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2020北京高考数学一轮精练:10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合

时间:

(2020 高考)专题十 计数原理
【真题典例】

10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理、排列与组合 挖命题
【考情探究】

考点

内容解读

5 年考情

考题示例

考向

预测热度

1.理解分类加法计数原理

和分步乘法计数原理,能

正确区分“类”和

“步”,并能利用两个原 计数原理、
理解决一些简单的实际问 排列与组
题 合
2.理解排列、组合的概念

2014 北京,13 2013 北京,12 2012 北京,6 2011 北京,12

计数原理与排列、组合 的综合应用

★★☆

以及排列数、组合数公式,

并能利用公式解决一些实

际问题

分析解读 1.分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个事件来完

成,两个原理的区别在于一个与分类有关,一个与分步有关,这两个原理是最基本也是最重要的原理,是解答

排列与组合问题,尤其是解答较复杂的排列与组合问题的基础.2.排列与组合的综合是高考中的热点.本节 内容在高考中单独考查时,以选择题、填空题的形式出现,分值约为 5 分,属中档题.此外,还经常与概率、分 布列问题相结合,出现在解答题的第(1)问中,难度中等或中等偏上.
破考点

【考点集训】

考点 计数原理、排列与组合

1.(2017 课标Ⅱ,6,5 分)安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成,则不同的

安排方式共有( )

A.12 种

B.18 种

C.24 种

D.36 种

答案 D

2.将 7 个座位连成一排,安排 4 个人就座,恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )

A.240 种

B.480 种

C.720 种

D.960 种

答案 B

3.无偿献血是践行社会主义核心价值观的具体行动,现需要在报名的 2 名男教师和 6 名女教师中选择 5 人参

加无偿献血,要求男、女教师都有,则不同的选择方法的种数为

.(结果用数字表示)

答案 50

4.在一次数学会议中,有五位老师来自 A,B,C 三所学校,其中 A 学校有 2 位,B 学校有 2 位,C 学校有 1 位.现

在五位老师站成一排照相,若要求来自同一学校的老师不相邻,则共有

种不同的站队方法.

答案 48

炼技法

【方法集训】

方法 1 排列问题的常见解法

1.(2014 辽宁,6,5 分)6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为( )

A.144

B.120

C.72

D.24

答案 D

2.(2014 重庆,9,5 分)某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目、2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序,

则同类节目不相邻的排法种数是( )

A.72

B.120

C.144

D.168

答案 B

3.在一项太空实验中,要先后实施 6 个程序,其中程序 A 只能出现在第一步或最后一步,程序 B 和 C 在实施时

必须相邻,则实验顺序的编排方法共有( )

A.34 种

B.48 种

C.96 种

D.144 种

答案 C

方法 2 组合问题的常见解法

4.(2014 大纲全国,5,5 分)有 6 名男医生、5 名女医生,从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组.

则不同的选法共有 ( )

A.60 种

B.70 种

C.75 种

D.150 种

答案 C

5.(2014 安徽,8,5 分)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为 60°的共有( )

A.24 对

B.30 对

C.48 对

D.60 对

答案 C

6.大厦一层有 A,B,C,D 四部电梯,3 人在一层乘坐电梯上楼,其中 2 人恰好乘坐同一部电梯,则不同的乘坐方

式有

种.(用数字作答)

答案 36

方法 3 分组与分配问题的解题技巧

7.按下列要求分配 6 本不同的书,各有多少种不同的分配方式?

(1)分成三份,1 份 1 本,1 份 2 本,1 份 3 本;

(2)甲、乙、丙三人中,一人得 1 本,一人得 2 本,一人得 3 本;

(3)平均分成三份,每份 2 本;

(4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人 2 本;

(5)分成三份,1 份 4 本,另外两份每份 1 本;

(6)甲、乙、丙三人中,一人得 4 本,另外两人每人得 1 本;

(7)甲得 1 本,乙得 1 本,丙得 4 本.

解析 (1)无序不均匀分组问题.

先选 1 本,有 种选法;再从余下的 5 本中选 2 本,有 种选法;最后余下 3 本全选,有 种选法.故共有分配

方式

=60 种.

