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数学:1.3.1《正弦函数的图像与性质——y=Asin(ωx+φ)的图象》课件(新人教B版必修4)

时间:


函 数 y=Asin(ωx+?)的图象

2011-3-22

物理背景
在物理中,简谐振动中如单摆对平衡 在物理中 简谐振动中如单摆对平衡 位置的位移y与时间 的关系、 与时间x的关系 位置的位移 与时间 的关系、交流电 的电流y与时间 与时间x的关系等都是形如 的电流 与时间 的关系等都是形如 y=Asin(ωx+φ) 的函数(其中 ω, φ都 的函数(其中A, 都 是常数) 是常数).
2011-3-22

函数y= 函数 =Asin(ωx+φ),其中 + ,其中(A>0, ω >0)表 表 示一个振动量时, 示一个振动量时, 振动量时 A就表示这个量振动时离开平衡位置的最 就表示这个量振动时离开平衡位置的最 大距离,通常称为这个振动的振幅; 大距离,通常称为这个振动的振幅; 振幅 往复一次所需的时间 T = 振动的周期; 振动的周期; 周期
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ω

,称为这个

称为振动的频率; 称为振动的频率; 频率

1 ω 单位时间内往复振动的次数 f = = , T 2π

ω x + φ 称为相位;x=0时的相位 称为初相。 称为相位 相位; 时的相位φ称为初相。 时的相位 称为初相

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知识回顾: 知识回顾 y
1-

y =sin x x∈[0,2π]
π
2

-1

o
-1 -

π
6

π
3

2π 3

5π 6

π

7π 6

4π 3

3π 2

5π 3

11 π 6



x

在函数 y = sin x, x ∈ [0, 2π ] 的图象上,起关键作用的点有: 的图象上,起关键作用的点有: 最高点: 最高点: (

π
2
2

,1 )

最低点: 最低点: (3π ,?1 ) 轴的交点: 与x轴的交点: (0, 0) 轴的交点

(π , 0) (2π ,0)

在精度要求不高的情况下,我们可以利用这 个点画出函数 在精度要求不高的情况下,我们可以利用这5个点画出函数 2011-3-22 数的简图,一般把这种画图方法叫“五点法” 数的简图,一般把这种画图方法叫“五点法”。

新课讲解: 新课讲解
例1 作函数 y = 2 sin x 解:1.列表 列表 x
sin x 2 sin x
0 0 0 0

1 及 y = sin x 的图象。 2

π 2

π

3π 2

2π 0 0 0

1

0 0 0

?1

2

?2

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1 sin x 2

1 2

?1 2

2. 描点、作图: 描点、作图:
y 2 1 O ?1 ?2

y=2sinx y=sinx
2π π x

y=

1 sinx 2

周期相同
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y 2 1 O ?1

y=2sinx y=sinx
2π π y 2 1 2π O ?1 ?2 π x x

1 y= sinx ?2 2

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函数y=Asinx(A>0)的图象 函数 的 一、函数

y 2 1 2π O ?1 ?2
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y=2sinx

π

x

y=

1 sinx 2

(A >0且A≠1)的图象可以看作是把 且 的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有点的纵坐标伸长 (当A>1时) 当 时 或缩短(当 横坐标不变) 或缩短 当0<A<1时) 到原来的 倍(横坐标不变 时 到原来的A倍 横坐标不变 而得到的。 的值域为[-A,A],最 而得到的。 y=Asinx ,x∈R的值域为 ∈ 的值域为 , 大值 为A,最小值为 ,最小值为-A.

函数y=Asinx n 函数

思 : 数 = f (x)与 数 = Af (x)的 象 何 系 考 函 y 函 y 图 有 关 ?
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y = sin1 x 的图象。 的图象。 例2 作函数 y = sin2x 及 2
1. 列表: 列表: x
2x sin 2 x
0
0
0

π
π 2

4

π

2
π

3π 4
3π 2

π

0

1

0

?1

2 y 2. 描点: 描点:

y=sinx
2π π 3π x

连线: 连线

1 O ?1

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?2

y=sin2x

1 对于函数y = sin x 1. 列表: 列表: 2
x
1 2
sin

0
x

π
π
2


π


3π 2

4π 2π 0

0 0

1 x 2

1

0

-1

2. 描点 作图:
y 1 O
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1 y=sin x 2
2π 3π 4π x

