
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1.写出一个命题的其他三种命题的步骤 (1)分析命题的条件和结论; (2)将命题写成“若 p,则 q”的形式; (3)根据逆命题、否命题、逆否命题各自的结构形式写出这三种命题. 注意:如果原命题含有大前提,在写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题时,必须注 意各命题中的大前提不变. 2.常见词语的否定 词语 是 都是 > 至少有 n 个 至多有 n 个

否定

不是

不都是



至多有 n-1 个

至少有 n+1 个

[再练一题] 1.(1)命题“若 m>n,则 m-1>n-2”的逆否命题为________.

3

(2)分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题: ①正数的平方根不等于 0; ②若 x +y =0(x,y∈R),则 x,y 全为 0. 【解析】 (1)若 m-1≤n-2,则 m≤n. (2)①逆命题:若一个数的平方根不等于 0,则这个数是正数; 否命题:若一个数不是正数,则这个数的平方根等于 0; 逆否命题:若一个数的平方根等于 0,则这个数不是正数. ②逆命题:若 x,y 全为 0,则 x +y =0(x,y∈R); 否命题:若 x +y ≠0(x,y∈R),则 x,y 不全为 0; 逆否命题:若 x,y 不全为 0,则 x +y ≠0(x,y∈R). 四种命题真假的判断 把下列命题改写成“若 p,则 q”的形式,并写出它的逆命题、否命题、逆否 命题,然后判断它们的真假: (1)正偶数不是素数; (2)平行于同一条直线的两条直线平行. 【精彩点拨】 把命题改写成“若 依据定义写出 → → 判断真假 p,则q”的形式 另外三种命题
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【自主解答】 (1)原命题:若一个数是正偶数,则这个数不是素数,是假命题; 逆命题:若一个数不是素数,则这个数是正偶数,是假命题; 否命题:若一个数不是正偶数,则这个数是素数,是假命题; 逆否命题:若一个数是素数,则这个数不是正偶数,是假命题. (2)原命题:若两条直线平行于同一条直线,则这两条直线平行,是真命题. 逆命题:若两条直线平行,则这两条直线平行于同一条直线,是真命题. 否命题:若两条直线不平行于同一条直线,则这两条直线不平行,是真命题. 逆否命题:若两条直线不平行,则这两条直线不平行于同一条直线,是真命题.

在判断一个命题的真假时,可以有两种方法:一是分清原命题的条件和结论,直接对原 命题的真假进行判断;二是不直接写出命题,而是根据命题之间的关系进行判断,即原命题 和逆否命题同真同假,逆命题和否命题同真同假.

[再练一题] 2.下列命题: ①“若 xy=1,则 x、y 互为倒数”的逆命题;

4

②“四边相等的四边形是正方形”的否命题; ③“梯形不是平行四边形”的逆否命题. 其中是真命题的是________. 【解析】 ①“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题是“若 x,y 互为倒数,则 xy =1”,是真命题;②“四边相等的四边形是正方形”的否命题是“四边不都相等的四边形 不是正方形”,是真命题;③“梯形不是平行四边形”本身是真命题,所以其逆否命题也是 真命题.所以真命题是①②③. 【答案】 ①②③ [探究共研型] 等价命题的应用 探究 1 我们学习了四种命题的关系,那么在直接证明某一个命题为真命题有困难时, 该怎么办? 【提示】 可以通过证明它的逆否命题为真命题,来间接地证明原命题为真命题. 探究 2 根据互为逆否命题的真假性相同来判断命题的真假,是哪种证明方法的理论基 础? 【提示】 是反证法的理论基础. 判断命题“已知 a,x 为实数,若关于 x 的不等式 x +(2a+1)x+a +2≤0 的 解集不是空集,则 a≥1”的逆否命题的真假. 【导学号:97792003】 【精彩点拨】 → 判断命题真假 法二: 判断原命题真假 → 判断逆否命题真假 【自主解答】 法一 原命题的逆否命题: 已知 a,x 为实数,若 a<1,则关于 x 的不等式 x +(2a+1)x+a +2≤0 的解集为空集. 真假判断如下: ∵抛物线 y=x +(2a+1)x+a +2 开口向上, 判别式 Δ =(2a+1) -4(a +2)=4a-7, 若 a<1,则 4a-7<0. 即抛物线 y=x +(2a+1)x+a +2 与 x 轴无交点. 所以关于 x 的不等式 x +(2a+1)x+a +2≤0 的解集为空集. 故原命题的逆否命题为真. 法二 先判断原命题的真假.
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法 一 : 分析已知命题 → 写出逆否命题 → 利用Δ 求a的范围