(2)有序不均匀分组问题.

由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)的基础上,还应考虑再分配,共有分配方式

=360 种.

(3)无序均匀分组问题.

先分三步选,每步选 2 本,则有

种方法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为 A,B,C,D,E,F,若第一步

取了 AB,第二步取了 CD,第三步取了 EF,记该种分法为(AB,CD,EF),则

种分法中还有

(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB),(EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有 种情况,而这 种情况仅是

AB,CD,EF 的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有

=15 种.

(4)有序均匀分组问题.

在(3)的基础上再分配给 3 个人,共有分配方式

·=

=90 种.

(5)无序部分均匀分组问题.

共有分配方式

=15 种.

(6)有序部分均匀分组问题.

在(5)的基础上再分配给 3 个人,共有分配方式

· =90 种.

(7)直接分配问题. 甲选 1 本,有 种方法;乙从余下的 5 本中选 1 本,有 种方法;余下 4 本留给丙,有 种方法.共有分配方式
=30 种.
过专题

【五年高考】

A 组 自主命题·北京卷题组

1.(2012 北京,6,5 分)从 0,2 中选一个数字,从 1,3,5 中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的

个数为( )

A.24

B.18

C.12

D.6

答案 B

2.(2013 北京,12,5 分)将序号分别为 1,2,3,4,5 的 5 张参观券全部分给 4 人,每人至少 1 张.如果分给同一

人的 2 张参观券连号,那么不同的分法种数是

.

答案 96

3.(2011 北京,12,5 分)用数字 2,3 组成四位数,且数字 2,3 至少都出现一次,这样的四位数共有

个.(用数字作答)

答案 14

B 组 统一命题、省(区、市)卷题组

1.(2016 四川,4,5 分)用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为( )

A.24

B.48

C.60

D.72

答案 D

2.(2016 课标Ⅱ,5,5 分)如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一起到位于 G 处的老年公寓 参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )

A.24

B.18

C.12

D.9

答案 B

3.(2015 四川,6,5 分)用数字 0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中比 40 000 大的偶数共有( )

A.144 个

B.120 个

C.96 个

D.72 个

答案 B

4.(2018 课标Ⅰ,15,5 分)从 2 位女生,4 位男生中选 3 人参加科技比赛,且至少有 1 位女生入选,则不同的选

法共有

种.(用数字填写答案)

答案 16

5.(2017 天津,14,5 分)用数字 1,2,3,4,5,6,7,8,9 组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,

这样的四位数一共有

个.(用数字作答)

答案 1 080

6.(2017 浙江,16,5 分)从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人,副队长 1 人,普通队员 2 人组成 4 人服务队,

要求服务队中至少有 1 名女生,共有

种不同的选法.(用数字作答)

答案 660

7.(2015 广东,12,5 分)某高三毕业班有 40 人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言,那么全班共写了

条毕业留言.(用数字作答)

答案 1 560

C 组 教师专用题组

1.(2016 课标Ⅲ,12,5 分)定义“规范 01 数列”{an}如下:{an}共有 2m 项,其中 m 项为 0,m 项为 1,且对任意

k≤2m,a1,a2,…,ak 中 0 的个数不少于 1 的个数,若 m=4,则不同的“规范 01 数列”共有( )

A.18 个

B.16 个

C.14 个

D.12 个

答案 C 2.(2014 福建,10,5 分)用 a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球.由加法原理及乘法原理,从 1 个红球和 1 个蓝

球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式 1+a+b+ab 表示出来,如:“1”表示一个球都不取、 “a”表示取出一个红球、而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.依此类推,下列各式中,其展开式可用来

表示从 5 个无区别的红球、5 个无区别的蓝球、5 个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或

都不取出的所有取法的是( ) A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5 B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5

C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)

D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)

答案 A

3.(2013 四川,8,5 分)从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为 a,b,共可得到 lg a-lg b

的不同值的个数是( )

A.9

B.10

C.18

D.20

答案 C

4.(2013 山东,10,5 分)用 0,1,…,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( )