π

?1

y=sinx

y 1 O ?1 π

1 y=sin x 2
2π 3π 4π x

y=sinx y=sin2x

振幅相同

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函数y=sinωx(ω>0)的图象 二、函数 函数 ω ω 的
y 1 2π O ?1 π 3π 4π x

y=sin1 x
2

y=sin2x

y=sinx

y=sin 1x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所 的图象可以看作是把 的图象上所 2 有点的横坐标伸长到原来的2倍 纵坐标不变)。 有点的横坐标伸长到原来的 倍(纵坐标不变)。 y=sin 2x的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所 的图象可以看作是把 的图象上所 1 纵坐标不变)。 有点的横坐标缩短到原来的 2倍(纵坐标不变)。
2011-3-22

(ω >0且ω≠1)的图象可以看作是 ω 且 的图象可以看作是 的图象上所有点的横坐标缩短(当 把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短 当ω>1 1 或伸长(当 ω 时 时)或伸长 当0<ω<1时) 到原来的 倍(纵坐标 或伸长 纵坐标 ω 不变) 而得到的。 不变 而得到的。

函数y=sinωx n函数 ω

思考:函数y = f (x)与函数y = f (kx)的图象有何关系?
练习: 练习:作下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图 :

(1) y = sin4x
2011-3-22

1 (2) y = sin x 3

1 1 (3) y = sin x的图象与y = sin x的图象的关系: 2 2
1 sin x 图象上各点横坐标 1 sin 1 x y= y= y = sin x 2 伸长为原来的2倍 伸长为原来的 倍 2 缩短为原来的一半 2
图象上各点纵坐标 1

y = 1 sin x 2
2π 3π

O

π

4π x

?1
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y =sin x

1 1 y = sin x 2 2

例3 作函数 y = sin( x ?

x
x?

π
π
3
π
3 )

3
0
0 1 y

的图象。 ) 及y = sin( x + ) 的图象。 4 3 11π 4π 7π 5π 6 3 3 6
π 2
π
0
y = sin( x ?

π

π

3π 2
-1
π
3 )


0

sin( x ?

1

?

π
4

O ?1
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π
3

2π π
π

x

y = sin( x + ) 4

函数y=sin(x+φ)图象 三、函数 函数 图象
π
4

1

y = sin( x ?

π
3

)

?

O ?1

π
3

2π π
π

x

y = sin( x + ) 4

函数y=sin(x+φ) 的图象可以看作是把 y=sinx 的 n函数 图象上所有的点向左(当 或向右(当 图象上所有的点向左 当φ>0时)或向右 当φ<0时) 时 或向右 时 平移|φ|个单位而得到的 个单位而得到的。 平移 个单位而得到的。

思考:函数y = f (x)与y = f (x) +b的图象有何关系?
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函数y=sin(ωx+φ)与y=sinωx图象的关系 四、函数 函数 与 图象的关系 π π 例4 作函数y = sin( 2 x ? ) 及y = sin( 2 x + ) 的图象。 3 4 11π π 2π 7π 5π x 12 6 3 6 12
2x ?

π

sin( 2 x ? ) 3 y 1
O

3 π

0
0

π 2
1

π
0

3π 2
-1
y = sin(2 x ? ) 3


0

π

π

y = sin( 2x + ) 2011-3-22 4 ?1

π

π

2

π

x

6

y=sin2x

函数y=sin(ωx+φ)与y=sinωx图象的关系 四、函数 函数 与 图象的关系
y 1 O

π

y = sin(2 x ? ) 3

π

y = sin( 2x + ) 4 ?1

π

π

2

π

x

6

y=sin2x

思考: 思考:函数 y = f (x)与 y = f (ax + b)的图像 有何关系? 有何关系?
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1 π 思考 : 怎样由y = sin x的图象得到y = 2 sin( x ? ) 3 6 的图象 ?
函数y = sin x
(1)向右平移

π
6

y = sin( x ? )的图象 6 1 π y = sin( x ? )的图象 3 6 1 π y = 2 sin( x ? )的图象 3 6

π

( 2)横坐标伸长到原来的 3倍

纵坐标不变

(3)纵坐标伸长到原来的 2倍

横坐标不变
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y
3 2 y=sin(x1

π
6

1 π y = 2 sin( x ? ) ③ 3 6
)①
y = sin(

7π 2

1 π x ? )② 3 6

o
π
-1

π
2

π
y=sinx

13π 2

6

x

-2 -3

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小结
y=Asin(ωx+φ)的各种变化方式 = + 的各种变化方式

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课后作业: 课后作业 课本 P49 练习A1(2)(4) 2(3)(4)
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世上没有什么天才

天才是勤奋的结果

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