5

因为 a,x 为实数,且关于 x 的不等式 x +(2a+1)x+a +2≤0 的解集不是空集, 所以 Δ =(2a+1) -4(a +2)≥0, 7 即 4a-7≥0,解得 a≥ . 4 7 因为 a≥ ,所以 a≥1,所以原命题为真. 4 又因为原命题与其逆否命题等价,所以逆否命题为真.
2 2

2

2

这种问题的解决通常有两种方法:一是直接法,先写出逆否命题,后判断,如法一;二 是间接法,不写逆否命题,从判断原命题的真假证明逆否命题的真假,如法二.

[再练一题] 3.证明:已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a、b∈R,若 f(a)+f(b)≥f(-a) +f(-b),则 a+b≥0. 【解】 原命题的逆否命题为“已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R, 若 a+b<0, 则 f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b).” ∵当 a+b<0 时,a<-b,b<-a, 又∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, ∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a). ∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b), 即逆否命题为真命题.∴原命题为真命题.

1.命题“若一个数是负数,则它的相反数是正数”的逆命题是( A.“若一个数是负数,则它的相反数不是正数” B.“若一个数的相反数是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的相反数不是正数” D.“若一个数的相反数不是正数,则它不是负数”

)

【解析】 若原命题记作“若 p,则 q”,则 A 为“若 p,则﹁q”;B 为“若 q,则 p”; C 为“若﹁p,则﹁q”;D 为“若﹁q,则﹁p”.故 B 正确. 【答案】 B 2.命题“如果 x <1,则-1<x<1”的逆否命题是( A.如果 x ≥1,则 x≥1,或 x≤-1
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2 2

)

B.如果-1<x<1,则 x <1 C.如果 x>1 或 x<-1,则 x >1 D.如果 x≥1 或 x≤-1,则 x ≥1 【解析】 “-1<x<1”的含义是“x>-1 且 x<1”,故“-1<x<1”的否定是
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2

“x≥1 或 x≤-1”,故选 D. 【答案】 D 3.已知命题:“若 x≥0,y≥0,则 xy≥0”,则原命题、逆命题、否命题、逆否命题这 四个命题中,真命题的个数是( A.1 C.3 【解析】 ) B.2 D.4 由题意可判断原命题为真命题,故逆否命题也为真命题,其逆命题为“若

xy≥0,则 x≥0,y≥0”,为假命题,所以否命题也为假命题,故四个命题中,真命题的个
数为 2. 【答案】 B 4.有下列四个命题: ①命题“若 x+y=0,则 x,y 互为相反数”的逆命题; ②命题“面积相等的三角形全等”的否命题; ③命题“若 m≤1,则 x -2x+m=0 有实根”的逆否命题; ④命题“若 A∩B=B,则 A? B”的逆否命题. 其中是真命题的是________(填上你认为正确的命题的序号). 【解析】 ④中由 A∩B=B, 应该得出 B? A, 原命题为假命题, 所以逆否命题为假命题. 【答案】 ①②③ 5.判断命题:“若 b≤-1,则关于 x 的方程 x -2bx+b +b=0 有实根”的逆否命题的 真假. 【解】 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致, 所以只需判断原命题真假即 可. 方程判别式为 Δ =4b2-4(b2+b)=-4b,因为 b≤-1,所以 Δ ≥4>0,故此方程有 两个不相等的实根,即原命题为真,故它的逆否命题也为真.
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