A.243

B.252

C.261

D.279

答案 B 5.(2013 福建,5,5 分)满足 a,b∈{-1,0,1,2},且关于 x 的方程 ax2+2x+b=0 有实数解的有序数对(a,b)的个数

为( ) A.14

B.13

C.12

D.10

答案 B

6.(2013 重庆,13,5 分)从 3 名骨科、4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组,则

骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是 答案 590

.(用数字作答)

【三年模拟】

一、选择题(每小题 5 分,共 40 分)

1.(2018 北京东城一模,6)故宫博物院五一期间同时举办“戏曲文化展”“明代御窑瓷器展”“历代青绿山 水画展”“赵孟頫书画展”四个展览.某同学决定在五一当天的上、下午各参观其中的一个,且至少参观一

个画展,则不同的参观方案共有( )

A.6 种

B.8 种

C.10 种

D.12 种

答案 C

2.(2018 北京丰台一模,7)某学校为了弘扬中华传统“孝”文化,共评选出 2 位男生和 2 位女生为校园“孝”

之星,现将他们的照片展示在宣传栏中,要求同性别的同学不能相邻,则不同的排法有( )

A.4 种

B.8 种

C.12 种

D.24 种

答案 B 3.(2017 北京房山一模,4)某中学语文老师从《红楼梦》《平凡的世界》《红岩》《老人与海》4 本书中选

出 3 本,分给三个同学去读,其中《红楼梦》必选,则不同的分配方法共有 ( )

A.6 种

B.12 种

C.18 种

D.24 种

答案 C

4.(2017 北京朝阳二模,5)现将 5 张连号的电影票分给甲、乙等 5 个人,每人一张,且甲、乙分得的电影票连

号,则不同的分法总数为( )

A.12

B.24

C.36

D.48

答案 D

5.(2017 北京海淀一模,7)甲、乙、丙、丁、戊五人排成一排,甲和乙都排在丙的同一侧,则排法种数为( )

A.12

B.40

C.60

D.80

答案 D

6.(2018 北京朝阳一模,5)某单位安排甲、乙、丙、丁 4 名工作人员从周一到周五值班,每天有且只有 1 人

值班,每人至少安排一天且甲连续两天值班,则不同的安排方法的种数为( )

A.18

B.24

C.48

D.96

答案 B

7.(2018 北京石景山一模,6)现有 4 种不同的颜色,对如图所示的四个部分进行涂色,要求有公共边界的两块

不能用同一种颜色,则不同的涂色方法共有( )

A.24 种

B.30 种

C.36 种

D.48 种

答案 D

8.(2019 届北京一零一中学统考(二),6)某班有甲、乙、丙、丁四名学生参加志愿者服务工作,需将这四名

学生分配到 A,B,C 三个不同的展馆服务,每个展馆至少分配一人.若要求甲不到 A 馆,则不同的分配方案有 ()

A.36 种

B.30 种

C.24 种

D.20 种

答案 C

二、填空题(每小题 5 分,共 30 分)

9.(2018 北京通州一模,12)2 位教师和 4 名学生站成一排合影,要求 2 位教师站在中间,学生甲不站在两边,

则不同排法的种数为

.(结果用数字表示)

答案 24

10.(2018 北京西城期末,12)把 4 件不同的产品 A,B,C,D 摆成一排.若其中的产品 A 与产品 B 都摆在产品 C

的左侧,则不同的摆法有

种.(用数字作答)

答案 8

11.(2018 北京一七一中学期中,13)将 A、B、C、D、E、F 六个字母排成一排,且 A、B 均在 C 的同侧,则不同

的排法共有

种.(用数字作答)

答案 480

12.(2017 北京石景山一模,13)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,则

不同的分法有

种.(用数字作答)

答案 36

13.(2017 北京东城二模,11)某校开设 A 类选修课 4 门,B 类选修课 2 门,每位同学需从两类选修课中共选 4

门.若要求至少选一门 B 类课程,则不同的选法共有

种.(用数字作答)

答案 14

14.(2017 北京海淀零模,13)小明、小刚、小红等 5 个人排成一排照相合影,若小明与小刚相邻,且小明与小

红不相邻,则不同的排法有

种.

答案 36


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